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Cubic-Root Gaussian Approximation under Unrestricted Covariance

作者: Zijun Gao, Weihan Zhang
主题: 数理统计 / 假设检验
相关性: 7/10
链接: https://arxiv.org/abs/2608.30221

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

这个子方向研究的是高维中心极限定理（CLT）的逼近误差率，具体而言：给定 \(n\) 个独立同分布（或独立但非同分布）的 \(d\) 维随机向量 \(X_1,\dots,X_n\)，其均值为零，协方差矩阵为 \(\Sigma_n\)。我们关心的是，用高斯向量 \(Z \sim N(0,\Sigma_n)\) 的分布来逼近标准化和 \(W_n = n^{-1/2}\sum_{i=1}^n X_i\) 的分布时，Kolmogorov 距离（即超矩形上的最大概率差）的误差阶是多少。这个问题的核心挑战在于：当维数 \(d\) 远大于样本量 \(n\) 时，经典的 Berry-Esseen 界（\(O(n^{-1/2})\)）不再成立，需要发展新的技术来刻画误差随 \(d\) 和 \(n\) 的依赖关系。该方向目前已经相当成熟，但关于协方差矩阵无任何结构假设（即允许奇异、病态）时的最优率，仍存在一个悬而未决的猜想。

发展脉络

  1. 奠基工作：Chernozhukov, Chetverikov 和 Kato 在 2013 年（Chernozhukov et al., 2013）和 2017 年（Chernozhukov et al., 2017）的工作开创了现代高维高斯逼近理论。他们首次证明，在协方差矩阵无限制的情况下，逼近误差可以以多项式速度收敛到零，即使 \(d\) 远大于 \(n\)。Chernozhukov et al. (2017) 给出了一个代表性界 \(O( \{B_n^2 \log^7(dn)/n\}^{1/6} )\)，其中 \(B_n\) 是坐标次指数尾的尺度参数。这个界是第一个无限制协方差下的多项式率结果，但率 \(n^{-1/6}\) 远慢于经典 Berry-Esseen 的 \(n^{-1/2}\)。

  2. 主要进展：

    • 对数幂的改进：Koike (2021) 将 Chernozhukov et al. (2017) 中的对数幂从 7 降低到 5，得到了 \(O( \{B_n^2 \log^5(dn)/n\}^{1/6} )\) 的界。
    • 率本身的改进：Chernozhukov et al. (2022) 在额外假设四阶矩条件（即 \(n^{-1}\sum_i E[X_{ij}^4] \le B_n^2 b^2\)）下，将率从 \(n^{-1/6}\) 提升到 \(n^{-1/4}\)，得到了 \(O( \{B_n^2 \log^5(dn)/n\}^{1/4} )\) 的界。这是本文之前无限制协方差下的最佳已知上界。
    • 协方差非退化下的快速率：当协方差矩阵的最小特征值有正下界时，Fang and Koike (2021), Kuchibhotla and Rinaldo (2020), Lopes (2022) 等人获得了 \(n^{-1/3}\) 到 \(n^{-1/2}\) 的率。Chernozhukov et al. (2023b) 在有界和强非退化协方差下，证明了近乎最优的 \(O(B_n (\log d)^{3/2} \log n / \sqrt{n})\) 率，并给出了匹配的下界（差一个 \(\log n\) 因子）。
    • 局部非退化下的快速率：Fang et al. (2023) 证明，即使全局协方差奇异，只要任意三个坐标构成的子系统的最小特征值有正下界，也能达到近 \(n^{-1/2}\) 的率。这表明主要障碍不是全局秩亏，而是局部退化与弱分布结构的组合。
    • 对数凹分布下的快速率：Fang and Koike (2024) 在 i.i.d. 对数凹分布且协方差无限制的设定下，得到了近 \(n^{-1/2}\) 的率。

  3. 当前 Frontier 与本文位置：在协方差无限制、无额外分布结构（如对数凹）的一般独立数组设定下，Chernozhukov et al. (2023b) 的 \(n^{-1/4}\) 率是已知最佳上界。该文非正式地猜想这个 \(n^{-1/4}\) 率（在多项式维数下）是近乎最优的。本文（Gao and Zhang, 2026）推翻了这一猜想，在完全相同的假设（坐标次指数 + 边际方差下界）下，将上界改进为 \(n^{-1/3}\)。这是该设定下目前已知的最佳率。

