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Exact two-sided p-values in natural exponential families: coincidence, non-uniqueness, and sample-size stability

作者: Shaul K. Bar-Lev, Linard Hoessly
主题: 数理统计 / 假设检验
相关性: 7/10
链接: https://arxiv.org/abs/2608.28221

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本文研究的根本问题是：在连续单参数自然指数族（NEF）中，对于一个简单的双边零假设，精确的 p 值是否唯一？ 当零分布不对称时，有多种数学上自然的方式来定义“更极端”的观测值，从而产生不同的 p 值函数。这些 p 值都是精确的（在零假设下服从均匀分布），但它们并不相等。本文系统地刻画了四种经典构造——等尾（equal-tail）、密度排序（density-ordered）、UMPU（uniformly most powerful unbiased）和似然比（LR）——的 p 值何时相等，并揭示了这些相等性对 NEF 结构的深刻限制。

发展脉络

  • 奠基工作：p 值的局限性与双边检验的歧义性。Wasserstein & Lazar [1] 的 ASA 声明和后续讨论 [2] 广泛讨论了 p 值的解释与误用。更早的 Gibbons & Pratt [7] 和 George & Mudholkar [8] 已明确指出，在不对称零分布下，双边 p 值没有唯一的定义方式。Berger & Delampady [5] 和 Kulinskaya [6] 提供了进一步视角。这些工作奠定了“p 值非唯一性”这一问题的认知基础。
  • 主要进展：UMPU 与 LR 检验的相等性刻画。Bar-Lev, Bshouty & Letac [11] 证明了在连续 NEF 中，双边 UMPU 检验与广义似然比（GLR）检验对所有零参数和所有水平都相等，当且仅当该 NEF 是正态、伽马或逆高斯族（经过仿射变换）。这是本文最重要的已知结果和出发点。
  • 当前 frontier：处理未被覆盖的 p 值配对。本文的新贡献聚焦于 [11] 未覆盖的配对：等尾 vs. LR、密度 vs. LR，以及等尾 vs. 密度 vs. UMPU 之间的对称性刻画。这些配对涉及更精细的数学结构，例如均值-中位数关系（Letac, Mattner & Piccioni [22] 证明了相关的正态族刻画，并明确指出均值-中位数问题本身是困难的）和方差函数微分方程。
  • 本文的位置：本文在 [11] 的基础上，系统补全了四种 p 值构造之间的相等性图景。它给出了固定零参数下的局部对称性刻画（定理 3.3），以及要求这些相等性在整个 NEF 中成立所导致的全局高斯族刻画（推论 3.4）。对于最棘手的 ET-LR 边，它推导出一个新的方差函数微分方程（定理 3.8），并在幂方差子类中完成了分类（推论 3.11）。最后，它利用 i.i.d. 样本的充分统计量，证明了 ET-LR 相等性在样本量趋于无穷时的稳定性会强制高斯性（定理 4.6）。

子线索聚类

  1. p 值构造与比较：等尾、密度排序、UMPU、LR。这是本文的核心对象。每条构造都有其数学合理性，但不等价。
  2. 对称性刻画：固定零参数下，p 值相等性等价于零分布关于其均值对称（定理 3.3）。要求这种对称性在整个 NEF 中成立，则强制高斯族（推论 3.4）。
  3. 方差函数微分方程：ET-LR 相等性导致一个新的三阶微分方程 (V^{2/3})''' = 0（定理 3.8），这与 [11] 中 UMPU-LR 的微分方程不同。该方程的解是 V(m) = (am^2 + bm + c)^{3/2}。
  4. 样本量稳定性：利用 i.i.d. 样本的充分统计量 T_n，将单观测结果推广到任意固定样本量（命题 4.3）。更重要的是，ET-LR 相等性在无界样本量序列上的持续存在，会强制零偏度，从而强制高斯性（定理 4.4 和 4.6）。

