Optimal Nuisance Function Tuning for Estimating a Doubly Robust Functional under Proportional Asymptotics¶

讲者: Zixiao Wang (Harvard University)
会场: Some Recent Topics in Causal Inference
报告题目: Optimal Nuisance Function Tuning for Estimating a Doubly Robust Functional under Proportional Asymptotics
链接: arXiv
来源: JCSDS 2026 · 返回会议总览

一、领域脉络与小综述¶

这个方向是什么¶

本文研究的子方向是：在“不一致 regime”（nuisance 函数无法一致估计）下，如何估计一个双稳健泛函（doubly robust functional）并实现 √n 推断。具体而言，当协变量维数 p 与样本量 n 成比例增长（p/n → c ∈ (0,∞)）时，任何正则化估计量（如 ridge、Lasso）都无法以 n^{−1/2} 速率一致估计线性回归系数（nuisance 参数）。此时，经典的 Double Machine Learning (DML) 框架（要求 nuisance 估计速率快于 n^{−1/4}）不再适用。因此，需要发展新的偏差校正策略，并理解样本分割、估计量形式、调优参数选择之间的交互作用，以最小化目标泛函的渐近方差。该方向当前处于理论探索阶段，主要针对线性模型和特定泛函（如期望条件协方差 ECC）进行精确渐近分析，尚未建立一般性的效率界。

发展脉络（history）¶

奠基工作：DML 框架（Chernozhukov et al., 2018, Econometrics Journal）提出了双/去偏机器学习方法，允许使用灵活的非参数/机器学习估计 nuisance 函数，只要它们以足够快的速率收敛（如 n^{−1/4}），就能实现 √n 一致且渐近有效的推断。DML 的核心是样本分割（cross-fitting）和影响函数校正。留下的口子：当 nuisance 函数无法以足够快速率估计时（如高维比例渐近），DML 理论失效。
不一致 regime 的提出：Celentano & Wainwright (2023, arXiv:2309.01362) 首次系统研究了“不一致 regime”下的缺失数据模型，提出了新的去偏方法。他们指出，在 p/n → c 时，即使使用正则化估计，nuisance 函数的估计误差也不会消失，因此需要针对性地设计去偏策略。留下的口子：该工作主要针对缺失数据模型，且未深入分析调优参数对目标泛函推断的影响。
调优与样本分割的交互：McGrath & Mukherjee (2022, arXiv:2212.14857) 在非参数 Hölder 模型下研究了 nuisance 函数调优和样本分割对双稳健估计量的影响，发现即使使用简单的 plug-in 估计，通过精心调优（如 undersmoothing）也能达到 minimax 最优。留下的口子：该工作假设 nuisance 函数可一致估计（非参数光滑性），不适用于比例渐近的不一致 regime。
ECC 泛函的估计：Balakrishnan, Kennedy & Wasserman (2023, arXiv:2305.04116) 研究了结构无关泛函估计的基本极限，其中 ECC 是一个重要特例。Liu, Mukherjee & Robins (2020, Statistical Science) 提出了近乎无假设的覆盖检验，也涉及 ECC。留下的口子：这些工作未在比例渐近下进行精确分析。
交叉拟合在比例渐近下的问题：Jiang, Mukherjee, Sen & Sur (2025, Annals of Statistics) 发现，在比例渐近下，交叉拟合的折间估计量并非渐近独立，导致方差膨胀，且当 c>1 时最小可达方差仍是开放问题。留下的口子：该工作主要关注增强 IPW 估计量，未涉及 ECC 或调优参数选择。
本文的位置：本文是第一个在比例渐近下系统分析 ECC 估计量的工作，同时考虑三种估计量（积分型、Newey-Robins、双稳健）和两种样本分割策略（两分割、三分割），推导了偏差校正后的 √n 一致性和渐近方差表达式，并揭示了预测最优调优参数与推断最优调优参数之间的差异。

子线索聚类¶

双稳健泛函的估计理论：包括 DML 框架（Chernozhukov et al., 2018）、高阶影响函数（Robins et al., 2008）、以及 ECC 的特定估计（Liu et al., 2020; Balakrishnan et al., 2023）。这些工作通常假设 nuisance 函数可一致估计，或至少以足够快速率收敛。
不一致 regime 下的去偏方法：Celentano & Wainwright (2023) 针对缺失数据模型；Bellec & Zhang (2023, Annals of Statistics) 针对凸正则化估计量的去偏和区间估计。这些工作使用随机矩阵理论推导偏差校正，但未聚焦于双稳健泛函的调优。
调优参数选择与样本分割：McGrath & Mukherjee (2022)、McClean et al. (2024, arXiv:2403.15175) 等研究在非参数设定下如何通过 undersmoothing 或交叉拟合优化推断。本文将其扩展到比例渐近的不一致 regime。

