High-dimensional normal approximations for sums of Langevin Markov chains¶

讲者: Xiaolin Wang
会场: Stein Method with Recent Advances
报告题目: High-Dimensional Normal Approximations for Sums of Langevin Markov Chains
链接: arXiv
来源: JCSDS 2026 · 返回会议总览

一、领域脉络与小综述¶

这个方向是什么¶

本文研究的根本问题是：如何量化一个高维马尔可夫链（具体为Langevin Monte Carlo算法生成的链）的部分和（partial sum）向多元正态分布的收敛速度，且该收敛速度必须显式依赖于状态空间的维数 \(d\) 和样本量（链长）\(n\)。这是一个典型的“高维概率”与“计算统计”交叉的问题：一方面，高维正态近似（CLT with dimension）是近十年来高维统计推断的理论基石；另一方面，Langevin Monte Carlo (LMC) 是当前高维贝叶斯采样和生成式建模的核心算法之一。本文试图将这两条独立发展的线索——高维CLT与LMC的收敛分析——首次结合起来。

发展脉络（history）¶

奠基工作：经典Berry-Esseen与多变量推广。 - Berry-Esseen定理（独立同分布情形，\(O(n^{-1/2})\)）是起点。多变量推广由 Bentkus (2003, 2004) 和 Raic (2019) 完成，给出对凸集的界 \(O(d^{7/4} / \sqrt{n})\)。但该界在 \(d \gg n\) 时失效。 - Chernozhukov, Chetverikov, Kato (2013) 实现了突破：对超矩形（hyperrectangles）类，在温和正则性条件下得到 \(O((\log d n)^{7/8} / n^{1/8})\)，允许 \(p \gg n\)。这是高维CLT领域的里程碑，开启了“用Gauss近似或bootstrap近似高维统计量分布”的现代路线。

主要进展：向 \(n^{-1/2}\) 速率的推进。 - 随后一批工作通过利用随机向量的正则性（如次高斯性、log-concavity）将速率提升至 \(O(n^{-1/2})\) 量级（至多带 \(\log n\) 因子）。关键文献包括 Lopes (2022)（“隐式平滑”Lindeberg插值）、Kuchibhotla and Rinaldo (2020)（非奇异协方差下的 \(n^{-1/2}\) 率）、以及 Fang and Koike (2024a, 2024b)。特别是 Fang and Koike (2024b) 对log-concave随机向量得到 \(O((\log d)^{3/2} \log n / \sqrt{n})\) 的界，且证明该界在rate意义上最优（见其Proposition 1.2）。Fang and Koike (2024a) 进一步处理了退化协方差情形，并考虑了局部依赖结构。

当前Frontier：从独立到依赖。 - 上述所有高维CLT结果均假设随机向量独立（或至多局部依赖）。对于强依赖的马尔可夫链（如LMC链），高维正态近似理论几乎是空白。本文正是填补这一空白：将高维CLT从独立情形推广到Langevin马尔可夫链的全局依赖情形。

Langevin采样收敛性分析（平行线索）。 - 连续时间Langevin扩散的收敛率（如(1.3)式，\(W_2\) 距离下指数收敛，与 \(d\) 无关）由 Bakry et al. (2008, 2014)、Cattiaux and Guillin (2009)、Eberle (2015) 等建立，工具为Poincaré不等式或耦合。 - 离散化LMC的非渐近误差（\(\pi_\eta\) 与 \(\pi\) 的距离）由 Dalalyan (2017)（TV距离）、Durmus and Moulines (2017, 2019)（加权TV、\(W_2\)）、Fang, Shao, Xu (2019)（\(W_1\)）等建立。这些工作给出 \(W_2(\pi_n, \pi)\) 的显式界，其中离散化误差项含 \(O(\eta d)\) 或 \(O(\eta^2 d)\)。 - Altschuler and Talwar (2024) 进一步研究了 \(\pi_\eta\) 本身的浓度性质（次指数/次高斯性），这是本文引用的“第一步”。