核心问题与已知瓶颈

  • 核心问题 1：在固定零参数下，四种 p 值何时相等？答案：当且仅当零分布关于其均值对称（定理 3.3）。
  • 核心问题 2：要求这种相等性在整个 NEF 中成立，会得到什么族？答案：对于 UMPU-ET、UMPU-密度、ET-密度，强制高斯族（推论 3.4）；对于 UMPU-LR，强制正态、伽马或逆高斯族（[11]）。
  • 核心问题 3：ET-LR 和密度-LR 这两个未被 [11] 覆盖的边，其完整的一观测分类是什么？这是本文未完全解决的问题。本文给出了 ET-LR 的必要条件（方差函数方程和密度-均值恒等式），但未给出充分性。作者明确指出，完整的无限制一观测分类是开放问题。
  • 已知瓶颈：ET-LR 相等性首先强制均值等于中位数（定理 3.8(i)），而均值-中位数问题本身是困难的（[22]）。即使加上方差函数方程，仍有反例（如正态逆高斯 NEF，Remark 3.13）满足方程但不满足 ET-LR 相等性。

⚠️ 作者的 framing

  • 作者把缺口 frame 成什么：作者将 [11] 的 UMPU-LR 定理作为已知的、已解决的“核心”部分，而将自己的贡献定位为“补全图景”——处理未被覆盖的 ET-LR 和密度-LR 边。他特别强调 ET-LR 边的困难性（均值-中位数问题），并因此不宣称完整的无限制一观测分类，而是通过引入新的方差函数方程和样本量稳定性结果来取得部分进展。
  • 哪些竞争路线被淡化或回避了：作者明确区分了“密度排序”的两种可能：对一维充分统计量 T_n 排序 vs. 对全样本联合密度排序（Remark 4.2）。他选择前者，并指出后者依赖于样本的辅助配置，是“不同的过程”。这实际上回避了更复杂的全样本排序问题。
  • 什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里？：引言中未提及关于 p 值校准（calibration）的近期工作，例如 Benjamin et al. (2018) 的“Redefine statistical significance”或关于 p 值作为证据强度的贝叶斯解释。这些工作与本文的“精确 p 值非唯一性”主题相关，但可能被视为应用层面的讨论，而非本文关注的数学结构问题。这是一个值得研究者去查的问题：是否存在关于 p 值非唯一性对实际决策影响（如多重比较、可重复性危机）的实证研究？

张力

未见明显对立引用。所有被引工作基本在同一个框架内（NEF、UMPU、LR），彼此之间是互补而非矛盾的关系。例如，[11] 的 UMPU-LR 定理与本文的对称性刻画是正交的，分别处理不同的 p 值配对。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：
  • X：单个观测值，随机变量。
  • θ：自然参数，属于开集 Θ ⊆ ℝ。
  • µ：生成测度，假设为 Lebesgue 绝对连续：µ(dx) = h(x) dx，其中 h 严格正且 C²。
  • k(θ) = log ∫ e^{θx} µ(dx)：累积量生成函数，在 Θ 上严格凸且实解析。
  • P_θ(dx) = e^{θx - k(θ)} µ(dx)：NEF 中的成员分布。
  • m(θ) = k'(θ) = E_θ[X]：均值参数。
  • M = k'(Θ)：均值域。
  • V(m) = k''(ψ(m))：方差函数，其中 ψ = (k')^{-1} 是从均值到自然参数的映射。
  • F_0 和 f_0：零假设 H₀: θ = θ₀ 下的 CDF 和 PDF。
  • q_u = F₀^{-1}(u)：分位数函数。
  • T_n = Σ_{i=1}^n X_i：i.i.d. 样本的充分统计量。

  • p_ET, p_dens, p_UMPU, p_LR：四种 p 值函数。

  • 模型：

  • 数据生成机制：X₁, ..., X_n i.i.d. 来自一个连续单参数 NEF {P_θ: θ ∈ Θ}。
  • 零假设：H₀: θ = θ₀（简单假设）。
  • 备择假设：H₁: θ ≠ θ₀（双边）。
  • 已知：NEF 的结构（由 µ 生成），以及 h 的 C² 正则性。

  • 要估的对象：不是参数，而是 p 值函数本身。本文研究的是不同 p 值函数之间的相等性条件。

  • 可观测数据：

  • 可观测：X（或 T_n）的观测值。研究者可以计算 F₀(x)、f₀(x)、似然比等。
  • 想要但观测不到：没有“潜在”量。所有量都是基于可观测数据和已知的零分布计算的。这里的“不可观测”是指：在不对称零分布下，没有一个先验的、唯一的“更极端”的排序方式。不同的排序方式对应不同的 p 值，它们都是可计算的，但数值不同。

