Additive regression with general imperfect variables¶

讲者: Jeong Min Jeon
会场: Decoding Complex Structures: From Dimension Reduction to Deep Generative Models
报告题目: Hilbertian Additive Regression with General Estimated Variables
链接: arXiv
来源: JCSDS 2026 · 返回会议总览

一、领域脉络与小综述¶

这个方向是什么¶

本文研究的子方向是多元非欧几里得数据的加性回归，其根本问题是在响应变量取值于一般可分离Hilbert空间（如欧几里得空间、单纯形、Bayes-Hilbert空间、Lebesgue-Bochner-Hilbert空间、乘积Hilbert空间）且预测变量为多变量欧几里得（可能来自不同来源，如主成分得分、奇异成分得分、原始标量）时，如何估计加性结构中的分量函数，同时允许响应和预测变量存在“不完美观测”（测量误差、仅观测到随机样本、需估计的得分等）。该方向当前成熟度：已有若干工作处理了Hilbert空间响应或非欧几里得响应的加性模型，但缺乏一个统一框架同时涵盖多元预测器、非紧支撑、以及各种不完美变量。

发展脉络（history）¶

从introduction和参考文献中梳理出以下主线：

奠基工作：Mammen et al. (1999) 提出光滑回修（SBF）方法用于经典欧几里得加性模型，证明了存在性与渐近性质，避免了维数诅咒。这是后续所有SBF工作的基础。
主要进展（欧几里得数据）：Mammen & Park (2005, 2006) 发展了带宽选择和简化算法；Linton et al. (2008)、Yu et al. (2008)、Lee et al. (2010, 2012)、Han & Park (2018) 将SBF推广到变系数模型、广义加性模型、测量误差加性模型等。这些工作均限于欧几里得响应和预测器。
向非欧几里得数据扩展：Jeon & Park (2020) 首次将SBF推广到Hilbert空间值响应（单变量预测器，完美观测）。Jeon et al. (2021b) 进一步允许离散型预测器和删失/缺失响应。Jeon et al. (2021a) 将SBF推广到多元加性模型，其中分量函数定义在有限维Hilbert空间或黎曼流形上，但假设预测器有紧支撑，且未处理不完美变量。同期，Han et al. (2018) 和 Park et al. (2018) 分别处理了函数型预测器的加性模型（标量响应和函数响应），但均限于单变量加性结构或特定类型的不完美（如FPC得分估计）。Han et al. (2020) 和 Lin et al. (2022) 进一步将SBF用于密度值响应和流形值响应，但仍是单变量预测器且完美观测。
当前frontier：本文声称填补了“多元Hilbertian加性模型 + 各种不完美变量 + 非紧支撑”的空白。作者指出，Jeon et al. (2021a) 不能处理不完美预测器（如PC得分）和不完美响应（如密度样本），且假设紧支撑。本文通过引入一般的不完美变量框架（用渐近速率anj和bn刻画）和允许任意紧估计域，统一了上述所有情形。

子线索聚类¶

被引文献大致落在以下子线索：

SBF方法在欧几里得数据上的理论发展：Mammen et al. (1999), Mammen & Park (2005, 2006), Linton et al. (2008), Yu et al. (2008), Lee et al. (2010, 2012), Han & Park (2018)。这些工作建立了SBF的基本理论（存在唯一、算法收敛、渐近分布），但限于欧几里得响应和预测器。
SBF在函数型/非欧几里得数据上的应用：Han et al. (2018)（函数型预测器+标量响应）、Park et al. (2018)（函数对函数回归）、Han et al. (2020)（密度值响应）、Lin et al. (2022)（流形值响应）、Jeon & Park (2020)（Hilbert响应+单变量预测器）、Jeon et al. (2021b)（Hilbert响应+离散/缺失）、Jeon et al. (2021a)（多元Hilbert/流形预测器+紧支撑）。这些工作逐步扩展了SBF的应用范围，但每个工作只覆盖特定类型的不完美或特定结构。
不完美变量的处理：测量误差方面，Fan (1992), Delaigle (2008), van Es & Gugushvili (2010) 研究了消失测量误差下的密度估计；Han & Park (2018) 处理了加性模型中的测量误差。PCA/SC得分估计方面，Cai & Hall (2006), Hall & Horowitz (2007) 给出了函数型PCA的收敛率；Yang et al. (2011) 提出了函数型奇异成分分析。密度估计方面，Petersen & Müller (2016), Han et al. (2020) 处理了密度值数据的重建。本文将这些不完美情形统一纳入一个框架，并给出了相应的渐近速率（Proposition 1-6）。

