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The Bergsma--Dassios sign-covariance conjecture: a tie-symmetrised decomposition

作者: Wicher Bergsma, Angelos Dassios
主题: 数理统计 / 假设检验
相关性: 7/10
链接: https://arxiv.org/abs/2609.06529

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

这个子方向研究的是基于秩的独立性检验统计量的非负性与零集刻画。核心问题是：对于一个给定的秩统计量（如符号协方差 τ、Hoeffding's D、Blum–Kiefer–Rosenblatt 泛函 R），能否证明它在任意二元分布下非负，且等于零当且仅当 X 与 Y 独立？这个问题看似简单，但涉及 U-统计量的投影分解、ties 的处理、以及从有限表到连续分布的推广。当前成熟度：经典结果（D 和 R）的零集性质早已清楚，但 τ 的非负性猜想自 2014 年提出后，直到本文才被完全证明。

发展脉络（history）

  1. 奠基工作：
  2. Hoeffding (1948)：提出非参数独立性检验统计量 D（未归一化的 Hoeffding 泛函），证明其非负且独立时为零。这是整个方向的起点。
  3. Blum, Kiefer & Rosenblatt (1961)：提出 R 泛函，同样非负且独立时为零。R 与 D 的区别在于积分测度：D 对联合分布 dF 积分，R 对乘积边缘 dF_X dF_Y 积分。

  4. Yanagimoto (1970)：在绝对连续情形下，证明了 D + 2R 的组合（即 τ 的原子核）的非负性，并给出了 D 的零集刻画（Prop. 3, pp. 58-59）。本文引用 Yanagimoto 的连续分布反例来证明 24 这个系数的 sharpness*。

  5. 主要进展：

  6. Bergsma & Dassios (2014)：引入符号协方差 τ，证明其在离散、绝对连续及混合分布下非负且独立时为零，并猜想该结论对所有二元分布成立*（Thm. 1 及后续段落，p. 1010）。这是本文要解决的核心猜想。
  7. Weihs, Drton & Meinshausen (2018)：将 τ* 纳入对称秩协方差的统一框架（Thm. 2 证明 R 的零集性质），并指出经典分解 (2) 在有 ties 时可能失效。
  8. Drton, Han & Shi (2020, Thm. 6.1)：在边缘无原子的假设下证明了 τ* 的非负性，并给出了核恒等式（Eq. (6.1), p. 3225）。这是本文之前最接近完整证明的结果。

  9. Shi, Drton & Han (2022, Rem. 1, p. 322)：明确写出 τ* = 12D + 24R 的分解，并讨论了 ties 的影响。

  10. 当前 frontier 与本文位置：

  11. Chan et al. (2020) 和 Crudele et al. (2024) 从 permuton 和 quasirandom permutation 角度研究 τ 的八模式刻画，但不处理 ties*。
  12. Baringhaus & Grübel (2025, 2026) 发展基于模式的 copula 检验和效率结果。
  13. Genest et al. (2019) 使用多线性 copula 处理一般边缘的独立性检验。
  14. 本文：通过构造 tie-对称化扩展 D̃ 和 R̃，将 τ 分解为 12D̃ + 24R̃，并证明 D̃, R̃ ≥ 0 且 R̃ = 0 ⇔ 独立。这是对 Bergsma–Dassios 猜想的完整证明，不依赖任何正则性假设*。

子线索聚类

  1. 经典泛函的零集与分解（Hoeffding 1948, Blum et al. 1961, Yanagimoto 1970）：研究 D 和 R 的非负性、零集及积分表示。这些结果在无原子边缘下成立，但 ties 会破坏分解。
  2. 符号协方差 τ* 的引入与部分证明（Bergsma & Dassios 2014, Drton et al. 2020, Shi et al. 2022）：引入 τ，证明其在部分分布类下的非负性，并给出原子核恒等式。本文直接解决其猜想*。
  3. 对称秩协方差与模式方法（Weihs et al. 2018, Chan et al. 2020, Crudele et al. 2024, Baringhaus & Grübel 2025, 2026）：将 τ* 纳入更广框架，或从模式组合角度研究独立性刻画。这些工作通常假设无原子边缘，不处理 ties。
  4. 多元扩展与投影平均（Kim et al. 2020）：将 τ* 推广到随机向量，通过投影平均得到多元独立性检验。本文的补充材料（Section 1）将分解和零集结果扩展到该设定。