第二步：讲最小内核

本文的最小内核可以浓缩为以下命题：

固定零参数 θ₀，考虑单观测 X。UMPU p 值与等尾 p 值相等，当且仅当零分布 P_{θ₀} 关于其均值 m₀ = E_{θ₀}[X] 对称。

这个命题是定理 3.3(i) 的核心。它揭示了 p 值相等性这一看似“程序性”的问题，实际上等价于一个深刻的分布对称性条件。

为什么这是最小内核？ 因为： 1. 它只涉及最简单的设定：单观测、固定零参数、两种最直观的 p 值构造（UMPU 和等尾）。 2. 它不需要 NEF 的全局结构（如方差函数），只需要零分布本身。 3. 它的证明思路（利用 UMPU 检验的无偏性条件导出对称性）是本文后续所有全局刻画的基础。 4. 从这个命题出发，可以立即得到推论 3.4：要求这种相等性对所有 θ₀ 成立，则强制高斯族（因为每个倾斜分布都必须对称，而一个所有成员都对称的 NEF 只能是高斯族）。

在这个特例下，证明怎么走？

  • 必要性：假设 p_UMPU = p_ET。那么对于每个水平 α，等尾检验的拒绝域 R_α^ET = (-∞, q_{α/2}] ∪ [q_{1-α/2}, ∞) 必须也是 UMPU 检验的拒绝域。UMPU 检验除了满足大小条件 P₀(R_α) = α 外，还必须满足一阶矩条件 E₀[(X - m₀) 1_{X ∈ R_α}] = 0（这是无偏性的必要条件，由 NEF 的指数族结构导出）。将等尾拒绝域代入矩条件，得到 ∫_{-∞}^{q_{α/2}} (x - m₀) f₀(x) dx + ∫_{q_{1-α/2}}^{∞} (x - m₀) f₀(x) dx = 0 对所有 α 成立。利用分位数变换 X = q_U，U ~ Unif(0,1)，该条件变为 ∫₀^{α/2} q_u du + ∫_{1-α/2}^{1} q_u du = α m₀。对 α 求导，得到 q_{α/2} + q_{1-α/2} = 2m₀，这正是分布关于 m₀ 对称的充要条件。
  • 充分性：如果 P_{θ₀} 关于 m₀ 对称，那么等尾拒绝域的两个临界点关于 m₀ 对称，从而两个尾部概率相等，且矩条件自动满足。因此等尾检验满足 UMPU 的两个条件，由 UMPU 检验的唯一性（命题 A.3），它必须就是 UMPU 检验，从而 p 值相等。

这个最小内核清晰地展示了本文的核心数学思想：p 值相等性 ↔ 分布对称性。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：在连续单参数 NEF 中，对于简单双边零假设，四种精确 p 值（等尾、密度排序、UMPU、LR）何时相等，以及这种相等性对 NEF 结构（方差函数、生成测度）有何限制。
  2. 核心工具 / 方法：利用 NEF 的指数族结构（UMPU 检验的一阶矩条件、似然比的严格凹性）、分位数变换、微分方程（方差函数的导数方程）、Edgeworth 展开。
  3. 主要结论：固定零参数下，UMPU-ET、UMPU-密度、ET-密度相等性等价于零分布对称；要求全局成立则强制高斯族。UMPU-LR 全局相等性（[11]）强制正态、伽马或逆高斯族。ET-LR 全局相等性导致新的方差函数方程 (V^{2/3})''' = 0，并在幂方差类中强制高斯族。ET-LR 相等性在样本量趋于无穷时的持续存在也强制高斯性。

关键设定与假设

  • 假设 2.5（基本假设）：NEF 是陡峭的（steep），生成测度 Lebesgue 绝对连续，h 严格正且 C² 在连通开支撑区间 S 上，且 M = S。这保证了均值域等于支撑的内部，MLE 存在且唯一，以及似然比函数的严格凹性。
  • 假设 3.1（密度水平几何）：对于涉及 p_dens 的结论，额外要求每个倾斜密度 f_θ 有唯一的内点众数 r_θ，在众数左侧严格递增、右侧严格递减，且在支撑端点趋于 0。这保证了每个非平凡密度水平集恰好有两个光滑分支，是进行密度排序和微分操作的基础。
  • 假设 4.7（局部 Edgeworth 条件）：对于密度-LR 的样本量稳定性结论，假设标准化统计量 Z_{n,θ} 的密度在 0 点可导，且导数有特定的 Edgeworth 展开形式。作者明确声明这不是基本假设的推论，而是额外施加的条件。

