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Spectral Analysis of Gram Matrices with Missing at Random Observations: Convergence, Central Limit Theorems, and Applications in Statistical Inference

作者: Huiqin Li, Guangming Pan, Yanqing Yin, Wang Zhou
主题: 高维统计 / 随机矩阵
相关性: 9/10
链接: https://arxiv.org/abs/2609.02024

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

这个子方向研究的是：在高维框架下（维度p与样本量n同阶增长），当数据存在随机缺失（Missing at Random, MAR）时，样本协方差矩阵（Gram矩阵）的谱性质——包括经验谱分布（ESD）的极限、线性谱统计量（LSS）的波动（中心极限定理，CLT），以及这些理论结果如何用于统计推断（如协方差矩阵的假设检验）。其根本的科学问题是：缺失机制如何改变高维随机矩阵的谱行为，以及这种改变对基于谱的统计方法有何影响。当前成熟度：一阶结果（ESD收敛）已有若干工作，但二阶结果（CLT）在缺失数据下仍非常不完整，本文是填补这一空白的关键一步。

发展脉络（history）

  1. 奠基工作：Marchenko-Pastur (M-P) 定律与经典RMT

    • Marčenko and Pastur [11] (1967)：建立了经典M-P定律，给出了i.i.d. 观测下样本协方差矩阵ESD的极限分布。这是整个领域的基石。
    • Bai and Silverstein [2] (2004)：建立了完全观测下样本协方差矩阵LSS的CLT（Theorem 1.1）。这是二阶谱分析的核心工具，其结论是：在高斯情形下，LSS的渐近方差仅依赖于总体协方差矩阵的特征值，与特征向量无关。这是本文对比的“经典情形”。
    • Pan and Zhou [12] (2008)：将Bai-Silverstein CLT推广到更一般的分布（非高斯），放松了对四阶矩的限制。本文引用它作为更一般情形的参照。

  2. 主要进展：缺失数据下的谱分析（一阶结果）

    • Jurczak and Rohde [8] (2017)：首次系统研究了缺失观测下高维样本协方差矩阵的谱性质。他们建立了ESD的极限（一个平移的M-P律），并证明了在特定条件下外部特征值的几乎必然收敛。留下的口子：他们的模型使用了一个依赖于观测模式的归一化因子 \(N_{jk}\)，这破坏了数据矩阵列之间的独立性，使得推导二阶性质（CLT）变得极其困难。此外，他们的模型在缺失概率较小时可能出现负特征值，限制了其在统计推断中的应用。

  3. 当前Frontier与本文位置

    • 本文 (Li, Pan, Yin, Zhou, 2026)：本文是当前frontier上的一个显著推进。它直接针对Jurczak and Rohde [8]留下的口子，提出了一个不同的Gram矩阵模型（使用统一的归一化因子 \(1/n\)），该模型保持了数据矩阵列的独立性，从而使得推导LSS的CLT成为可能。本文的核心贡献是：首次建立了缺失随机观测下Gram矩阵LSS的CLT，并惊人地发现：即使在理想高斯情形下，LSS的渐近方差也依赖于总体协方差矩阵的特征向量，这与经典完全观测情形形成鲜明对比。本文还将此CLT应用于协方差矩阵的假设检验。

子线索聚类

  1. 经典RMT下的谱分布与CLT：以Bai and Silverstein [2]、Pan and Zhou [12]、Hu et al. [7]为代表。这一簇研究完全观测下的谱性质，建立了M-P律和LSS的CLT，其核心结论是特征向量不进入极限分布（高斯情形下）。本文的CLT是这一簇在缺失数据下的直接推广和对比。
  2. 缺失数据下的协方差估计与谱分析：以Jurczak and Rohde [8]、Lounici [10]、Cai and Zhang [15]为代表。这一簇研究缺失数据对协方差矩阵估计和谱性质的影响。Jurczak and Rohde [8] 提供了谱分布的一阶结果，但模型限制了对二阶性质的研究。Lounici [10] 和 Cai and Zhang [15] 则关注估计和分类问题，而非谱的波动。本文通过提出新模型，将这一簇的研究从一阶推进到二阶。
  3. 高维假设检验：以Chen and Qin [4]、Fan, Guo and Zheng [6]、Cai, Liu and Xia [14]、Wang, Peng and Li [18]为代表。这一簇研究高维均值或协方差矩阵的检验问题，通常基于U-统计量或谱统计量。本文的CLT为这一簇提供了在缺失数据下进行协方差检验的新工具（见Section 3）。