这个方向在追问的核心问题¶

Q1：在 nuisance 函数无法一致估计时，如何构造 √n 一致的双稳健泛函估计量？
Q2：样本分割策略（两分割 vs 三分割）如何影响渐近方差？是否存在最优分割？
Q3：调优参数（如 ridge 的 λ）应如何选择以最小化目标泛函的渐近方差？是否与预测最优不同？
Q4：在比例渐近下，是否存在半参数效率界？当前已知的估计量能否达到？

当前主流方法与瓶颈：主流方法是使用正则化估计（ridge/Lasso）估计 nuisance 函数，然后通过影响函数或偏差校正构造目标泛函估计量。瓶颈在于：偏差校正依赖于随机矩阵理论中的确定性等价，通常需要假设高斯协变量或特定分布；渐近方差表达式复杂，依赖于未知参数（如 ∥α∥², ∥β∥², αᵀβ），实际使用需要估计这些量；效率界未知，无法判断估计量是否最优。

⚠️ 作者的 framing¶

作者将缺口 frame 为：“在 DML 框架中，通常使用预测最优的 nuisance 函数估计进行下游推断；但在不一致 regime 下，预测最优不一定导致推断最优，因此需要直接最小化目标泛函的渐近方差。” 作者通过 ECC 这个具体例子展示了这一现象，并声称这是“first step towards a comprehensive understanding”。

被淡化或回避的竞争路线： - 方法矩估计：作者在结论中提到 Chen, Liu & Mukherjee (2024, arXiv:2408.06103) 的方法矩方法可以完全绕过 nuisance 函数估计，但未在正文中比较。这暗示可能存在更简单的替代方案。 - Lasso 等其他正则化：作者只考虑 ridge，声称其他正则化留给未来工作。但 Lasso 在稀疏设定下可能提供不同的偏差结构。 - 非高斯协变量：方差计算假设高斯性，作者承认需要 universality 原理来推广。

什么明显该被引/该存在、却没出现在 intro 里？：论文未引用关于“统计-计算权衡”的文献，尽管调优参数选择本质上是一个计算问题（选择 λ 以最小化方差）。此外，关于“低度多项式障碍”或“信息-计算差距”的文献也未出现，这可能是因为本文不涉及计算复杂度下界。但考虑到用户对统计-计算权衡的兴趣，这是一个值得注意的缺失。

张力¶

未见明显对立引用。所有被引工作基本一致认为：在比例渐近下，需要特殊的偏差校正，且调优参数选择至关重要。本文的结论（预测最优 ≠ 推断最优）与 DML 的传统智慧形成对比，但作者将其归因于不一致 regime 的特殊性，而非矛盾。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题¶

第一步：符号、模型、可观测数据¶

符号： - \( (A, Y, X) \)：随机变量，其中 \( A \in \mathbb{R} \)（处理/暴露），\( Y \in \mathbb{R} \)（结果），\( X \in \mathbb{R}^p \)（协变量）。 - \( \theta_0 = \mathbb{E}[\text{cov}(Y, A \mid X)] = \mathbb{E}[AY] - \mathbb{E}[\mathbb{E}[Y \mid X] \mathbb{E}[A \mid X]] \)：目标参数（期望条件协方差，ECC）。 - \( \alpha_0, \beta_0 \in \mathbb{R}^p \)：线性回归系数，满足 \( \mathbb{E}[A \mid X] = X^\top \alpha_0 \)，\( \mathbb{E}[Y \mid X] = X^\top \beta_0 \)。 - \( \epsilon, \mu \)：误差项，服从均值为 0、方差为 1、相关系数为 \( \rho \) 的二元正态分布，且与 \( X \) 独立。 - \( n \)：用于构造最终估计量的样本量（在三分割中总样本为 3n，两分割中为 2n）。 - \( p \)：协变量维数，满足 \( p/n \to c \in (0, \infty) \)。 - \( \lambda_1, \lambda_2 > 0 \)：ridge 回归的调优参数。 - \( \hat{\alpha}(\lambda_1), \hat{\beta}(\lambda_2) \)：ridge 估计量，定义见式 (2.2)。 - \( \hat{\Sigma} = X^\top X / n \)：样本协方差矩阵。 - \( g^{\text{INT}}_{3\text{sp}}, g^{\text{INT}}_{1,2\text{sp}}, g^{\text{INT}}_{2,2\text{sp}}, g^{\text{NR}}_{3\text{sp}}, g^{\text{DR}}_{3\text{sp}}, g^{\text{DR}}_{2,2\text{sp}} \)：由 Marchenko-Pastur 分布定义的确定性函数，用于偏差校正。 - \( u = \lim_{n \to \infty} \|\alpha_0\|^2, v = \lim_{n \to \infty} \|\beta_0\|^2, \varrho = \lim_{n \to \infty} \alpha_0^\top \beta_0 \)：极限参数。 - \( F_{\text{MP}} \)：Marchenko-Pastur 分布（参数 c）。

