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Optimal adjustment sets in non-parametric graphical models

讲者: Andrea Rotnitzky
讨论人: Ema Perkovi c
来源: OCIS (Online Causal Inference Seminar)
日期: 2021-04-13
主题: 因果推断
视频: https://youtu.be/VBfMhMaIE-8 · 幻灯片

本页据讲座录音的自动转写（ASR）生成。人名 / 术语 / 公式 / 具体的率与界可能被听错，关键处请对照视频或讲者论文核对。

一、这场报告在讲哪条工作线

这场报告属于因果推断中的混淆控制（confounding control）与调整集选择这一子方向。这个方向追问的核心问题是：在一项观测研究中，当我们有一个因果图模型（DAG）作为背景知识时，存在多个能够有效控制混淆的协变量调整集，究竟选择哪一个，能使后续的非参数估计量具有最小的渐近方差？

奠基与主流路线：

  • 经典后门准则 (Pearl, 1995)：给出了调整集充分的图条件，但不完备（只提供充分条件，非必要条件）。
  • 广义调整准则 (Shpitser et al., 2010; Perkovic et al., 2015, 2018)：给出了调整集充分且必要的图条件，是当前判断一个集合是否为有效调整集的完备工具。
  • 枚举所有有效调整集的图算法 (van der Zander, Liskiewicz & Textor, 2019)：使得在给定DAG下找到所有候选调整集成为可能，为后续的最优选择问题铺平了道路。
  • 方差比较以选择最优调整集 (Henckel, Perkovic & Maathuis, 2019)：这是本报告最直接的先驱工作。该论文在线性结构方程模型 (Linear SEM) 的假设下，用 OLS（普通最小二乘法） 作为估计方法，给出了在DAG及部分有向无环图（CPDAG, MAG）上比较调整集方差的图规则，并定义了"全局最优静态调整集"O-set。

当前Frontier与本报告的站位：

本报告（及其源自的两篇论文，Rotnitzky & Smucler, 2020 JMLR; Smucler, Sapienza & Rotnitzky, 2021 Biometrika）将Henckel et al. (2019)的线性/OLS框架推广到了非参数（non-parametric）或半参数（semiparametric）的估计环境。也就是说，假设我们要用非参数方法（如核回归、随机森林等机器学习方法）来估计倾向得分和/或结果回归（即正交/双重稳健估计量），问题依然是：哪个调整集能使这个非参数估计量的渐近方差最小？报告证明了，在这种更一般、更接近现代因果推断实践的设置下，Henckel et al. (2019) 发现的"全局最优调整集" O-set 依然是全局最优的（对于静态处理），并进一步分析了： 1. 动态（个性化）处理下的最优Z-调整集（O-set ∪ Z）。 2. 最小调整集（最小、最少变量数量）中的最优者。 3. 存在隐变量时，全局最优可能不存在，并提出可操作解。 4. 何时该非参数调整估计量能达到半参数效率界。

该工作线不回答"如何构造最优估计量"（这是高维/半参数效率理论的方向），而是回答"给定一种非参数估计策略，选择哪个协变量测量集能最大化其统计效率"。

二、最小内核 / 一个最简例子

符号与模型设定： - 可观测数据：\((Y_i, A_i, Z_i, G_i), i=1,...,n\)，其中： - \(A\)：二值处理变量（如服药与否）。 - \(Y\)：连续结果变量（如血压）。 - \(Z, G\)：两个协变量（如年龄、既往史）。 - 目标估计量 (estimand)：平均处理效应 (ATE) \(\psi = E[Y(1) - Y(0)]\)，其中 \(Y(a)\) 是反事实结果。 - 因果图：一个DAG（有向无环图），已知 \(A \rightarrow Y\)，且 \(A\) 和 \(Y\) 之间有两条后门路径（back-door path）： 1. \(A \leftarrow Z \rightarrow Y\) 2. \(A \leftarrow G \rightarrow Y\) 此外，图中 \(Z\) 和 \(G\) 之间没有边。 - 核心概念：调整集 (Adjustment Set)：一个变量集合 \(L\) 是有效的静态调整集，当且仅当用 \(L\) 进行G-公式（或IPW, AIPW）调整后，可以无偏地识别ATE：\(\psi = E[ E(Y|A=1, L) - E(Y|A=0, L) ]\)。在此例中，\(L_1 = \{Z\}\), \(L_2 = \{G\}\), \(L_3 = \{Z,G\}\) 都是有效调整集。