这个方向在追问的核心问题

  1. 非负性：给定一个秩统计量，能否证明它对所有分布非负？—— τ* 的猜想是典型例子。
  2. 零集刻画：统计量等于零是否等价于独立性？—— 对 D 和 R 成立，对 τ* 的 D̃ 分量不总是成立（定理 1(iv)）。
  3. ties 的处理：当分布有原子时，经典分解是否失效？如何构造 tie-对称化的版本？
  4. sharp 常数：不等式中的系数（如 9, 24）是否最佳？—— 本文证明了 9 和 24 都是 sharp 的。

⚠️ 作者的 framing

作者把缺口 frame 成：经典分解 τ = 12D + 24R 只在无原子边缘下成立，有 ties 时可能失败（如 3×3 对角表例子）。因此需要构造 tie-对称化的 D̃ 和 R̃，使得分解对所有分布成立，并证明它们的非负性。这是"显然的下一步"*，因为 Drton et al. (2020) 已经给出了无原子边缘下的核恒等式，而 Bergsma & Dassios (2014) 的猜想明确要求处理一般分布。

被淡化或回避的竞争路线： - Permuton 方法（Chan et al. 2020, Crudele et al. 2024）：作者明确说"Neither permuton approach treats ties"，将其定位为不处理 ties 的替代路线。 - 多线性 copula 方法（Genest et al. 2019）：作者仅提及"related consistent tests"，但未深入比较，因为本文聚焦于 τ* 的分解而非一般检验。

什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里？ - Filmus et al. (2024) 的对称群超压缩性被用在补充材料的置换检验方差界中，但 intro 未提及。这可能是作者认为该引用属于技术细节而非领域脉络。 - 没有引用任何关于符号协方差计算复杂度或高阶 U-统计量计算的工作（如 tensor contraction / einsum 相关）。考虑到本文的核心是四阶 U-统计量的投影分解，这或许是一个值得研究者去查的 gap。

张力

未见明显对立引用。所有被引工作都支持 τ* 的非负性猜想，只是证明范围不同。Yanagimoto (1970) 的连续反例被用来证明 sharpness，而非否定结果。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：符号、模型、可观测数据交代清楚

符号： - \((X, Y)\)：二元随机变量，联合分布 \(F(x, y) = \Pr(X \le x, Y \le y)\)，边缘分布 \(F_X, F_Y\)。 - \((X_i, Y_i), i \ge 1\)：独立同分布拷贝。 - \(a(z) = \text{sign}\{|z_1 - z_2| + |z_3 - z_4| - |z_1 - z_3| - |z_2 - z_4|\}\)，其中 \(z = (z_1, z_2, z_3, z_4) \in \mathbb{R}^4\)，\(\text{sign}(0) = 0\)。这是符号协方差核，一个四参数函数。 - \(\tau^*(X, Y) = \mathbb{E}[a(X_1, X_2, X_3, X_4) a(Y_1, Y_2, Y_3, Y_4)]\)：符号协方差，一个四阶 U-统计量的期望。 - \(D(X, Y) = \int_{\mathbb{R}^2} \{F(x, y) - F_X(x) F_Y(y)\}^2 dF(x, y)\)：未归一化的 Hoeffding 泛函。 - \(R(X, Y) = \int_{\mathbb{R}^2} \{F(x, y) - F_X(x) F_Y(y)\}^2 dF_X(x) dF_Y(y)\)：未归一化的 Blum–Kiefer–Rosenblatt 泛函。 - \(\tilde{D}, \tilde{R}\)：本文构造的 tie-对称化扩展，在无原子边缘下等于 \(D, R\)，但对所有分布有定义且满足分解。 - \(k_Z(z, z') = -\frac{1}{3} \mathbb{E}[a(z, z', U, V)] = \frac{1}{3} \mathbb{E}[a(z, U, z', V)]\)：辅助对核，其中 \(U, V\) 是 \(Z\) 的独立拷贝。在无原子情形下等于 centred Cramér–von Mises 核 \(\kappa_Z\)。 - \(\delta_Z(ijkl) = a_Z(ijkl) - a_Z(iljk)\)：对称对对比。 - \(\ell_Z(1234) = \frac{1}{6} \delta_Z(1234) + k_Z(Z_1, Z_2) + k_Z(Z_3, Z_4)\)：归一化的退化投影。 - \(H_Z = \frac{1}{12} \{\delta_Z(1234) - \delta_Z(1256) - \delta_Z(3478) + \delta_Z(5678)\}\)：八拷贝矩形对比。

