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Robust Bayesian Inference for Unnormalized Models with Mixed-Domain Data

作者: Jiongran Wang, Debdeep Pati, Anirban Bhattacharya
主题: 统计计算 / 算法
相关性: 6/10
链接: https://arxiv.org/abs/2609.01783

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本文所处理的根本问题是：如何对含有参数依赖的不可计算归一化常数（doubly-intractable）的统计模型进行贝叶斯推断，并在模型误设下仍能提供频率上有效的可信集。这类模型广泛出现在空间统计、网络分析、图模型等领域，其似然函数和后验分布都涉及难处理的归一化常数，使得标准MCMC无法直接应用。当前子方向的成熟度：已有多种计算策略（辅助变量MCMC、伪边际MCMC、对比贝叶斯推断等）可以绕过归一化常数，但在模型误设下，基于完全指定工作模型的贝叶斯不确定性量化可能严重失准（Kleijn & Van der Vaart 2012）。本文试图填补这一缺口：在避免归一化常数计算的同时，提供误设下校准的后验。

发展脉络（history）

  • 奠基工作：Hyvärinen & Dayan (2005) 提出 score matching，通过匹配模型与数据密度的梯度（score）来估计参数，完全避开归一化常数。该工作建立了score matching损失函数（相对Fisher散度）及其可计算形式（式2.2-2.3），并证明了样本准则的收敛性。这是本文方法的核心构建块。
  • 主要进展（双重重尾模型的计算）：Park & Haran (2018) 的综述系统梳理了双重重尾模型的贝叶斯推断方法，包括辅助变量MCMC（Møller et al. 2006, Liang 2010, Murray et al. 2012, Liang et al. 2016, Rao et al. 2016）和伪边际MCMC（Andrieu & Roberts 2009, Lyne et al. 2015）。这些方法通过引入辅助变量或无偏似然估计来绕过归一化常数比，但其不确定性量化依赖于完全指定的工作模型，在误设下可能失效（本文引言第2段）。
  • 主要进展（score matching的扩展与贝叶斯连接）：Score matching被扩展到非标准支撑（非负、紧致、流形等）（Hyvärinen 2007, Mardia et al. 2016, Yu et al. 2019, Liu et al. 2022, Scealy & Wood 2023），并被用于广义贝叶斯推断（Dawid & Musio 2015, Shao et al. 2019, Jewson & Rossell 2022, Matsubara et al. 2024）。但这些广义贝叶斯方法通常需要调学习率（learning rate），且该选择强烈影响不确定性量化（本文引言第3段）。
  • 主要进展（经验似然与贝叶斯ETEL）：Schennach (2005) 提出 exponentially tilted empirical likelihood (ETEL)，作为经验似然的一种变体，用于从矩条件进行推断，无需完全模型指定。Chib et al. (2018) 建立了贝叶斯ETEL后验的Bernstein-von Mises定理，证明其在误设下仍具有频率覆盖。这为本文提供了“校准自由”的贝叶斯框架。
  • 当前frontier与本文位置：本文首次将score matching的一阶最优条件作为矩条件纳入贝叶斯ETEL，提出 SME-BETEL，从而同时获得：①避免归一化常数（来自score matching），②无需调学习率（来自ETEL），③误设下校准的后验（来自BvM定理）。此外，本文还发展了混合域score matching，将SME-BETEL扩展到观测分量来自不同样本空间（如欧氏响应+紧致域位置）的模型，这是此前未解决的设定（本文引言第4段：“To our knowledge, robust Bayesian inference for such settings has not been previously studied.”）。

子线索聚类

  1. 双重重尾模型的MCMC方法：包括辅助变量MCMC（Møller et al. 2006, Liang 2010, Murray et al. 2012, Liang et al. 2016, Rao et al. 2016）、伪边际MCMC（Andrieu & Roberts 2009, Lyne et al. 2015）、交换算法（Liang et al. 2016）。这些方法专注于计算，但不确定性量化在误设下未得到理论保证。
  2. Score matching及其扩展：从原始欧氏空间（Hyvärinen & Dayan 2005）到非负（Hyvärinen 2007）、紧致（Liu et al. 2022）、流形（Mardia et al. 2016）、组合（Scealy & Wood 2023）支撑。本文的混合域构造属于这一线索的新扩展。
  3. 经验似然/ETEL贝叶斯：从经典经验似然（Owen 1988, Qin & Lawless 1994）到ETEL（Schennach 2005），再到贝叶斯ETEL的渐近理论（Chib et al. 2018, Tang & Yang 2022）。本文将其与score matching结合，开辟了新的应用场景。