这个方向在追问的核心问题¶

问题1：如何在高维/无限维预测器（如函数型数据）中有效降维并纳入加性模型？——当前主流方法使用前几个PC/SC得分作为预测器，但得分本身需要估计，且估计误差会影响回归。
问题2：当响应取值于非欧几里得空间（如密度、流形）时，如何定义加性结构并估计？——现有工作多采用变换到Hilbert空间（如Bayes-Hilbert空间、对数映射）再应用线性/加性模型。
问题3：如何同时处理多种类型的不完美变量（测量误差、估计得分、密度样本）并给出统一的渐近理论？——本文是首次尝试。
问题4：在预测器支撑非紧时，SBF方法是否仍然有效？——本文证明在任意紧估计域上可行，但边界效应需要额外处理。

⚠️ 作者的framing¶

作者将缺口frame为：“现有SBF工作要么限于单变量加性结构，要么假设紧支撑，要么不能处理不完美变量。本文的多元Hilbertian加性模型（1.1）同时允许非紧支撑和各种不完美变量，因此是‘显然的下一步’。” 作者淡化了以下竞争路线： - 直接使用全维非参数回归（如核回归）并接受维数诅咒——作者明确说“full-dimensional nonparametric regression suffers from the curse of dimensionality”。 - 使用参数模型（如线性模型）——作者认为“parametric model assumptions are somewhat strong”。 - 其他非SBF的加性模型估计方法（如backfitting、marginal integration）——作者未详细比较，但SBF的优势在于弱条件下的维数避免。

什么明显该被引/该存在、却没出现在intro里？ 本文未引用关于高维加性模型（如稀疏加性模型、可加性模型的高维理论）的工作，可能是因为本文的预测器维数Lj固定且较小（由于维数诅咒，实际中Lj不会太大）。也未引用关于半参数效率理论的工作（如加性模型的有效性），因为本文主要关注估计而非效率。这些缺失可能不是漏洞，而是本文聚焦于非欧几里得和不完美变量的设定。

张力¶

未见明显对立引用。各工作之间在假设和结论上基本兼容，只是适用范围不同。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题¶

第一步：符号、模型、可观测数据交代清楚¶

符号： - \( H \)：可分离Hilbert空间，带有加法⊕、标量乘法⊙、零元0、内积⟨·,·⟩、范数∥·∥。在最小内核中取 \( H = \mathbb{R} \)（欧几里得），此时⊕=+，⊙=×，0=0，⟨·,·⟩为点积，∥·∥为绝对值。 - \( Y \in H \)：响应变量，满足 \( \mathbb{E}(\|Y\|^2) < \infty \)。 - \( \xi_j = (\xi_{j1}, \ldots, \xi_{jL_j}) \in \mathbb{R}^{L_j} \)：第j个多元预测器，\( L_j \in \mathbb{N} \)。在最小内核中取 \( d=1, L_1=1 \)，即 \( \xi_1 \in \mathbb{R} \)。 - \( \epsilon \in H \)：误差项，满足 \( \mathbb{E}(\epsilon | \xi_1, \ldots, \xi_d) = 0 \)。 - \( f_0 \in H \)：未知常数。 - \( f_j : \mathbb{R}^{L_j} \to H \)：未知分量函数，\( j=1,\ldots,d \)。 - \( \tilde{\xi}_{jl} \)：观测到的代理变量，代替不可观测的 \( \xi_{jl} \)。若完美观测则 \( \tilde{\xi}_{jl} = \xi_{jl} \)。 - \( \tilde{Y} \)：观测到的代理响应，代替不可观测的 \( Y \)。若完美观测则 \( \tilde{Y} = Y \)。 - \( n \)：样本量。 - \( D_j \subset \mathbb{R}^{L_j} \)：任意紧集，我们只关心 \( f_j \) 在 \( D_j \) 上的估计。 - \( D = \prod_{j=1}^d D_j \)。 - \( p \)：\( \xi \) 的密度（关于Lebesgue测度）。 - \( p^D(x) = p(x) / p^D_0 \)，其中 \( p^D_0 = \int_D p(x) dx > 0 \)。 - \( p^D_j(x_j) = \int_{D_{-j}} p^D(x) dx_{-j} \)：边际密度。 - \( p^D_{jk}(x_j, x_k) = \int_{D_{-jk}} p^D(x) dx_{-jk} \)：二维边际密度。 - \( a_{njl} \)：刻画 \( \tilde{\xi}_{jl} \) 与 \( \xi_{jl} \) 最大偏差的速率：\( \max_{1\le i\le n} |\tilde{\xi}^i_{jl} - \xi^i_{jl}| = O_p(a_{njl}) \)，且 \( a_{njl} = o(1) \)。 - \( b_n \)：刻画 \( \tilde{Y} \) 与 \( Y \) 最大偏差的速率：\( \max_{1\le i\le n} \|\tilde{Y}_i \ominus Y_i\| = O_p(b_n) \)，且 \( b_n = o(1) \)。