核心问题： 我们应该选择调整 \(L_1\), \(L_2\) 还是 \(L_3\)？如果使用非参数估计量的“L-调整估计量”（如用核回归估计 \(E(Y|A=a,L=l)\) 然后做G-公式），哪一个调整集会使得该估计量的渐近方差最小？

最小内核思想： 在此特例中，由报告的结果可知： 1. 只调整一个协变量（\(L = \{Z\}\) 或 \(L = \{G\}\)）可以识别ATE。 2. 调整两个协变量（\(L = \{Z,G\}\)）也能识别ATE。因为 \(G\) 和 \(Z\) 之间无关联，且都直接预测结果 \(Y\)，所以它们可以互相作为对方的“精度变量（precision variable）”。根据报告的补充（supplementation） 结果，添加一个不进一步预测处理的变量（如向 \(\{Z\}\) 中添加与 \(A\) 独立、但与 \(Y\) 相关的 \(G\)）能降低方差，永远不会伤害。因此，\(\{Z,G\}\) 的渐近方差会比 \(\{Z\}\) 或 \(\{G\}\) 都小。但问题是，\(\{Z,G\}\) 是否已经是全局最优？ 3. 报告的全局最优调整集 O-set：它是所有非后代（non-descendants）的、且是 \(Y\) 的父节点（parent）或因果路径上中介变量的父节点的集合。在此例中，若图中没有中介，则 \(O = \{Z, G\}\)（如果两者都是 \(Y\) 的父节点）。因此，最优解正是 \(L_3 = \{Z,G\}\)。这个结论与调整集的具体预测能力无关，是图结构层面的结论。

三、报告主体：讲者讲了什么

[0:00 - 0:12] 引言与动机 * 问题定义：在计划一项观测研究时，需要测量哪些协变量以控制混淆。当存在多个有效调整集时，选择哪一个能使非参数调整估计量（如IPW、AIPW等，其中倾向得分、结果回归用非参数方法估计）的渐近方差最小。这个问题是为了指导研究设计（design stage）。 * 分类：考虑了静态（static, 统一处理）和个性化（personalized / dynamic, 处理取决于Z）的处理。将调整集分为全局（所有有效集）、最小（minimal, 移去其中任一个变量便失效）、最小尺寸（minimum, 最小基数）以及这些类别的“可观测”版本（当部分变量不可测时）。

[0:12 - 0:15] 示例热身 * 简单DAG例子（幻灯片第4-7页）： * 图1：\(A \rightarrow Y\), \(A \leftarrow Z \rightarrow Y\), \(A \leftarrow G \rightarrow Y\)。\(Z\) or \(G\) or \(\{Z,G\}\) 都是有效调整集。问：哪个方差最小？ * 图2：同上，但处理是动态的（如 \(A=1\) if \(Z>z\)）。有效调整集必须包含 \(Z\)，因此是 \(\{Z\}\) 或 \(\{Z,G\}\)。 * 复杂DAG例子（幻灯片第8页）： * 展示了存在最小调整集（如\(\{H1, H2\}\), \(\{T\}\)等）和最小尺寸调整集（如\(\{T\}\), \(\{R\}\)）。调整集的类别不是唯一的，它们无法直接比较。

[0:15 - 0:29] 背景：因果图模型与调整集形式化 * 因果DAG模型：非参数因果（agnostic）模型，假设事实世界的分布根据图分解，干预世界的分布由截断公式（truncation formula）给出。本报告专注于单点暴露（univariate A）。 * Z-调整集的定义：\(L\) 是 \(Z\)-调整集，需满足 (i) \(Z \subseteq L\); (ii) 对于任何依赖于 \(Z\) 的处理 regime \(\pi(a|z)\)，干预均值可由G-formula用 \(L\) 识别（即对于任何函数 \(h(Y)\)）。 * 非参数 L-调整估计量：用非参数方法估计 \(E(Y|A,L)\) 和/或 \(P(A|L)\) 的G-formula估计量。 * 调整集的图特征： * 后门准则 (Pearl, 1995): 充分但不完备。 * 广义调整准则 (Shpitser, Perkovic等人): 充分且完备。 * 关键结论：所有 \(Z\)-调整集 = 所有包含 \(Z\) 的静态调整集。这为通过枚举静态调整集（van der Zander et al., 2019算法）来找到 \(Z\)-调整集提供了理论依据。 * 异步方差与影响函数： * 关键点（本报告理论基石）：在适当复杂度条件（如Donsker类）下，所有正则、渐近线性的 L-NPA 估计量收敛到相同的正态分布，其渐近方差 \(\sigma^2_{\pi,L}(p)\) 等于该G-functional在非参数模型下的唯一影响函数的方差。 * 这提供了一个统一的比较标准：比较不同调整集 \(L\) 的渐近方差，等价于比较它们对应影响函数的方差。