本文的位置：本文是上述两条线索的首次交汇。它研究的是LMC链的部分和（而非单个迭代的分布）的高维正态近似，这是此前任何工作都未触及的问题。

子线索聚类¶

高维CLT（独立情形）：Chernozhukov et al. (2013), Lopes (2022), Kuchibhotla and Rinaldo (2020), Fang and Koike (2024a, 2024b)。核心工具：Stein方法、Lindeberg交换、隐式平滑、log-concave性质。
LMC收敛分析：Dalalyan (2017), Durmus and Moulines (2017, 2019), Fang et al. (2019), Altschuler and Talwar (2024)。核心工具：泛函不等式、耦合、Jacobi流。
Stein方法在依赖数据上的应用：Fang and Koike (2022)（交换对方法，用于Wishart矩阵等）、Fang et al. (2019)（Bismut公式，用于Langevin扩散的CLT）。本文的Theorem 3.2属于此线索的延伸。

这个方向在追问的核心问题¶

高维CLT的依赖结构极限：当随机向量是强依赖的马尔可夫链时，Gauss近似的误差界是什么？维数 \(d\) 和链长 \(n\) 如何权衡？
LMC链的统计推断：能否基于LMC链的部分和构造高维置信区域或假设检验？这需要部分和的CLT。
速率的最优性：本文得到的界（如 \(d^{5/2} (n\eta)^{-1/2}\)）是否在 \(d\) 和 \(n\) 上最优？与独立情形（\(d^{7/4}/\sqrt{n}\)）的差距是本质的还是技术性的？

⚠️ 作者的framing¶

作者将缺口frame成：“高维CLT只处理了独立或局部依赖情形，而LMC链是全局依赖的，且此前没有任何维数显式的收敛速率。” 因此本文成为“显然的下一步”。作者淡化了以下竞争路线： - 直接对LMC链应用独立情形的CLT（如将链视为近似独立？）——作者未讨论。 - 使用批量均值（batch means）或谱方差估计的CLT——这些是MCMC推断的经典方法，但作者未提及。 - 什么明显该被引/该存在、却没出现在intro里？：本文未引用任何关于马尔可夫链中心极限定理（Markov chain CLT） 的经典文献（如Jones (2004), Haggstrom (2005), 或更早的Kipnis and Varadhan (1986)）。这些文献处理的是固定维数下MCMC部分和的渐近正态性，但未给出维数显式界。作者可能认为这些工作与“高维”目标无关，但作为背景，它们的缺失值得研究者去查证。

张力¶

未见明显对立引用。各子线索内部结果一致（如独立高维CLT的速率逐步改进），且LMC收敛分析也有一致结论。唯一可能的张力在于：独立高维CLT的最优速率（\(d^{7/4}/\sqrt{n}\)）与本文得到的速率（含 \(d^{5/2}\) 项）之间的差距——这是技术限制还是本质困难？作者未讨论。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题¶

第一步：符号、模型、可观测数据交代清楚¶

符号：
\(d\)：状态空间维数（高维）。
\(n\)：LMC链的迭代次数（样本量）。
\(\eta\)：LMC的步长（step size）。
\(X_k \in \mathbb{R}^d\)：LMC算法第 \(k\) 步的迭代值（随机变量）。
\(\pi(x) \propto e^{-U(x)}\)：目标分布（连续、强凸势能）。
\(\pi_\eta\)：离散LMC链的平稳分布（与 \(\pi\) 不同）。
\(W_n = \eta^{1/2} n^{-1/2} \sum_{i=0}^{n-1} (X_i - \mathbb{E}_\pi[X])\)：部分和（中心化、缩放后的），是本文研究的对象。
\(\Sigma\)：\(W_n\) 的渐近协方差矩阵（\(d \times d\)，正定，由(1.9)定义）。
\(\gamma\)：\(d\) 维标准正态分布 \(N(0, I_d)\)。
\(W_1(\cdot, \cdot)\)：1-Wasserstein距离。
\(\xi_k \sim N(0, I_d)\)：LMC算法中的独立高斯噪声。
\(\nabla U(x)\)：势能梯度。
\(\nabla^2 U(x)\)：Hessian矩阵。
\(\alpha, \beta\)：强凸参数和光滑参数（\(0 < \alpha \le \beta\)）。
\(M\)：三阶及以上导数的上界。
\(\varphi_i(x)\)：Stein方程 \(A\varphi_i = h_i - \pi(h_i)\) 的解，其中 \(h_i(x) = x_i\)（坐标映射），\(A\) 是Langevin扩散的生成元。
模型：
连续时间：Langevin SDE \(dX_t = -\nabla U(X_t) dt + \sqrt{2} dB_t\)，其不变分布为 \(\pi\)。
离散时间（LMC）：\(X_{k+1} = X_k - \eta \nabla U(X_k) + \sqrt{2\eta} \xi_{k+1}\)。这是Euler-Maruyama离散化。
假设：\(U\) 是 \(\alpha\)-强凸、\(\beta\)-光滑的，且五阶连续可微，三至五阶导数有界（Assumption 1.1）。步长 \(\eta \le \alpha/(2\beta^2)\)。初始分布 \(X_0 \sim \pi_\eta\)（链处于平稳）。
可观测数据：
研究者实际能观测到的是LMC链的迭代值 \(\{X_0, X_1, \dots, X_{n-1}\}\)，以及步长 \(\eta\)、势能梯度 \(\nabla U\)（通过Oracle查询）。
想要但观测不到的是：
1. 目标分布 \(\pi\) 的均值 \(\mathbb{E}_\pi[X]\)（需估计）。
2. 渐近协方差 \(\Sigma\)（需估计）。
3. 链的平稳分布 \(\pi_\eta\)（未知，与 \(\pi\) 不同）。
4. 潜在的反事实量：若使用不同步长或不同初始值，链的轨迹会如何变化。