子线索聚类

  1. 无限制协方差下的通用界：Chernozhukov et al. (2013, 2017), Koike (2021), Chernozhukov et al. (2022), 本文 (Gao and Zhang, 2026)。这一簇追求最少的分布假设，只要求尾部和边际方差条件，允许协方差任意奇异。率从 \(n^{-1/6}\) 逐步改进到 \(n^{-1/3}\)。
  2. 协方差非退化下的快速界：Fang and Koike (2021), Kuchibhotla and Rinaldo (2020), Lopes (2022), Chernozhukov et al. (2023b)。这一簇利用协方差非退化（最小特征值有正下界）来获得更快的率（\(n^{-1/3}\) 到 \(n^{-1/2}\)），甚至达到近乎最优。
  3. 特定分布结构下的快速界：Fang and Koike (2024)（对数凹分布），Fang et al. (2023)（局部非退化）。这一簇通过引入额外的分布假设（如对数凹性）或更弱的协方差结构（局部非退化）来绕过全局退化带来的困难，获得快速率。
  4. 高阶展开与 Bootstrap：Koike (2024), Fang and Liu (2025)。这一簇不满足于逼近误差的界，而是试图通过 Edgeworth 展开或 Bootstrap 来保留三阶校正项，从而获得更精确的逼近。本文作者指出这些工作是互补的，因为它们“保留而非界住”三阶项。

核心问题与瓶颈

  • 核心问题 1：在协方差无限制的一般设定下，高斯逼近的最优率是什么？是 \(n^{-1/3}\)，还是可以进一步改进到 \(n^{-1/2}\)？
  • 核心问题 2：如何构造匹配的下界来证明最优性？目前 \(n^{-1/3}\) 只是一个上界，其紧性未知。
  • 核心问题 3：如何将上界结果推广到 Bootstrap 逼近？Bootstrap 的校准函数依赖于同一批数据，引入了额外的随机性，使得分析更复杂。Chernozhukov et al. (2022) 的 Bootstrap 界也是 \(n^{-1/4}\)，本文作者在讨论中明确提出了改进 Bootstrap 率的开放问题。
  • 已知瓶颈：当协方差奇异时，无法直接使用基于协方差矩阵求逆的技术（如 Stein 方法中的交换对耦合）。此外，三阶矩项（skewness）在奇异协方差下难以通过简单的 Gaussian 积分消去，是导致率无法达到 \(n^{-1/2}\) 的主要障碍。

⚠️ 作者的 Framing

  • 作者的缺口：作者将缺口 frame 为“Chernozhukov et al. (2023b) 的 \(n^{-1/4}\) 近最优性猜想是错误的，我们给出了一个更好的上界 \(n^{-1/3}\)”。这使得本文成为“显然的下一步”：在相同假设下，推翻了前人的猜想，并提供了更优的率。
  • 被淡化/回避的竞争路线：作者明确将高阶 Edgeworth 和 Bootstrap 展开（如 Fang and Liu, 2025; Koike, 2026）定位为“互补的”，因为它们处理的是不同的目标（保留三阶项 vs. 界住三阶项）。这巧妙地回避了与这些更精细方法的直接比较。作者也没有深入讨论协方差非退化设定下的结果，因为本文的目标就是在无限制协方差下取得进展。
  • 什么明显该被引/该存在、却没出现在 intro 里？：intro 中引用的工作非常全面，覆盖了该方向的主要进展。一个值得注意的点是，作者没有引用任何关于统计-计算权衡（如低度多项式障碍）的文献。这可能是因为该问题目前主要是一个统计精度问题，而非计算复杂度问题。对于研究者而言，这是一个值得思考的张力：是否存在一个计算上高效的算法，其逼近率无法超越某个阈值？这或许是一个未被探索的交叉点。

