跳转至

Reducing multivariate independence testing to two bivariate means comparisons

讲者: Yeqing Zhou
会场: High-Dimensional Independence and Nonparametric Testing Methods
报告题目: Test of Multivariate Independence via Comparing Two Bivariate Means
链接: arXiv
来源: JCSDS 2026 · 返回会议总览

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

这个子方向是多元独立性检验，核心问题是：给定两个随机向量 \(X \in \mathbb{R}^{d_1}\) 和 \(Y \in \mathbb{R}^{d_2}\)，基于 i.i.d. 样本，检验它们是否独立。这是一个基础但困难的问题，因为备择假设空间极其庞大（所有可能的依赖关系）。当前成熟度较高，已有大量一致检验方法，但在强非单调、非线性关系下，许多方法的功效会急剧下降，这正是本文试图解决的缺口。

发展脉络（history）

  1. 奠基工作（单变量 → 多变量）：

    • Pearson (1895)、Kendall (1938)、Spearman (1904)：经典的单变量相关性度量，但对非线性关系可能为零，即检验不一致。
    • Hoeffding (1948b)、Blum, Kiefer & Rosenblatt (1961)、Bergsma & Dassios (2014)：提出了单变量情形下一致的检验统计量（如 Hoeffding's D, Blum-Kiefer-Rosenblatt's R, Bergsma-Dassios-Yanagimoto's \(\tau^*\)），为多变量推广奠定了基础。

  2. 主要进展（多变量一致检验的爆发）：

    • Székely, Rizzo & Bakirov (2007)：提出距离协方差 (dCov)，通过比较联合特征函数与边际特征函数乘积的距离，首次给出了一个广泛适用、一致的多变量独立性检验。这是该领域的里程碑。
    • Gretton et al. (2008)：提出希尔伯特-施密特独立性准则 (HSIC)，基于再生核希尔伯特空间，与 dCov 有深刻联系。
    • Heller, Heller & Gorfine (2013)：提出 HHG 检验，基于距离的秩，也是一种一致检验。
    • Zhu, Xu, Li & Zhong (2017)：提出投影协方差 (pCov)，通过投影平均技术，对维度不敏感。
    • Weihs, Drton & Meinshausen (2018)：提出对称秩协方差，统一了 Kendall's tau、Hoeffding's D 等，并推广到多变量。
    • Kim, Balakrishnan & Wasserman (2020a)：提出多变量 Blum-Kiefer-Rosenblatt 和 Bergsma-Dassios-Yanagimoto 系数。
    • Moon & Chen (2020)：提出点间秩符号协方差。
    • Pan, Wang, Zhang, Zhu & Zhu (2020)：提出球协方差，适用于 Banach 空间。
    • Shi, Drton & Han (2022a); Deb & Sen (2023)：提出基于中心向外秩的分布自由检验，如 RdCov。

  3. 当前 Frontier 与本文位置：

    • 上述方法在理论上都是一致的，但实证研究表明，对于某些强非单调、非线性关系（如圆形、菱形、双抛物线），它们的功效可能很低（见本文 Table 5-7）。
    • 本文 (Xu, Zhou, Zhu & Li, 2024) 的核心洞察是：这些方法的低功效源于其依赖度量 \( \mu_{1,f_1,f_2}(x,y) \) 中，两个关键项 \(S_{1,f_1,f_2} - S_{3,f_1,f_2}\) 和 \(S_{2,f_1,f_2} - S_{3,f_1,f_2}\) 可能符号相反，相互抵消，导致度量值接近零。本文通过引入一个带参数 \(\gamma\) 的度量族 \( \mu_{\gamma,f_1,f_2} \)，特别是 \(\gamma\) 为偶数或无穷大时，避免了这种抵消，从而显著提升了功效。

子线索聚类

  1. 基于距离/核的方法：dCov (Székely et al., 2007), HSIC (Gretton et al., 2008), MGC (Shen et al., 2017)。这类方法通过比较样本间距离或核函数来度量依赖。
  2. 基于秩的方法：HHG (Heller et al., 2013), 对称秩协方差 (Weihs et al., 2018), 中心向外秩方法 (Shi et al., 2022a; Deb & Sen, 2023)。这类方法通过将数据转换为秩来获得分布自由或稳健性。
  3. 基于投影的方法：pCov (Zhu et al., 2017), 投影平均方法 (Kim et al., 2018)。这类方法通过将高维问题投影到一维来简化。
  4. 其他方法：图基方法 (Berrett & Samworth, 2019; Shen et al., 2020; Azadkia & Chatterjee, 2021), 集成方法 (Lee et al., 2022), 分箱方法 (Gorsky & Ma, 2022)。