[0:29 - 0:50] 主要结果 * 结果1: 精度变量的添加（Supplementation） [0:29] * 若 \(B\) 是 \(Z\)-调整集，且 \(G\) 在给定 \(B\) 下与 \(A\) \(d\)-分离，则 \(\{B,G\}\) 也是 \(Z\)-调整集，且对于所有 \(P\) 和所有 \(\pi\)，有 \(\sigma^2_{\pi, B \cup G}(p) \le \sigma^2_{\pi, B}(p)\)。添加一个不预测处理的变量永远不会伤害（can never hurt）。 * 静态ATR公式：方差减少量 \(\propto E \left[ \frac{Var(Y|A=a,B)}{P(A=a|B)} - \frac{Var(Y|A=a,B,G)}{P(A=a|B)} \right]\)。直觉上，当 \(G\) 是\(Y\) 的强预测变量，且 \(B\) 中 \(P(A=a|B)\) 小的层（即处理稀少层）时，减少最显著。这复现了Hahn (1998) 的经典结论。 * 结果2: 过调整变量的去除（Deletion） [0:33] * 若 \(\{B,G\}\) 是 \(Z\)-调整集，且 \(B\) 在给定 \(\{G,A\}\) 下与 \(Y\) \(d\)-分离（即\(B\)不进一步预测\(Y\)），则 \(G\) 也是 \(Z\)-调整集，且 \(\sigma^2_{\pi, G}(p) \le \sigma^2_{\pi, B \cup G}(p)\)。去除一个不预测结果的变量可以降低方差。 * 结果3: 排序引理（Corollary） [0:35] * 若两个调整集 \(G\) 和 \(B\) 满足：(i) \(G \backslash B\) 不预测 \(A\) (clear sign); (ii) \(B \backslash G\) 不预测 \(Y\) ( weak arrow), 则 \(G\) 总是优于或等于 \(B\)。证明通过添加删减序列实现。这提供了一个图上的可检验条件来比较调整集。 * 结果4: 全局最优调整集（O-set） [0:38] * 静态处理：设 \(O\) 为所有非后代（non-descendants） 的、且是 \(Y\) 或其中介变量的父节点（parents） 的集合。Henckel et al. (2019) 在线性OLS框架下证明 \(O\) 是全局最优的。本报告的核心贡献：证明了这个结论在非参数调整估计中同样成立。因为 \(O\) 满足上面排序引理中的条件(i)(ii)（\(O\) 中的变量是precision variables，不预测\(A\)；\(O\) 外的变量预测\(A\)但不预测\(Y\)，可以安全删除），所以 \(O\) 是全局最优静态调整集。 * \(Z\)-动态处理：全局最优 \(Z\)-调整集为 \(O \cup Z\)。 * 示例：在运动热身图上，最优集是{年龄，性别，以前受伤情况？}（具体变量依赖于图结构）。讲者当时口述了一个例子被ASR听错，但幻灯片第4-5页显示了正确的结构。 * 结果5: 最优最小调整集 [0:43] * 如果用户希望使用最小调整集（即无法再删除任何变量而不破坏有效性），那么\(O\) 集合本身包含一个唯一的最小调整集。该最小集可以借由从 \(O\) 中递归删除与 \(A\) 条件独立的变量得到。讲者称这个最小调整集为 \(O_{\text{min}}\)，它是最优最小调整集。 * 存在隐变量的情形 [0:44]（快节奏，语速快，难抓全） * 负面结果：存在隐变量时，在所有可观测调整集中，全局最优调整集可能不存在。因为两个候选集（如空集 vs. \(\{L1,L2\}\)）的优越性依赖于无法被图固定的参数值（如隐变量 \(U\) 与 \(A\) 和 \(Y\)之间的关联强度）。 * 正面结果：但最优最小调整集和最优最小尺寸调整集在可观测集中总是存在的（只要至少有一个可观测调整集）。论文提供了多项式时间算法（基于latent projected undirected moralized graph）来找到它们。 * [0:47] 讲者简短提到半参数效率（Semiparametric Efficiency）结果：在某些图结构下，仅使用最优调整集进行非参数调整就能达到半参数效率界（即即使你测量了所有图上的变量，也无法做得更好）。这对应2020年JMLR论文的核心结果之一（第4-5节）。 * [0:48] 开放问题：讲者快速提到时间依赖混淆（Time-dependent confounding）和多重处理（multiple treatment）情形下，即使无隐变量，全局最优调整集也可能不存在，这是一个更复杂的情景。同时，强调了成本约束下的调整集选择问题（cost of measurement），作为未来方向。