这个方向在追问的核心问题

  1. 缺失机制如何改变谱分布的一阶极限？ 答案：它改变了M-P律中的“总体谱分布”参数 \(H\)，从完全数据的 \(\Sigma\) 变为“不完全总体谱分布” \(\Psi_n = \Theta_n^{1/2} T_n \Theta_n^{1/2}\)，其中 \(T_n = P\Sigma_n P + P^{(2)} \circ \Sigma_n\)。
  2. 缺失机制如何改变LSS的二阶波动（CLT）？ 这是本文回答的核心问题。答案：它引入了额外的项（\(I_2\) 和 \(II\)），使得CLT的均值和方差不仅依赖于特征值，还依赖于特征向量。这在高斯情形下与经典结果有本质区别。
  3. 如何利用这些谱性质进行有效的统计推断？ 本文展示了如何将CLT应用于协方差矩阵的假设检验（Section 3），并给出了具体的检验统计量（\(T_L, T_F\)）及其渐近分布。

⚠️ 作者的 framing

  • 作者把缺口 frame 成什么？ 作者将Jurczak and Rohde [8]的模型缺陷（归一化导致列不独立、可能负特征值）frame为“技术挑战”，并声称自己的模型“不仅有利于研究二阶极限，也增强了理论过程的整体清晰度”。作者将自己的工作定位为“对现有文献的显著扩展”，填补了“缺失数据下Gram矩阵二阶谱性质”这一研究空白。
  • 哪些竞争路线被他淡化或回避了？ 作者淡化了基于插补（imputation）的方法。虽然引用了Lounici [10]（协方差估计）和Cai and Zhang [15]（分类），但并未深入讨论这些方法在谱分析上的局限性，而是直接转向自己的谱方法。作者也回避了讨论非随机缺失（Missing Not at Random, MNAR）的情形，将模型严格限定在MAR。
  • 什么明显该被引/该存在、却没出现在intro里？ 作者在讨论“缺失数据下协方差矩阵估计”时，引用了Lounici [10]和Cai and Zhang [15]，但未提及更近期的、基于RMT的缺失数据协方差估计工作（例如，使用谱方法进行矩阵补全的文献）。这可能是一个值得研究者去查的线索：谱方法在缺失数据估计中的最新进展与本文的CLT有何关联？

张力

未见明显对立引用。作者与Jurczak and Rohde [8]在模型选择上的差异是技术路线上的不同，而非结论上的矛盾。作者明确指出自己的模型在非负定性上优于Jurczak and Rohde [8]的模型，这是一个直接的比较，但并非根本性对立。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：

    • \(p\): 数据维度（变量个数）。
    • \(n\): 样本量。
    • \(y_n = p/n \to y \in (0, \infty)\): 维度-样本量比，高维渐近框架的核心参数。
    • \(\Sigma_n\): \(p \times p\) 总体协方差矩阵（要估计的对象）。
    • \(X_n = (x_{jk})\): \(p \times n\) 矩阵，其元素是i.i.d. 随机变量，均值为0，方差为1。代表潜在（完全）数据的“白噪声”部分。
    • \(y_j = \Sigma_n^{1/2} x_j\): 第 \(j\) 个完全观测的 \(p\) 维数据向量。
    • \(D_n = (d_{jk})\): \(p \times n\) 矩阵，其元素是独立Bernoulli随机变量，\(d_{jk} \sim \text{Bernoulli}(p_j)\)。这是缺失指示矩阵，\(d_{jk}=1\) 表示第 \(j\) 个变量的第 \(k\) 个样本被观测到。
    • \(P = \text{diag}(p_1, \dots, p_p)\): 缺失概率的对角矩阵。
    • \(P^{(2)} = P - P^2\): 缺失指示变量方差的对角矩阵。
    • \(Z = D_n \circ (\Sigma_n^{1/2} X_n)\): \(p \times n\) 观测数据矩阵，\(\circ\) 表示Hadamard乘积（逐元素乘积）。这是研究者实际能观测到的数据。
    • \(S_n = \frac{1}{n} Z Z^T\): \(p \times p\) 样本Gram矩阵（样本协方差矩阵的 \(1/n\) 倍）。
    • \(\Theta_n\): 一个辅助的 \(p \times p\) 非随机矩阵，用于构造更一般的谱统计量（如 \(S_n \Theta_n\)）。当 \(\Theta_n = I\) 时，退化为 \(S_n\) 本身。
    • \(T_n = P\Sigma_n P + P^{(2)} \circ \Sigma_n\): “不完全总体协方差矩阵”，即 \(E[z_1 z_1^T]\)。
    • \(\Psi_n = \Theta_n^{1/2} T_n \Theta_n^{1/2}\): 广义不完全总体协方差矩阵，其谱分布 \(H_n\) 是极限谱分布的关键参数。
    • \(m(z)\): Stieltjes变换，是分析谱分布的核心工具。
    • \(L_n(f, S_n \Theta_n) = \int f(x) dF^{S_n \Theta_n}(x)\): 线性谱统计量（LSS），其中 \(f\) 是一个测试函数。