模型：

\[Y = f_0 \oplus \bigoplus_{j=1}^d f_j(\xi_j) \oplus \epsilon, \quad \mathbb{E}(\epsilon | \xi_1,\ldots,\xi_d) = 0.\]

可识别性约束：\( \int_{D_j} f_j(x_j) \odot p^D_j(x_j) dx_j = 0 \) 对所有 \( j \)，从而 \( f_0 = \int_D \mathbb{E}(Y|\xi=x) \odot p^D(x) dx \)。

可观测数据：研究者实际能观测到的是 \( \{ (\tilde{\xi}^i, \tilde{Y}_i) : i=1,\ldots,n \} \)，其中 \( \tilde{\xi}^i = (\tilde{\xi}^i_{jl}) \)。不可观测的是真实的 \( \xi^i_{jl} \) 和 \( Y_i \)（除非完美观测）。因此，所有估计必须基于代理变量。不完美性由速率 \( a_{njl} \) 和 \( b_n \) 刻画。

第二步：最小内核¶

取最简特例：标量响应、单变量预测器、预测器有消失测量误差。

\( H = \mathbb{R} \)，\( d = 1 \)，\( L_1 = 1 \)。
模型：\( Y = f_0 + f_1(\xi_1) + \epsilon \)，\( \mathbb{E}(\epsilon|\xi_1)=0 \)。
可识别性：\( \int_{D_1} f_1(x_1) p^D_1(x_1) dx_1 = 0 \)，从而 \( f_0 = \mathbb{E}(Y) \)（若 \( D_1 \) 包含支撑）。
不完美预测器：观测到 \( \tilde{\xi}_{1i} = \xi_{1i} + \sigma_n U_i \)，其中 \( \sigma_n \to 0 \)，\( U_i \) i.i.d. 有界（例如 \( |U_i| \le 1 \)）。此时 \( a_{n1} = \sigma_n \)（因为 \( \max_i |U_i| = O_p(1) \)）。
完美响应：\( \tilde{Y}_i = Y_i \)，故 \( b_n = 0 \)。
估计域：\( D_1 \subset \mathbb{R} \) 为紧区间（如 \( [0,1] \)），但 \( \xi_1 \) 的支撑可能非紧。

SBF估计：由于 \( d=1 \)，系统（3.18）退化为单个方程：

\[\hat{f}_1(x_1) = \hat{m}_1(x_1) - \hat{f}_0,\]

其中

\[\hat{m}_1(x_1) = \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \tilde{Y}_i K_{h_1}(x_1, \tilde{\xi}_{1i}) I(\tilde{\xi}_{1i} \in D_1) }{ \hat{p}^D_1(x_1) \hat{p}^D_0 }, \quad \hat{p}^D_1(x_1) = \frac{1}{n \hat{p}^D_0} \sum_{i=1}^n K_{h_1}(x_1, \tilde{\xi}_{1i}) I(\tilde{\xi}_{1i} \in D_1),\]

\[\hat{p}^D_0 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I(\tilde{\xi}_{1i} \in D_1), \quad \hat{f}_0 = \frac{1}{n \hat{p}^D_0} \sum_{i=1}^n \tilde{Y}_i I(\tilde{\xi}_{1i} \in D_1).\]

核函数 \( K_{h_1}(x_1, u_1) = \frac{ h_1^{-1} K_1(|x_1-u_1|/h_1) }{ \int_{D_1} h_1^{-1} K_1(|t_1-u_1|/h_1) dt_1 } \)，满足 \( \int_{D_1} K_{h_1}(x_1, u_1) dx_1 = 1 \)。

核心思路：在这个特例下，SBF估计就是带边界校正的Nadaraya-Watson核回归，但使用代理变量 \( \tilde{\xi}_{1i} \)。由于测量误差消失（\( \sigma_n \to 0 \)），估计的偏差和方差受 \( a_{n1} = \sigma_n \) 影响。论文的Theorem 2（Hölder连续情形）给出：

\[\sup_{x_1 \in D_1} |\hat{f}_1(x_1) - f_1(x_1)| = O_p\left( h_1^{\nu_1} + \sqrt{ \frac{\log n}{n h_1} } + b_n \right),\]