核心问题与瓶颈

  • 核心问题：如何在不计算归一化常数、不调学习率的前提下，获得误设下频率有效的贝叶斯可信集？
  • 当前主流方法：①辅助变量MCMC（计算昂贵，误设下覆盖差）；②广义贝叶斯基于score损失（需调学习率，且学习率影响覆盖）；③贝叶斯ETEL基于矩条件（需先验矩条件，但双重重尾模型通常不直接提供矩条件）。
  • 已知瓶颈：①误设下普通贝叶斯后验的BvM定理不成立（Kleijn & Van der Vaart 2012），可信集覆盖严重不足；②score matching估计量在效率上可能低于MLE（Koehler et al. 2022指出当分布具有小等周常数时效率损失），但本文关注的是稳健性而非效率。

⚠️ 作者的framing

作者将缺口frame为：“现有方法要么计算复杂（MCMC），要么需要调学习率（广义贝叶斯），要么在误设下校准差（普通贝叶斯）”。本文的SME-BETEL被呈现为“显然的下一步”：同时解决这三个问题。竞争路线（如直接基于score的广义贝叶斯）被淡化，作者指出其“需要调学习率，且该选择强烈影响不确定性量化”（引言第3段）。此外，作者回避了正则化ETEL（Kim et al. 2023）和高维惩罚EL（Chang et al. 2018）的深入讨论，仅在模拟中提到“SME-BETEL can be implemented in moderately high-dimensional spatial models, a setting that is challenging for standard unregularized EL and ETEL methods”（引言末段），但未将其作为主要对比基线。

值得研究者去查的问题：作者在引言中引用了大量关于score matching与贝叶斯连接的工作（Dawid & Musio 2015, Shao et al. 2019, Jewson & Rossell 2022, Matsubara et al. 2024），但未提及直接使用score匹配损失作为广义贝叶斯更新目标时，后验的BvM性质是否成立？Matsubara et al. (2024) 针对离散数据建立了后验一致性与渐近正态性，但未明确讨论频率覆盖。本文的ETEL框架提供了另一种路径。此外，关于score matching估计量的效率损失，作者引用了Koehler et al. (2022) 但未深入，这可能是一个值得跟进的方向。

张力

被引工作之间未见明显对立结论。不同方法在各自设定下均有效，但本文指出它们在误设下的覆盖性质存在差异，这并非矛盾，而是不同框架的固有属性。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：
  • \(x \in \mathbb{R}^m\)：观测数据向量（连续，欧氏空间）。
  • \(p_x(\cdot)\)：真实数据生成密度，未知。
  • \(p(x;\theta) = q(x;\theta)/Z(\theta)\)：参数化工作模型，其中 \(q(x;\theta)\) 已知可计算，\(Z(\theta) = \int q(x;\theta) dx\) 是参数依赖的归一化常数，计算不可行。
  • \(\theta \in \Theta \subseteq \mathbb{R}^p\)：模型参数，\(p\) 为参数维数。
  • \(\psi(x;\theta) = \nabla_x \log p(x;\theta) = \nabla_x \log q(x;\theta)\)：模型score函数（梯度对数据向量 \(x\)）。
  • \(\psi_x(x) = \nabla_x \log p_x(x)\)：真实数据score函数，未知。
  • \(J(\theta) = \frac{1}{2} \mathbb{E}_{p_x}[\|\psi(X;\theta) - \psi_x(X)\|^2]\)：总体score匹配损失（相对Fisher散度）。
  • \(\theta^* = \arg\min_\theta J(\theta)\)：score匹配目标参数。
  • \(\hat{J}(\theta; x_{1:n}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left[ \sum_{j=1}^m \left( \partial_j \psi_j(x_i;\theta) + \frac{1}{2} \psi_j^2(x_i;\theta) \right) \right] + \text{const}\)：样本score匹配损失（式2.3）。
  • \(\hat{\theta}_n = \arg\min_\theta \hat{J}(\theta; x_{1:n})\)：样本score匹配估计量。
  • \(g(x,\theta) = \nabla_\theta \left[ \operatorname{tr}(\nabla_x^2 \log p(x;\theta)) + \frac{1}{2} \|\nabla_x \log p(x;\theta)\|^2 \right]\)：score匹配一阶条件的被积函数（矩函数），满足 \(\mathbb{E}_{p_x}[g(X,\theta^*)] = 0\)（式2.4）。
  • \(\ell_{n,\theta}(x) = \log \frac{\exp(\hat{\lambda}(\theta)^\top g(x,\theta))}{\sum_{j=1}^n \exp(\hat{\lambda}(\theta)^\top g(x_j,\theta))}\)：ETEL对数似然贡献（式4.1）。
  • \(L(\theta) = \mathbf{1}_{C(\theta)}(0) \prod_{i=1}^n \omega_i(\theta)\)：ETEL函数（式2.5），其中 \(\omega_i(\theta)\) 由式2.6的优化问题定义。
  • \(\pi(\theta)\)：先验密度。
  • \(\pi(\theta|x_{1:n}) \propto L(\theta) \pi(\theta)\)：SME-BETEL后验（式2.7）。
  • \(\Delta = \mathbb{E}_{p_x}[g(X,\theta^*) g(X,\theta^*)^\top]\)，\(\Gamma = \mathbb{E}_{p_x}[\partial g(X,\theta^*)/\partial \theta^\top]\)：Godambe信息矩阵的组成部分（Assumption 4）。

