Partially Functional Dynamic Backdoor Diffusion-based Causal Model¶

讲者: Xinwen Liu (Yunnan University)
会场: Advances in Causal Inference for Biomedical and Social Sciences
报告题目: Partially Functional Dynamic Backdoor Diffusion-Based Causal Model
链接: arXiv
来源: JCSDS 2026 · 返回会议总览

一、领域脉络与小综述¶

这个方向是什么¶

这个子方向致力于将深度生成模型（特别是扩散模型）与结构因果模型（SCM）相结合，以从观测数据中回答因果查询（干预、反事实）。其核心挑战在于：如何利用生成模型的强大表达能力来学习复杂的、高维的结构方程，同时确保因果识别所需的假设（如外生噪声的可恢复性、条件独立性）得到满足。当前，该方向正从静态、完全可观测的设定，向更贴近现实的动态、部分可观测、多分辨率数据的设定演进。

发展脉络（history）¶

奠基工作：因果推断的形式化与SCM框架
- Pearl (2009)：建立了SCM、do-算子、后门准则等因果推断的数学基础。本文将其作为定义因果图（DAG）和进行因果推理的标准框架。
- Imbens & Rubin (2015)：提供了潜在结果框架的系统性阐述，是因果效应估计的另一大支柱。本文将其作为处理“因果推断的基本问题”的经典参照。
主要进展：深度生成模型与SCM的结合
- Khemakhem et al. (2021) (Causal Autoregressive Flows, CNF)：首次尝试将可逆的归一化流（Normalizing Flows）与SCM结合，利用其可逆性进行反事实推理。本文指出其“在高维设定中面临局限性”（原文：face limitations in high-dimensional settings）。
- Chao et al. (2024) (Diffusion-based Causal Model, DCM)：开创性地将扩散模型（DDPM/DDIM）作为SCM的结构方程学习器，利用其强大的生成能力和DDIM的确定性映射来编码外生噪声。本文将其作为直接对比的基线。
- Shimizu (2023) (Backdoor Criterion based DCM, BDCM)：在DCM基础上引入后门调整，以处理存在未测量混淆变量的情况。这是本文最直接的前驱工作，但本文指出其“依赖静态假设”（原文：rely on static assumptions），未能捕捉混淆变量的时空动态性。
- Almodóvar et al. (2025) (DeCaFlow)：提出一种去混淆的因果生成模型，利用代理变量处理隐藏混淆。本文认为其“缺乏对时空未测量混淆的显式处理”（原文：lack explicit handling of spatio-temporal unmeasured confounding）。
当前Frontier与本文位置
- 当前前沿正试图将因果生成模型应用于更复杂的数据结构，如时空数据、功能数据。本文（PFD-BDCM） 明确地定位在填补这一空白：它声称是第一个同时处理“动态混淆”（具有时空依赖性的未测量混淆）和“功能数据”（多分辨率变量）的统一生成框架。它通过引入条件自回归（CAR）过程来建模混淆的时空动态，并通过基展开将功能变量纳入标准图节点，从而将DCM/BDCM推广到更现实的场景。

子线索聚类¶

基于生成模型的SCM学习：核心是学习一个可逆或可编码的映射，将观测数据映射到外生噪声，从而支持反事实推理。代表工作：CNF (Khemakhem et al., 2021), DCM (Chao et al., 2024), BDCM (Shimizu, 2023), DeCaFlow (Almodóvar et al., 2025), 以及本文的PFD-BDCM。
处理未测量混淆的因果推断：核心是识别和调整由未观测变量引起的偏差。代表工作：BDCM (Shimizu, 2023) 使用后门调整；DeCaFlow (Almodóvar et al., 2025) 使用代理变量；本文则通过后门调整集和动态混淆模型来处理。
功能数据与时空数据的因果推断：核心是将因果推断方法扩展到函数型或时空型变量。代表工作：本文是这一子线索的典型代表，它通过基展开处理功能数据，通过CAR过程处理时空依赖性。此外，引用的Song et al. (2012) 和 Tang et al. (2017) 提供了贝叶斯时空建模的基础工具。

