Selecting and Testing Asset Pricing Models: A Stepwise Approach¶

讲者: Jun Zhang
会场: Statistical Methods for Empirical Asset Pricing
报告题目: Testing Asset Pricing Factor Models: An Out-of-Sample Perspective
链接: arXiv
来源: JCSDS 2026 · 返回会议总览

一、领域脉络与小综述¶

这个方向是什么：资产定价因子模型选择与测试。根本问题是：在大量候选因子（“因子动物园”）中，如何找到一个稀疏的、可解释的因子模型，使其能同时“定价”所有候选因子和测试资产（即模型均值-方差有效，且无跨截面定价误差）。当前成熟度：实证上，传统因子模型（如FF3、FF5）几乎全被拒绝；方法上，已有贝叶斯、收缩、PCA等方法，但缺乏一个将模型比较、选择与统计检验系统整合的框架。
发展脉络（history）：
- 奠基工作：Gibbons, Ross, and Shanken (1989) 提出GRS检验，将“因子模型是否有效”等价于“因子模型是否张成所有资产的均值-方差有效前沿”，并给出检验统计量。这是整个领域的统计基础。
- 模型比较的SR²视角：Barillas and Shanken (2017, 2018) 证明，比较两个非嵌套因子模型时，测试资产是无关的，只需比较模型自身的最大平方夏普比率（SR²）。这简化了模型比较，但未解决“如何从大量因子中选出最优模型”的问题。
- 因子选择方法：Feng, Giglio, and Xiu (2020) 用LASSO从因子动物园中筛选因子；Chib, Zhao, and Zhou (2024) 用贝叶斯方法；Bryzgalova, Huang, and Julliard (2023) 用贝叶斯模型平均。这些方法关注统计拟合或投资表现，但作者指出它们“often neglecting their cross-sectional pricing performance in asset pricing tests”（引言），即未将“模型能否通过资产定价检验”作为选择标准。
- 高维alpha检验：Pesaran and Yamagata (2023) 提出HDA检验，解决了GRS检验在高维（大量测试资产）下功效不足的问题。这为在大量候选因子中做停止规则提供了统计工具。
- 本文位置：本文提出一个两步法（前向FSE + 后向BSE），将因子选择（基于SR²最大化/GRS最小化）与模型检验（基于HDA检验）整合在一个逐步框架中。它声称能一致地选出最优模型（定理1和2），并用美国股市数据展示了一个8因子模型。
子线索聚类：
1. 模型比较与效率检验：GRS检验 (Gibbons et al., 1989)、SR²比较 (Barillas and Shanken, 2017, 2018; Barillas et al., 2020)、高维alpha检验 (Pesaran and Yamagata, 2023; Fan et al., 2015)。这一簇关注“如何判断一个模型是否有效”以及“如何比较两个模型”。
2. 因子选择方法：LASSO (Feng et al., 2020)、贝叶斯方法 (Chib and Zeng, 2020; Chib et al., 2024; Bryzgalova et al., 2023)、逐步回归 (Harvey and Liu, 2021)。这一簇关注“如何从大量因子中选出一个子集”。
3. 潜因子模型：PCA (Kozak et al., 2018; Kelly et al., 2019; Lettau and Pelger, 2020a,b)、深度学习 (Gu et al., 2021)。这一簇不直接选择可观测因子，而是构造潜因子。
这个方向在追问的核心问题：
1. 模型有效性：给定一个因子模型，它是否张成了所有候选因子和测试资产的联合有效前沿？（即alpha是否联合为零？）
2. 模型比较：当两个模型都非有效时，哪个“更接近”有效前沿？（SR²比较）
3. 模型选择：如何从一个基线模型出发，通过添加/删除因子，找到一个既有效又稀疏的模型？
4. 高维挑战：当候选因子数量N很大时，如何设计有足够功效的检验和一致的选择方法？
⚠️ 作者的 framing：
- 作者把缺口 frame 成：现有因子选择方法（如LASSO、贝叶斯）只关注统计拟合或投资表现，而忽略了“资产定价测试”这一经济上更重要的标准。本文的框架通过将未选中的候选因子也作为测试资产，并利用HDA检验作为停止规则，将模型选择与资产定价测试直接挂钩，从而成为“显然的下一步”。
- 被淡化或回避的竞争路线：作者将贝叶斯方法（Chib et al., 2024）和收缩方法（Bryzgalova et al., 2023）定位为“limited to a small number of factors”或“sensitive to the choice of test assets”。但作者并未深入讨论这些方法在特定设定下（如因子数较少时）是否可能比逐步回归更优，也未讨论逐步回归的“贪婪”性质在理论上可能导致的次优解（尽管BSE被设计来缓解此问题）。
- 什么明显该被引/该存在、却没出现在intro里？：作者引用了Wang (2009) 的forward regression，但未引用更近期的、关于逐步回归在高维设定下理论性质（如模型选择一致性）的统计文献。此外，关于“统计-计算权衡”的文献（如低度多项式障碍）完全缺席，尽管本文的逐步回归是一个计算上高效（多项式时间）的算法，其与信息论最优（但计算困难）的贝叶斯方法之间的差距是一个潜在的高价值问题。
张力：未见明显对立引用。所有被引工作基本都承认“因子模型难以通过资产定价测试”这一事实，并试图从不同角度解决。本文的贡献在于提供了一个系统性的、将选择与测试结合的框架。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题¶

