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Extremal eigenvectors of sparse random matrices

讲者: Chen Wang
会场: Recent Developments in Statistical Methods and Learning
报告题目: Extremal Eigenvectors of Sparse Random Matrices
链接: arXiv
来源: JCSDS 2026 · 返回会议总览

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本文研究的核心问题是：稀疏随机矩阵（如 Erdős–Rényi 图的邻接矩阵）的极端特征向量（即对应最大或最小特征值的特征向量）的联合分布是什么？ 更具体地说，当矩阵的稀疏度（即平均度数）随矩阵维度增长时，这些特征向量在任意确定性方向上的投影是否具有普适的极限分布（如高斯分布）？这个子方向是随机矩阵理论中“谱统计”与“特征向量统计”的交汇点，其成熟度处于“从谱分布到特征向量分布”的深化阶段。对于稠密矩阵（如 Wigner 矩阵），特征向量的普适性已有大量结果；但对于稀疏矩阵，由于高阶矩衰减慢、局部结构复杂，特征向量分布的研究远未完成。

发展脉络（history）

  1. 奠基工作：局部半圆律与特征值普适性（~2010-2015）

    • Erdős–Knowles–Yau–Yin (2011-2013)：建立了 Erdős–Rényi 图的局部半圆律（local semicircle law），证明了当平均度数 \(pN \to \infty\) 时，谱密度在局部尺度上服从半圆律，并由此得到特征向量的完全离域化（\(\ell_\infty\) 范数有界）。这是后续所有工作的基础。
    • Erdős–Yau–Yin (2010)：证明了广义 Wigner 矩阵的特征值刚性（rigidity），即特征值与其经典位置的距离有高概率上界。
    • Knowles–Yin (2011, 2014)：发展了各向同性局部律（isotropic local law），即 Green 函数在任意两个确定性向量之间的二次型收敛到其期望。这一工具对研究特征向量分布至关重要，但最初只适用于稠密矩阵（Wigner 矩阵和样本协方差矩阵）。

  2. 主要进展：稀疏矩阵的谱统计与特征向量统计（~2015-2022）

    • Huang–Landon–Yau (2015, 2017, 2022)：证明了稀疏随机矩阵的体普适性（bulk universality）和边缘普适性（edge universality）。关键发现是：当 \(pN \gg N^{2/3}\) 时，极端特征值的波动服从 Tracy–Widom 分布；当 \(pN\) 更小时，波动变为高斯分布，存在一个从 Tracy–Widom 到高斯的交叉。这些结果主要针对中心化矩阵 \(H\)（即减去期望后的矩阵）。
    • Bourgade–Huang–Yau (2016)：证明了稀疏随机矩阵的体特征向量是渐近联合正态的。这是第一个关于稀疏矩阵特征向量分布的结果，但仅限于体特征向量（bulk eigenvectors），且依赖于模型的交换性（仅对邻接矩阵成立）。
    • Lee (2021)：构造了极端特征值波动的高阶修正项，并证明了在 \(N^\epsilon < pN < N^{1/3-\epsilon}\) 区间内，经过修正后的边缘局部律和特征值刚性。

  3. 当前 Frontier 与本文的位置

    • 缺口：尽管体特征向量的分布已被理解，但极端特征向量（如第二大特征值对应的特征向量）的分布仍是空白。已有的比较方法（如 Green 函数比较法、Dyson 布朗运动）在稀疏情形下失效，因为稀疏矩阵的高阶矩衰减慢，导致误差项无法控制。
    • 本文的位置：本文填补了这一空白。它首次证明了稀疏随机矩阵的非平凡边缘特征向量（即第二大特征值对应的特征向量）是渐近联合正态的。其核心创新是：
      1. 直接计算方法：不依赖与高斯系综的比较，而是通过累积量展开（cumulant expansion）和自洽方程，直接计算特征向量的特征函数。
      2. 各向同性局部律的改进：将各向同性局部律从稠密矩阵推广到稀疏矩阵（\(p \ge N^{-1+o(1)}\)），这是证明特征向量分布的关键技术工具。