这个方向在追问的核心问题

  1. 如何构造一个对所有类型的依赖关系（包括非单调、非线性）都有一致且高功效的检验？
  2. 如何在高维情形下（\(d_1, d_2\) 随 \(n\) 增长）保持检验的功效？
  3. 如何构造一个渐近分布自由（asymptotically distribution-free）的检验，避免耗时的置换过程？
  4. 如何将独立性检验问题与其他统计问题（如两样本检验）联系起来，从而借用后者的成熟工具？

⚠️ 作者的 framing

  • 作者的缺口 frame：作者将现有方法的低功效归因于一个具体的、可量化的数学现象——正负项抵消。他们通过引入 \(\gamma\) 参数族，将问题转化为一个两样本均值比较问题，从而“自然地”提出了一种避免抵消的方案。这使得他们的工作看起来是“显然的下一步”：既然抵消是问题，那就用 \(\ell_2\) 或 \(\ell_\infty\) 范数来聚合。
  • 被淡化/回避的竞争路线：
    • HHG 检验：在作者的模拟中（Tables 4-7），HHG 在非单调非线性关系下表现相当好，甚至优于部分 \(\hat{T}_\gamma\)（如 \(\hat{T}_3\)）。作者在文中承认了这一点，但并未深入讨论为什么 HHG 能部分避免抵消，以及本文方法相比 HHG 的独特优势（除了“更简单”或“更统一”的框架外）。
    • 基于秩的方法（如 RdCov）：作者在模拟中观察到 RdCov 在维度升高时功效急剧下降（Table 3），但未深入分析其根本原因（可能与中心向外秩估计在高维下的不稳定性有关）。
  • 什么明显该被引/该存在、却没出现在 intro 里？
    • 关于“抵消”现象的更早讨论：作者声称“首次”将独立性检验转化为两样本均值比较，并指出抵消问题。但“抵消”或“符号相反”导致统计量失效的现象，在更广泛的检验问题（如高维均值检验）中已有讨论（如 Xu et al., 2016 的 adaptive test）。作者引用了 Xu et al. (2016) 和 He et al. (2021) 的“最小组合”方法，但未明确承认他们的问题框架与这些工作的相似性。
    • 关于“组合 p 值”方法的更全面比较：作者使用了 Fisher、最小值和 Cauchy 组合，但未引用更近期的关于最优组合方法的文献（如 harmonic mean p-value, Vovk's e-values 等）。这可能是一个值得研究者去查的缺口。

张力

未见明显对立引用。所有被引工作都致力于构造一致检验，分歧在于具体方法和适用场景。本文的贡献在于揭示了一个被忽视的失效机制（抵消），并提供了一个统一的解决方案。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：

    • \(X \in \mathbb{R}^{d_1}, Y \in \mathbb{R}^{d_2}\)：两个随机向量，是我们要检验是否独立的对象。
    • \(n\)：样本量。
    • \(\{(x_i, y_i)\}_{i=1}^n\)：可观测的 i.i.d. 样本。
    • \(m \ge 4\)：一个整数，用于定义核函数。在距离协方差中，\(m=4\)。
    • \(f_1, f_2\)：核函数，分别作用于 \(X\) 和 \(Y\) 的 \(m\) 个独立副本。例如，在 dCov 中，\(f_1(x_1, x_2, x_3, x_4) = \|x_1 - x_2\|\)。
    • \(S_{1,f_1,f_2}, S_{2,f_1,f_2}, S_{3,f_1,f_2}\)：三个期望值，是定义依赖度量的基础。它们都是 \(f_1\) 和 \(f_2\) 的乘积的期望，但 \(Y\) 的副本在 \(f_2\) 中的排列顺序不同。
    • \(\mu_{f_1,f_2}(x,y) = S_{1,f_1,f_2} + S_{2,f_1,f_2} - 2S_{3,f_1,f_2}\)：一个通用的依赖度量。当 \(f_1, f_2\) 选择适当时，它等于 0 当且仅当 \(X\) 和 \(Y\) 独立。
    • \(\gamma \in [1, \infty]\)：一个正整数，用于定义新的度量族 \(\mu_{\gamma, f_1, f_2}\)。
    • \(\mu_{\gamma, f_1, f_2}(x,y) = \{(S_{1,f_1,f_2} - S_{3,f_1,f_2})^\gamma + (S_{2,f_1,f_2} - S_{3,f_1,f_2})^\gamma\}^{1/\gamma}\)：本文提出的新度量族。
    • \(\hat{S}_{l,f_1,f_2}\)：\(S_{l,f_1,f_2}\) 的无偏 U-统计量估计。
    • \(\hat{\mu}_{\gamma, f_1, f_2}\)：\(\mu_{\gamma, f_1, f_2}\) 的样本版本。
    • \(w_{n,\gamma}\)：收敛速率，对于奇数 \(\gamma\) 为 \(n^{(\gamma+1)/(2\gamma)}\)，对于偶数或无穷大 \(\gamma\) 为 \(n^{1/2}\)。
    • \(G_{2,f_1,f_2}\)：一个标准正态随机变量，出现在偶数/无穷大 \(\gamma\) 的渐近分布中。