[0:50 - 1:06] 讨论环节（由Ema Perkovic 主持） * Perkovic 的讨论提及了这些结果与线性SEM框架下结果的一致性，以及对CPDAG（部分有向无环图，代表等价类） 的推广展望。她提了一个开放问题：如何将本报告关于时间依赖调整的结果推广到CPDAG。 * 讲者Rotnitzky在回应中强调了其工作与Henckel et al. (2019)在假设上的区别（线性vs.非参），并认为CPDAG视角更适用“事后数据分析”，而非“研究设计”（因为设计阶段图是通过专家先验给定的，不是从数据学习的）。她也预告了与Perkovic合作的新工作（关于半参数效率中哪些变量不可忽略）。

四、对应论文与开放问题

(a) 对应论文

  • 核心论文1：Rotnitzky, A., & Smucler, E. (2020). Optimal adjustment sets in non-parametric graphical causal models. Journal of Machine Learning Research, 21(188), 1-86.
    • 对应报告中大部分理论结果（补充、删除、O-set最优性、半参数效率）。
  • 核心论文2：Smucler, E., Sapienza, F., & Rotnitzky, A. (2021). Efficient adjustment sets in non-parametric graphical causal models with hidden variables. Biometrika, 109(1), 149-166. https://doi.org/10.1093/biomet/asab018
    • 对应报告中关于隐藏变量的结果（可观测O-set可能不存在，但最优最小/最小尺寸调整集存在及其算法）。
  • 直接先驱工作：Henckel, L., Perkovic, E., & Maathuis, M. H. (2019). Graphical criteria for efficient total effect estimation via adjustment in causal linear models. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology), 81(5), 1069-1092.
  • 枚举算法工作：van der Zander, B., Liśkiewicz, M., & Textor, J. (2019). A complete and efficient algorithm for enumerating all valid back-door adjustment sets. Journal of Artificial Intelligence Research, 65, 789-810.

(b) 开放问题

  • 成本约束下的最优调整集 (时间线: 0:48)： > "assume the cost of an adjustment set is cl... we want to find the adjustment set that minimizes... over all... cost constraint... we don't think this problem is solvable..." 这是一个尚无通用解的问题：当每个变量的测量成本不同时，如何在预算约束下找到方差最小的调整集（对所有分布而言）。
  • 半参数效率的完备特征 (时间线: 0:47, 讨论中提及)： > "...we have a complete and sound algorithm to determine when you don't really need to measure all the other variables... attains the semiparametric efficiency bound..." 虽然论文给出了达到效率界的充分条件（某些图下O-set就够），但在更一般图中，如何系统性地判断哪些变量是高效估计所必须测量的，是开放问题（讲者提到有相关工作在进展）。
  • 多重处理与时间依赖混淆 (时间线: 0:48)： > "...multiple treatment and time dependent confounding... not so exciting because there are graphs which not even a globally optimal adjustment set exists..." 当存在多个顺序处理变量时，定义和寻找单一最优调整集本身就有困难，甚至可能不存在。如何为一个时间序列的因果关系设计高效的调整策略是开放领域。
  • 等价类（如CPDAG）上的推广 (讨论环节, 时间线: 0:55)： > (Perkovic) "when can you extend these results to these equivalence classes... an interesting open question here is how you would identify what is this time dependent variable adjustment set..." 当一个因果图是从数据中学习的（因此是不确定的等价类，如CPDAG）时，本报告的结论（如O-set的定义、算法）如何推广到这类图上？特别是对于时间依赖的调整。

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