子线索聚类

  1. 局部律的发展：从稠密矩阵的各向同性局部律（[15, 42, 43]）到稀疏矩阵的逐点局部律（[24]），再到本文的稀疏矩阵各向同性局部律。这条线索的核心是控制 Green 函数二次型的误差。
  2. 边缘普适性：从中心化矩阵 \(H\) 的边缘普适性（[35, 37, 44]）到原始矩阵 \(A\) 的边缘普适性（本文 Theorem 1.8）。本文利用改进的各向同性局部律，将 \(H\) 的结果推广到 \(A\)。
  3. 特征向量统计：从 Wigner 矩阵的特征向量普适性（[17, 41, 47]）到稀疏矩阵的体特征向量正态性（[16]），再到本文的稀疏矩阵边缘特征向量正态性。这条线索是本文的主要贡献所在。
  4. 非常稀疏区域：当 \(p = O(\ln N / N)\) 时，极端特征值和特征向量表现出截然不同的行为（离群值、局域化、泊松统计），由 [2, 10, 11, 48] 等研究。本文专注于 \(p \ge N^{-1+o(1)}\) 的“超临界”区域，与非常稀疏区域形成对比。

这个方向在追问的核心问题

  1. 特征向量分布的普适性：稀疏随机矩阵的特征向量分布是否与高斯正交系综（GOE）一致？对于体特征向量，答案是肯定的（[16]）；对于边缘特征向量，本文给出了肯定的答案。
  2. 稀疏度对特征向量分布的影响：稀疏度 \(p\) 如何影响特征向量的波动尺度、相关性和极限分布？本文表明，在 \(p \ge N^{-1+o(1)}\) 的范围内，边缘特征向量的极限分布是正态的，与 \(p\) 的具体值无关（只要满足条件）。
  3. 各向同性局部律的适用范围：能否将各向同性局部律推广到更稀疏的矩阵（如 \(p = N^{-1}\)）或更一般的随机矩阵模型（如稀疏样本协方差矩阵）？本文的方法为后者的推广提供了可能。
  4. 特征向量与特征值的联合分布：能否同时刻画特征值和特征向量的联合分布？本文的 Theorem 1.8 和 Theorem 1.2 分别处理了特征值和特征向量，但它们的联合分布尚未被研究。

⚠️ 作者的 framing

  • 作者把缺口 frame 成什么：作者将缺口定位为“没有关于极端特征向量分布的结果”，并指出已有的比较方法（如 [12, 41] 中的方法）在稀疏情形下“不充分”（not sufficient）。因此，他们提出了一种“直接计算”分布的新方法，并将其作为本文的核心贡献。
  • 哪些竞争路线被他淡化或回避了：
    • Dyson 布朗运动：这是证明特征向量普适性的另一条主流路线（如 [17]）。作者在引言中仅提及“比较方法不充分”，但未详细讨论 Dyson 布朗运动为何在稀疏情形下困难。这可能是因为 Dyson 布朗运动需要良好的初始条件和对时间演化的精细控制，而稀疏矩阵的初始条件（如局部律）不够强。
    • Green 函数比较法：作者明确提到“比较方法不充分”，但未深入解释其失效的具体原因。从后文看，主要原因是稀疏矩阵的高阶矩衰减慢，导致比较法中的误差项无法被有效控制。
  • 什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里？：作者在引言中提到了非常稀疏区域（\(p = O(\ln N / N)\)）的离群值和局域化现象，但未引用关于随机正则图（random regular graph）的极端特征向量分布的最新结果（如 [29] 的 companion paper）。这可能是因为该结果与本文同时期完成，或者作者认为随机正则图与 Erdős–Rényi 图在结构上有本质区别（固定度数 vs. 随机度数）。

张力

未见明显对立引用。所有被引工作都支持一个一致的图景：随着稀疏度增加，谱统计和特征向量统计从 GOE 普适类过渡到非普适类，而本文的工作是这一图景在边缘特征向量上的自然延伸。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：