相比已有文献： - 假设 2.5 与 [11] 的假设基本一致，保证了 [11] 的定理可直接应用。 - 假设 3.1 是本文为处理密度排序而引入的，比 [11] 的假设更强（要求密度有唯一众数且单调）。 - 假设 4.7 是本文独有的，用于处理密度-LR 边，作者特意将其与基本假设区分开，体现了严谨性。

主要结果

定理 3.3（固定零参数下的局部刻画）：在假设 2.5 下，固定 θ₀。 - (i) p_UMPU = p_ET ⇔ P_{θ₀} 关于其均值 m₀ 对称。 - (ii) 在假设 3.1 下，p_UMPU = p_dens ⇔ P_{θ₀} 关于 m₀ 对称。 - (iii) 在假设 3.1 下，p_ET = p_dens ⇔ P_{θ₀} 关于 m₀ 对称。 直觉：p 值相等性等价于分布对称性。证明核心是利用 UMPU 的一阶矩条件或密度水平集的几何性质导出对称性。

推论 3.4（全局高斯族刻画）：在假设 2.5（和 3.1）下，要求 (i)、(ii) 或 (iii) 对所有 θ₀ ∈ Θ 成立，则 NEF 是高斯族（经仿射变换）。 直觉：每个倾斜分布都必须对称，而一个所有成员都对称的 NEF 只能是高斯族（引理 A.2）。

定理 3.5（Bar-Lev–Bshouty–Letac UMPU-LR 刻画）：p_UMPU = p_LR 对所有 θ₀ 成立，当且仅当 NEF 是正态、伽马或逆高斯族（经仿射变换）。 直觉：这是已知结果，本文直接引用。它刻画了 UMPU 与 LR 检验重合的 NEF 类。

定理 3.8（ET-LR 的方差函数方程）：在假设 2.5 下，如果 p_ET = p_LR 对所有 θ₀ 成立，则： - (i) 均值等于中位数。 - (ii) 方差函数满足 9V²V''' - 9VV'V'' + 4(V')³ = 0，等价于 (V^{2/3})''' = 0。 - (iii) 因此 V(m) = (am² + bm + c)^{3/2}。 直觉：ET-LR 相等性强制了分位数对称性 G(u) = G(1-u)，其中 G = r_m ∘ q。对该对称性在 u=1/2 处求三阶和五阶导数，得到关于 ℓ₁（对数密度在均值处的导数）和方差函数的方程，最终导出微分方程。关键跳跃点：从三阶导数得到 ℓ₁ = -V'/(3V)（方程 15），然后利用该结果将 h 的正则性从 C² 提升到实解析（命题 3.9），从而五阶导数的计算是合法的。

推论 3.11（幂方差类中的 ET-LR 刻画）：在幂方差类 V(m) = A(m-b)^p 中，p_ET = p_LR 对所有 θ₀ 成立，当且仅当 p=0（即高斯族）。 直觉：将 V(m) = A(m-b)^p 代入 (V^{2/3})''' = 0，得到 p(2p-3)(p-3) = 0。p=0 是高斯族。p=3/2 对应复合泊松-伽马族，但该族在支撑边界有原子，违反假设 2.5。p=3 对应逆高斯族，它满足微分方程，但被命题 3.9 的密度-均值恒等式排除（逆高斯的 f_ψ(m)(m) ∝ m^{-1}，而恒等式要求 ∝ m^{-2/3}）。

定理 4.4（样本量稳定的均值-中位数刻画）：如果对无界样本量序列 N，P_θ(T_n ≤ n m(θ)) - 1/2 = o(n^{-1/2}) 对所有 θ 成立，则 NEF 是高斯族。 直觉：利用 Edgeworth 展开，P(Z_{n,θ} ≤ 0) = 1/2 + γ₁(θ)ϕ(0)/(6√n) + o(n^{-1/2})。如果该概率与 1/2 的偏差是 o(n^{-1/2})，则 γ₁(θ) = 0，即偏度为零，从而 k''' = 0，NEF 为高斯族。