模型：无参数模型。\((X, Y)\) 是任意二元分布，无任何正则性假设（可离散、连续、混合、有原子）。

可观测数据：研究者能观测到 \((X_i, Y_i)\) 的独立同分布样本。想要但观测不到的是联合分布函数 \(F\) 和边缘 \(F_X, F_Y\)，以及潜在的反事实量（本文不涉及因果推断）。核心困难在于：核 \(a\) 依赖于四个观测值的完整弱序（包括 ties），而经典分解 \(D, R\) 的积分形式在有 ties 时与 \(\tau^*\) 不一致。

第二步：最小内核

最简特例：\(2 \times 2\) 概率表

设 \((X, Y)\) 取值于 \(\{1, 2\}^2\)，概率表为 \(P = (p_{ij})_{i,j=1}^2\)，其中 \(p_{11} = \theta + r_1 c_1\), \(p_{12} = r_1 - (\theta + r_1 c_1)\), \(p_{21} = c_1 - (\theta + r_1 c_1)\), \(p_{22} = 1 - r_1 - c_1 + (\theta + r_1 c_1)\)，这里 \(r_1 = \Pr(X=1)\), \(c_1 = \Pr(Y=1)\), \(\theta = p_{11} p_{22} - p_{12} p_{21}\) 是列联表的相关度量。

在这个特例下： - 所有四个观测值只能取 1 或 2，弱序只有有限种可能。 - 直接计算可得（论文 Section 4.2, p. 17）： - \(\tau^* = 4\theta^2\) - \(\tilde{D} = \tilde{R} = \theta^2 / 9\) - \(D_{\le,\le} = p_{11} \theta^2\), \(D_{\le,<} = p_{12} \theta^2\), \(D_{<,\le} = p_{21} \theta^2\), \(D_{<,<} = p_{22} \theta^2\) - \(R_{\le,\le} = r_1 c_1 \theta^2\), \(R_{\le,<} = r_1 c_2 \theta^2\), \(R_{<,\le} = r_2 c_1 \theta^2\), \(R_{<,<} = r_2 c_2 \theta^2\)

核心思路： 1. 分解成立：\(\tau^* = 12\tilde{D} + 24\tilde{R}\) 退化为 \(4\theta^2 = 12(\theta^2/9) + 24(\theta^2/9) = 4\theta^2\)，恒成立。 2. 非负性：\(\tilde{D} = \tilde{R} = \theta^2/9 \ge 0\)，且 \(\tilde{R} = 0 \iff \theta = 0 \iff X \perp Y\)。 3. 边界不等式：\(9\tilde{D} = \theta^2 = \sum_{\epsilon,\eta} D_{\epsilon,\eta}\)，\(9\tilde{R} = \theta^2 = \sum_{\epsilon,\eta} R_{\epsilon,\eta}\)，等号成立，证明 9 是 sharp 常数。 4. 系数 24 的 sharpness：\(\tau^* / \tilde{R} = 4\theta^2 / (\theta^2/9) = 36\)，但 \(\tau^* = 24\tilde{R}\) 需要 \(\tilde{D}=0\)。在 \(2\times2\) 表中 \(\tilde{D} = \tilde{R}\)，所以 \(\tau^* = 36\tilde{R}\)。但通过 Yanagimoto 的连续反例（\(\tilde{D}=0, \tilde{R}>0\)），可得 \(\tau^* = 24\tilde{R}\)，证明 24 是 sharp 的。