  • 模型：非参数模型。我们不对 \(X\) 和 \(Y\) 的联合分布做任何参数假设，只假设它们有有限的二阶矩（或更一般的矩条件）。目标是检验 \(H_0: X \perp\!\!\!\perp Y\) 对 \(H_1: X \not\!\perp\!\!\!\perp Y\)。

  • 可观测数据：研究者能观测到的是 \(n\) 个 i.i.d. 样本对 \(\{(x_i, y_i)\}_{i=1}^n\)。我们无法直接观测到 \(S_{1,f_1,f_2}, S_{2,f_1,f_2}, S_{3,f_1,f_2}\) 这些总体期望，只能通过样本 U-统计量 \(\hat{S}_{l,f_1,f_2}\) 来估计。关键是要理解，独立性检验等价于检验这三个期望是否相等。

第二步：讲最小内核

本文的核心思路可以用一个最简特例来理解：当 \(d_1 = d_2 = 1\)，且我们使用距离协方差 (dCov) 的核函数时。

  • 最简特例设定：

    • \(X, Y\) 是一维随机变量。
    • \(m=4\)。
    • \(f_1(x_1, x_2, x_3, x_4) = |x_1 - x_2|\)，\(f_2(y_1, y_2, y_3, y_4) = |y_1 - y_2|\)。
    • 那么，\(S_1 = \mathbb{E}[|X_1 - X_2| |Y_1 - Y_2|]\)，\(S_2 = \mathbb{E}[|X_1 - X_2| |Y_3 - Y_4|]\)，\(S_3 = \mathbb{E}[|X_1 - X_2| |Y_1 - Y_3|]\)。
    • 经典的 dCov 统计量是 \(\mu_1 = S_1 + S_2 - 2S_3\)。

  • 核心问题：为什么 dCov 在某些非线性关系下功效低？

    • 假设 \(X\) 和 \(Y\) 有某种“对称”的非线性关系，比如 \(Y = X^2\)（当 \(X\) 关于 0 对称时）。
    • 直观上，\(S_1 - S_3\) 和 \(S_2 - S_3\) 可能符号相反。例如，\(S_1 - S_3\) 可能为正，而 \(S_2 - S_3\) 可能为负。
    • 那么，\(\mu_1 = (S_1 - S_3) + (S_2 - S_3)\) 就会因为正负抵消而变得很小，甚至接近 0，导致检验无法拒绝独立性的原假设。

  • 本文的关键想法：不要用 \(\ell_1\) 范数（即直接相加）来聚合这两个差值，而是用 \(\ell_2\) 或 \(\ell_\infty\) 范数。

    • 例如，取 \(\gamma=2\)：\(\mu_2 = \sqrt{(S_1 - S_3)^2 + (S_2 - S_3)^2}\)。
    • 即使 \(S_1 - S_3\) 和 \(S_2 - S_3\) 符号相反，它们的平方和也不会抵消，从而 \(\mu_2\) 会远大于 \(\mu_1\)。
    • 取 \(\gamma=\infty\)：\(\mu_\infty = \max(|S_1 - S_3|, |S_2 - S_3|)\)。这直接取绝对值最大的那个差值，完全避免了抵消。