    • \(N\)：矩阵的维度（顶点数）。
    • \(A\)：\(N \times N\) 的实对称随机矩阵，即稀疏随机矩阵。它是本文的主要研究对象。
    • \(H\)：\(A\) 的中心化版本，即 \(H = A - \mathbb{E}[A]\)。在 Erdős–Rényi 图的情形，\(\mathbb{E}[A] = p \mathbf{1}\mathbf{1}^T\)，其中 \(\mathbf{1}\) 是全 1 向量。
    • \(p\)：Erdős–Rényi 图 \(G(N, p)\) 的边概率。稀疏性由 \(p \to 0\) 刻画。
    • \(q\)：一个与稀疏度相关的参数，在定义中 \(q \asymp \sqrt{Np}\)。它控制着矩阵元素的高阶矩衰减速度。
    • \(f\)：一个与期望矩阵的谱范数相关的参数，在定义中 \(f \asymp \sqrt{Np}\)。它刻画了期望矩阵 \(\mathbb{E}[A]\) 的强度。
    • \(\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \dots \ge \lambda_N\)：\(A\) 的特征值。
    • \(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_N\)：\(A\) 的对应特征向量，满足 \(\|\mathbf{u}_i\|_2 = 1\)。
    • \(\mathbf{e} = N^{-1/2}(1,1,\dots,1)^T\)：归一化的全 1 向量。它是期望矩阵 \(\mathbb{E}[A]\) 的特征向量。
    • \(S^{N-1}_\perp\)：与 \(\mathbf{e}\) 正交的单位球面。本文关注的特征向量 \(\mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_N\) 都几乎与 \(\mathbf{e}\) 正交。
    • \(G(z) = (A - zI)^{-1}\)：\(A\) 的 Green 函数（或预解式），其中 \(z = E + i\eta\) 是复平面上的点，\(\eta > 0\)。
    • \(m_{\text{sc}}(z)\)：半圆律的 Stieltjes 变换。
    • \(\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle\)：向量 \(\mathbf{v}\) 和 \(\mathbf{w}\) 的标准内积。
    • \(O_\prec(\cdot)\)：随机主导（stochastic domination），表示以非常高的概率被控制。

  • 模型（Definition 1.1）：

    • 数据生成机制：\(A = H + f \mathbf{e}\mathbf{e}^T\)。
    • \(H\) 是一个实对称随机矩阵，其独立的上三角元素满足：
      1. \(\mathbb{E}[H_{ij}] = 0\)。
      2. \(\mathbb{E}[H_{ij}^2] = (1 + O(\delta_{ij}))/N\)。这意味着方差是 \(1/N\) 量级，对角线元素方差略大。
      3. 对任意 \(k \ge 3\)，\(\mathbb{E}[|H_{ij}|^k] = O_k(N^{-1} q^{2-k})\)。这是稀疏性的关键：高阶矩以 \(q\) 的负幂次衰减，\(q\) 越小（矩阵越稀疏），高阶矩越大。
    • \(f\) 满足 \(\tau q \le f \le q/\tau\)，其中 \(\tau\) 是一个小的正常数。
    • 可观测数据：研究者能观测到的是矩阵 \(A\) 的所有条目 \(A_{ij}\)。对于 Erdős–Rényi 图，这就是邻接矩阵。
    • 想要但观测不到的量：特征值 \(\lambda_i\) 和特征向量 \(\mathbf{u}_i\) 是潜在量，需要通过 \(A\) 来推断。本文研究的是这些潜在量的分布性质。

第二步：讲最小内核

本文的核心数学问题是：证明第二大特征向量 \(\mathbf{u}_2\) 在任意两个与 \(\mathbf{e}\) 正交的确定性方向 \(\mathbf{v}, \mathbf{w}\) 上的投影乘积 \(N \langle \mathbf{v}, \mathbf{u}_2 \rangle \langle \mathbf{w}, \mathbf{u}_2 \rangle\) 的分布收敛到两个独立标准正态随机变量乘积的分布。

最简特例：考虑一个极端稀疏但仍在本文框架内的情形：\(p = N^{-1/2}\)，则 \(q = N^{1/4}\)，\(f = N^{1/4}\)。此时矩阵非常稀疏，平均度数仅为 \(N^{1/2}\)。

在这个特例下，本文的核心思路可以分解为以下几步：

  1. 将特征向量投影转化为 Green 函数积分：利用 Cauchy 积分公式和谱分解，可以将 \(N \langle \mathbf{v}, \mathbf{u}_2 \rangle \langle \mathbf{w}, \mathbf{u}_2 \rangle\) 近似表示为 Green 函数 \(G(z)\) 在谱边缘附近的一个积分（Lemma 5.1）。这一步将特征向量问题转化为 Green 函数问题。