这个特例说明了什么： - 即使是最简单的 \(2\times2\) 表，经典分解 \(\tau^* = 12D + 24R\) 也不成立（因为 \(D = p_{11}\theta^2 \ne \theta^2/9 = \tilde{D}\)），而 tie-对称化分解 \(\tau^* = 12\tilde{D} + 24\tilde{R}\) 精确成立。 - 所有边界不等式都取等号，证明常数 9 是最佳的。 - 系数 24 的 sharpness 需要更复杂的反例（Yanagimoto 的连续分布），但 \(2\times2\) 表已经展示了分解的核心结构。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：证明了 Bergsma–Dassios 符号协方差 \(\tau^*\) 的非负性猜想：对任意二元分布，\(\tau^* \ge 0\) 且 \(\tau^* = 0\) 当且仅当 \(X \perp Y\)。
  2. 核心工具 / 方法：构造了 tie-对称化的 Hoeffding 泛函 \(\tilde{D}\) 和 Blum–Kiefer–Rosenblatt 泛函 \(\tilde{R}\)，通过对核的 Hoeffding 投影分解得到 \(\tau^* = 12\tilde{D} + 24\tilde{R}\)，并利用有限表的平方和证书和弱序量化证明非负性。
  3. 主要结论：\(\tilde{D}, \tilde{R} \ge 0\)，\(\tilde{R}=0 \iff X \perp Y\)，且对所有四个严格/非严格边界版本 \(D_{\epsilon,\eta}, R_{\epsilon,\eta}\) 有 sharp 不等式 \(9\tilde{D} \ge \sum D_{\epsilon,\eta}\), \(9\tilde{R} \ge \sum R_{\epsilon,\eta}\)。常数 9 和 24 都是最佳的。

关键设定与假设

在第二节记号基础上，补全完整设定：

  • 定义 1（符号协方差核）：\(a(z) = \text{sign}\{|z_1 - z_2| + |z_3 - z_4| - |z_1 - z_3| - |z_2 - z_4|\}\)，\(\text{sign}(0)=0\)。这个核只依赖于四个参数的完整弱序（包括 ties），见引理 5 的 cut–gap 表示 (17)-(18)。
  • 定义 2（tie-对称化 \(\tilde{R}\)）：\(\tilde{R}(X,Y) = \frac{1}{9} \mathbb{E}[a(X_1,X_2,X_3,X_4) a(Y_1,Y_2,Y_5,Y_6)]\)。这是一个六阶 U-统计量的期望，通过引入两个额外拷贝 \(Y_5, Y_6\) 来对称化 ties 的影响。
  • 定义 3（辅助对核 \(k_Z\)）：\(k_Z(z,z') = -\frac{1}{3} \mathbb{E}[a(z,z',U,V)] = \frac{1}{3} \mathbb{E}[a(z,U,z',V)]\)，其中 \(U,V\) 是 \(Z\) 的独立拷贝。在无原子边缘下，\(k_Z\) 等于 centred Cramér–von Mises 核 \(\kappa_Z\)（式 (4)）。
  • 定义 4（tie-对称化 \(\tilde{D}\)）：通过对称对对比 \(\delta_Z(ijkl) = a_Z(ijkl) - a_Z(iljk)\) 和归一化退化投影 \(\ell_Z(1234) = \frac{1}{6}\delta_Z(1234) + k_Z(Z_1,Z_2) + k_Z(Z_3,Z_4)\)，定义 \(\tilde{D}(X,Y) = \mathbb{E}[\ell_X(1234) \ell_Y(1234)]\)。等价地，有八拷贝表示 \(\tilde{D}(X,Y) = \mathbb{E}[H_X H_Y]\)（式 (9)）。
  • 假设：无任何正则性假设。这是本文的核心贡献：之前的结果需要离散、绝对连续、混合或边缘无原子，本文去掉了所有假设。