  • \(V = \Gamma^\top \Delta^{-1} \Gamma\)：渐近协方差矩阵的逆。

  • 模型：数据生成机制为 \(X_i \stackrel{i.i.d.}{\sim} p_x\)，未知。工作模型为 \(p(x;\theta) = q(x;\theta)/Z(\theta)\)，其中 \(q\) 已知但 \(Z(\theta)\) 难计算。Score matching通过最小化 \(J(\theta)\) 来估计 \(\theta\)，该损失仅依赖于 \(\nabla_x \log q\)，完全避开 \(Z(\theta)\)。SME-BETEL将 \(g(x,\theta)\) 作为矩条件，构造ETEL后验。

  • 可观测数据：研究者实际能观测到的是独立同分布样本 \(x_1, \dots, x_n \in \mathbb{R}^m\)。无法观测的是：①归一化常数 \(Z(\theta)\)（对任何 \(\theta\)）；②真实score函数 \(\psi_x\)；③真实密度 \(p_x\) 本身。所有推断仅基于样本和已知的 \(q(x;\theta)\)。

第二步：最小内核——一维logistic位置族误设例子

本文在Section 4中给出了一个简单的一维例子，用于直观说明SME-BETEL在误设下的覆盖优势。我们将其作为最小内核展开。

特例设定： - 数据生成密度：\(p_x(x) = 0.25 \, f(0.25(x-1))\)，其中 \(f(u) = e^{-u}/(1+e^{-u})^2\) 是标准logistic密度。 - 工作模型：\(p(x;\theta) = f(x-\theta)\)，即标准logistic位置族，归一化常数为1（与 \(\theta\) 无关），但此处工作模型是误设的，因为真实分布是缩放后的logistic。 - 先验：\(\pi(\theta) \propto 1\)（无信息先验）。

Score matching目标：最小化相对Fisher散度 \(J(\theta) = \frac{1}{2} \mathbb{E}_{p_x}[(\psi(X;\theta) - \psi_x(X))^2]\)。对于位置族，\(\psi(x;\theta) = f'(x-\theta)/f(x-\theta)\)。可以验证，该例中 \(\theta^* = 1\)（论文中给出）。