张力

未见明显对立引用。所有被引工作都在逐步改进率或放宽假设，方向一致。唯一的“张力”是 Chernozhukov et al. (2023b) 的猜想与本文结果之间的直接矛盾，但这正是本文的核心贡献。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：
    • \(X_i \in \mathbb{R}^d\)：第 \(i\) 个独立、中心化的随机向量，\(i=1,\dots,n\)。
    • \(n\)：样本量。
    • \(d\)：维数。
    • \(B_n\)：坐标次指数尾的尺度参数（Assumption 1）。
    • \(b\)：边际方差下界的常数（Assumption 2）。
    • \(\Sigma_n = n^{-1} \sum_{i=1}^n E[X_i X_i^\top]\)：\(W_n\) 的协方差矩阵。
    • \(W_n = n^{-1/2} \sum_{i=1}^n X_i\)：标准化和，是我们要逼近的随机向量。
    • \(Z \sim N(0, \Sigma_n)\)：用于逼近 \(W_n\) 的高斯向量。
    • \(T_n(a) = \max_{1\le j\le d} \{ W_{n,j} + a_j \}\)：带偏移 \(a\) 的最大值统计量。
    • \(T_n^G(a) = \max_{1\le j\le d} \{ Z_j + a_j \}\)：高斯版本的最大值统计量。
    • \(c_{n,1-\alpha}^G(a)\)：\(T_n^G(a)\) 的下 \((1-\alpha)\) 分位数。
    • \(\rho_R(V,W) = \sup_{A \in \mathcal{R}^d} |P(V \in A) - P(W \in A)|\)：矩形距离，即 Kolmogorov 距离在超矩形上的版本。
  • 模型：
    • 数据生成机制：\(X_1, \dots, X_n\) 是独立（但不一定同分布）的 \(d\) 维随机向量，均值为零。
    • 已知条件：我们只知道 Assumption 1（坐标次指数尾）和 Assumption 2（边际方差有正下界）。协方差矩阵 \(\Sigma_n\) 是完全未知且无任何结构假设的，可以是奇异的、病态的。
    • 要估的对象：我们并不直接估计 \(\Sigma_n\)，而是估计 \(T_n(a)\) 的分布，并用 \(T_n^G(a)\) 的分布来逼近它。最终目标是证明这个逼近的误差（即定理1中的概率差）的上界。
  • 可观测数据：
    • 可观测：\(X_1, \dots, X_n\) 的样本。我们可以计算它们的样本协方差矩阵，但本文的证明并不依赖于此。
    • 想要但观测不到：\(W_n\) 的真实分布，以及 \(Z\) 的分布（因为 \(\Sigma_n\) 未知）。我们只能通过假设和理论分析来界住这两个分布之间的差距。

第二步：讲最小内核

本文的核心数学困难在于：当协方差矩阵 \(\Sigma_n\) 奇异时，如何控制高斯逼近中的三阶矩（skewness）项？

最简特例：考虑最简单的情况：\(d=1\)（一维），\(n\) 个 i.i.d. 随机变量 \(X_i\)，均值为 0，方差为 \(\sigma^2 > 0\)。此时，经典的 Berry-Esseen 定理告诉我们：

\[\sup_{t \in \mathbb{R}} \left| P\left( \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \le t \right) - \Phi(t/\sigma) \right| \le C \frac{E|X_1|^3}{\sigma^3 \sqrt{n}}.\]
这个界是 \(O(n^{-1/2})\)。证明的核心是特征函数方法或Stein 方法，其中关键一步是处理三阶累积量（即 skewness）。

现在，回到高维（\(d\) 很大）且协方差矩阵 \(\Sigma_n\) 可能奇异的情况。为什么经典方法失效了？因为当 \(\Sigma_n\) 奇异时，我们无法对 \(W_n\) 进行“白化”（即乘以 \(\Sigma_n^{-1/2}\)），因为 \(\Sigma_n^{-1/2}\) 不存在。这意味着我们无法将问题简化为协方差为单位阵的标准情形。因此，任何依赖于协方差矩阵求逆的技术（如经典 Stein 方法中的交换对耦合）都不可用。

本文的核心想法：为了处理这个困难，作者引入了一个两阶段插值技巧。

  1. 第一阶段（S → T）：从原始和 \(S = \sum_i Y_i\)（经过预处理和标准化后的版本）出发，构造一个中间随机向量 \(T\)。\(T\) 的设计非常巧妙：

    \[T = \frac{1}{\sqrt{2}} G + 2 \sum_{i=1}^n D_i Y_i',\]
    其中 \(G \sim N(0, I_r)\) 是一个独立的高斯向量，\(Y_i'\) 是 \(Y_i\) 的独立拷贝，\(D_i \sim \text{Bernoulli}(1/8)\) 是独立的伯努利变量。这个构造保证了 \(T\) 与 \(S\) 具有相同的前三阶矩（均值、协方差、三阶张量），但 \(T\) 包含了一个固定的、非退化的高斯分量 \(G/\sqrt{2}\)。这个高斯分量是后续分析的关键。