相比已有文献的放宽： - 相比 Bergsma & Dassios (2014)：从离散/绝对连续/混合放宽到任意分布。 - 相比 Drton et al. (2020)：从边缘无原子放宽到任意边缘（可以有原子）。 - 相比 Shi et al. (2022)：经典分解 (2) 只在无原子边缘下成立，本文的分解 (10) 对所有分布成立。

主要结果

定理 1（主定理，p. 4）： - (i) \(\tilde{D} \ge 0\), \(\tilde{R} \ge 0\)，且分解 (10) \(\tau^* = 12\tilde{D} + 24\tilde{R}\) 成立。因此 \(\tau^* \ge 0\)。 - (ii) 独立时 \(\tilde{D} = \tilde{R} = 0\)。且 \(\tilde{R} = 0 \iff X \perp Y \iff \tau^* = 0\)。 - (iii) 边缘无原子时 \(\tilde{D} = D\), \(\tilde{R} = R\)。 - (iv) \(\tilde{D} = 0 \iff X \perp Y\) 在纯原子或绝对连续情形下成立，但一般情形可能失败（即使边缘均匀）。 - (v) 每个依赖的纯原子分布满足 \(\tau^* > 24\tilde{R}\)，但 24 是 \(\tau^* \ge 24\tilde{R}\) 的最佳常数（存在序列使比值趋于 24）。

定理 2（四边界加强，p. 5）： - \(9\tilde{D} \ge \sum_{\epsilon,\eta \in \{<,\le\}} D_{\epsilon,\eta}\), \(9\tilde{R} \ge \sum_{\epsilon,\eta \in \{<,\le\}} R_{\epsilon,\eta}\)。 - 常数 9 是最佳的。 - 推论：\(\tau^* \ge 24\tilde{R} + \frac{4}{3} \sum D_{\epsilon,\eta} \ge 24\tilde{R} \ge 0\)。

定理 1 的证明路线： 1. 建立有限表情形下的边界不等式（命题 4 和命题 10）。 2. 通过弱序量化（引理 14）将有限表结果推广到任意分布。 3. 利用 \(\tilde{R}\) 的零集性质（\(R_{\le,\le}=R\) 的零集是独立）和分解 (10) 完成 \(\tau^*\) 的零集刻画。 4. 通过 \(2\times2\) 表和 Yanagimoto 的连续反例证明常数 sharpness。

证明路线与技术技巧（理论型）

整体路线（以有限表 \(\tilde{R}\) 边界不等式为例）：

  1. Step 1: Cut–gap 表示（引理 5）：将核 \(a(z)\) 表示为 cuts 和 gaps 上的符号函数乘积之和。对于 \(z_1,\dots,z_4 \in \{1,\dots,d\}\)，有

    \[a(z) = \sum_{k=1}^{d-2} \rho_{g_k}(z_1,z_4) \rho_{g_k}(z_2,z_3) - \sum_{k=1}^{d-1} \rho_{c_k}(z_1,z_4) \rho_{c_k}(z_2,z_3),\]
    其中 \(\rho_\alpha(u,v) = \text{sign}(u-v) \cdot \mathbf{1}\{\alpha \text{ lies inside } I(u,v)\}\)。这个表示的关键是：\(a\) 只依赖于完整弱序，且被分解为 cuts 和 gaps 上的简单函数。