普通贝叶斯 vs. SME-BETEL： - 普通贝叶斯后验以KL散度最小化点 \(\theta^\dagger = 1\) 为中心，渐近方差为 \(1/A\)，其中 \(A = -\mathbb{E}_{p_x}[\partial^2 \log p(X;\theta^\dagger)/\partial \theta^2]\)。而MLE的渐近方差为 \(B/A^2\)，其中 \(B = \mathbb{E}_{p_x}[(\partial \log p(X;\theta^\dagger)/\partial \theta)^2]\)。由于误设，\(A \neq B\)，因此普通贝叶斯95%可信区间的渐近覆盖率为 \(P(|Z| < 1.96 \sqrt{A/B}) \approx 0.56\)（论文中计算）。 - SME-BETEL后验：将score matching的一阶条件 \(g(x,\theta) = \partial/\partial\theta [\partial \psi(x;\theta)/\partial x + \frac{1}{2} \psi(x;\theta)^2]\) 作为矩条件。该例中，\(\theta^* = 1\)，且 \(\hat{\theta}_n\) 的渐近方差为 \(V^{-1} = (\Gamma^\top \Delta^{-1} \Gamma)^{-1}\)。Theorem 1保证SME-BETEL后验以 \(\hat{\theta}_n\) 为中心，方差为 \(n^{-1} V^{-1}\)，因此95%可信区间渐近覆盖率为95%。

核心思路：Score matching的一阶条件提供了“正确”的矩条件，使得后验方差自动匹配估计量的抽样方差，无需调参。而普通贝叶斯后验方差由Fisher信息决定，在误设下与MLE方差不匹配，导致覆盖不足。这个例子以最简形式展示了SME-BETEL的校准自由性质。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：针对含有不可计算归一化常数的双重重尾模型，提出一个半参数贝叶斯框架SME-BETEL，该框架结合score matching估计方程与贝叶斯指数倾斜经验似然（ETEL），从而避免归一化常数计算且无需调学习率，并在模型误设下提供频率上有效的可信集。
  2. 核心工具/方法：①将score matching的一阶最优条件作为矩条件纳入贝叶斯ETEL；②为混合域数据（欧氏响应+紧致域位置）推导新的score matching目标函数（Proposition 1），并以此构造矩条件。
  3. 主要结论：①证明了score matching估计量的相合性（Theorem S1）和渐近正态性（Theorem S2）；②证明了SME-BETEL后验的Bernstein-von Mises定理（Theorem 1），即后验渐近正态分布，中心为 \(\hat{\theta}_n\)，协方差为 \(n^{-1}(\Gamma^\top \Delta^{-1} \Gamma)^{-1}\)，与score matching估计量的抽样方差一致，从而保证误设下可信集具有正确频率覆盖；③通过模拟和臭氧数据应用展示了混合域构造的实用性。

关键设定与假设

在第二节最小记号基础上，补全完整设定：

  • 观测独立性：Assumption 3(a)：\(x_1,\dots,x_n\) i.i.d. 来自 \(p_x\)。这是ETEL理论的基础，也是本文理论部分的前提。对于空间依赖数据（如autonormal模型），论文通过分块处理来近似满足（见Appendix S2.1.1）。
  • 矩条件唯一解：Assumption 2：\(\mathbb{E}_{p_x}[g(X,\theta)] = 0\) 有唯一解 \(\theta^* \in \text{int}(\Theta)\)，且 \(\Theta\) 紧致。这保证了score matching目标参数的可识别性。
  • 光滑性与矩条件：Assumption 3(b)-(e)：\(g(x,\theta)\) 连续、可微，且具有有限 \(\alpha>2\) 阶矩（对 \(\theta\) 一致），以及导数Frobenius范数有限。这些是标准GMM/EL理论所需。
  • 非退化性：Assumption 4：\(\Delta\) 非奇异，\(\Gamma\) 满秩。确保Godambe信息矩阵 \(V\) 正定。
  • 先验条件：Assumption 1：先验密度在 \(\theta^*\) 处连续且正。
  • 后验集中性：Assumption 5：对数ETEL准则在远离 \(\theta^*\) 处一致地小于在 \(\theta^*\) 处的值（概率趋于1）。这是BvM证明中控制尾部概率的标准条件。

相比已有文献：本文的假设与Chib et al. (2018) 的贝叶斯ETEL假设基本一致，但矩函数 \(g\) 来自score matching而非任意给定的矩条件。相比直接基于score损失的广义贝叶斯（如Matsubara et al. 2024），本文不需要调学习率，但需要验证 \(g\) 满足上述矩条件假设。