  • 模型：

    • 数据生成机制：\(Z = D_n \circ (\Sigma_n^{1/2} X_n)\)。即，先有完全数据 \(Y = \Sigma_n^{1/2} X_n\)，然后每个元素独立地以概率 \(p_j\) 被观测到（\(d_{jk}=1\)），否则缺失（\(d_{jk}=0\)）。缺失机制是MAR，且与数据值独立（MCAR的一种，因为缺失概率只依赖于变量索引 \(j\)，不依赖于数据值）。
    • 已知量：缺失概率 \(p_j\)（在检验问题中假设已知，见Section 3.1）。
    • 待估/待检验对象：总体协方差矩阵 \(\Sigma_n\)。

  • 可观测数据：

    • 研究者实际能观测到的是 \(Z = (z_1, \dots, z_n)\)，一个 \(p \times n\) 的矩阵，其中包含大量零元素（表示缺失）。
    • 潜在但不可观测的是：完全数据矩阵 \(Y = \Sigma_n^{1/2} X_n\) 和缺失指示矩阵 \(D_n\) 的联合分布。我们只能通过 \(Z\) 和已知的缺失概率 \(p_j\) 来推断 \(\Sigma_n\)。

第二步：讲最小内核

本文的核心数学问题是：在高维框架下，当数据存在随机缺失时，样本Gram矩阵 \(S_n\) 的线性谱统计量 \(L_n(f, S_n)\) 的渐近分布是什么？

最简特例：考虑最简单的设定，剥去所有一般性假设，只保留核心思想。

  • 设定：

    1. 总体协方差矩阵：\(\Sigma_n = I_p\)（单位阵）。这意味着完全数据 \(y_j\) 的坐标是独立同分布的。
    2. 缺失概率：所有变量缺失概率相同，即 \(p_j = p\) 对所有 \(j\) 成立。那么 \(P = p I_p\)，\(P^{(2)} = p(1-p) I_p\)。
    3. 辅助矩阵：\(\Theta_n = I_p\)。我们只关心 \(S_n\) 本身。
    4. 数据分布：\(x_{jk} \sim N(0,1)\)（高斯分布），因此 \(\nu_4 = 3\)。

  • 在这个特例下，模型退化成什么？

    • 不完全总体协方差矩阵：\(T_n = P\Sigma_n P + P^{(2)} \circ \Sigma_n = p^2 I_p + p(1-p) I_p = p I_p\)。
    • 观测数据矩阵 \(Z\) 的每一列 \(z_j\) 可以看作：以概率 \(p\) 观测到 \(y_j\) 的某个坐标，否则为0。由于 \(y_j\) 的坐标是独立标准正态，\(z_j\) 的坐标是独立的，均值为0，方差为 \(p\)。
    • 因此，\(S_n = \frac{1}{n} Z Z^T\) 近似于一个“稀疏化”的Wishart矩阵，其总体协方差为 \(p I_p\)。