定理 4.6（样本量稳定的 ET-LR 刻画）：如果 p_ET,n = p_LR,n 对所有 θ 和所有 n ∈ N（无界）成立，则 NEF 是高斯族。 直觉：ET-LR 相等性强制 p_ET,n(nm) = 1，即 P_θ(T_n ≤ nm) = 1/2。这比定理 4.4 的条件更强（精确相等而非 o(n^{-1/2})），因此直接应用定理 4.4 即得结论。

证明路线与技术技巧

整体路线（以定理 3.8 为例）： 1. 第一步：均值是中位数。由 p_LR(m) = 1 和 p_ET = p_LR 得 p_ET(m) = 1，即 2 min{F(m), 1-F(m)} = 1，故 F(m) = 1/2。 2. 第二步：导出分位数对称性。定义 G_m(u) = r_m(q(u))。由 p_ET = p_LR 和 p_LR = H_m ∘ r_m（H_m 是 r_m 的 CDF），可得 G_m(u) = G_m(1-u)。 3. 第三步：利用三阶导数得到 ℓ₁。对 G_m(u) 在 u=1/2 处求三阶导数，利用 G''' = 0 和 r_m 在 m 处的各阶导数表达式，得到 ℓ₁ = -V'/(3V)。 4. 第四步：提升正则性。ℓ₁ 的表达式意味着 (log h)' 是实解析的，因此 h 是实解析的，从而 G_m 是 C^∞ 的。 5. 第五步：利用五阶导数得到微分方程。对 G_m(u) 在 u=1/2 处求五阶导数，利用 G^{(5)} = 0，代入 r_m 和 ℓ_j 的表达式，经过代数化简得到 9V²V''' - 9VV'V'' + 4(V')³ = 0。 6. 第六步：等价变形。验证 (V^{2/3})''' 正比于该表达式，因此 V^{2/3} 是二次多项式。

关键跳跃点： - 从三阶导数到五阶导数：三阶导数只给出了 ℓ₁，但五阶导数需要 ℓ₂ 和 ℓ₃。这些是通过对 ℓ₁ 的表达式求导得到的，而求导的合法性依赖于第四步中证明的 h 的实解析性。 - 代数化简：五阶导数的表达式（附录 C 的方程 46）非常复杂，包含 r₂ 到 r₅ 和 ℓ₁ 到 ℓ₃ 的多个项。将这些项代入并化简为简洁的 9V²V''' - 9VV'V'' + 4(V')³ 形式，需要仔细的代数操作。

技术技巧点名： - 分位数变换：将关于 X 的积分转化为关于均匀分位数 U 的积分，简化了对称性条件的推导（定理 3.3 的证明）。 - 隐函数求导与微分方程：利用密度水平集的几何性质，对条件期望方程求导，得到对称性（定理 3.3(ii) 的证明）。 - Edgeworth 展开：用于样本量稳定性结果（定理 4.4），将分布函数的偏差与偏度联系起来。 - 实解析性提升：从 ℓ₁ 的表达式推断 h 的实解析性，这是进行高阶导数计算的关键（定理 3.8 的证明）。

真实例子与应用

本文包含两个真实例子，均在第五节。

  1. 逆高斯（Lévy）族（第 5.1 节）：
  2. 数据 / 场景：逆高斯分布 IG(µ, λ=1/2)，由正 1/2-稳定密度生成。
  3. 如何应用：计算 p_ET 和 p_LR（由于该族属于 [11] 的三元组，p_LR = p_UMPU）。p_ET 通过逆高斯 CDF 的封闭形式（方程 33）计算。p_LR 通过 p_LR(x) = F_µ(min{x, µ²/x}) + 1 - F_µ(max{x, µ²/x}) 计算。
  4. 结果：在 µ=1 时，x=0.5 处 p_ET ≈ 0.9803，p_LR ≈ 0.6171；在 x=1（均值）处，p_LR = 1，但 p_ET ≈ 0.5724。这量化了两种精确 p 值之间的巨大差异。