这个方向在追问的核心问题¶

识别性：在何种假设下，可以从观测数据中唯一地恢复出SCM的结构方程和外生噪声，从而保证反事实查询的可识别性？
表达能力与可计算性：如何设计生成模型，使其既能表达复杂、高维的非线性结构方程，又能保证训练和推理的可行性？
鲁棒性：当模型假设（如噪声独立性、结构方程单调性）被违反时，因果估计的误差如何？如何设计对模型误设和重尾噪声鲁棒的方法？
复杂数据结构：如何将因果生成模型扩展到具有时空依赖性、功能型、多分辨率等复杂结构的数据？

⚠️ 作者的 framing（必须明确标注成“这是作者的说法”）¶

作者把缺口 frame 成什么：作者声称，现有方法（DCM, BDCM）的“根本局限”在于它们“依赖静态假设”（rely on static assumptions），无法捕捉真实世界中混淆变量“固有的时空结构”（inherent spatio-temporal structure）。因此，他们的PFD-BDCM是“显然的下一步”，因为它通过CAR过程显式建模了这种动态性。
哪些竞争路线被他淡化或回避了：
- 作者将结构学习（如Peters et al., 2013的加性噪声模型）和贝叶斯时空方法（如Song et al., 2012; Tang et al., 2017）作为背景工具，但并未深入讨论这些方法在因果推断上的局限性，而是直接假设因果图已知。这回避了在动态混淆下进行因果发现的巨大挑战。
- 作者引用了Nasr-Esfahany & Kiciman (2023) 关于反事实不可识别性的警告，但将其作为自己假设（单调性、可逆性）的动机，而非对自身框架的根本性质疑。作者通过假设“编码器学习到的潜变量是外生噪声的可逆变换”（Theorem 3）来绕过这个不可识别性问题，但这个假设本身在实践中的可验证性存疑。
什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里？：
- 关于反事实识别的更深入讨论：虽然引用了Nasr-Esfahany & Kiciman (2023)，但未引用其更早的工作（Nasr-Esfahany et al., 2023）关于双射因果模型反事实可识别性的更一般性结论。这可能是作者想回避对其假设更严格的检验。
- 关于扩散模型在因果推断中理论基础的更广泛文献：除了DCM和BDCM，是否有其他工作（如使用分数匹配进行因果推断）被忽略？这需要研究者自行检索确认。
- 关于功能数据因果推断的文献：本文声称是首个将功能数据纳入因果扩散模型的工作，但功能数据因果推断本身是一个活跃领域（如函数型IV、函数型因果效应估计）。作者未引用这些文献，可能为了突出其“首次”的贡献，但研究者应核实是否存在更早的相关工作。

张力¶

未见明显对立引用。被引工作之间在方法论上存在递进关系（从静态到动态，从标量到功能），而非矛盾关系。作者构建的叙事是线性的、进步的。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题¶

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚¶

符号：
- i ∈ [n]：空间单元（如省份）的索引。
- j ∈ [J]：时间点的索引。
- k ∈ [K]：因果图中节点的索引。
- x_{k, ij}：第k个节点在第i个空间单元、第j个时间点的内生变量（可观测或潜在）。如果节点是标量，x_{k, ij} ∈ ℝ；如果是功能变量，它是一个K_n维的基系数向量。
- u_{k, ij}：第k个节点在第i个空间单元、第j个时间点的外生噪声（不可观测）。
- PA_k：节点k的父节点集合。
- B_k：节点k的一个有效后门调整集（用于处理未观测父节点）。
- x_{PB_k}：x_{PA_k} ∪ x_{B_k}，即用于条件扩散模型的全部条件变量。
- f_k(·, ·)：节点k的结构方程。
- g_k(·, ·)：编码器，将(x_{PB_k}, x_k)映射到潜变量û_k。
- h_k(·, ·)：解码器，将(x_{PB_k}, û_k)映射回重构的x̂_k。
- t：扩散过程的时间步。
- ϵ_{k,θ}：参数为θ的去噪网络。
模型：部分功能时空动态结构因果模型（PFST-DSCM）。数据生成机制如下：
1. 动态混淆节点（如x_3, x_4, x_9）：其结构方程f_{k, ij}是时空依赖的。具体地，x_{C2, ij} = Γ_i G(x_{C1, ij}) + u_{C2, ij}，其中Γ_i是空间异质系数矩阵，G(·)是非线性函数。其时间依赖性通过条件自回归（CAR）模型建模：Cov(x_{C1, i}) = D_{C1, i} ⊗ Cov(x_{C1, ij})，其中D_{C1, i} = (I_J - ρ H_i)^{-1}，H_i是时间邻接矩阵，ρ是时间关联参数。这表示混淆变量在时间上是自相关的。
2. 功能变量节点（如x_2）：通过基展开，将无限维的函数z_{ij}(t)投影到有限维的基系数向量x_{k, ij} = (x_{k,1,ij}, ..., x_{k, K_n, ij})^T上，其中x_{k, m, ij} = ∫ b_m(t) z_{ij}(t) dt。这个系数向量被视为一个多维内生节点。
3. 其他标量节点（如x_1, x_5, ..., x_8, x_{10}, x_{11}）：遵循标准SCM：x_{k, ij} = f_k(x_{PA_k, ij}, u_{k, ij})。
可观测数据：
- 可观测：所有非混淆节点的内生变量值x_{k, ij}（包括标量节点和功能节点的基系数向量）。对于功能节点，我们观测到的是其基系数，而非原始函数本身。
- 不可观测：所有混淆节点（x_3, x_4, x_9）的值，以及所有节点的外生噪声u_{k, ij}。
- 已知：因果图G（DAG结构），以及每个节点k的父节点集PA_k和后门调整集B_k。