第二步：最小内核——线性情形（Theorem 2.1）¶

本文的一般设定（非线性 \(\nabla U\)）非常复杂。但论文在Section 2中给出了一个最简特例：\(\nabla U(x) = A x\)，其中 \(A\) 是正定矩阵。此时LMC链退化为一个线性高斯自回归过程（VAR(1)）。在这个特例下，几乎所有技术困难都消失了，核心思路一目了然。

在这个特例下： - LMC更新公式变为：\(X_{k+1} = (I_d - \eta A) X_k + \sqrt{2\eta} \xi_{k+1}\)。 - 这是一个线性系统，解可显式写出：\(X_k = \sqrt{2\eta} \sum_{i=0}^k (I_d - \eta A)^{k-i} \xi_i\)（假设 \(X_0=0\) 或类似）。 - 部分和 \(W_n\) 可以写成独立高斯随机向量的加权和（见(2.3)式）：

\[W_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=0}^{n-1} Z_k, \quad Z_k = \sqrt{2} A^{-1} [I_d - (I_d - \eta A)^{n-k}] \xi_k.\]

这里 \(\xi_k\) 是独立标准正态向量，因此 \(Z_k\) 是独立高斯向量（均值为0，协方差可算）。

核心命题退化为：\(W_n\) 本身是高斯向量（因为独立高斯之和仍是高斯），所以 \(W_n\) 与正态分布 \(\gamma\) 的Wasserstein距离完全由协方差匹配误差决定。即：
\[W_2(\Sigma^{-1/2} W_n, \gamma) = W_2(\Sigma^{-1/2} W_n, \Sigma_n^{-1/2} W_n) \le \|\Sigma^{-1/2} - \Sigma_n^{-1/2}\|_{\text{op}} \sqrt{\mathbb{E}|W_n|^2},\]
其中 \(\Sigma_n = \text{Cov}(W_n)\)，\(\Sigma = \lim_{n\to\infty} \Sigma_n\)。
证明怎么走：
计算 \(\Sigma_n\) 和 \(\Sigma\) 的显式表达式（Lemma 2.2）。
证明 \(\|\Sigma_n - \Sigma\|_{\text{op}} \le C n^{-1} \eta^{-1} d\)（由矩阵范数不等式和 \(X_0\) 的二阶矩有界得到）。
利用矩阵平方根的Lipschitz性质（Higham, Theorem 6.2）得到 \(\|\Sigma_n^{-1/2} - \Sigma^{-1/2}\|_{\text{op}} \le C \|\Sigma_n - \Sigma\|_{\text{op}}\)。
结合 \(\mathbb{E}|W_n|^2 = \text{tr}(\Sigma_n) \le C d\)，得到 \(W_2(\Sigma^{-1/2} W_n, \gamma) \le C n^{-1} \eta^{-1} d^{3/2}\)。
代入 \(n = \lfloor \eta^{-p} \rfloor\) 得到 Theorem 2.1 中的第一项 \(C n^{1/p - 1} d^{3/2}\)。
为什么成立：因为线性+高斯性，\(W_n\) 本身就是高斯的，所以CLT是精确的（无需Stein方法），唯一误差来自有限样本协方差与极限协方差的偏差。这个偏差由链的几何遍历性（\((I_d - \eta A)\) 的谱半径 < 1）控制，且与 \(d\) 的依赖来自迹的维数。