  • 结论：在这个一维、dCov 的特例下，本文的核心贡献就是用一个简单的数学技巧（改变聚合范数）解决了现有方法因正负项抵消而失效的问题。论文的一般性在于将这个想法推广到任意核函数 \(f_1, f_2\) 和任意维度。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：本文研究了多元独立性检验问题，发现许多现有的一致检验在强非单调、非线性关系下功效低下的原因是其依赖度量中的两个关键项符号相反、相互抵消。
  2. 核心工具/方法：本文提出了一类新的依赖度量族 \(\mu_{\gamma, f_1, f_2}\)，通过将原问题等价转化为检验两个双变量均值是否相等，并使用 \(\ell_\gamma\) 范数（特别是 \(\gamma\) 为偶数或无穷大时）来聚合差值，从而避免抵消效应。对于偶数或无穷大 \(\gamma\)，检验是渐近分布自由的。
  3. 主要结论：理论上证明了新度量族的一致性，并给出了不同 \(\gamma\) 值下检验统计量的渐近零分布和备择分布。模拟和真实数据分析表明，对于非单调、非线性关系，\(\gamma \ge 2\) 的检验功效显著优于传统的 \(\gamma=1\) 方法（如 dCov, HSIC, pCov）以及许多其他竞争方法。

关键设定与假设

  • 设定：非参数设定，\(X \in \mathbb{R}^{d_1}, Y \in \mathbb{R}^{d_2}\)，有 i.i.d. 样本 \(\{(x_i, y_i)\}_{i=1}^n\)。
  • 核函数 \(f_1, f_2\)：要求它们使得 \(\mu_{f_1,f_2}(x,y)\) 满足 I-一致性（独立时为零）和 D-一致性（依赖时非零）。这涵盖了 dCov, HSIC, HHG, pCov, RdCov 等许多现有方法。
  • Assumption 1 (零假设下)：
    • (i) 核函数有有限二阶矩。
    • (ii) 在独立时，\(h_{f_1,f_2}\) 是退化的（即一阶投影为0）。这是 U-统计量渐近理论的标准条件。
    • (iii) 二阶投影 \(h_{2,f_1,f_2}\) 有谱分解。这是为了得到奇数次 \(\gamma\) 的渐近分布（涉及无穷级数）。
  • Assumption 2 (备择假设下)：
    • (i) 核函数有有限二阶矩。
    • (ii) 在依赖时，\(h_{f_1,f_2}\) 的均值非零且一阶投影非退化。这是为了得到 \(\sqrt{n}\) 收敛速率。
  • Assumption 3 (置换检验)：核函数有有限 \((2+\delta)\) 阶矩，\(\delta > 0\)。这是为了证明置换分布收敛到零分布所需的均匀可积性。

相比已有文献的强化/放宽：本文的假设是相当标准的，与 dCov 等方法的理论假设一致。主要创新不在于假设的强弱，而在于对现有度量结构的重新解读和聚合方式的改变。

主要结果

  • Theorem 1 (等价性)：在合适的核函数下，\(S_{1,f_1,f_2} = S_{2,f_1,f_2} = S_{3,f_1,f_2}\) 当且仅当 \(X\) 和 \(Y\) 独立。这将独立性检验等价地转化为检验两个双变量均值是否相等，是全文的理论基石。
  • Theorem 2 (一致性)：对于任何整数 \(\gamma \in [2, \infty]\)，\(\mu_{\gamma,f_1,f_2}(x,y) \ge 0\)，且等于 0 当且仅当 \(X\) 和 \(Y\) 独立。这保证了新度量族的一致性。
  • Theorem 3 (大小排序)：详细刻画了在不同符号组合下，\(\mu_{\gamma,f_1,f_2}\) 随 \(\gamma\) 变化的单调性。核心结论是：当 \(S_1 - S_3\) 和 \(S_2 - S_3\) 符号相反时，\(\mu_{\gamma}\) 对于 \(\gamma \ge 2\) 严格大于 \(\mu_1\)。这从理论上解释了为什么新方法能提升功效。
  • Theorem 4 (联合渐近零分布)：给出了不同 \(\gamma\) 下检验统计量 \(w_{n,\gamma}\hat{\mu}_{\gamma,f_1,f_2}\) 的渐近分布。
    • 奇数 \(\gamma\)：分布是二次型，涉及无穷多个未知特征值，难以直接使用。
    • 偶数或无穷大 \(\gamma\)：分布是加权半正态 \(m 2^{1/\gamma} |G_{2,f_1,f_2}|\) 或 \(m |G_{2,f_1,f_2}|\)，其中 \(G_{2,f_1,f_2}\) 是标准正态。这意味着检验是渐近分布自由的，只需估计一个方差参数 \(\sigma^2_{0,f_1,f_2}\) 即可计算 p 值，无需置换。
  • Theorem 5 & Corollary 5.1 (渐近备择分布与一致性)：在依赖时，\(\hat{\mu}_{\gamma,f_1,f_2}\) 以 \(\sqrt{n}\) 速率收敛到 \(\mu_{\gamma,f_1,f_2} > 0\)，且检验统计量发散到无穷大，保证了检验的一致性。
  • Theorem 6 & Corollary 6.1 (置换检验的一致性)：证明了基于置换的 p 值在零假设下收敛到均匀分布，在备择假设下收敛到 0，从而保证了置换检验的渐近正确水平和一致性。