其中 \( b_n=0 \)，而 \( a_{n1} \) 的影响被吸收进 \( h_1^{\nu_1} \) 和 \( (n h_1)^{-1/2} \) 的余项中（在条件(B6)下，\( h_1^{-1} a_{n1} = o(1) \) 保证测量误差不影响主速率）。若 \( \sigma_n \) 衰减不够快，则会出现额外项 \( h_1^{-1} a_{n1} \) 等（见Theorem 2的完整形式）。因此，最小内核揭示了论文的核心：SBF方法在非紧支撑和不完美变量下仍能保持维数避免，且不完美变量的影响通过条件(B6)被控制为可忽略或可量化。

三、这篇论文做了什么¶

三句话¶

研究了什么问题：在响应取值于可分离Hilbert空间、预测器为多元欧几里得（可能来自不同来源）的加性模型（1.1）中，允许响应和预测器存在各种不完美观测（消失测量误差、需估计的PC/SC得分、密度样本、黎曼函数型变量等），并允许预测器支撑非紧，提出了基于光滑回修（SBF）的估计方法。
核心工具/方法：使用SBF算法（3.20）求解积分方程系统，其中涉及核密度估计和Bochner积分；通过引入代理变量的渐近速率 \( a_{njl} \) 和 \( b_n \) 统一刻画不完美性；利用算子理论和收缩映射证明存在唯一性；通过经验过程和大偏差不等式推导收敛速度和渐近分布。
主要结论：在适当条件下，SBF估计量存在且唯一（渐近意义下），算法几何收敛；估计量避免维数诅咒（收敛速度不涉及 \( (n \prod_j h_j^{L_j})^{-1/2} \)）；给出了L2、逐点、一致收敛速度（Theorem 2-3）以及渐近正态分布（Theorem 4）；通过多个模拟和真实数据展示了方法的广泛适用性。

关键设定与假设¶

模型：\( Y = f_0 \oplus \bigoplus_{j=1}^d f_j(\xi_j) \oplus \epsilon \)，\( \mathbb{E}(\epsilon|\xi)=0 \)，\( \xi_j \in \mathbb{R}^{L_j} \)，\( Y \in H \)（可分离Hilbert空间）。
不完美变量：存在代理 \( \tilde{\xi}_{jl} \) 和 \( \tilde{Y} \)，满足 \( \max_i |\tilde{\xi}^i_{jl} - \xi^i_{jl}| = O_p(a_{njl}) \)，\( \max_i \|\tilde{Y}_i \ominus Y_i\| = O_p(b_n) \)，其中 \( a_{njl}, b_n \to 0 \)。
估计域：任意紧集 \( D_j \subset \mathbb{R}^{L_j} \)，不要求 \( \xi_j \) 支撑紧。
假设（以Theorem 2为例）：
(B1) \( \mathbb{E}(\|Y\|^\alpha) < \infty \) 对某 \( \alpha>2 \)，且条件矩有界。
(B2) 密度 \( p \) 在 \( D \) 上连续正定，在 \( D^+(\varepsilon) \) 上有界。
(B3) \( D_j \) 凸。
(B4) 核函数 \( K_j(\|\cdot\|_j) \) 可微且偏导Lipschitz。
(B5) 带宽条件：\( h_j \to 0 \)，\( n^{-1} (\log n) h_j^{-L_j} h_k^{-L_k} = o(1) \)，\( n^{-1+2\beta_j+2/\alpha} h_j^{-L_j} = o(1) \)。
(B6) \( h_j^{-L_j} a_{nj} = o(1) \)，\( h_j^{-L_j-2} a_{nj}^2 = o(1) \)（其中 \( a_{nj} = \max_l a_{njl} \)）。
(C) Hölder连续条件、误差条件、额外速率条件。
相比已有文献：放宽了紧支撑假设（Jeon et al. 2021a），引入了不完美变量（Jeon et al. 2021a未处理），统一了多种不完美类型（Han et al. 2018只处理了FPC得分，Park et al. 2018只处理了SC得分，Han et al. 2020只处理了密度响应）。