这个最小内核揭示了整篇论文的核心数学困难：当 \(\nabla U\) 非线性时，\(W_n\) 不再是高斯的，且不能写成独立随机向量的和。因此必须引入Stein方法处理依赖结构，并处理一个复杂的余项。线性情形是“无余项”的理想情况，其速率（\(d^{3/2} n^{1/p-1}\)）远优于一般情形的速率（\(d^{5/2} (n\eta)^{-1/2}\)），这直观说明了非线性带来的代价。

三、这篇论文做了什么¶

三句话¶

研究了什么问题：对于Langevin Monte Carlo算法生成的马尔可夫链，给出了其部分和 \(W_n\) 向高维标准正态分布 \(\gamma\) 的1-Wasserstein距离的显式上界，该上界显式依赖于维数 \(d\)、链长 \(n\) 和步长 \(\eta\)。
核心工具/方法：发展了一个基于交换对（exchangeable pair） 的Stein方法新变体（Theorem 3.2），该变体通过构造一个辅助变量 \(D\) 来简化对依赖结构的处理；并将 \(W_n\) 分解为鞅部分 \(H_n\) 和余项 \(R_n\)，分别用Stein方法和随机计算控制。
主要结论：在势能强凸、光滑且高阶导数有界的假设下（Assumption 1.1），当步长 \(\eta \le \alpha/(2\beta^2)\) 且链处于平稳时，有
\[W_1(\Sigma^{-1/2} W_n, \gamma) \le C \left[ d^{5/2} (n\eta)^{-1/2} + n^{-1/2} d^{3} \log(nd) + \eta^{1/2} d^{3} + \eta^{3/2} n^{1/2} d^{5/2} \right].\]
特别地，当 \(n = \lfloor \eta^{-p} \rfloor\)（\(1 < p < 3\)）时，该界可简化为 \(d^{5/2}\) 乘以 \(n\) 的幂次项（Corollary 1.5）。

关键设定与假设¶

Assumption 1.1（完整设定）：
(i) \(U\) 五阶连续可微。
(ii) \(\nabla U(0) = 0\)（可放松为 \(\|\nabla U(0)\|_2 \le C d\)，见Remark 1.3）。
(iii) \(U\) 是 \(\alpha\)-强凸且 \(\beta\)-光滑：\(\alpha I_d \preceq \nabla^2 U \preceq \beta I_d\)。
(iv) \(\|\nabla^3 U\|_{\text{op}}, \|\nabla^4 U\|_{\text{op}}, \|\nabla^5 U\|_{\text{op}} \le M\)（一致有界）。
相比已有文献：
相比独立高维CLT（如Fang and Koike 2024b）：本文需要更强的正则性（五阶导数有界 vs. log-concavity），因为需要控制Jacobi流的高阶矩（Lemma A.1）。
相比LMC收敛分析（如Dalalyan 2017）：本文额外需要三至五阶导数有界，这是为了确保Stein方程解 \(\varphi_i\) 的四阶导数有界（Proposition 3.4），从而控制余项中的高阶泰勒展开。
统计含义：
强凸性保证链的几何遍历性（指数混合），这是控制依赖结构的关键。
高阶导数有界保证Jacobi流的高阶矩指数衰减（Lemma A.1），这是Stein方法中泰勒余项可积的基础。
步长 \(\eta \le \alpha/(2\beta^2)\) 确保离散化后的链仍保持几何遍历性（谱半径 < 1）。

主要结果¶

Theorem 1.2（主定理）：给出了 \(W_1(\Sigma^{-1/2} W_n, \gamma)\) 的上界（见上文三句话）。
直觉：四项分别对应：
1. \(d^{5/2} (n\eta)^{-1/2}\)：鞅部分 \(H_n\) 的CLT误差（来自Stein方法，与独立情形类似但维数指数更高）。
2. \(n^{-1/2} d^{3} \log(nd)\)：交换对构造中 \(D\) 和 \(\delta\) 的矩控制（来自对数修正项）。
3. \(\eta^{1/2} d^{3}\)：离散化误差（来自余项 \(R_n\) 中的二阶项）。
4. \(\eta^{3/2} n^{1/2} d^{5/2}\)：离散化误差的高阶项（来自余项中的三阶项）。
必要条件：\(\Sigma\) 正定（Lemma 1.7），确保 \(\Sigma^{-1/2}\) 良定义。
解决的技术难点：处理全局依赖（非独立）下的高维CLT，这是首次。
Theorem 2.1（线性情形）：\(W_2\) 距离的界，速率更快（\(d^{3/2} n^{1/p-1}\)），且当初始分布为高斯时，误差仅来自协方差偏差（无Stein误差）。
Corollary 1.5：当 \(n = \lfloor \eta^{-p} \rfloor\) 时，主定理的界简化为 \(d^{5/2}\) 乘以 \(n\) 的幂次项，便于理解 \(n\) 和 \(\eta\) 的权衡。