  2. Step 2: 有限表二次型（推论 7）：将 \(\tilde{R}\) 的六拷贝定义与 cut–gap 表示结合，得到

    \[9\tilde{R}(P) = \|X\|_F^2 - \|X G(c)^T\|_F^2 - \|G(r) X\|_F^2 + \|G(r) X G(c)^T\|_F^2 = \text{tr}\{K(r) X K(c) X^T\},\]
    其中 \(X\) 是 \((m-1) \times (n-1)\) 的累积残差矩阵，\(G(r), G(c)\) 是 cut-to-gap 变换矩阵，\(K(w) = s^2 I - G(w)^T G(w)\) 是能量矩阵。

  3. Step 3: 一维能量恒等式（引理 8）：证明 \(K(w)\) 有下界

    \[K(w) \succeq s \cdot \text{diag}(w_b + w_{b+1})_{b=1}^{d-1}.\]
    这个下界是通过将 \(u^T K(w) u\) 展开为平方和得到的，其中关键恒等式是 \((U+L)(Uu^2 + Lv^2) - (Uu + Lv)^2 = UL(u-v)^2\)。

  4. Step 4: 边界和的下界：将边界和 \(\sum R_{\epsilon,\eta}\) 表示为

    \[\sum_{\epsilon,\eta} R_{\epsilon,\eta}(P) = \sum_{a=1}^{m-1} \sum_{b=1}^{n-1} (r_a + r_{a+1})(c_b + c_{b+1}) x_{ab}^2.\]
    然后利用 \(K\) 的下界，先对列应用再对行应用，得到
    \[9\tilde{R}(P) = \text{tr}\{K(r) X K(c) X^T\} \ge \sum_{a=1}^{m-1} (r_a + r_{a+1}) x_a^T K(c) x_a \ge \sum_{a,b} (r_a + r_{a+1})(c_b + c_{b+1}) x_{ab}^2 = \sum_{\epsilon,\eta} R_{\epsilon,\eta}(P).\]

关键跳跃点： - 从 \(\tilde{R}\) 的六拷贝定义到二次型：需要将期望展开为 cuts 和 gaps 上的符号函数乘积，并利用独立拷贝的独立性将乘积因子化。这依赖于 cut–gap 表示 (18) 和 \(\tilde{R}\) 定义中六个拷贝的特定排列。 - \(K(w)\) 的下界推导：引理 8 的恒等式 (20) 是核心，它将 \(u^T K(w) u\) 分解为三项非负项之和。这个分解不是平凡的，需要巧妙地利用 \(L_b(w) + w_{b+1} + U_b(w) = s\) 和恒等式 \((U+L)(Uu^2 + Lv^2) - (Uu + Lv)^2 = UL(u-v)^2\)。 - \(\tilde{D}\) 的 gap–gap 修正（命题 11）：\(\tilde{D}\) 的二次型与 \(\tilde{R}\) 不同，多出一个修正项 \(E(P)\)。这个修正项可能为负，因此不能直接证明非负性。需要将 \(9\tilde{D} - \sum D_{\epsilon,\eta}\) 重新组织为三个非负块的和（三块证书，Proposition 10 的证明）。

技术技巧点名： - Cut–gap 代数（引理 5, 6）：将核 \(a\) 分解为 cuts 和 gaps 上的简单函数，这是整个有限表分析的基础。 - Cut-to-gap 变换（引理 6）：通过 bidiagonal 矩阵 \(G(w)\) 将 cuts 上的量转换为 gaps 上的量，简化了二次型的计算。 - 平方和证书（Proposition 10 的证明）：将 \(9\tilde{D} - \sum D_{\epsilon,\eta}\) 表示为三个非负项的和（\(N_a\) 项、\(\|\xi_a\|_2^2\) 项和 \(\|\xi_{a-1} + \xi_a\|_2^2 / t_a\) 项），其中 \(N_a\) 通过 Lemma 12 的 opposite-shift pairing 构造。这是证明的核心技巧。 - 弱序量化（引理 14）：通过 dyadic 网格量化将连续分布离散化，同时保持完整弱序。关键在于：对几乎每个有限样本，量化最终会精确保持所有严格比较和 ties，因此核函数的值最终不变。这避免了直接处理核的不连续性。 - Hoeffding 投影分解（引理 3）：将对核 \(f(A_1,A_2)\) 分解为第一阶投影 \(f_1\) 和完全退化第二阶投影 \(f_2\)，并给出期望恒等式 (14)。这是 \(\tau^* = 12\tilde{D} + 24\tilde{R}\) 的代数基础。