模型： - 数据生成过程：\( A = X^\top \alpha_0 + \epsilon, \quad Y = X^\top \beta_0 + \mu \)，其中 \( (\epsilon, \mu) \sim N(0, \begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix}) \) 且与 \( X \) 独立。 - \( X \) 的坐标 i.i.d. 次高斯，均值为 0，方差为 1，次高斯范数一致有界。在方差计算中进一步假设 \( X_{ij} \sim N(0,1) \)。 - 参数 \( \alpha_0, \beta_0 \) 的欧几里得范数一致有界（关于 p）。

可观测数据：研究者观测到 \( n \) 个 i.i.d. 三元组 \( \{(X_i, A_i, Y_i)\}_{i=1}^n \)。潜在量：\( \epsilon_i, \mu_i \) 不可观测；\( \alpha_0, \beta_0, \rho \) 是未知参数。目标 \( \theta_0 \) 是 \( \rho \)（因为 \( \theta_0 = \rho \) 在给定模型下？实际上 \( \theta_0 = \mathbb{E}[AY] - \alpha_0^\top \beta_0 = \rho + \alpha_0^\top \beta_0 - \alpha_0^\top \beta_0 = \rho \)，因为 \( \mathbb{E}[AY] = \alpha_0^\top \beta_0 + \rho \)）。所以 ECC 等于误差相关系数 \( \rho \)。但作者在模拟中设 \( \rho = 0.5 \)，所以目标就是估计 \( \rho \)。

第二步：最小内核¶

最简特例：考虑三分割策略（\( \alpha_0, \beta_0 \) 从两个独立子样本估计），且只关注积分型估计量 \( \hat{\theta}_{\text{INT}} \)。此时，核心困难是估计 \( \alpha_0^\top \beta_0 \)。在比例渐近下，ridge 估计 \( \hat{\alpha}(\lambda_1)^\top \hat{\beta}(\lambda_2) \) 不是 \( \alpha_0^\top \beta_0 \) 的一致估计，而是收敛到 \( \alpha_0^\top \beta_0 \cdot g^{\text{INT}}_{3\text{sp}}(\lambda_1, \lambda_2) \)，其中

\[g^{\text{INT}}_{3\text{sp}}(\lambda_1, \lambda_2) = \left( \int \frac{x}{x+\lambda_1} dF_{\text{MP}}(x) \right) \left( \int \frac{x}{x+\lambda_2} dF_{\text{MP}}(x) \right).\]

这个函数是确定性的，只依赖于 \( c, \lambda_1, \lambda_2 \)。因此，一个自然的偏差校正方法是：用 \( \hat{\alpha}(\lambda_1)^\top \hat{\beta}(\lambda_2) / g^{\text{INT}}_{3\text{sp}}(\lambda_1, \lambda_2) \) 来估计 \( \alpha_0^\top \beta_0 \)。然后构造

\[\hat{\theta}_{\text{INT,db}}^{3\text{sp}} = \frac{1}{n} \sum_{i \in D_3} A_i Y_i - \frac{\hat{\alpha}(\lambda_1)^\top \hat{\beta}(\lambda_2)}{g^{\text{INT}}_{3\text{sp}}(\lambda_1, \lambda_2)}.\]

由于 \( \frac{1}{n} \sum A_i Y_i \) 是 \( \mathbb{E}[AY] = \theta_0 + \alpha_0^\top \beta_0 \) 的 √n 一致估计，而偏差校正项也以 √n 速率估计 \( \alpha_0^\top \beta_0 \)，因此整体估计量是 √n 一致的。