证明路线与技术技巧¶

整体路线（Section 3）：

Step 1: 分解。将 \(W_n\) 分解为鞅部分 \(H_n\) 和余项 \(R_n\)（(3.11)式）。\(H_n\) 是 \(\xi_k\) 的鞅差序列和，\(R_n\) 包含6项，来自对 \(W_n\) 的泰勒展开和Stein方程的应用。
Step 2: 控制鞅部分。对 \(H_n\) 应用Stein方法（Theorem 3.2），得到 \(W_1(\Sigma^{-1/2} H_n, \gamma)\) 的界（Proposition 3.5）。
子步骤2a: 构造交换对。随机选取一个索引 \(I\)，将 \(\xi_I\) 替换为独立副本 \(\xi'_I\)，得到 \(H'_n\)。定义 \(D\) 和 \(\delta = H'_n - H_n\)（(3.12)-(3.13)）。
子步骤2b: 验证Assumption 3.1。计算条件期望 \(\mathbb{E}[D | X]\) 和 \(\mathbb{E}[D \delta^\top | X]\)，得到 \(\Xi\)（(3.14)）。关键：通过构造，\(\mathbb{E}[D | X] = \lambda W\) 精确成立（无余项 \(R_1\)），这是本文Stein方法变体的优势（见Remark 3.3）。
子步骤2c: 估计 \(\sqrt{d} \mathbb{E}\|\Xi\|_{\text{HS}}\)。将 \(\Xi\) 分解为三项（\(R_1, R_2, R_3\)），分别用协方差估计（Lemma 3.7）、\(\chi^2\) 矩、和链的几何混合（(3.19)）控制。
子步骤2d: 估计 \(\mathbb{E}[|D| |\delta|^2 (|\log|\delta|| \vee 1)]\)。利用 \(D\) 和 \(\delta\) 的显式表达式，通过链的几何遍历性和矩不等式得到 \(O(n^{-3/2} d^3 \log(nd))\)。
Step 3: 控制余项。对 \(R_n\) 的6项分别用随机计算和矩不等式估计（Proposition 3.8），得到 \(\mathbb{E}|\Sigma^{-1/2} R_n| \le C[(n\eta)^{-1/2} d + \eta^{1/2} d^2 + \eta^{3/2} n^{1/2} d^{5/2}]\)。
关键引理：Lemma 3.9（\(\pi_\eta\) 的四阶矩有界 \(O(d^2)\)）、Lemma 3.10（二阶和三阶项的方差有界）。
Step 4: 合并。由Wasserstein距离的三角不等式（(3.47)），将Step 2和Step 3的界相加即得Theorem 1.2。

关键跳跃点： - 构造 \(D\) 而非直接使用 \(\delta\)（Remark 3.3）：传统交换对方法（如Fang and Koike 2022）要求 \(\mathbb{E}[\delta | X] = \lambda (W + R_1)\)，其中 \(R_1\) 是余项。本文通过构造 \(D\) 使得 \(\mathbb{E}[D | X] = \lambda W\) 精确成立，从而简化了Stein方程的处理。代价是需要额外控制 \(\mathbb{E}[D \delta^\top | X]\) 中的 \(\Xi\)。 - 控制 \(\Xi\) 中的 \(R_3\) 项（(3.18)-(3.21)）：\(R_3\) 涉及 \(r_I\)（替换 \(\xi_I\) 后对后续迭代的影响）与 \(t_I\) 的乘积。利用链的几何混合（(3.19)）和Cauchy-Schwarz不等式，将其上界归结为 \(O(d^2 n^{1/p - 1})\)，这是证明中最精细的部分之一。 - 余项 \(R_n\) 的分解（(3.11)下方）：将 \(W_n\) 通过Stein方程的解 \(\varphi_i\) 展开，得到6项余项。这需要 \(\varphi_i\) 的四阶导数有界（Proposition 3.4），而后者依赖于Jacobi流的高阶矩指数衰减（Lemma A.1）。