  2. 第二阶段（T → G）：从 \(T\) 出发，通过一个简单的线性插值（\(T_s = \sqrt{1-s} T + \sqrt{s} G_1\)，其中 \(G_1\) 是另一个独立高斯向量）过渡到最终的高斯向量 \(G\)。

为什么这个两阶段插值有效？

  • S → T 阶段：因为 \(S\) 和 \(T\) 的前三阶矩完全匹配，所以沿着从 \(S\) 到 \(T\) 的插值路径，所有一阶、二阶、三阶项在泰勒展开中都会自动消去。剩下的只有四阶及更高阶的余项。这些高阶项可以通过一个复杂的“留一法鬼影补全”（leave-one-out ghost completion）和“凸划分界”（convex-partition bound）来控制。这个阶段的误差主要来自高阶项，最终贡献了 \(n^{-1/3}\) 率中的一部分。
  • T → G 阶段：在这个阶段，三阶矩项不会自动消去，因为 \(T\) 和 \(G\) 的三阶矩不同（\(T\) 有 skewness，\(G\) 没有）。但是，由于 \(T\) 中已经包含了一个非退化的高斯分量 \(G/\sqrt{2}\)，我们可以利用这个高斯分量来控制三阶矩项。具体来说，通过一个“秩无关的矩阵加权高斯曲面界”（rank-free matrix-weighted Gaussian surface bound），作者证明了三阶矩项可以被 \(O(b_{d,n} \{\log(4d)\}^{3/2})\) 界住，其中 \(b_{d,n} \propto B_n \log(dn) / \sqrt{n}\)。这个界最终贡献了 \(n^{-1/3}\) 率中的另一部分。

一句话总结：本文的核心数学创新是通过两阶段插值，将“无高斯分量”的原始问题分解为“高阶项控制”和“三阶项控制”两个子问题。第一个子问题通过矩匹配解决，第二个子问题通过引入人工高斯分量并利用一个新颖的几何不等式解决。这个两阶段策略绕开了协方差奇异带来的根本性困难，从而将率从 \(n^{-1/4}\) 提升到 \(n^{-1/3}\)。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究问题：在协方差矩阵无任何结构假设（仅要求坐标次指数尾和边际方差下界）的高维设定下，研究高斯逼近超矩形分布的误差率，并检验 Chernozhukov et al. (2023b) 提出的 \(n^{-1/4}\) 近最优性猜想。
  2. 核心方法：提出了一个两阶段插值方法，第一阶段通过构造一个前三阶矩匹配的中间随机向量来消去低阶项，第二阶段利用该中间向量中的人工高斯分量和一个秩无关的矩阵加权高斯曲面界来控制剩余的三阶项。
  3. 主要结论：推翻了 \(n^{-1/4}\) 猜想，证明了在多项式维数下，逼近误差的上界为 \(n^{-1/3}\)（见定理1）。

关键设定与假设

  • Assumption 1 (Subexponential tail)：\(E[\exp(|X_{ij}|/B_n)] \le 2\)。这是标准的次指数尾条件，用于控制截断和矩的界。它比次高斯条件更弱，允许更重的尾部。
  • Assumption 2 (Non-vanishing marginal variance)：\(n^{-1} \sum_{i=1}^n E[X_{ij}^2] \ge b^2 > 0\)。这个条件防止了某个坐标的方差趋于零，因为如果方差趋于零，该坐标的分布可以任意“非高斯”，导致逼近误差无法被控制（见 Example 1）。注意：本文没有假设 Chernozhukov et al. (2022) 中额外的四阶矩条件 \(n^{-1}\sum_i E[X_{ij}^4] \le B_n^2 b^2\)。这是本文假设更弱的一个体现。
  • 协方差矩阵 \(\Sigma_n\)：无任何结构假设。可以奇异、病态、任意相关。这是本文设定与 Fang and Koike (2021) 等工作的关键区别。
  • 与已有文献的对比：相比 Chernozhukov et al. (2022)，本文去掉了四阶矩条件，但得到了更优的率。相比 Fang and Koike (2021) 等，本文不要求协方差非退化，因此适用范围更广。