第二步：讲最小内核¶

本文的核心思路可以浓缩为一个最简特例：一个包含一个标量处理变量X、一个标量结果变量Y、一个随时间变化的未测量混淆变量U_j 的简单系统。我们想估计X对Y的因果效应，但U_j同时影响X和Y，且U_j在时间上存在自相关（例如，U_j = ρ U_{j-1} + ε_j）。

问题：如何从观测数据(X_j, Y_j)中，在存在动态混淆U_j的情况下，进行反事实推理（例如，如果X被强制设为某个值，Y会是多少）？
现有方法（DCM/BDCM）的局限：
- DCM：假设没有混淆，直接学习Y = f(X, u_Y)。这会产生偏差，因为它忽略了U。
- BDCM：假设存在一个静态的后门调整集B可以阻断U的路径。但如果U是随时间变化的，一个静态的B可能无法完全捕捉其影响。
本文的关键想法（PFD-BDCM）：
1. 建模动态混淆：不再假设U是静态的，而是用一个时间序列模型（如CAR模型）来刻画其动态。在我们的特例中，这意味着承认U_j和U_{j-1}是相关的。
2. 构建动态后门调整集：为了调整U_j的影响，我们不仅需要当前时刻的代理变量，可能还需要过去时刻的观测变量来作为U_j的“动态后门调整集”B_j。例如，如果X_{j-1}和Y_{j-1}包含了关于U_{j-1}的信息，而U_{j-1}又与U_j相关，那么(X_{j-1}, Y_{j-1})就可以作为B_j的一部分。
3. AC-DDIM：训练一个条件扩散模型来学习Y_j的分布，其条件变量不仅包括其父节点X_j，还包括这个动态后门调整集B_j。即，学习p(Y_j | X_j, B_j)。由于B_j包含了关于U_j的信息，这个条件分布就近似于在给定U_j下的条件分布，从而实现了对混淆的调整。
4. 反事实推理：对于给定的观测(X_j^F, Y_j^F)，首先通过编码器g（即DDIM的逆过程）推断出对应的外生噪声û_j。然后，在反事实干预do(X_j = γ)下，使用解码器h（即DDIM的正向过程）生成新的结果Y_j^{CF} = h(γ, B_j, û_j)。因为û_j是从事实数据中推断出的“真实”噪声，而B_j包含了事实的混淆信息，所以这个生成过程就模拟了在相同混淆环境下，改变处理变量后的结果。

一句话总结：本文的核心是将后门调整集从静态扩展到动态，通过引入时间序列模型（CAR）来捕捉混淆变量的动态性，并将这些动态信息作为扩散模型的条件，从而在存在动态混淆时也能进行有效的反事实推理。