核心数学困难：证明 \( \hat{\alpha}(\lambda_1)^\top \hat{\beta}(\lambda_2) \) 的偏差确实由 \( g^{\text{INT}}_{3\text{sp}} \) 刻画，且剩余项为 \( O_p(n^{-1/2}) \)。这需要随机矩阵理论中的确定性等价（Theorem 1.1 of Hachem et al., 2013），该定理给出了形如 \( u^\top (\hat{\Sigma} + \lambda I)^{-1} v \) 的二次型与 \( u^\top v \cdot m_{\text{MP}}(-\lambda) \) 之间的误差界。在两分割情形下，由于 \( \hat{\alpha} \) 和 \( \hat{\beta} \) 来自同一子样本，误差项还涉及 \( \epsilon \) 和 \( \mu \) 的相关性，导致额外的偏差项 \( \theta_0 g^{\text{INT}}_{2,2\text{sp}} \)，需要更复杂的双重逆校正。

最小内核总结：本文的核心思想是：在比例渐近下，ridge 估计的偏差是确定性的（由 MP 分布刻画），因此可以通过“逆偏差”来校正，从而得到 √n 一致的泛函估计。然后，通过精确计算渐近方差，发现调优参数 \( \lambda \) 的选择会影响方差，且预测最优（最小化 nuisance 的 MSE）与推断最优（最小化目标泛函的方差）不同。

三、这篇论文做了什么¶

三句话¶

研究了什么问题：在比例渐近（p/n → c）下，使用 ridge 回归估计 nuisance 函数时，如何选择调优参数 \( \lambda_1, \lambda_2 \) 和样本分割策略（两分割 vs 三分割），以最小化期望条件协方差（ECC）估计量的渐近方差。
核心工具/方法：利用随机矩阵理论（Marchenko-Pastur 分布、确定性等价、线性谱统计量的 CLT）推导 ridge 估计的渐近偏差，构造逆偏差校正的 √n 一致估计量；然后在高斯协变量假设下，通过特征向量均匀分布和谱分解技巧，精确计算六种估计量的渐近方差。
主要结论：所有偏差校正后的估计量（积分型、Newey-Robins、双稳健）在两种分割策略下均达到 √n 一致；渐近方差表达式显示，预测最优的调优参数（\( \lambda = c / \|\alpha_0\|^2 \) 等）并不最小化 ECC 的方差，因此应直接优化目标泛函的方差；模拟验证了理论结果。

关键设定与假设¶

数据生成：\( (Y, A) \) 给定 \( X \) 服从二元正态，均值线性，方差 1，相关系数 \( \rho = \theta_0 \)。误差与 \( X \) 独立。
协变量：\( X \) 的坐标 i.i.d. 次高斯，均值为 0，方差 1。在方差计算（Theorem 3.4）中进一步假设 \( X_{ij} \sim N(0,1) \)。
参数有界：\( \|\alpha_0\|^2, \|\beta_0\|^2 \) 一致有界（关于 p），且极限 \( u, v, \varrho \) 存在。
比例渐近：\( p/n \to c \in (0, \infty) \)。
调优参数：\( \lambda_1, \lambda_2 > 0 \) 固定（不随 n 变化）。
样本分割：两分割：用一半样本估计两个 nuisance，另一半估计 ECC；三分割：用两个独立子样本分别估计 \( \alpha_0, \beta_0 \)，第三个子样本估计 ECC。

与已有文献的对比：相比 DML（要求 nuisance 估计速率快于 n^{−1/4}），本文不假设任何一致性；相比 Celentano & Wainwright (2023) 的缺失数据模型，本文聚焦于 ECC 并考虑多种估计量和分割策略；相比 McGrath & Mukherjee (2022) 的非参数设定，本文在比例渐近下进行精确分析。

主要结果¶

Theorem 3.1-3.3：偏差校正后的积分型、Newey-Robins、双稳健估计量（两分割和三分割版本）均为 √n 一致，即 \( \sqrt{n}(\hat{\theta}^{\text{db}} - \theta_0) = O_p(1) \)。证明依赖于随机矩阵理论中的确定性等价（Hachem et al., 2013）和正态误差的矩计算。

Theorem 3.4：在高斯协变量假设下，六种偏差校正估计量的渐近方差存在，并给出表达式（以 \( u, v, \varrho, c, \lambda_1, \lambda_2 \) 和 MP 分布积分表示）。例如，三分割积分型估计量的渐近方差为：

\[V^{\text{INT}}_{3\text{sp}} = \text{var}(AY) + \frac{1}{(g^{\text{INT}}_{3\text{sp}})^2} \left[ \text{复杂项} \right],\]