主要结果

  • Theorem S1（Score matching估计量相合性）：在Assumptions S1-S5（包括Lipschitz条件）下，\(\hat{\theta}_n \xrightarrow{p} \theta^*\)。证明通过控制 \(\sup_\theta |\hat{J}_n(\theta) - J(\theta)|\) 并利用 \(J\) 的连续性和唯一最小性。
  • Theorem S2（Score matching估计量渐近正态性）：在Assumptions 2-4下，\(\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta^*) \xrightarrow{d} N(0, (\Gamma^\top \Delta^{-1} \Gamma)^{-1})\)。证明基于估计方程的一阶Taylor展开和CLT，得到Godambe信息形式。
  • Theorem 1（SME-BETEL后验的BvM定理）：在Assumptions 1-5下，SME-BETEL后验的TV距离收敛到 \(N(\hat{\theta}_n, n^{-1} V^{-1})\)，其中 \(V = \Gamma^\top \Delta^{-1} \Gamma\)。这意味着后验可信集渐近等价于基于 \(\hat{\theta}_n\) 的置信集，无论模型是否正确指定。这是本文最核心的理论贡献。
  • Proposition 1（混合域score matching目标）：给出了混合域score matching目标的可计算形式（式2.9），其中包含权重函数 \(h(s)\) 处理边界项。该形式避免了空间归一化积分，因为 \(\nabla_s \log p(s;\theta)\) 不依赖于归一化常数。

证明路线与技术技巧

整体路线（Theorem 1的证明）： 1. 局部展开：将后验密度写为 \(q_n(h|x_{1:n}) \propto \pi(\hat{\theta}_n + h/\sqrt{n}) R_n(h)\)，其中 \(h = \sqrt{n}(\theta - \hat{\theta}_n)\)，\(R_n(h) = L(\hat{\theta}_n + h/\sqrt{n}) / L(\hat{\theta}_n)\)。 2. ETEL对数似然比的二次展开：利用ETEL的拉格朗日乘子展开（Newey & Smith 2004, Chib et al. 2018），证明 \(\log R_n(h) = -\frac{1}{2} h^\top V h + o_p(1)\) 对 \(\|h\| \leq c \log \sqrt{n}\) 一致成立（Lemma 3）。关键步骤：①在 \(\hat{\theta}_n\) 处，由于 \(\sum_i g(x_i,\hat{\theta}_n)=0\)，拉格朗日乘子 \(\hat{\lambda}(\hat{\theta}_n)=0\)（概率趋于1）；②沿路径 \(\theta_t = \hat{\theta}_n + t h/\sqrt{n}\) 展开 \(\hat{\lambda}(\theta_t)\) 和 Hessian，得到主导项 \(-\Gamma^\top \Delta^{-1} \Gamma\)。 3. 积分收敛：将积分区域分为 \(\|h\| \leq c\log\sqrt{n}\)（局部）、\(c\log\sqrt{n} < \|h\| \leq \delta\sqrt{n}\)（中间）、\(\|h\| > \delta\sqrt{n}\)（尾部）。局部区域利用Lemma 3和先验连续性得到主导项；中间区域利用Hessian的负定性得到指数衰减界；尾部区域利用Assumption 5（后验集中性）得到指数小概率。最终证明后验密度趋近于 \(N(0, V^{-1})\) 的密度。 4. TV距离收敛：通过积分绝对差得到TV距离收敛到0。

关键跳跃点： - ETEL的局部展开：需要证明 \(\hat{\lambda}(\theta)\) 在 \(\theta^*\) 附近的光滑性，以及 \(\frac{1}{n} \sum_i g(x_i,\theta) g(x_i,\theta)^\top\) 的一致收敛性。这依赖于Assumptions 3-4和一致大数定律。 - 尾部概率控制：Assumption 5直接假设了ETEL准则在远离 \(\theta^*\) 处一致小于 \(\theta^*\) 处，这需要验证。论文未给出验证细节，但指出这是标准条件（类似Chib et al. 2018）。

技术技巧点名： - ETEL multiplier expansion：用于展开 \(\hat{\lambda}(\theta)\) 和 Hessian，得到Godambe信息形式。 - Dudley's entropy integral：用于证明score matching样本准则的一致收敛性（Lemma 2的证明中控制经验过程）。 - 分块处理：在空间依赖数据（autonormal模型）中，通过将格点划分为独立块来近似i.i.d.假设（Appendix S2.1.1）。 - 权重函数技巧：混合域score matching中引入光滑权重函数 \(h(s)\) 以消除边界项（Proposition 1）。