证明路线与技术技巧

  • 整体路线：

    1. 重新表述：通过 Theorem 1，将独立性检验问题转化为检验 \(H_0: (S_1, S_3) = (S_3, S_2)\)。
    2. 构造度量：基于两样本均值比较的思想，构造 \(\ell_\gamma\) 范数度量 \(\mu_{\gamma}\)。
    3. U-统计量估计：用无偏 U-统计量 \(\hat{S}_l\) 估计 \(S_l\)，得到 \(\hat{\mu}_{\gamma}\)。
    4. 渐近理论：
      • 零假设：利用 U-统计量的退化性（Assumption 1(ii)），证明 \(\hat{\mu}_1\) 以 \(n^{-1}\) 速率收敛，而 \(\hat{S}_1 - \hat{S}_3\) 和 \(\hat{S}_2 - \hat{S}_3\) 以 \(n^{-1/2}\) 速率收敛。通过 Delta 方法，推导出不同 \(\gamma\) 下的渐近分布。关键在于，对于偶数 \(\gamma\)，平方操作消除了符号信息，使得极限分布只依赖于一个正态变量 \(G_{2,f_1,f_2}\)。
      • 备择假设：利用 U-统计量的非退化性（Assumption 2(ii)），证明 \(\hat{S}_l\) 以 \(n^{-1/2}\) 速率收敛到 \(S_l\)，再通过 Delta 方法得到 \(\hat{\mu}_{\gamma}\) 的渐近正态性。
    5. 置换检验：证明置换后的统计量收敛到零分布，从而保证置换 p 值的有效性。

  • 关键跳跃点：

    • 从 \(\mu_1\) 到 \(\mu_{\gamma}\) 的跳跃：这不是一个技术上的跳跃，而是一个概念上的跳跃。作者敏锐地观察到 \(\mu_1\) 的失效模式，并提出了一个简单而有效的修正方案。这个跳跃的难度在于识别出问题所在，而不是解决它。
    • 偶数 \(\gamma\) 的渐近分布自由性：这是技术上的一个亮点。通过平方和（或取最大）操作，作者成功地将一个复杂的、涉及无穷级数的二次型分布，简化为了一个简单的半正态分布。这大大提升了方法的实用性。

  • 技术技巧点名：

    • U-统计量理论：全文的估计和渐近理论都建立在 U-统计量之上。作者使用了 U-统计量的投影、退化性、Hájek 投影等标准工具。
    • Delta 方法：用于推导 \(\hat{\mu}_{\gamma}\) 的渐近分布，因为它是 \(\hat{S}_l\) 的非线性函数。
    • 置换检验理论：使用了关于置换分布收敛到零分布的一般理论（Theorem 6），这需要验证均匀可积性等条件。
    • Jackknife 估计：用于估计偶数 \(\gamma\) 渐近分布中的方差参数 \(\sigma^2_{0,f_1,f_2}\)。