三、这篇论文做了什么¶

三句话¶

研究了什么问题：在存在时空动态未测量混淆和功能型/标量混合数据的复杂系统中，如何利用观测数据进行有效的因果推断（包括干预和反事实查询）。
核心工具/方法：提出了部分功能动态后门扩散因果模型（PFD-BDCM），它整合了三个关键组件：(a) 一个形式化的部分功能时空动态SCM（PFST-DSCM），用CAR过程建模混淆动态，用基展开处理功能数据；(b) 一种附加条件的去噪扩散隐式模型（AC-DDIM），其条件变量同时包含父节点和动态后门调整集；(c) 一套用于训练和进行因果查询的算法。
主要结论：在理论上，证明了功能变量的因果效应在基展开下得以保持（Theorem 1），并给出了反事实估计误差的上界，该误差由模型的重构误差控制（Theorem 4, 5）。在模拟和真实数据（中国空气污染案例）上，PFD-BDCM在观测、干预和反事实查询上的表现显著优于DCM、BDCM等基线模型，尤其是在存在动态混淆和非线性、重尾噪声的场景下。

关键设定与假设¶

在第二节最小记号的基础上，补全完整设定：

因果图已知：G是已知的PFST-DDAG。这是一个很强的假设，但在许多因果推断工作中是标准做法。
Assumption 1 (CAR模型正定性)：确保CAR模型定义的协方差矩阵D_{C_h, i}是正定的，这是模型有效性的基础。
Assumption 2 (SCM标准假设)：
- (i) PFST-DDAG由PFST-DSCM诱导。
- (ii) 马尔可夫性：外生噪声u_k是联合独立的，且观测分布满足因果马尔可夫假设：q(x) = ∏_k q(x_k | x_{PA_k})。这是SCM的标准假设。
- (iii) 后门调整集存在性：对于任何有未观测父节点的可观测节点，存在一个有效的后门调整集B_k。这是进行因果识别的前提。
Assumption 3 (功能数据光滑性)：功能变量z(t)和系数函数c(t)属于一个具有完备正交基的希尔伯特空间，且其基展开的截断误差以多项式速率O(K_n^{-s})衰减。这是功能数据分析的标准光滑性假设。
Assumption 4-6 (编码器-解码器假设)：
- Assumption 4 (独立性)：编码器输出g(x_{PB}, x)与条件变量x_{PB}独立。这保证了编码器学到的是纯外生噪声，而非混淆信息。
- Assumption 5 (可逆性)：对于固定的x_{PB}，编码器g(x_{PB}, ·)是双射且C^1的。这由DDIM的确定性映射保证。
- Assumption 6 (单调性)：结构方程f(x_{PB}, u)关于u是严格单调的。这是许多可识别因果模型（如加性噪声模型）的核心条件，用于保证外生噪声的唯一可恢复性。

相比已有文献的强化/放宽： * 相比DCM/BDCM：放宽了混淆变量是静态的假设，允许其具有时空动态性（通过CAR模型）。 * 相比CNF：放宽了对可逆归一化流的依赖，使用了表达能力更强的扩散模型，并解决了高维问题。 * 相比标准SCM：强化了对功能数据的处理能力，通过基展开将其纳入标准图节点。

主要结果¶

Theorem 1 (因果效应保持性)：在Assumption 3下，当基函数数量K_n → ∞时，对功能变量z(t)的干预do(z(t)=z_0(t))在无限维SCM中产生的干预分布，弱收敛于对基系数向量x^{(z)}的干预do(x^{(z)} = x_0^{(z)})在有限维PFST-DSCM中产生的干预分布。直觉：只要基展开足够精确，用有限维系数代替无限维函数进行因果推断，其误差可以忽略。
Theorem 2 (近似误差界)：在Assumption 3下，对于Lipschitz连续的结构方程，用有限维基展开近似功能变量进行干预所产生的点态误差，以速率O(K_n^{-min(s_c, s_{z0})})衰减，其中s_c和s_{z0}分别是系数函数和干预函数的光滑性参数。直觉：函数越光滑，需要的基函数越少，近似误差越小。
Theorem 3 (噪声可恢复性)：在Assumptions 4-6下，编码器学到的潜变量û = g(x_{PB}, x)是真实外生噪声u的一个可逆变换。直觉：编码器成功地从观测数据中“提取”了外生噪声的信息，这是进行反事实推理的关键。
Theorem 4 (反事实误差界)：在Assumptions 4-6下，如果模型的重构误差d(h(x_{PB}, g(x_{PB}, x)), x) ≤ τ，那么对于任何反事实干预，其反事实估计误差也满足d(ẑ^{CF}, x^{CF}) ≤ τ。直觉：反事实推理的精度直接由模型在观测数据上的重构精度决定。这是一个非常强的结论，它将因果推断的可靠性归结为一个可优化的训练目标。
Theorem 5 (多维反事实误差界)：将Theorem 4扩展到功能节点（多维）和标量节点混合的场景。给出了三种典型情况（功能干预-标量结果、功能干预-功能结果、标量干预-功能结果）下的误差上界，其中包含了基展开误差O(K_n^{-s})和重构误差τ。直觉：在多维场景下，反事实误差是重构误差和基展开误差的某种组合。