  • 核心思路与结论：

    • 一阶极限（LSD）：根据Theorem 2.1，\(S_n\) 的ESD收敛到一个M-P律，但参数 \(H\) 不再是 \(\Sigma_n = I_p\) 的谱分布（一个点质量在1），而是 \(T_n = p I_p\) 的谱分布（一个点质量在 \(p\)）。这意味着极限谱分布是经典的M-P律，但被缩放了一个因子 \(p\)。
    • 二阶极限（CLT）：这是本文的核心发现。根据Theorem 2.3和Remark 2.3，即使在这个最简单的特例下，LSS的渐近方差也依赖于特征向量。为什么？
      • 在完全观测的经典情形（\(p=1\)），\(S_n\) 是Wishart矩阵。由于高斯分布的正交不变性，\(S_n\) 的特征向量是均匀随机的，与 \(\Sigma_n\) 的特征向量无关。因此，LSS的波动只由特征值决定。
      • 在缺失情形（\(p<1\)），缺失机制 \(D_n\) 破坏了这种正交不变性。\(S_n\) 不再是一个旋转不变的随机矩阵。它的特征向量会受到缺失模式的影响，而这种影响会通过复杂的交叉项（如 \(I_2\) 和 \(II\) 中的项）进入LSS的渐近方差。即使 \(\Sigma_n = I_p\)，这些项也不会消失，因为它们涉及 \(P^{(2)}\) 与 \(\Sigma_n\) 的Hadamard乘积，这引入了坐标之间的依赖结构。
    • 一句话总结：缺失机制就像在数据上施加了一个“坐标依赖的筛子”，这个筛子破坏了经典RMT中由旋转不变性带来的“特征向量无关性”结论，使得特征向量重新成为影响谱统计量波动的重要因素。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：在高维框架下，当数据存在随机缺失（MAR）时，Gram矩阵 \(S_n = \frac{1}{n} Z Z^T\)（其中 \(Z = D \circ (\Sigma^{1/2} X)\)）的谱性质，包括经验谱分布（ESD）的收敛性和线性谱统计量（LSS）的中心极限定理（CLT）。
  2. 核心工具/方法：随机矩阵理论（RMT）中的Stieltjes变换、矩方法、鞅差分解、\(\varepsilon\)-net论证，以及针对缺失数据模型推导的二次型矩引理（Lemma 2.1, 2.2）。
  3. 主要结论：建立了ESD收敛到广义M-P律的定理（Theorem 2.1），证明了在极限支撑外无特征值的高概率结果（Theorem 2.2），并首次建立了缺失数据下LSS的CLT（Theorem 2.3）。该CLT揭示了一个惊人现象：即使在理想高斯情形下，LSS的渐近方差也依赖于总体协方差矩阵的特征向量，与经典完全观测情形形成鲜明对比。最后，将此CLT应用于协方差矩阵的假设检验（Theorem 3.1），并给出了数值模拟验证。

关键设定与假设

  • Assumption A (次高斯性)：\(x_{jk}\) 是i.i.d. 次高斯随机变量，均值为0，方差为1。这比经典RMT中常用的有限四阶矩假设更强，是本文为了证明谱范数的高概率界（Lemma 2.3）而引入的。作者在Remark 2.1中承认了这一点，并指出如果未来有更一般的界，本文的CLT可以无缝衔接。
  • Assumption B (独立性)：\(X_n\) 和 \(D_n\) 独立，\(\Theta_n\) 是非随机的。这是模型的基本假设。
  • Assumption C (高维渐近)：\(p/n \to y \in (0, \infty)\)。这是高维RMT的标准框架。
  • Assumption D (谱分布收敛)：\(\Psi_n = \Theta_n^{1/2} T_n \Theta_n^{1/2}\) 的谱分布 \(H_n\) 弱收敛到一个概率分布 \(H\)，且 \(\|\Sigma_n \Theta_n\|_s\) 一致有界。这个假设定义了“不完全总体谱分布”，是连接缺失数据模型与经典M-P律的关键桥梁。相比经典文献，这个假设是全新的，它概括了缺失机制对总体谱分布的影响。