主要结果¶

非渐近性质（Proposition 7-9）：在给定数据集下，若条件(A)成立（每个 \( x_j \in D_j \) 附近至少有一个观测），则SBF估计存在；和的估计唯一；算法几何收敛。这些结果不依赖i.i.d.假设，是全新的。
渐近唯一性与算法收敛（Theorem 1）：在条件(B)下，以概率趋于1，个体SBF估计量唯一，且算法收敛。
收敛速度（Theorem 2-3）：
Hölder连续情形（Theorem 2）：L2和逐点速度 \( O_p(\sum_j h_j^{\nu_j} + \sum_j (n h_j^{L_j})^{-1/2} + b_n) \)，一致速度 \( O_p(\sum_j h_j^{\nu_j} + \sum_{k\neq j} (n h_k^{L_k})^{-1/2} + (n h_j^{L_j}/\log n)^{-1/2} + b_n) \)。不出现 \( (n \prod_j h_j^{L_j})^{-1/2} \)，避免维数诅咒。
可微情形（Theorem 3）：内部点速度 \( O_p(h_j^2 + \delta_{nj}^{(1)}) \)，边界点速度 \( O_p(h_j + \delta_{nj}^{(1)}) \)，其中 \( \delta_{nj}^{(1)} \) 包含 \( \sum_{k\neq j} h_k^2 \)、\( \sum_j (n h_j^{L_j})^{-1/2} \)、\( \sum_j A_{nj} \)、\( b_n \)，\( A_{nj} \) 为不完美变量带来的额外项。
渐近分布（Theorem 4）：在最优带宽 \( h_j \asymp n^{-1/(L_j+4)} \) 下，\( n^{2/(L_{\max}+4)} (\hat{f}_j(x_j) - f_j(x_j)) \) 联合收敛到独立的高斯过程，均值由偏置项 \( \Theta_j(x_j) \) 给出，方差由 \( C_{j,x_j} \) 给出。该结果推广了Jeon & Park (2020) 到多元和不完美情形。

证明路线与技术技巧¶

整体路线：
存在唯一性：将SBF估计视为某个严格凸泛函在闭子空间上的极小化问题（Lemma S.16），或通过收缩映射（Lemma S.19）。关键是将积分方程系统转化为算子方程，证明算子范数小于1。
算法收敛：证明迭代映射是压缩的，几何收敛（Proposition 8-9）。
收敛速度：将估计误差分解为 \( \hat{f}_j - f_j = \hat{f}_j^A + \hat{f}_j^B + \hat{f}_j^C + \text{余项} \)，其中 \( \hat{f}_j^A \) 来自误差项 \( \epsilon \)，\( \hat{f}_j^B \) 来自分量函数的局部近似偏差，\( \hat{f}_j^C \) 来自其他分量的交叉项。然后分别用经验过程、核估计的偏差-方差分解、以及不完美变量的速率来控制。
渐近分布：通过线性化得到 \( \hat{f}_j - f_j \) 的渐近等价表示，主项为 \( (\hat{p}_j^D \hat{p}_0^D n)^{-1} \sum_i K_{h_j}(x_j, \tilde{\xi}_j^i) I(\tilde{\xi}^i \in D) \epsilon_i \)，再应用Hilbert空间中心极限定理（Lemma S.21）。
关键跳跃点：
处理非紧支撑：需要证明边界区域 \( D_j \setminus D_j^-(2h_j) \) 的Lebesgue测度趋于0，从而边界效应可忽略（Lemma S.13-14）。这依赖于 \( D_j \) 凸和带宽趋于0。
处理不完美变量：需要将 \( \hat{p}_j^D \) 与“oracle”版本 \( \check{p}_j^D \)（基于真实 \( \xi \)）的差分解为多个项，并利用 \( a_{nj} \) 的速率控制（Lemma S.11-12）。类似地处理 \( \hat{m}_j \) 和 \( \hat{f}_0 \)。
处理多元预测器：在均匀收敛性证明中，需要处理多维核的覆盖数，使用上Minkowski维数（Lemma S.1-2）。
技术技巧点名：
经验过程/Chaining：用于核估计的均匀收敛性（Lemma S.1-2, S.4-8），利用覆盖数和Bernstein不等式。
条件大偏差不等式：用于处理不完美变量带来的依赖结构（Lemma S.6），因为 \( \tilde{\xi}^i \) 可能不独立。
Bochner积分：用于定义Hilbert空间中的积分和期望。
平行传输：用于黎曼函数型响应（Section 5），将不同切空间中的向量场对齐。
收缩映射：用于证明SBF解的唯一性和算法收敛（Lemma S.19）。
Hilbert空间中心极限定理：用于渐近分布（Lemma S.21, Kundu et al. 2000）。