证明路线与技术技巧（理论型）¶

整体路线：
1. 功能数据部分：首先，利用功能数据分析的标准技巧（基展开、光滑性假设），证明有限维近似在因果效应上的收敛性（Theorem 1, 2）。这为将功能变量纳入图模型提供了理论基础。
2. 反事实误差界部分：
  - Step 1: 建立噪声恢复：通过Assumptions 4-6，证明编码器g是结构方程f在u上的“逆函数”的一个近似。具体地，证明û = g(x_{PB}, x)与u之间存在一个可逆映射（Theorem 3）。这一步的关键是单调性假设（Assumption 6）保证了f关于u可逆，而可逆性假设（Assumption 5）保证了g关于x可逆。
  - Step 2: 连接重构误差与反事实误差：假设存在一个“完美”的模型，即h(x_{PB}, g(x_{PB}, x)) = x。那么，对于反事实干预，模型计算的是h(x_{PB}^{CF}, g(x_{PB}^F, x^F))。由于g(x_{PB}^F, x^F) = ϕ(u)，且完美模型下h(x_{PB}, ϕ(u)) = f(x_{PB}, u)，因此h(x_{PB}^{CF}, ϕ(u)) = f(x_{PB}^{CF}, u)，即真实反事实。这证明了在完美重构下，反事实估计是精确的。
  - Step 3: 推广到非完美重构：当重构误差d(h(x_{PB}, g(x_{PB}, x)), x) ≤ τ时，利用Lipschitz连续性（隐含在Assumption 6的C^1中）和三角不等式，可以证明反事实估计误差也被τ所控制（Theorem 4）。证明的关键在于，反事实估计过程本质上是对事实观测的“编码-干预-解码”过程，其误差不会超过编码-解码过程的误差。
3. 多维扩展：将标量情况下的单调性假设推广为微分同胚（diffeomorphism）假设，并引入跨维度的Lipschitz条件（Assumptions S5-S7），从而将Theorem 4的结论扩展到功能节点（Theorem 5）。
关键跳跃点：
- 从“完美重构”到“有界误差”的跳跃：这是Theorem 4的核心。它依赖于一个关键洞察：反事实估计ẑ^{CF}和真实反事实x^{CF}之间的差异，可以表示为两个“编码-解码”路径的差异，而这个差异可以被重构误差所控制。这个跳跃并非显而易见，它需要证明模型在事实点上的重构误差能够“传播”到反事实点。
- 处理多维功能节点的跳跃：将标量的一维单调性推广到多维的微分同胚，并处理跨维度（功能节点到标量节点）的误差传播。这需要引入更精细的Lipschitz条件和矩阵范数分析。
技术技巧点名：
- 功能数据分析：基展开（Basis Expansion）、光滑性假设（Sobolev/Hölder空间）、截断误差分析。
- 时空统计：条件自回归（CAR）模型。
- 深度生成模型：去噪扩散隐式模型（DDIM），用于实现确定性编码-解码。
- 因果推断：后门准则（Backdoor Criterion）、结构因果模型（SCM）、do-算子、反事实推理的三步法（Abduction-Action-Prediction）。
- 理论分析：Lipschitz连续性、三角不等式、弱收敛、函数逼近论。