真实例子与应用

本文为纯理论，无实证例子。但包含一个数值例子（p. 4）：\(3\times3\) 对角概率表 \(P = \frac{1}{3} \text{diag}(1,1,1)\)。直接计算显示： - \(\tau^* = 28/81\), \(D = 8/243\), \(R = 10/729\), \(12D + 24R = 176/243 \ne \tau^*\)（经典分解失败）。 - \(\tilde{D} = 73/6561\), \(\tilde{R} = 58/6561\), \(12\tilde{D} + 24\tilde{R} = 28/81 = \tau^*\)（tie-对称化分解精确成立）。

这个例子验证了理论：经典分解在有 ties 时失效，而 tie-对称化分解对所有分布成立。

🔎 结论是否比证明窄

  • 定理 1(iv)：\(\tilde{D}=0 \iff X \perp Y\) 只在纯原子或绝对连续情形下证明，一般情形可能失败（Yanagimoto 的连续反例有 \(\tilde{D}=0\) 但依赖）。这是一个窄结论：作者明确承认 \(\tilde{D}\) 不总是刻画独立性。
  • 定理 1(v)：\(\tau^* > 24\tilde{R}\) 对每个依赖的纯原子分布成立，但 24 是 \(\tau^* \ge 24\tilde{R}\) 的最佳常数。证明是严格的：通过 Yanagimoto 反例（连续、\(\tilde{D}=0\)）和量化序列证明。
  • 命题 17：\(\tilde{R}\) 的上界 \(1/36\) 未声称是 sharp 的。这是一个开放问题：作者只给出区间 \((1/90, 1/36]\)，并猜测上确界可能小于 \(1/36\)。

四、开放问题（点到为止，扎根具体语句）

  1. \(\tilde{R}\) 的全局上确界：命题 17 给出 \(\tilde{R} \le 1/36\)，但未证明 sharpness。作者说 "The classical atomless value \(1/90\) is not an upper bound for \(\tilde{R}\)"（p. 20），并给出离散均匀分布的计算（式 (45)）显示 \(\tilde{R}(Z,Z) > 1/90\) 对 \(m \ge 14\) 成立。扎根于：Proposition 17 的证明和 Section 5.3 的 "We leave open the determination of the sharp global supremum of \(\tilde{R}\) over arbitrary laws with ties"（p. 21）。

  2. 其他对称秩协方差的非负分量：作者在 Outlook 中说 "The projection structure in Lemma 3 is generic, but the nonnegativity of both cross-components is special to the \(\tau^*\) kernel. A further direction is to identify other symmetric rank covariances whose components are nonnegative and interpretable"（p. 21）。扎根于：Section 5.1 的 Kendall's tau 类比显示，投影分解本身不保证非负性（\(\tau\) 的分量可正可负）。

  3. \(\tilde{D}\) 的零集刻画：定理 1(iv) 只在纯原子或绝对连续情形下给出 \(\tilde{D}=0 \iff X \perp Y\)。一般情形下 \(\tilde{D}=0\) 的充要条件是什么？扎根于：定理 1(iv) 的陈述和 Yanagimoto 反例（连续、\(\tilde{D}=0\) 但依赖）。

  4. 有限表 \(\tilde{D}\) 边界不等式的等号刻画：Proposition 10 证明 \(9\tilde{D} \ge \sum D_{\epsilon,\eta}\)，但未给出等号成立的条件（与 \(\tilde{R}\) 不同，\(\tilde{R}\) 的等号刻画在 Remark 9 中给出）。扎根于：Section 4 的 "No corresponding classification of equality in the \(\tilde{D}\) four-boundary bound is asserted"（p. 28）。

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