主要结果

  • 定理 1：在 Assumption 1 和 2 下，存在仅依赖于 \(b\) 的常数 \(C_b\)，使得对于所有 \(n, d\)，所有满足假设的分布，所有 \(a \in \mathbb{R}^d\) 和 \(\alpha \in (0,1)\)，有：
    \[\left| P\{ T_n(a) > c_{n,1-\alpha}^G(a) \} - \alpha \right| \le C_b \min\left\{ 1, \left( \frac{B_n^2}{n} \right)^{1/3} \{\log(2dn)\}^{7/3} + \frac{B_n}{\sqrt{n}} \{\log(2dn)\}^{5/2} \right\}.\]
    • 直觉：这个界由两项组成。第一项 \((B_n^2/n)^{1/3} \log^{7/3}(2dn)\) 是主导项，当 \(B_n\) 固定且 \(d\) 为多项式时，它给出 \(n^{-1/3}\) 的率。第二项 \(B_n/\sqrt{n} \log^{5/2}(2dn)\) 是 \(n^{-1/2}\) 率，但在本文的设定下，它被第一项主导（因为 \(n^{-1/2} \ll n^{-1/3}\) 当 \(n\) 大时）。
    • 必要条件：\(B_n\) 不能增长太快，否则界会变差。Assumption 2 是必要的（见 Example 1）。
    • 解决的技术难点：核心难点在于处理奇异协方差下的三阶矩项。两阶段插值和秩无关的矩阵加权高斯曲面界是解决此难点的关键技术。

证明路线与技术技巧

整体路线（3-5 步逻辑主干）：

  1. 预处理：通过截断、重中心化和边际方差标准化，将原始问题转化为一个“良好”的版本，其中随机向量 \(Y_i\) 满足：\(\sum_i E[Y_i Y_i^\top] = I_r\)（协方差为单位阵），\(\max_{i,j} |\langle u_j, Y_i \rangle| \le b_{d,n}\)（坐标有界），且 \(r = \text{rank}(\tilde{\Sigma}_n)\) 可能小于 \(d\)。这一步将问题限制在协方差矩阵的支撑空间上。
  2. 平滑逼近：用 softmax 函数 \(\pi_{\beta, a_0, a}(y)\) 来平滑逼近指示函数 \(1\{M_a(y) \le 0\}\)。这样，对最大值的分布逼近问题就转化为对平滑函数期望的逼近问题。这一步是标准技术，用于处理非光滑性。
  3. 两阶段插值：将平滑期望的差分解为两个部分：
    • \(E\pi(S) - E\pi(T)\)：通过第一阶段插值（S → T）控制。
    • \(E\pi(T) - E\pi(G)\)：通过第二阶段插值（T → G）控制。
  4. 第一阶段插值（S → T）：
    • 构造路径：设计一条从 \(S\) 到 \(T\) 的路径 \(S_s\)，使得前三阶矩沿路径保持不变。
    • 导数分析：计算 \(d/ds \, E\pi(S_s)\)。由于前三阶矩匹配，泰勒展开中直到三阶的项全部消去，只剩下四阶及更高阶的余项。
    • 控制高阶项：使用“留一法鬼影补全”（leave-one-out ghost completion）和“凸划分界”（convex-partition bound）来控制这些高阶项。鬼影补全通过引入独立拷贝来“填充”留一法造成的缺口，使得所有项可以基于一个共同的“全和”状态进行分析。凸划分界则利用 Gumbel-max 公式将 softmax 的导数转化为凸多面体上的概率，然后通过一个熵变分不等式来界住这些概率的加权和。
  5. 第二阶段插值（T → G）：
    • 构造路径：设计一条从 \(T\) 到 \(G\) 的简单线性路径 \(T_s\)。
    • 导数分析：计算 \(d/ds \, E\pi(T_s)\)。此时，一个三阶项会保留下来。
    • 控制三阶项：这是本文最核心的技术贡献。通过第三阶 Gaussian 分部积分，将三阶项转化为一个矩阵加权的高斯曲面积分。然后，利用一个秩无关的矩阵加权高斯曲面界（Proposition 4）来界住这个积分。这个界的关键在于，它只依赖于多面体的面数（\(2d\)）和矩阵权重的算子范数，而与协方差矩阵的秩 \(r\) 无关。
  6. 超参数选择与整合：选择平滑带宽 \(\beta\)、插值分段点 \(\tau\) 和鬼影展开阶数 \(Q\)，使得所有误差项达到平衡，最终得到 \(n^{-1/3}\) 的率。