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚¶

符号：
- N: 候选因子总数。
- T: 时间序列长度（月份数）。
- F_t = (f_{1,t}, ..., f_{N,t})^T ∈ R^N: 时刻t所有候选因子的收益向量。
- M ⊂ {1, ..., N}: 一个因子模型，即选中的因子索引集合。
- F(M)_t ∈ R^{|M|}: 模型M在时刻t的因子收益向量。
- F(¬M)_t ∈ R^{N-|M|}: 未选中的候选因子在时刻t的收益向量。
- α(¬M) ∈ R^{N-|M|}: 将未选中因子对选中因子做回归的截距项向量（alpha）。这是要检验的对象。
- β(¬M) ∈ R^{|M| × (N-|M|)}: 回归系数矩阵（beta）。
- ε(¬M)_t ∈ R^{N-|M|}: 回归残差。
- SR²(x): 资产组合x的最大平方夏普比率。
- GRS(M): 检验模型M是否有效的GRS统计量。
- HDA(M): 检验模型M是否有效的高维alpha统计量。
- T: 最优模型（唯一且最小，包含所有SDF中的风险因子）。这是要估计的目标。
模型：
- 因子跨度回归：对于任意候选模型M，将未选中的因子F(¬M)_t对选中的因子F(M)_t做线性回归： F(¬M)_t = α(¬M) + β(¬M)^T F(M)_t + ε(¬M)_t
- 核心假设：如果模型M是有效的（即M ⊇ T），则α(¬M) = 0。这意味着选中因子张成的有效前沿已经包含了所有未选中因子和测试资产的信息。如果M ⊉ T，则α(¬M) ≠ 0。
- 数据生成：假设因子收益F_t是平稳的，且满足一定的矩条件和混合条件（见附录假设2-4）。残差ε(¬M)_t独立于F(M)_t。
可观测数据：
- 可观测：所有候选因子在T个时间点上的收益序列{F_t}_{t=1}^T。这是研究者能直接获得的全部数据。
- 想要但观测不到：最优模型T本身。它是由数据生成过程决定的未知集合。研究者只能通过统计方法去推断它。

第二步：讲最小内核¶

最简特例：假设只有N=3个候选因子：f_1（市场因子MKT），f_2，f_3。最优模型T = {1, 2}（即MKT和f_2是真正的风险因子，f_3是冗余的）。基线模型M_b = {1}（只有MKT）。