  5. 想说明什么：即使在一个满足 UMPU-LR 相等性的族中，ET 与 LR p 值仍可能大相径庭，因为逆高斯分布不对称，均值不等于中位数。这直观地展示了 p 值非唯一性的实际影响。

  6. 双曲正割族（第 5.2 节）：

  7. 数据 / 场景：标准双曲正割密度 h(x) = 1/(2 cosh(πx/2)) 生成的 NEF。该族有方便的 CDF 表示（通过 Beta 分布），且所有四种 p 值都可精确计算。
  8. 如何应用：固定 θ₀ = π/4（此时 m₀=1，众数 ≈0.35）。利用 R 脚本，通过数值求根计算每种 p 值的临界点和 p 值函数。
  9. 结果：四种 p 值函数在图上明显不同。最大网格差异：p_dens 与 p_UMPU 达 0.442。在 α=0.05 水平下，密度排序与 UMPU 的决策分歧概率约为 4.5%。功效比较显示，UMPU 检验在两侧都有至少 α 的功效（由构造保证），而其他检验在某些备择下功效低于 α（即不是无偏的）。
  10. 想说明什么：在一个光滑、陡峭、非 [11] 三元组的 NEF 中，四种精确 p 值的差异是实质性的，足以影响实际决策（拒绝/不拒绝）和检验功效。这强调了“报告一个双边 p 值”可能掩盖一个真正的选择。

🔎 结论是否比证明窄

是的，有几个地方结论比证明窄，作者明确承认了这一点： - ET-LR 和密度-LR 的完整一观测分类：作者在 Remark 3.14 和 Section 6 中明确表示，本文不宣称完整的无限制一观测 ET-LR 或密度-LR 刻画。定理 3.8 只给出了必要条件（方差函数方程和密度-均值恒等式），但 Remark 3.13 的正态逆高斯反例表明这些条件不是充分的。完整的分类是开放问题。 - 密度-LR 的样本量稳定性：推论 4.8 是条件性的，依赖于假设 4.7（局部 Edgeworth 展开）。作者特意声明“我们不掩饰这个额外的渐近假设不是基本 NEF 假设的推论”（Section 6）。相比之下，定理 4.6（ET-LR 的样本量稳定性）是无条件的。 - 幂方差类中的 ET-LR 刻画：推论 3.11 的结论是“在幂方差类中，ET-LR 相等性强制高斯族”。但作者在 Remark 3.13 中展示了，存在非幂方差的 NEF（正态逆高斯）满足方差函数方程但不满足 ET-LR 相等性。因此，该推论不能推广到一般 NEF。

四、开放问题

  1. 完整的 n=1 ET-LR 和密度-LR 分类：在一般 NEF 中，除了幂方差类和样本量稳定性结果外，能否找到 ET-LR 或密度-LR 相等性的充要条件？这需要解决均值-中位数问题（[22]）以及命题 3.9 的密度-均值恒等式与方差函数方程之间的相互作用。扎根点：Section 6 第一段：“a complete unrestricted n=1 classification of ET–LR and density–LR coincidence outside the power-variance or sample-size-stable settings would be of interest.”

  2. 多参数指数族中的推广：本文的所有结果都限于单参数 NEF。在多参数指数族中，双边检验的 p 值非唯一性问题会如何？是否存在类似的结构性刻画？扎根点：Section 6 第二段：“Beyond one-parameter NEFs, analogous questions arise in multivariate exponential families, invariant testing, discrete models with randomization, and nuisance-parameter problems.”

  3. 离散模型中的 p 值非唯一性：本文专注于连续分布。对于离散模型，精确 p 值通常不是均匀的，且需要随机化才能达到精确水平。离散情况下的非唯一性及其与连续极限的关系如何？扎根点：Section 6 第二段提到了“discrete models with randomization”。

  4. 密度-LR 样本量稳定性的弱条件：推论 4.8 依赖于假设 4.7（局部 Edgeworth 展开）。能否在更弱的、仅依赖于基本 NEF 假设的条件下，证明密度-LR 的样本量稳定性强制高斯性？扎根点：Section 6 第三段：“The density–LR sample-size statement is intentionally weaker in its hypotheses... the precise weakest conditions are not part of the present paper.”

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