真实例子与应用

  • 数据：一个基因表达微阵列数据集，来自 120 只大鼠的眼睛组织，包含 18,976 个探针集。关注基因 TRIM32（与 Bardet-Biedl 综合征相关），并选择 300 个方差最大的其他基因探针。
  • 方法应用：检验 TRIM32 的表达水平是否与这 300 个基因的表达水平独立。使用了本文提出的 \(\hat{T}_\gamma\) 检验（基于 dCov 核）和六种竞争方法。通过随机抽取不同大小的子样本（\(n=45, 60, 75, 90\)）来评估功效。
  • 结果：
    • Table 8：本文提出的 \(\hat{T}_\gamma\)（\(\gamma \ge 2\)）和组合检验（\(\hat{T}_{\text{Fisher}}, \hat{T}_{\text{min}}, \hat{T}_{\text{Cauchy}}\)）的功效普遍高于 dCov, HSIC, HHG, MGC, pCov, RdCov 和 \(\hat{T}_1\)。
    • Table 9：计算了 \(S_1 - S_3\) 和 \(S_2 - S_3\)，发现它们符号相反，导致 \(S_1 + S_2 - 2S_3\) 很小。这直接验证了作者的“抵消”假说，并解释了为什么传统方法功效低。
    • Figure 2：展示了与 TRIM32 关联最强的三个基因的散点图，呈现出明显的非线性关系。
  • 这个例子想说明什么：这个真实数据例子完美地验证了本文的理论发现。它展示了一个实际场景，其中传统方法因“抵消”而失效，而本文提出的方法能够有效检测出这种非线性依赖关系，从而证明了其实际应用价值。

🔎 结论是否比证明窄

  • Theorem 3 (大小排序) 的结论是在总体水平上的，即 \(\mu_{\gamma}\) 的大小关系。但实际检验功效还取决于估计量的方差和收敛速率。作者在 4.3 节中讨论了 \(w_{n,\gamma}\) 和 \(\hat{\mu}_{\gamma}\) 随 \(\gamma\) 变化的相反趋势，并指出存在一个最优的 \(\gamma_0\)。然而，Theorem 3 本身并没有直接证明 \(\gamma \ge 2\) 的检验功效一定优于 \(\gamma=1\)，它只是提供了一个重要的直觉。功效的严格比较需要更精细的局部幂分析，本文没有提供。
  • Theorem 4 对偶数 \(\gamma\) 的渐近分布是精确的（加权半正态），但对奇数 \(\gamma\) 的分布是复杂的二次型。作者在 4.3 节中通过“\(\gamma \to \infty\) 时奇数 \(\gamma\) 的分布也趋近于半正态”这一论点来论证奇数 \(\gamma\) 的实用性，但这只是一个渐近论证，对于有限 \(\gamma\) 和有限样本，其近似效果可能不如偶数 \(\gamma\) 好。作者在模拟中主要依赖置换检验来处理奇数 \(\gamma\)，这回避了直接使用其复杂渐近分布的问题。

四、开放问题

  1. 最优 \(\gamma\) 的选择：Theorem 3 和 4.3 节的分析表明，存在一个最优的 \(\gamma\) 值（可能依赖于未知的依赖结构），使得检验功效最大。如何自适应地选择 \(\gamma\)，或者设计一个对所有 \(\gamma\) 都有效的组合方法，是一个开放问题。（扎根于 4.3 节：“there also exists some \(\gamma_0\) that enables the asymptotic power ... to perform the best.”）

  2. 扩展到条件独立性检验：作者在 Discussion 中提到了将本方法扩展到条件独立性检验。如何将“抵消”的概念和 \(\ell_\gamma\) 聚合技巧应用到条件独立性检验中，例如在给定协变量 \(Z\) 时检验 \(X \perp\!\!\!\perp Y | Z\)？ 这需要处理条件分布和更复杂的 U-统计量结构。（扎根于 Section 8：“The concept to boost the testing power can also be extended to test ... conditional independence.”）

  3. 高维下的理论性质：本文的模拟考虑了维度 \(d_1 = d_2\) 高达 400 的情况，但理论结果（如 Theorem 4）是固定维度下的渐近。当维度 \(d_1, d_2\) 随样本量 \(n\) 增长时，本文提出的检验统计量的渐近性质（如收敛速率、功效）如何？ 是否存在维度诅咒？这需要高维 U-统计量理论。（扎根于模拟部分，但理论部分未涉及高维渐近。）

  4. 与其他“抵消”问题的联系：本文揭示的“抵消”现象在高维统计中普遍存在（如高维均值检验中的“信号抵消”）。本文的 \(\ell_\gamma\) 聚合技巧是否可以系统地应用于其他因“抵消”而失效的检验问题？ 例如，在高维两样本检验或高维回归系数检验中，是否存在类似的结构？（扎根于作者引用的 Xu et al. (2016) 和 He et al. (2021) 的工作，它们也使用了“最小组合”来应对类似问题，但本文提供了一个更一般的框架。）

Maintained by 陈星宇 · Homepage · Source on GitHub

评论