主要结果

  • Theorem 2.1 (LSD)：\(S_n \Theta_n\) 的ESD以高概率收敛到一个非随机极限分布 \(F\)，其Stieltjes变换 \(m(z)\) 满足方程 (2.1)。这个方程与经典M-P律的形式相同，但其中的谱分布 \(H\) 被替换为 \(\Psi_n\) 的极限谱分布。直觉：缺失机制改变了“有效总体”，从 \(\Sigma_n\) 变为 \(T_n\)，进而改变了极限谱分布。
  • Theorem 2.2 (无外部特征值)：在极限支撑外，以高概率没有 \(S_n \Theta_n\) 的特征值。这个结果对于证明CLT至关重要，因为它保证了在围绕支撑的围道上，Stieltjes变换的行为是良好的。技术难点：需要建立谱范数的高概率界（Lemma 2.3），这通过 \(\varepsilon\)-net论证和次高斯性假设实现。
  • Theorem 2.3 (CLT for LSS)：这是本文的核心定理。它证明了中心化的LSS向量 \((L^c(f_j, S_n \Theta_n))_{j=1}^\kappa\) 弱收敛到一个 \(\kappa\) 维高斯向量。其均值和协方差由复杂的围道积分给出，其中包含了由缺失机制引入的额外项 \(a(z)\) 和 \(d^2(z_1, z_2)\)。关键发现：这些额外项依赖于 \(I_2\) 和 \(II\)（来自Lemma 2.1），而它们又依赖于 \(\Sigma_n\) 和 \(P\) 的Hadamard乘积，从而引入了对特征向量的依赖。与经典结果的对比：当 \(P = I\)（无缺失）时，\(I_2\) 消失，\(II\) 退化为经典形式，CLT退化为Bai-Silverstein [2] 或 Pan-Zhou [12] 的结果（见Remark 2.4）。

证明路线与技术技巧

  • 整体路线（以Theorem 2.3为例）：

    1. Stieltjes变换与LSS的桥梁：利用围道积分公式 (4.13)，将LSS的收敛问题转化为Stieltjes变换 \(m_n(z)\) 的收敛问题。
    2. 分解：将 \(M_n(z) = p[m_n(z) - m_n^0(z)]\) 分解为随机部分 \(M_{n1}(z) = p[m_n(z) - E m_n(z)]\) 和确定性偏差部分 \(M_{n2}(z) = p[E m_n(z) - m_n^0(z)]\)。
    3. 处理随机部分 \(M_{n1}(z)\)：使用鞅差分解（公式4.3）和Burkholder不等式（Lemma 5.3），证明其有限维分布收敛到高斯过程，并证明其紧性。协方差函数的计算依赖于Lemma 2.1中的二次型方差公式。
    4. 处理确定性偏差 \(M_{n2}(z)\)：通过复杂的代数运算（Section 4.1.2），证明 \(E m_n(z)\) 与 \(m_n^0(z)\) 的差异可以忽略，并计算出其极限（公式4.15），这构成了CLT的均值项。
    5. 从Stieltjes变换回到LSS：利用围道积分，将 \(M_n(z)\) 的收敛性转化为 \(L^c(f, S_n \Theta_n)\) 的收敛性，得到最终的CLT（公式2.4, 2.5）。

  • 关键跳跃点：

    • Lemma 2.1的推导：这是整个证明的基石。推导缺失数据下二次型 \(z^T A z\) 的均值和方差，需要处理Hadamard乘积和Bernoulli随机变量的高阶矩，计算极其繁琐（见补充材料）。这个引理直接决定了CLT中额外项 \(I_2\) 和 \(II\) 的形式。
    • 谱范数的高概率界（Lemma 2.3）：这是证明Theorem 2.2（无外部特征值）和后续CLT紧性的关键。由于缺失机制破坏了矩阵的独立同分布结构，经典方法失效。作者巧妙地使用 \(\varepsilon\)-net论证，将问题转化为对固定向量二次型的控制，并利用次高斯性得到指数型尾概率界。
    • 处理确定性偏差 \(M_{n2}(z)\)：证明 \(E m_n(z) \approx m_n^0(z)\) 需要精细的代数技巧，包括对 \(G_n^{-1} - M^{-1}\) 的展开（公式4.5）和复杂的期望计算，最终证明其差异为 \(o(1)\)。

  • 技术技巧点名：

    • Stieltjes变换：核心分析工具，用于连接谱分布和矩阵求逆。
    • 鞅差分解：用于处理 \(m_n(z) - E m_n(z)\)，将其表示为鞅差序列的和，从而应用CLT。
    • \(\varepsilon\)-net论证：用于建立谱范数的高概率界（Lemma 2.3）。
    • 留数定理/围道积分：用于在Stieltjes变换和LSS之间转换（公式4.13）。
    • Hadamard乘积的矩方法：用于推导缺失数据下二次型的矩（Lemma 2.1, 2.2），这是本文最核心的技术贡献之一。