真实例子与应用

论文包含两个实证部分：

  1. 模拟研究（Section 3）：误设的优先采样模型。数据生成：响应 \(y_i\) 来自非中心t分布（5自由度），位置 \(s_i\) 来自指数族密度（含空间归一化积分）。工作模型假设高斯响应。SME-BETEL使用混合域score matching（式2.9）构造矩条件，避免计算空间积分。对比方法：Pati et al. (2011) 的似然基贝叶斯方法（PRD）。结果：SME-BETEL在偏差、MSE、MAD上均优于PRD（Table 1），且随样本量增加优势更明显。该例子旨在展示混合域构造在误设下的稳健性。

  2. 真实数据应用（Section 5）：美国东部臭氧监测数据（\(n=631\)）。使用优先采样模型（式3.1），其中位置密度含空间归一化积分。SME-BETEL的混合域score matching避免了该积分。对比模型：非信息采样模型（NIS，固定 \(a=0\)）。结果：SME-BETEL估计的 \(a\) 的95%可信区间排除0，表明存在信息采样；预测的臭氧表面在多数区域高于NIS，尤其在监测稀疏的北部新英格兰地区和监测密集的东北走廊（Figure 1）。该例子说明忽略信息采样会导致系统性低估。

🔎 结论是否比证明窄

  • Theorem 1的证明依赖于Assumption 5（后验集中性），该假设在论文中未给出充分验证条件，仅声称是“标准条件”。对于具体模型（如混合域模型），验证Assumption 5可能需要额外工作。论文在理论部分仅针对原始欧氏score matching设定证明BvM，未对混合域设定给出理论保证，仅通过模拟展示性能。
  • 论文在Conclusion中声称“SME-BETEL provides a practical and theoretically justified route to robust Bayesian inference for unnormalized statistical models”，但理论证明仅覆盖i.i.d.欧氏数据情形。混合域扩展的理论性质（如BvM）未被证明，属于conjecture。
  • 论文在模拟中使用了分块处理来处理空间依赖数据，但理论部分未讨论依赖数据下的BvM。因此，对空间数据的应用，理论支持是间接的。

四、开放问题

  1. 混合域SME-BETEL的BvM定理：本文仅对原始欧氏score matching设定证明了BvM（Theorem 1），混合域扩展的理论性质（如后验渐近正态性、覆盖校准）未被证明。扎根于论文Section 4开头：“The results in this section are developed for the original score matching objective in (2.2) under an i.i.d. setting with observations supported on \(\mathbb{R}^m\).” 以及Conclusion中“Several directions remain for future work... to develop more systematic constructions of score matching objectives and moment functions for complex or mixed-domain supports.” 这是一个明确的开放问题。

  2. 稳健性-效率权衡的量化：论文指出在正确设定下SME-BETEL后验方差大于似然基方法（由于score matching的效率损失），但未给出一般性的效率损失界。Koehler et al. (2022) 在频率学派下建立了与等周常数的联系，但贝叶斯框架下的类似结果未知。扎根于Conclusion：“One is to better understand the robustness–efficiency tradeoff between score matching and likelihood-based inference across model classes.”

  3. 高维正则化ETEL的整合：论文在模拟中使用了76维和106维参数，并提到“SME-BETEL can be implemented in moderately high-dimensional spatial models, a setting that is challenging for standard unregularized EL and ETEL methods”（引言末段）。但未给出正则化方案。Chang et al. (2018) 的惩罚EL提供了思路，但将其与score matching矩条件结合并建立BvM性质是开放问题。扎根于论文对Chang et al. (2018) 的引用及其在引言中的提及。

  4. 依赖数据下的理论：论文在空间模拟中通过分块处理近似独立性，但未给出依赖数据（如空间过程、时间序列）下SME-BETEL的渐近理论。扎根于Assumption 3(a) 要求i.i.d.，而实际应用（如臭氧数据）中观测是空间相关的。这是一个明显的gap。

提醒：要确认这些是否真gap，建议阅读近期约5篇相关论文的intro（如Matsubara et al. 2024, Chib et al. 2018, Koehler et al. 2022, Chang et al. 2018, 以及双重重尾模型综述Park & Haran 2018），看它们是否共同指向这些方向。

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