其中复杂项涉及 \( u, v, \varrho, c \) 和 MP 分布的方差。两分割版本更复杂，包含额外的项 \( g^{\text{INT}}_{2,2\text{sp}} \)。

预测最优 vs 推断最优：Lemma F.2 证明，预测最优的 \( \lambda \) 为 \( \lambda^*_1 = c / u^2, \lambda^*_2 = c / v^2 \)。但 Theorem 3.4 的方差表达式显示，最小化 \( V^{\text{INT}}_{2\text{sp}} \) 等的 \( \lambda \) 一般不等于此值。模拟（Figure 1）直观展示了这一差异：例如，在三分割下，积分型估计量的方差在 \( \lambda \approx 0.5 \) 附近最小，而预测最优 \( \lambda = c / u^2 = 2 / 1 = 2 \)（当 \( c=2, u=1 \)），两者明显不同。

证明路线与技术技巧¶

整体路线（以三分割积分型为例）： 1. 偏差分解：将 \( \hat{\theta}^{\text{INT,db}}_{3\text{sp}} - \theta_0 \) 分解为三部分：\( \frac{1}{n}\sum A_iY_i - \mathbb{E}[AY] \)（CLT 给出 \( O_p(n^{-1/2}) \)）、偏差校正项 \( B_n / g^{\text{INT}}_{3\text{sp}} - \alpha_0^\top \beta_0 \)（需证明 \( O_p(n^{-1/2}) \)）、以及剩余交叉项（如 \( T_3, T_9 \) 等，也需证明 \( O_p(n^{-1/2}) \)）。 2. 偏差校正项：利用 Hachem et al. (2013) 的 Theorem 1.1，证明 \( B_n = \alpha_0^\top \beta_0 g^{\text{INT}}_{3\text{sp}} + O_p(n^{-1/2}) \)。该定理给出了形如 \( u^\top (\hat{\Sigma} + \lambda I)^{-1} v \) 的二次型与 \( u^\top v \cdot m_{\text{MP}}(-\lambda) \) 之间的误差界，其中 \( m_{\text{MP}} \) 是 MP 分布的 Stieltjes 变换。 3. 剩余项：\( T_3, T_9 \) 等涉及 \( \epsilon, \mu \) 与 \( X \) 的乘积。利用正态性，条件分布为高斯，方差有界（通过谱范数界），从而证明 \( O_p(n^{-1/2}) \)。

两分割情形：更复杂，因为 \( \hat{\alpha} \) 和 \( \hat{\beta} \) 来自同一子样本，导致偏差项包含 \( \theta_0 g^{\text{INT}}_{2,2\text{sp}} \)。证明需要处理 \( \lambda_1 \neq \lambda_2 \) 和 \( \lambda_1 = \lambda_2 \) 两种情况，使用恒等式 \( R(\lambda_1)R(\lambda_2) = (R(\lambda_1) - R(\lambda_2))/(\lambda_2 - \lambda_1) \) 来分解。

渐近方差计算（Theorem 3.4）： - 利用高斯协变量的旋转不变性：特征向量服从 Haar 分布，与特征值独立。 - 计算 \( \text{var}(\hat{\alpha}^\top \hat{\beta}) \) 时，先条件于特征值，利用特征向量均匀分布的性质计算期望和方差（Lemma E.1-E.3）。 - 关键引理：对于 \( u_n, w_n \) 有界，\( \sum_j (u_n^\top \hat{v}_j)(w_n^\top \hat{v}_j) f(\hat{\lambda}_j) \) 的方差渐近为 \( (u^2 v^2 + \varrho^2) \text{var}_{X \sim F_{\text{MP}}}(f(X)) / c \)。 - 两分割情形还需计算条件方差（给定 \( X \)）和条件期望的方差，分别对应 Proposition D.1 和 D.2。

技术技巧点名： - 确定性等价（Hachem et al., 2013）：用于证明偏差校正项的主项。 - Haar 分布与特征向量均匀性：用于计算二次型的期望和方差。 - 线性谱统计量的 CLT（Bai & Silverstein, 2008）：用于证明某些项（如 \( \int x/(x+\lambda) d\hat{\pi}_n \)）的方差为 \( O(n^{-2}) \)。 - 谱范数界：\( \|\hat{\Sigma}\|_{\text{op}} \leq 2(1+\sqrt{c})^2 \) w.h.p.，用于控制剩余项。 - 正态矩计算：利用 \( \epsilon, \mu \) 的联合正态性计算条件方差。