  2. 建立 Green 函数的自洽方程：通过累积量展开（Lemma 2.1），对 Green 函数二次型 \(\langle \mathbf{v}, G(z) \mathbf{w} \rangle\) 的期望进行展开。关键技巧是，展开后的大部分高阶项都包含一个“奇数索引”（odd index），即某个索引在 Green 函数乘积中出现奇数次。利用这个性质，可以对这些高阶项进行递归展开，直到它们变得可忽略（Section 3.1.1, Lemma 3.5）。最终，主导项会形成一个关于特征函数 \(g(t) = \mathbb{E}[\exp(it N \langle \mathbf{v}, \mathbf{u}_2 \rangle \langle \mathbf{w}, \mathbf{u}_2 \rangle)]\) 的常微分方程（ODE）。

  3. 求解 ODE 得到极限分布：通过计算，得到的 ODE 是：

    \[g'(t) = \frac{i\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle + (\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle^2 - 1)t}{1 - 2i\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle t + (1 - \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle^2)t^2} g(t) + \text{error}\]
    初始条件 \(g(0) = 1\)。这个 ODE 的解恰好是 \(\langle \mathbf{v}, \mathbf{z} \rangle \langle \mathbf{w}, \mathbf{z} \rangle\) 的特征函数，其中 \(\mathbf{z}\) 是标准正态向量。因此，\(N \langle \mathbf{v}, \mathbf{u}_2 \rangle \langle \mathbf{w}, \mathbf{u}_2 \rangle\) 的极限分布就是两个相关正态变量乘积的分布。

核心数学困难：在第二步中，控制累积量展开的高阶项是主要难点。对于稠密矩阵，高阶矩衰减快（\(O(N^{-k/2})\)），这些项可以直接被忽略。但对于稀疏矩阵，高阶矩衰减慢（\(O(N^{-1} q^{2-k})\)），直接忽略会导致误差过大。本文的突破在于发现了“奇数索引”结构，并利用它进行递归展开，从而将误差项压缩到可接受的范围。这相当于发明了一种专门处理稀疏矩阵 Green 函数展开的“消去法”。

三、这篇论文做了什么

  • 三句话：
    1. 研究了什么问题：稀疏随机矩阵（包括 Erdős–Rényi 图）的非平凡边缘特征向量（第二大特征值对应的特征向量）的联合分布。
    2. 核心工具 / 方法：各向同性局部律（Theorem 1.4）和一种直接计算特征向量分布的新方法，该方法基于累积量展开和自洽方程，不依赖于与高斯系综的比较。
    3. 主要结论：这些边缘特征向量是渐近联合正态的（Theorem 1.2）。作为副产品，还改进了稀疏矩阵的各向同性局部律（Theorem 1.4），并推导了原始矩阵 \(A\) 的边缘普适性（Theorem 1.8）和 Wigner 矩阵边缘的量子遍历性波动（Theorem 1.9）。

关键设定与假设

  • 稀疏矩阵定义（Definition 1.1）：这是全文的基础。它通过矩条件 \(\mathbb{E}[|H_{ij}|^k] = O_k(N^{-1} q^{2-k})\) 来刻画稀疏性。参数 \(q\) 控制稀疏度，\(q\) 越小，矩阵越稀疏。假设 \(N^\tau \le q \le N^{1/2}\)，其中 \(\tau > 0\) 是一个小常数。这对应于 \(p \ge N^{-1+o(1)}\) 的稀疏度范围。
  • 谱域 \(D\)（(1.1) 式）：\(D = \{z = E + i\eta: |E| \le 3, N^{-1+\tau} \le \eta \le 1\}\)。这是局部律成立的区域，要求虚部 \(\eta\) 不能太小，以避免谱的离散性带来的困难。
  • 与已有文献的对比：
    • 相比稠密矩阵：本文的假设允许高阶矩衰减更慢（\(q\) 可以远小于 \(N^{1/2}\)），这是稀疏性的体现。稠密矩阵对应 \(q = N^{1/2}\) 的特例。
    • 相比已有的稀疏矩阵局部律：本文的假设与 [24] 一致，但本文证明的是更强的各向同性局部律，而 [24] 只证明了逐点局部律。
    • 相比 [16]：本文的模型更一般，不依赖于 Erdős–Rényi 图的交换性，因此适用于更广泛的稀疏随机矩阵。