核心思路：从基线模型M_b开始，通过逐步添加因子，直到模型通过资产定价检验（HDA检验不拒绝α=0）。

第一步（FSE）：
- 候选模型：考虑两个候选模型：M_2 = {1, 2}和M_3 = {1, 3}。
- 选择标准：计算每个候选模型的SR²。选择使SR²增加最多的那个因子。在这个特例下，由于f_2是真正的风险因子，SR²({1,2})应该显著大于SR²({1,3})。因此，选择因子f_2，得到模型M^{(1)} = {1, 2}。
- 停止规则：对模型M^{(1)}进行HDA检验。此时，未选中的因子是f_3。由于M^{(1)} = T，根据假设，α(f_3 | f_1, f_2) = 0。HDA检验统计量应小于临界值，因此不拒绝原假设，停止添加因子。
第二步（BSE，可选）：
- 如果第一步得到的模型是M^{(1)} = {1, 2, 3}（即错误地添加了f_3），则进入BSE。
- 候选模型：考虑删除一个因子：M_{-1} = {2, 3}, M_{-2} = {1, 3}, M_{-3} = {1, 2}。
- 选择标准：选择删除后使SR²减少最少的那个因子。由于f_3是冗余的，删除它（得到M_{-3} = {1, 2}）对SR²的减少最小。
- 停止规则：对模型M_{-3}进行HDA检验。由于M_{-3} = T，HDA检验不拒绝，停止删除。

这个特例揭示了论文的核心数学操作：在每一步，通过比较不同候选模型的SR²（或等价的GRS值）来决定添加或删除哪个因子，并用HDA检验来判断当前模型是否已经达到有效前沿。整个框架就是把这个两步过程推广到高维（N很大）和一般基线模型。