真实例子与应用¶

论文包含两个模拟研究和两个真实数据应用，均展示了方法的实用性。

模拟1（密度值响应）：\( Y \) 为 \( S^1 \) 上的随机密度，\( d=2, L_1=L_2=1 \)，预测器完美观测，响应仅观测到随机样本。使用核密度估计重建 \( \tilde{Y}_i \)。比较基于真实密度和估计密度的SBF估计，结果显示随着 \( n^* \)（每个密度的样本量）增大，性能接近。验证了Proposition 5-6的理论。
模拟2（球面函数型响应）：\( Y \) 为标量，预测器为两个 \( S^2 \)-值随机函数的iRFPC得分（\( d=3 \)，其中第三个为二元预测器）。比较基于估计得分和真实得分的SBF估计，以及单变量加性建模。结果显示多元加性建模优于单变量，且估计得分表现良好。验证了Proposition 3和Theorem 2-3。
真实数据1（美国2020总统选举）：响应为各州得票比例（单纯形 \( S^3_1 \)），预测器包括三个标量（教育、收入、年龄）和两个单纯形（种族、2016年得票）。使用PCA和SCA降维，比较12种模型。最佳模型（2个SC得分+1个SC得分）的ASPE优于Jeon et al. (2021a)的方法。展示了SC得分比PC得分更有效。
真实数据2（东亚台风轨迹）：响应为台风3天轨迹（\( S^2 \)-值函数），预测器包括标量（气压、风速等）和iRFPC得分（方向、日期、位置）。使用Section 5的黎曼函数型响应模型。预测2022年台风轨迹，结果合理。展示了方法在复杂实际场景中的应用。

🔎 结论是否比证明窄¶

论文的结论是严谨的，但有以下几点值得注意： - Theorem 2-3的收敛速度中，不完美变量带来的额外项 \( A_{nj} \) 和 \( b_n \) 在特定条件下可忽略，但论文并未给出这些条件在所有例子中都成立的统一验证，而是通过例子说明（如 \( L_j<3 \) 时 \( A_{nj} \) 可忽略）。因此，实际应用中需要检查这些条件是否满足。 - Theorem 4的渐近分布要求 \( n^{2/(L_{\max}+4)} R_n = o(1) \)，其中 \( R_n \) 包含不完美变量项。论文指出在 \( L_j \equiv L \)、\( a_{nj} \asymp n^{-r} \) 且 \( r > (L+1)/(L+4) \) 时成立。这意味着不完美变量的衰减速度必须足够快，否则渐近正态性可能不成立。 - 论文在Remark 4中承认，未考虑发散维数的PC/SC得分，且由于技术障碍，模型中的分量数量 \( d \) 固定。因此，结论不直接适用于高维加性模型。

四、开放问题¶

放松特征值重数条件：Proposition 1-4要求前 \( r \) 个特征值重数为1。能否在特征值有重数时得到类似的估计误差？这需要更精细的扰动分析。扎根于Proposition 1的假设“the first r eigenvalues of CX have multiplicity one”。
自适应带宽选择：论文使用CBS算法（Coordinate-wise Bandwidth Selection）选择带宽，但未给出理论保证。能否证明CBS的渐近最优性？或者发展其他数据驱动方法？扎根于Section S.6的CBS算法描述。
发散维数 \( d \) 或 \( L_j \)：论文假设 \( d \) 和 \( L_j \) 固定。当 \( d \) 或 \( L_j \) 随 \( n \) 增长时，SBF方法是否仍然有效？收敛速度如何？这需要处理高维加性模型中的稀疏性假设。扎根于Remark 4：“we do not include a diverging number of component scores in the model due to several technical obstacles”。
更一般的响应空间：论文限于可分离Hilbert空间。能否推广到Banach空间（如 \( L^p \) 空间）或更一般的度量空间（如Fréchet回归）？这需要重新定义加性结构和SBF算法。扎根于Conclusion：“Our unified framework is not limited to such scenarios and has huge potential to many other instances”，但未具体说明。
不完美变量速率的自适应：论文假设 \( a_{njl} \) 和 \( b_n \) 已知速率，但在实际中这些速率可能未知。能否发展不依赖于这些速率的方法（如通过交叉验证自动调整）？扎根于条件(B6)和(C3)对 \( a_{nj} \) 的要求。

（注意：以上开放问题仅罗列，不判断可行性，每条扎根于论文具体语句。）

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