主要结果

  1. Theorem 1.2（边缘特征向量普适性）：这是本文的核心定理。它断言，对于任意 \(k\) 个与 \(\mathbf{e}\) 正交的确定性方向对 \((\mathbf{v}_a, \mathbf{w}_a)\)，随机向量 \((N \langle \mathbf{v}_a, \mathbf{u}_{a+1} \rangle \langle \mathbf{w}_a, \mathbf{u}_{a+1} \rangle)_{a=1}^k\) 的联合特征函数与 \(k\) 个独立标准高斯向量的对应投影乘积的联合特征函数之差为 \(O(N^{-\varepsilon})\)。这意味着边缘特征向量的分布是普适的，与矩阵的具体分布无关（只要满足稀疏性条件）。

  2. Theorem 1.4（各向同性局部律）：这是证明 Theorem 1.2 的关键技术工具。它给出了 Green 函数二次型 \(\langle \mathbf{v}, G(z) \mathbf{w} \rangle\) 的精确估计：

    \[|\langle \mathbf{v}, G(z) \mathbf{w} \rangle - \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle m_{\text{sc}}(z)| \le N^{o(1)} \left( \frac{1}{(N\eta)^{1/3}} + \frac{1}{q^{1/3}} \right)\]
    这个界在谱域 \(D\) 上一致成立。相比已有的逐点局部律，这个各向同性版本能控制任意方向上的二次型，是研究特征向量分布的必要条件。

  3. Theorem 1.8（边缘普适性）：利用 Theorem 1.4，将已有的关于中心化矩阵 \(H\) 的边缘普适性结果（[35, 37, 44]）推广到原始矩阵 \(A\)。它表明，经过一个随机平移 \(L\) 后，\(A\) 的第二大特征值 \(\lambda_2\) 的波动与 GOE 的最大特征值 \(\mu_1\) 的波动一致。

  4. Theorem 1.9（Wigner 矩阵边缘的量子遍历性）：作为新方法的一个应用，证明了对于 Wigner 矩阵（\(q = N^{1/2}\)），边缘特征向量 \(\mathbf{u}_1^H\) 在任意无迹矩阵 \(B\) 上的二次型 \(\langle \mathbf{u}_1^H, B \mathbf{u}_1^H \rangle\) 的波动是正态的。这解决了该领域一个悬而未决的问题。

证明路线与技术技巧（理论型）

整体路线（以 Theorem 1.2 为例）：

  1. Step 1: 转化为 Green 函数积分：利用谱分解和 Cauchy 积分，将特征向量投影 \(N \langle \mathbf{v}, \mathbf{u}_2 \rangle \langle \mathbf{w}, \mathbf{u}_2 \rangle\) 表示为 Green 函数 \(G(z)\) 在谱边缘附近一个小区间上的积分（Lemma 5.1）。这一步将问题从离散的特征向量空间转移到连续的复平面。
  2. Step 2: 建立特征函数的 ODE：设 \(g(t) = \mathbb{E}[\exp(it Y)]\)，其中 \(Y\) 是 Step 1 中的积分。对 \(g(t)\) 求导，得到 \(g'(t) = i \mathbb{E}[Y \exp(it Y)]\)。然后，利用累积量展开（Lemma 2.1）和 Green 函数的微分规则（(2.3) 式），将 \(g'(t)\) 展开成一系列期望项的和。
  3. Step 3: 控制高阶项：这是最困难的一步。展开后的大部分项（对应于 \(s \ge 2\) 的累积量）都包含“奇数索引”结构。通过引入“抽象多项式”（abstract polynomial）的概念（Definition 3.1），并证明一个关键的改进引理（Lemma 3.5），可以对这些高阶项进行递归展开，最终证明它们都是可忽略的误差项 \(O(N^{-\delta})\)。
  4. Step 4: 计算主导项并得到 ODE：在忽略高阶项后，主导项（对应于 \(s=1\) 的累积量）可以简化为一个关于 \(g(t)\) 及其导数的表达式。经过复杂的代数运算（Section 5.2），最终得到关于 \(g(t)\) 的一阶 ODE。
  5. Step 5: 求解 ODE：ODE 的解恰好是 \(\langle \mathbf{v}, \mathbf{z} \rangle \langle \mathbf{w}, \mathbf{z} \rangle\) 的特征函数，其中 \(\mathbf{z}\) 是标准正态向量。因此，\(g(t)\) 的极限就是该特征函数，从而证明了正态性。