三、这篇论文做了什么¶

三句话：
1. 研究了什么问题：如何从大量候选因子中，通过逐步添加和删除因子，找到一个能通过资产定价检验（即alpha联合为零）的最优稀疏因子模型。
2. 核心工具/方法：提出了一个两步法：前向逐步评估（FSE）和后向逐步评估（BSE）。FSE基于最大化SR²（等价于最小化GRS）来添加因子，BSE基于最小化SR²减少来删除因子。两者都使用Pesaran and Yamagata (2023)的高维alpha（HDA）检验作为停止规则。
3. 主要结论：在1973-2021年美国股市数据上，所有传统因子模型（CAPM, FF3, FF5等）均被HDA检验拒绝。通过FSE和BSE，最终得到一个8因子模型（MKT, REG, PEAD, HMLM, STR, ILR, SMB, EPRD），该模型无法被HDA检验拒绝，且在样本外表现出优于所有对比模型的夏普比率。
关键设定与假设：
- 设定：N个候选因子，T个时间点。目标是找到最优模型T，使得F(T)_t张成的有效前沿与所有候选因子F_t和测试资产R_t的联合有效前沿无显著差异。
- 关键假设（附录D.2）：
  - 假设1（速率）：最优模型大小|T| = O(N^{n1})，且N^{1+n2} log N = o(T)，其中n1 + 2n2 < 1/3。这保证了高维设定下方法的可行性。
  - 假设2（因子与协方差）：因子收益是平稳的、α-混合的，且协方差矩阵的特征值有界。这是时间序列分析的标准假设。
  - 假设3（截距与载荷）：这是最关键的假设。
    - (i) 如果模型M不包含所有风险因子（M ⊉ T），则至少有一个被遗漏的风险因子j的alpha平方α_j^2足够大（≥ C_a N^{-n2}）。反之，如果M ⊇ T，则所有未选中因子的alpha平方都很小（o(N^{-1/2}T^{-1})）。这个“信号强度”假设保证了FSE能识别出真正的因子，BSE不会错误地删除它们。
    - (ii) 未选中因子与选中因子之间的相关性（beta）有界。这允许因子之间存在相关性，但要求相关性不能太强以至于无法识别。
  - 假设4（残差）：残差独立同分布，且协方差矩阵正定。
主要结果：
- 定理1（筛选一致性）：在假设1-4下，FSE方法能以趋近于1的概率将所有风险因子包含在最终选出的模型M_b^F中，即P(T ⊂ M_b^F) → 1。这意味着FSE不会遗漏真正的风险因子。
- 定理2（选择一致性）：在假设1-4下，BSE方法能以趋近于1的概率从M_b^F中删除所有冗余因子，使得最终模型M_b^{F+B}等于最优模型T，即P(T = M_b^{F+B}) → 1。这意味着整个两步法能一致地选出最优模型。
- 实证结果：
  - 所有7个基线模型（CAPM, FF3, FF5, FF6, Q5, DHS3, BS6）均被HDA检验拒绝（表1）。
  - FSE为每个基线模型添加了5-8个因子，得到“扩展有效模型”（表2）。这些扩展模型均无法被HDA检验拒绝。
  - BSE从这些扩展模型中删除冗余因子，最终所有基线模型都收敛到同一个8因子模型（M8）（表4）。M8模型在样本内和样本外均表现出最高的夏普比率（表5, 表10）。
  - 在个体因子测试中，M8中的8个因子（尤其是REG和PEAD）有极高的选择率（接近100%），而其他因子选择率接近0%（表6, 表7）。
证明路线与技术技巧：
- 整体路线：
  1. FSE的筛选一致性（定理1）：
    - Step I：证明如果当前模型S^{(k)}不包含所有风险因子，那么下一步FSE一定会添加一个风险因子。核心是证明添加一个风险因子带来的GRS减少量Ω(k)有下界C_k N^{-n2}（公式A.6）。这个下界来自假设3(i)：被遗漏的风险因子的alpha足够大。通过反证法，如果连续O(N^{2n2})步都未添加风险因子，则GRS的累计减少会超过SR²的上界，导致矛盾。
    - Step II：证明HDA检验在模型不包含所有风险因子时（S^{(k)} ⊉ T）有趋近于1的检验功效（公式A.9）。核心是证明HDA统计量的非中心参数φ_k^2足够大（公式A.10, A.11），这同样依赖于假设3(i)中alpha的下界。
  2. BSE的选择一致性（定理2）：
    - 证明分为“过拟合”和“欠拟合”两种情况。
    - 过拟合（S^{(m)} ⊃ T）：证明HDA检验的功效趋近于0（公式A.12, A.14）。核心是当模型包含所有风险因子后，未选中因子的alpha都很小（假设3(ii)），导致HDA统计量无法超过临界值。这保证了BSE不会错误地停止删除。
    - 欠拟合（S^{(m)} ⊉ T）：证明HDA检验的功效趋近于1（公式A.12, A.15）。这与FSE的Step II类似，依赖于被遗漏风险因子的alpha足够大。这保证了BSE不会在模型仍欠拟合时停止删除。
- 关键跳跃点：证明的核心难点在于处理高维（N大）和因子间相关性。作者通过以下方式绕过：
  - 使用HDA检验而非GRS检验，避免了估计高维协方差矩阵的逆矩阵，从而在高维下仍有良好功效。
  - 假设3(i)中的“信号强度”条件（alpha下界）和假设3(ii)中的“相关性有界”条件，为证明提供了关键的定量保证。
  - 证明中大量使用了概率不等式和集中不等式（如引理1, 2），来处理样本协方差矩阵和估计量的收敛速度。
- 技术技巧点名：
  - HDA检验：Pesaran and Yamagata (2023)的二次型检验统计量，通过忽略协方差矩阵的非对角元素来避免高维逆矩阵估计，是处理高维测试资产的关键。
  - α-混合系数：用于处理因子收益的时间序列相关性（假设2(ii)）。
  - Bonferroni不等式：用于处理多个模型比较时的多重检验问题（引理1证明中）。
  - 集中不等式：如引理2中，用于证明估计量（如bα, bσ_ε）的收敛速度。
真实例子与应用：
- 数据：1973年1月至2021年12月的美国月度股票收益数据。使用了7个传统因子模型和97个候选因子（包括来自Hou et al. (2020)的74个因子）。测试资产为285个双变量排序的投资组合。
- 方法应用：
  1. FSE：以CAPM为基线，逐步添加因子。每一步，计算将每个未选中因子加入模型后的新模型的SR²，选择SR²增加最大的因子。重复此过程，直到HDA检验不拒绝当前模型。结果得到CAPM^F模型（8个因子）。
  2. BSE：从CAPM^F开始，逐步删除因子。每一步，计算删除每个因子后的新模型的SR²，选择SR²减少最小的因子。重复此过程，直到HDA检验拒绝当前模型（即再删除一个因子就会导致模型无效）。结果得到M8模型。
- 结果：
  - 所有基线模型都被拒绝，而所有扩展模型和最终的M8模型都无法被拒绝。
  - M8模型在样本内和样本外均实现了最高的夏普比率（2.73和1.53），显著优于所有对比模型（包括Q5, DHS3, LASSO, PCA等）。
  - 个体因子测试显示，M8中的因子（尤其是REG和PEAD）几乎在所有基线模型下都被选中，而其他因子则几乎从未被选中。
- 例子想说明什么：验证了所提方法的有效性（能选出通过检验的模型）和稳健性（不同基线模型最终收敛到同一个M8模型），并展示了M8模型在经济上的优越性（高夏普比率）。
🔎 结论是否比证明窄：
- 定理1和2的证明依赖于假设3(i)中“被遗漏风险因子的alpha有下界”这一关键条件。这个条件在现实中是否成立？如果存在一个真正的风险因子，其alpha相对于某个候选模型非常小（接近0），那么FSE可能无法将其识别出来，导致模型遗漏。作者在实证中声称M8模型是“最优的”，但理论上只能保证在假设下的一致选择，无法保证在现实中找到了“真正的”SDF。
- 定理2要求BSE的停止规则是“当HDA检验第一次被拒绝时停止”。但实证中，BSE的停止点（图4）是HDA检验从“不拒绝”变为“拒绝”的临界点。这个临界点的选择（5%显著性水平）是任意的，且可能影响最终模型的大小。作者在附录中声称对1%, 5%, 10%的显著性水平都做了稳健性检验，结果一致，但并未在正文中展示。
- 论文的结论“M8模型是有效的”是基于HDA检验的“不拒绝”。但统计上，“不拒绝”不等于“接受”。可能存在其他同样无法被拒绝的模型。作者通过BSE从不同基线模型出发都收敛到M8，增强了其稳健性，但并未从理论上证明M8的唯一性。