技术技巧点名： - Stein方法（交换对变体）：Theorem 3.2，核心工具。 - Jacobi流的高阶矩估计：Lemma A.1，用于证明Stein方程解的正则性（Proposition 3.4）。使用Itô公式和Young不等式。 - 几何遍历性（谱半径）：用于控制链的混合速率，如(3.19)式中的 \((1 - 2\eta\alpha + \eta^2\beta^2)^{(j-I)/2}\)。 - 矩阵范数不等式：Lemma 3.6，用于在Hilbert-Schmidt范数和算子范数之间转换。 - 比较定理（Comparison theorem）：用于Jacobi流矩估计的证明（Lemma A.1证明中引用Platen 2003）。

真实例子与应用¶

本文为纯理论工作，无真实数据例子或模拟实验。 论文仅包含一个理论特例（线性情形，Section 2）作为“热身”（warm-up），该特例用于展示在无非线性困难时的最优速率。没有实证部分。

🔎 结论是否比证明窄¶

Theorem 1.2的界中，\(d^{5/2}\) 项是否最优？ 作者未讨论。独立情形下最优维数依赖是 \(d^{7/4}\)（Bentkus 2003, Fang and Koike 2024a），本文的 \(d^{5/2}\) 明显更差。作者在Remark 1.6中仅提到“首次给出维数显式速率”，未声称最优性。这暗示 \(d^{5/2}\) 可能不是最优，但作者未给出下界。
Corollary 1.5要求 \(n = \lfloor \eta^{-p} \rfloor\) 且 \(1 < p < 3\)。当 \(p \ge 3\) 时（即 \(\eta\) 衰减更快），界中的 \(\eta^{3/2} n^{1/2} d^{5/2}\) 项会发散。作者未讨论 \(p \ge 3\) 的情形，也未说明这是技术限制还是本质困难。
Assumption 1.1(iv)（五阶导数有界） 是否必要？作者在Remark 1.3中仅说“imposed to ensure the exponential convergence of the Jacobi flow”。可能可以放松，但作者未给出更弱的条件。
\(\Sigma\) 的定义（(1.9)） 依赖于Stein方程的解 \(\varphi_i\)，而 \(\varphi_i\) 本身是未知的。作者在Remark 1.4中承认“this derivation is not rigorous”，仅作为直观。实际应用中如何估计 \(\Sigma\) 未讨论。

四、开放问题（点到为止，扎根具体语句）¶

维数依赖的最优性：本文的界含 \(d^{5/2}\)，而独立情形最优为 \(d^{7/4}\)。能否将 \(d^{5/2}\) 改进至 \(d^{7/4}\) 或更低？这需要新的技术（如利用log-concavity或更精细的Stein方法）。扎根：Theorem 1.2的界与Fang and Koike (2024b)的 \(O((\log d)^{3/2} / \sqrt{n})\) 对比，差距明显。
非强凸势能：本文假设 \(U\) 强凸（\(\alpha > 0\)）。若 \(U\) 仅凸（\(\alpha = 0\)）或非凸，链的混合速率会变慢（可能多项式而非指数），高维CLT是否仍成立？速率如何？扎根：Assumption 1.1(iii) 是强凸性，且步长条件 \(\eta \le \alpha/(2\beta^2)\) 依赖 \(\alpha\)。
\(p \ge 3\) 的情形：Corollary 1.5要求 \(1 < p < 3\)。当 \(p \ge 3\)（即 \(\eta\) 衰减更快）时，界中的 \(\eta^{3/2} n^{1/2} d^{5/2}\) 项发散。这是技术限制（如余项估计中的泰勒展开阶数不足）还是本质困难？扎根：Corollary 1.5的陈述和证明中对 \(p\) 的限制。
从 \(W_1\) 到Kolmogorov距离：本文使用1-Wasserstein距离。对于统计推断（如构造置信区域），通常需要Kolmogorov距离（超矩形上的sup-norm）。能否将结果推广到Kolmogorov距离？扎根：论文引言中引用了大量Kolmogorov距离的结果（如Chernozhukov et al. 2013, Fang and Koike 2024b），但本文只处理了 \(W_1\)。

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