关键跳跃点：

  • 从“无法处理三阶项”到“可以处理三阶项”：这个跳跃是通过引入人工高斯分量（在 \(T\) 中）和秩无关的矩阵加权高斯曲面界实现的。没有这个高斯分量，就无法进行 Gaussian 分部积分；没有这个曲面界，分部积分后的项就无法被有效控制。
  • 从“\(n^{-1/4}\)”到“\(n^{-1/3}\)”：这个率的提升来自于两阶段插值策略。在 Chernozhukov et al. (2022) 的单阶段插值中，三阶项和四阶项是纠缠在一起被控制的，导致率被限制在 \(n^{-1/4}\)。本文通过两阶段插值将三阶项和四阶项分离，并用不同的方法分别处理，从而突破了 \(n^{-1/4}\) 的瓶颈。

技术技巧点名：

  • 两阶段插值 (Two-stage interpolation)：核心策略，用于分离低阶和高阶误差。
  • 留一法鬼影补全 (Leave-one-out ghost completion)：用于处理第一阶段插值中依赖于特定 \(i\) 的项，使其能基于一个共同的状态进行分析。
  • 凸划分界 (Convex-partition bound)：结合 Gumbel-max 公式和熵变分不等式，用于控制 softmax 导数的高阶矩。
  • Gaussian 分部积分 (Gaussian integration by parts)：用于第二阶段，将三阶矩项转化为曲面积分。
  • 秩无关的矩阵加权高斯曲面界 (Rank-free matrix-weighted Gaussian surface bound)：本文的核心技术贡献，一个新颖的几何不等式，用于控制奇异协方差下的曲面积分。
  • Nazarov 反集中不等式 (Nazarov's anti-concentration inequality)：用于控制高斯最大值在窄带内的概率（边界层）。
  • Brascamp-Lieb 协方差不等式：用于证明条件高斯分布的协方差被单位阵控制，这是凸划分界中的一个关键步骤。

真实例子与应用

本文为纯理论论文，无实证例子。唯一的例子是 Example 1，它是一个反例，用于说明 Assumption 2（边际方差下界）的必要性：如果某个坐标的方差可以任意小，那么即使尾部条件满足，逼近误差也可以很大（如 \(1/4\)），而本文的界却趋于零，从而证明 Assumption 2 是必不可少的。

🔎 结论是否比证明窄

  • 定理 1 的结论是严格的：它是在 Assumption 1 和 2 下严格证明的。作者没有做出任何超出证明范围的泛化声明。
  • 关于 Bootstrap 的讨论：在 Section 6（Discussion）中，作者明确将 Bootstrap 逼近的改进列为未来工作，并指出其“引入了额外的困难”。这表明本文的结论不直接适用于 Bootstrap，这是一个比证明更窄的领域。
  • 关于最优性的讨论：作者在 Section 6 中明确指出“Establishing the optimality of this rate would require a matching lower bound construction.” 这表明作者没有 claim \(n^{-1/3}\) 是最优的，它只是一个上界。这是一个诚实的、比证明更窄的声明。

四、开放问题

  1. 下界构造：本文给出了 \(n^{-1/3}\) 的上界，但这是否是最优的？能否构造一个匹配的下界，证明在无限制协方差下，\(n^{-1/3}\) 是不可改进的？这扎根于 Section 6 的第一条未来工作：“Establishing the optimality of this rate would require a matching lower bound construction.”
  2. Bootstrap 逼近的改进：能否将本文的技术应用于 Bootstrap 逼近，将 Chernozhukov et al. (2022) 的 \(n^{-1/4}\) Bootstrap 界改进到 \(n^{-1/3}\)？这扎根于 Section 6 的第二条未来工作：“it is of interest to extend the result to bootstrap approximation and improve the rate \(n^{-1/4}\) of Chernozhukov et al. (2022).”
  3. 更快的率：在无限制协方差下，是否存在比 \(n^{-1/3}\) 更快的率？例如，能否通过更精细的分析达到 \(n^{-1/2}\)？或者是否存在一个根本性的障碍（如统计-计算权衡）使得 \(n^{-1/3}\) 是多项式时间算法所能达到的极限？这扎根于 Table 1 中“Approximation rate”一列的对比，以及作者在 intro 中提到的“the main obstruction is not global rank deficiency alone, but the combination of local degeneracy and weak distributional structure.” 这暗示了在更弱的分布结构下，\(n^{-1/3}\) 可能是一个瓶颈。

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