真实例子与应用¶

数据/场景：中国30个省级行政区2015-2020年的大气污染物排放数据。响应变量包括CO2、SO2、NOx、PM2.5等10种污染物。驱动因素涵盖118个指标，经筛选后保留49个，分为10个概念维度（如经济、人口、能源等）。
方法应用：
1. 构建因果图：基于领域知识构建了一个“人为驱动的大气污染物排放机制”的PFST-DSCM（图S11），其中一些节点（如气象条件）被建模为动态混淆变量。
2. 训练PFD-BDCM：使用观测数据（污染物排放和驱动因素）和已知的因果图，为每个可观测节点训练一个AC-DDIM模型。
3. 进行因果查询：
  - 观测查询：评估模型生成观测数据分布的能力（Table 1）。
  - 干预查询：对44个驱动因素进行系统性的干预实验（设定在不同分位数水平），模拟政策变化对污染物排放的影响。例如，分析“家庭规模（1-3人）”这一社会驱动因素的变化如何影响排放（图S12）。
结果：
- 观测查询：PFD-BDCM和PFD-DCM的MMD²值（约1.1-1.2×10⁻²）远低于传统的贝叶斯结构方程模型基线（PF-DSEM-Bays，约12-37×10⁻²），表明扩散模型在拟合复杂数据分布上的优势。
- 干预查询：通过计算干预前后排放残差的差异（Δ），可以量化不同干预强度对排放的影响。例如，增加“小家庭”比例可能导致某些污染物排放增加（Δ>0）。
这个例子想说明什么：验证PFD-BDCM在实际复杂系统中的可用性，证明其能够处理真实的多变量、时空依赖数据，并产生具有政策相关性的因果洞察。它展示了从模型构建到政策模拟的完整流程。

🔎 结论是否比证明窄¶

Theorem 4的结论非常强：它声称反事实误差被重构误差所控制。然而，这个结论依赖于Assumptions 4-6。在实践中，这些假设（特别是独立性Assumption 4和单调性Assumption 6）很难被完美满足。作者在4.2.3节中讨论了模型误设下的鲁棒性（Proposition S1），但该命题的结论是误差被一个包含“误设程度ζ”的项所控制，这实际上承认了在假设不满足时，误差可能更大。因此，Theorem 4的“完美”结论比其在现实中的适用范围要窄。
Theorem 5的误差界：包含了基展开误差项O(K_n^{-s})。这个误差界是渐近的，意味着当K_n很大时误差很小。但在有限样本下，K_n的选择是一个偏差-方差权衡问题，Theorem 5并未给出如何选择最优K_n的指导。因此，其结论在有限样本下的实用性可能不如渐近理论所暗示的那么强。
模拟实验的局限性：模拟实验中的DGP（图2）虽然复杂，但仍然是人为设计的。其结论（PFD-BDCM优于基线）是否能在更广泛、更复杂的真实世界中成立，仍需更多实证检验。作者在真实案例中只展示了观测和干预查询，没有展示反事实查询的结果，这削弱了对其核心反事实推理能力的验证。

四、开放问题¶

因果图未知时的扩展：本文假设因果图已知。当图结构未知或部分已知时，如何将结构学习算法（如Peters et al., 2013的加性噪声模型）与PFD-BDCM结合？作者在Section 7中提及了这一点，但指出“在动态混淆下的可识别性需要仔细考虑”。这是一个明确的开放问题，扎根于论文的“Limitations”部分。
自适应基选择：对于复杂的功能数据，固定基（如傅里叶基）可能效率不高。如何设计自适应基选择方法（如通过神经网络或高斯过程）来更好地近似功能变量，同时保持理论上的误差可控？这扎根于论文的“Limitations”部分（potential inefficiency of fixed-basis expansions for complex functional data）。
大规模图的可扩展性：本文为每个节点训练一个独立的扩散模型。当图节点数量K很大时，计算成本会线性增长。如何设计架构（如摊销推理）来共享参数或加速训练？这扎根于论文的“Limitations”部分（scalability challenges for large graphs）。
反事实识别的更强条件：本文通过Assumptions 4-6（特别是单调性）来保证外生噪声的可恢复性。然而，Nasr-Esfahany & Kiciman (2023) 已经证明，在更一般的生成机制下，反事实是不可识别的。一个开放问题是：能否在放松单调性假设的同时，找到其他可验证的条件来保证PFD-BDCM的反事实估计误差仍然可控？ 这直接扎根于论文引用的Nasr-Esfahany & Kiciman (2023) 的结论，以及本文Theorem 4的证明对单调性的依赖。

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