真实例子与应用

  • 数据/场景：模拟数据。维度 \(p \in \{64, 128, 256, 512\}\)，维度-样本量比 \(y_n \in \{0.25, 0.5, 0.8\}\)。总体协方差矩阵 \(\Sigma_\theta = (0.65^{|i-j|+1} + \theta)\)，其中 \(\theta=0\) 对应零假设，\(\theta \neq 0\) 对应备择假设。缺失概率 \(p_j \sim \text{Uniform}(0.5, 1)\)。数据分布包括高斯分布和Gamma分布。
  • 方法应用：将Theorem 3.1中的检验统计量 \(T_L\) 和 \(T_F\) 应用于模拟数据，计算其在零假设下的经验大小（empirical size，应接近名义水平5%）和在备择假设下的经验功效（empirical power）。
  • 结果：Table 1和Table 2显示，\(T_L\) 和 \(T_F\) 的经验大小都接近5%，说明检验很好地控制了第一类错误。在功效方面，\(T_F\) 普遍优于 \(T_L\)，且随着 \(p\) 和 \(\theta\) 的增大，功效迅速趋近于100%。
  • 例子想说明什么：这个模拟实验旨在验证Theorem 3.1的理论结果，并展示基于CLT的检验统计量在实际应用中的有效性。它证明了即使在非高斯分布（Gamma）下，检验也能保持良好的大小和较高的功效，体现了方法的稳健性。

🔎 结论是否比证明窄

  • 窄的方面：Theorem 2.3的CLT是在次高斯假设（Assumption A）下严格证明的。作者在Remark 2.1中明确承认，这个假设是为了证明谱范数界（Lemma 2.3）而引入的，并指出“如果未来有更一般的界，本文的CLT可以无缝衔接”。因此，CLT本身在更一般的分布（如仅有有限四阶矩）下是否成立，是一个未被严格证明的猜想。作者在引言和结论中并未明确强调这一限制，可能会让读者误以为CLT在更弱的条件下也成立。
  • 泛化的方面：Theorem 2.3的结论（特征向量依赖）是在非零均值或非对角协方差矩阵的一般情形下得出的。但在数值模拟中，作者只测试了零均值和特定形式的协方差矩阵。CLT中复杂的特征向量依赖项在模拟中是否真的被激活，以及它们对检验功效的具体影响，并未被深入探讨。作者声称“\(T_F\) 普遍优于 \(T_L\)”，但并未从理论上解释为何 \(T_F\) 对特征向量依赖更不敏感或更有效。

四、开放问题

  1. 放松次高斯假设：本文的CLT（Theorem 2.3）依赖于次高斯假设来证明谱范数界。能否在仅假设有限四阶矩（甚至更弱）的条件下，建立同样的CLT？这需要发展新的技术来绕过 \(\varepsilon\)-net论证，例如使用更精细的矩方法或截断技巧。扎根点：Remark 2.1中作者明确指出了这一限制，并称CLT可与未来更一般的界“无缝衔接”。
  2. 非对角协方差矩阵下的检验功效分析：本文的模拟实验使用了特定形式的协方差矩阵（\(\Sigma_\theta\)），且CLT揭示了特征向量依赖。一个开放问题是：当总体协方差矩阵的特征向量结构复杂时（例如，有稀疏或聚类结构），本文提出的检验统计量 \(T_L\) 和 \(T_F\) 的功效会如何变化？是否存在对特征向量结构更鲁棒的检验统计量？扎根点：Remark 2.3中详细讨论了特征向量依赖的起源，但并未在模拟中系统探索其影响。
  3. 缺失概率未知时的自适应方法：本文的检验（Theorem 3.1）假设缺失概率 \(p_j\) 是已知的。在实际应用中，缺失概率往往需要估计。一个开放问题是：当 \(p_j\) 被估计时，CLT和检验的渐近性质如何变化？能否构造一个对缺失概率估计误差不敏感的自适应检验？扎根点：Section 3.1中明确假设“缺失概率是已知的”，这是实际应用中的一个强假设。
  4. 将谱分析工具应用于因果推断中的高维问题：本文的模型 \(Z = D \circ (\Sigma^{1/2} X)\) 与因果推断中处理缺失数据或测量误差的模型有相似之处。一个开放问题是：本文发展的谱分析工具（特别是LSS的CLT）能否用于构造因果效应估计量（如IV估计或双重稳健估计）的假设检验或置信区间，尤其是在高维工具变量或高维协变量的设定下？扎根点：本文的动机提到“统计推断”，但应用仅局限于协方差矩阵检验。将其推广到更广泛的因果推断问题是自然的下一步。

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