关键跳跃点：

  • 从 Green 函数积分到特征函数 ODE：这是整个证明的核心思想。它巧妙地将一个看似复杂的特征向量分布问题，转化为一个关于特征函数的、相对简单的 ODE 问题。这个跳跃依赖于对 Green 函数进行累积量展开后，能够将积分重新“翻译”回特征向量投影。
  • 控制高阶累积量项：这是证明的技术核心。稀疏矩阵的高阶矩衰减慢，使得高阶累积量项不能像稠密情形那样被直接忽略。本文的突破在于发现了“奇数索引”结构，并利用它进行递归展开。这个技巧是本文最原创的贡献。

技术技巧点名：

  • 累积量展开（Cumulant expansion, Lemma 2.1）：这是整个计算的基础工具，用于处理随机矩阵元素与 Green 函数的乘积的期望。
  • 抽象多项式（Abstract polynomial, Definition 3.1）：这是一个组织证明的框架。它将复杂的 Green 函数乘积项抽象成形式化的多项式，使得对它们的估计和递归展开变得系统化。
  • 奇数索引（Odd index）：这是本文最关键的观察。在累积量展开的高阶项中，总存在某个索引在 Green 函数乘积中出现奇数次。利用这个性质，可以对这些项进行递归展开，直到它们变得可忽略。
  • 自洽方程（Self-consistent equation）：通过计算主导项，得到一个关于特征函数 \(g(t)\) 的 ODE，这本质上是一个自洽方程。求解该方程即得到极限分布。
  • 各向同性局部律的 Bootstrap：证明 Theorem 1.4 时，使用了一个 bootstrap 论证：假设在某个谱参数 \(z\) 处局部律成立，然后证明在虚部更小的 \(z'\) 处也成立。这依赖于对 Green 函数在 \(\mathbf{e}\) 方向上的精细估计。

真实例子与应用

本文为纯理论，无实证例子。所有结果都是数学定理及其证明。

🔎 结论是否比证明窄

  • Theorem 1.9 的陈述假设 \(B\) 是实对称且无迹的。但 Remark 1.10 (ii) 指出，该方法可以推广到复 Wigner 矩阵和复可观测量的情形。因此，定理的陈述比证明所能覆盖的范围要窄，作者明确指出了这一点。
  • Theorem 1.2 的陈述只针对第二大特征向量 \(\mathbf{u}_2\)。但 Remark 1.10 (i) 指出，类似结果对最小特征向量也成立。因此，结论的陈述是保守的，证明方法具有更广的适用性。
  • Theorem 1.8 的证明依赖于 [35, 37, 44] 中关于中心化矩阵 \(H\) 的结果。本文的贡献在于利用 Theorem 1.4 将 \(H\) 的结果“提升”到 \(A\)。因此，Theorem 1.8 的证明深度依赖于前人的工作，其独立性不如 Theorem 1.2。

四、开放问题（点到为止，扎根具体语句）

  1. 将结果推广到更稀疏的区域：本文的结果要求 \(p \ge N^{-1+o(1)}\)。能否将各向同性局部律和边缘特征向量的正态性推广到更稀疏的区域，例如 \(p = N^{-1}\) 或 \(p = c \log N / N\)？这扎根于引言中提到的“非常稀疏区域”的讨论，以及 Theorem 1.4 证明中对 \(q\) 的下界要求。
  2. 建立特征向量与特征值的联合分布：本文分别证明了特征值的边缘普适性（Theorem 1.8）和特征向量的正态性（Theorem 1.2）。一个自然的问题是：特征值和特征向量是否是联合普适的？ 例如，第二大特征值 \(\lambda_2\) 和对应的特征向量 \(\mathbf{u}_2\) 的联合分布是否与 GOE 一致？这扎根于 Theorem 1.2 和 Theorem 1.8 的陈述，它们各自独立，未涉及联合分布。
  3. 将方法应用于其他稀疏随机矩阵模型：作者在引言中提到，该方法也适用于稀疏样本协方差矩阵。能否将其应用于更一般的模型，如随机点积图（random dot product graph）或随机块模型（stochastic block model）？这扎根于引言中“The method presented here also applies to sparse sample covariance matrices”这句话。
  4. 特征向量的高阶相关性：Theorem 1.2 证明了边缘特征向量投影的二阶相关性（即 \(\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}_2 \rangle \langle \mathbf{w}, \mathbf{u}_2 \rangle\)）是正态的。能否证明更高阶的相关性（如 \(\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}_2 \rangle^4\)）也服从普适的极限分布？这扎根于 Theorem 1.2 的证明方法，该方法通过特征函数来刻画分布，原则上可以处理任意阶矩。

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