四、开放问题¶

理论上的“最优模型”唯一性：论文证明了BSE能一致地选出最优模型T，但并未证明T的唯一性。是否存在多个不同的稀疏模型，都能通过HDA检验？如果有，如何区分它们？这扎根于定理2的结论P(T = M_b^{F+B}) → 1，但该结论依赖于假设3(i)中alpha的下界，该下界可能不唯一。
HDA检验的有限样本性质：HDA检验的渐近正态性依赖于一些条件（如协方差矩阵的稀疏性）。在实证中，当N=97, T=588时，这些条件是否满足？HDA检验的有限样本功效和水平扭曲如何？这扎根于论文使用HDA检验作为停止规则，但对其有限样本性质讨论不足。
因子相关性的影响：论文的FSE方法通过逐步回归来处理因子相关性，但模拟（附录C）显示，当因子高度相关时，基于单因子SR²的简单方法（FSE(SR)）表现很差。虽然本文的FSE(HDA)更好，但理论上，因子相关性对FSE/BSE选择一致性的具体影响（如需要多强的信号才能克服相关性）并未被完全刻画。这扎根于假设3(ii)中“相关性有界”的条件，但未给出更精细的刻画。
与统计-计算权衡的联系：本文的逐步回归是一个多项式时间算法。是否存在一个信息论上最优（但计算困难）的模型选择方法，其能达到比逐步回归更低的样本复杂度（即更小的T或更弱的信号α）？本文的框架能否用来刻画资产定价模型选择中的“统计-计算权衡”？这扎根于论文未讨论的计算复杂度问题，以及研究者对“statistical-computational tradeoff”的兴趣。

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