真实例子与应用¶

本文为纯理论论文，但包含广泛的模拟实验（Section 4 和 Appendix H）。模拟设置： - 数据：\( X \sim N(0, I_p) \)，\( A, Y \) 按线性模型生成，\( \rho = 0.5 \)，\( \|\alpha_0\| = \|\beta_0\| = 1 \)。 - 场景：两分割（总样本 1000，子样本 500）和三分割（总样本 1500，子样本 500），\( c = 0.5 \) 和 \( c = 2 \)。 - 方法：对 100 个 \( \lambda \) 值（0.05 到 10），计算三种估计量的偏差和方差（10,000 次 Monte Carlo）。 - 结果：偏差校正后估计量几乎无偏；方差曲线显示预测最优 \( \lambda \)（\( c = 0.5 \) 或 2）与方差最小点不同；两分割下积分型估计量在 \( \lambda \approx 1.48 \) 处方差爆炸（因偏差校正常数分母接近 0）。 - 此外，Appendix H.4 验证了参数 bootstrap 方差估计的准确性。

这个例子想说明：理论推导的渐近方差公式与模拟吻合，且预测最优 ≠ 推断最优的结论在有限样本下成立。

🔎 结论是否比证明窄¶

高斯假设：Theorem 3.4 的方差表达式严格依赖于 \( X_{ij} \sim N(0,1) \)。作者在结论中承认“an assumption that remains to be explored through the lens of universality principles”，但并未证明对次高斯分布也成立。因此，方差公式的适用范围比证明窄。
线性模型：所有结果假设 nuisance 函数是线性的。作者在 intro 中称“Under linear models for the nuisance functions”，但未讨论非线性情况。结论中声称“a first step towards a comprehensive understanding”，暗示线性是起点。
ridge 回归：只考虑 ridge。作者说“leave the investigation of other estimators to future work”，因此结论不适用于 Lasso 或其他正则化。
ECC 泛函：只针对 ECC。作者认为 ECC 是“a foundational stepping stone”，但未证明结果可推广到其他双稳健泛函（如 ATE）。结论中“the template of exploration presented here might serve as a framework”是推测，而非证明。

四、开放问题¶

非高斯协变量的 universality：Theorem 3.4 的方差公式假设 \( X_{ij} \sim N(0,1) \)。作者在结论中提及“universality principles”，但未给出任何结果。扎根：Section 5 最后一段：“our analysis assumes the Gaussianity of either the errors or the covariates for variance calculation – an assumption that remains to be explored through the lens of universality principles.”
其他正则化方法（Lasso、弹性网等）：本文只分析 ridge。对于 Lasso，偏差结构不同（涉及软阈值），且需要稀疏性假设。扎根：Section 1.1：“We focus on the ridge-regularized estimators for the nuisance functions and leave the investigation of other estimators to future work.” 以及 Section 5：“One can also envision appealing to more sophisticated debiasing techniques when generic convex regularization, such as Lasso, is employed.”
效率界与最优性：本文给出了六种估计量的方差，但未证明哪个是最优的（即是否存在半参数效率界）。作者提到“the minimum achievable variance when c > 1 remains an open problem”（引用 Jiang et al., 2025）。扎根：Section 2.1 末尾：“the precise characterization of the minimum achievable variance when c = p/n > 1 remains an open problem.” 以及 Section 5：“In this regime, where an efficiency theory is unavailable, the choice of estimator that minimizes asymptotic variance is a priori unclear.”
扩展到更一般的双稳健泛函：ECC 是特例。能否将本文的模板（偏差校正 + 方差最小化）推广到 ATE、ATT 或其他泛函？扎根：Section 5：“the availability of a large class of sample-split-sensitive, optimally tuned estimators of double-robust functionals might shed light on eventual efficiency bounds.” 但未给出具体路线。
两分割下方差爆炸的机制：模拟显示积分型估计量在 \( \lambda \approx 1.48 \) 处方差发散（因偏差校正常数 \( 1 - g^{\text{INT}}_{2,2\text{sp}}/g^{\text{INT}}_{1,2\text{sp}} \) 接近 0）。作者未深入分析这一现象，也未提出规避方法。扎根：Figure 1 和 Appendix H.1.2 的描述，但无理论解释。

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