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Asymptotics for Model Selection in Probabilistic Principal Component Analysis

作者: Mathias Drton, Andrew McCormack, Daniel Windisch
主题: 数理统计 / 假设检验
相关性: 6/10
链接: https://arxiv.org/abs/2608.23513

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本文研究的子方向是奇异学习理论（Singular Learning Theory）在模型选择中的应用，具体针对概率主成分分析（PPCA）模型中主成分个数（即模型阶数）的选择问题。其根本的统计问题是：当统计模型在参数空间某些点处Fisher信息矩阵不满秩（即模型是“奇异的”）时，经典模型选择准则（如BIC）的惩罚项（基于参数维度的一半）不再正确，导致模型选择偏差。该方向旨在利用代数几何工具（实对数规范阈值，RLCT）来刻画奇异模型边际似然的渐近行为，并据此构造一致的模型选择准则（如奇异贝叶斯信息准则，sBIC）。当前该方向已从理论框架走向具体模型的应用，但每个新模型的学习系数计算仍是一个非平凡的技术挑战。

发展脉络（history）

  • 奠基工作：Watanabe (2009, 2018)。Watanabe 建立了奇异学习理论的完整框架，证明了对于奇异模型，边际似然对数的渐近展开由学习系数 λ 和其多重性 m 决定，而非简单的“参数维度/2”。这一理论为处理非正则模型提供了代数几何工具（实对数规范阈值，RLCT）。留下的口子：理论框架是通用的，但每个具体模型的 (λ, m) 需要单独计算，且计算过程高度依赖代数几何技巧。
  • 主要进展：sBIC 的提出与学习系数的计算。Drton & Plummer (2017) 提出了奇异贝叶斯信息准则（sBIC），它利用已知的 (λ, m) 值来构造一个模型选择准则，该准则在渐近意义下等价于真实边际似然（误差 O_p(1)），且具有一致性。留下的口子：sBIC 的实用性完全取决于能否为所考虑的模型计算出 (λ, m)。随后，一系列工作开始为具体模型计算学习系数，包括：Aoyagi & Watanabe (2005) 对降秩回归、Aoyagi (2009, 2019, 2024) 对神经网络、Rousseau & Mengersen (2011) 和 Yamazaki & Watanabe (2003) 对混合模型、Drton et al. (2017) 对高斯潜树模型、以及 Drton et al. (2025) 对因子分析模型。本文引用语境指出：“The pair (λ, m) has been fully or partially determined for a growing number of pertinent statistical models...”（Section 1, p.2），并特别指出“at present there are only a few models... for which the learning coefficients are completely characterized”（Section 1, p.2）。
  • 当前 Frontier 与本文位置：本文填补了 PPCA 模型学习系数的空白。作者在引言中明确说：“The present work provides a complete characterization of the learning coefficients and their multiplicities for PPCA.”（Section 1, p.2）。此外，本文还将结果推广到“分区噪声 PPCA 模型”（partitioned noise PPCA model），该模型统一了 PPCA 和因子分析模型，并给出了其学习系数公式（Theorem 5.1）。因此，本文是奇异学习理论在潜变量模型（特别是降维模型）模型选择问题上的一个关键应用和理论推进。

子线索聚类

这些被引文献大致落在以下 2-3 条子线索上： 1. 奇异学习理论的基础与代数方法：以 Watanabe (2009, 2018) 和 Lin (2010, 2017) 为代表。这一簇专注于发展 RLCT 的计算理论（如解析奇点消解、和规则、链式法则），为后续应用提供数学工具。Lin (2010) 的摘要明确指出：“The accurate asymptotic evaluation of marginal likelihood integrals is a fundamental problem in Bayesian statistics... we translate this into a problem of computational algebraic geometry, namely, to determine the real log canonical threshold of a polynomial ideal”。 2. sBIC 的提出与在具体模型上的应用：以 Drton & Plummer (2017) 为核心，以及 Drton et al. (2017) 对潜树模型、Drton et al. (2025) 对因子分析模型、以及本文对 PPCA 模型的应用。这一簇专注于将奇异学习理论转化为可操作的模型选择准则，并攻克特定模型的学习系数计算难题。本文引用语境指出：“The sBIC was proposed as a methodology that uses knowledge of the values of (λ_kr, m_kr) to construct a model selection criterion...”（Section 3, p.5）。 3. PPCA 模型选择的其他（非奇异学习）方法：以 Minka (2000) 的 Laplace 近似、Bai et al. (2018) 的随机矩阵理论方法、Bouveyron et al. (2020) 的 Normal-Gamma 方法、Josse & Husson (2012) 的 GCV 方法为代表。这一簇尝试用不同策略（贝叶斯近似、高维渐近、交叉验证）解决同一问题，但作者指出它们要么忽略了奇异性（Minka），要么在高维下有特定条件（Bai et al.），要么对先验敏感（Bouveyron et al.）。本文的 sBIC 方法被定位为对这些方法的改进。

这个方向在追问的核心问题

  1. 学习系数的计算：对于一个给定的奇异统计模型，其 RLCT（即学习系数 λ）是多少？这是应用 sBIC 的前提，也是该方向最核心的技术挑战。
  2. sBIC 的一致性：在什么条件下，基于已知 (λ, m) 构造的 sBIC 能够以概率趋于 1 选择最小的真实模型？Drton & Plummer (2017) 给出了理论保证，但该保证依赖于 (λ, m) 的正确性。
  3. 高维扩展：当维度 p 随样本量 n 增长时，奇异学习理论的渐近展开（如公式 3.3）是否仍然成立？经典 Laplace 近似在高维下的有效性是当前活跃的研究领域（如 Katsevich 2024, 2026; Tang & Reid 2025），但奇异模型下的高维渐近仍是开放问题。
  4. 模型间的比较：如何利用 sBIC 在嵌套或非嵌套的奇异模型之间进行选择？本文通过“分区噪声 PPCA 模型”框架，初步解决了 PPCA 与因子分析模型之间的选择问题。

⚠️ 作者的 framing（必须明确标注成“这是作者的说法”）

  • 作者把缺口 frame 成什么：作者将缺口 frame 为“PPCA 模型的奇异结构导致经典 BIC 过度惩罚，而现有文献（如 Minka 2000）使用的 Laplace 近似忽略了这一奇异性，因此其渐近有效性存疑”。作者声称：“A subtle point is that the validity of a Laplace approximation requires a statistical model to be identifiably parameterized with a positive definite Fisher information matrix. However, as discussed in Section 2, the PPCA model possesses singularities that cause the requisite regularity conditions for a Laplace approximation to be violated, a fact that has not been accounted for in previous works.”（Section 1, p.2）。这使得本文的 sBIC 方法成为“显然的下一步”。
  • 哪些竞争路线被他淡化或回避了：
    • 高维情形下的 AIC/BIC 一致性：Bai et al. (2018) 证明了在特定高维框架下（p 增长，r 有界，特征值间隙足够大），AIC 和 BIC 是一致的。作者在引言中引用了这一结果，但将其定位为“despite this”（尽管如此），并强调本文关注的是固定 p、大 n 的经典渐近。作者没有深入讨论当特征值间隙不够大时，Bai et al. 的结果是否失效，以及 sBIC 在这种情形下是否仍有优势。
    • 完全贝叶斯方法：Hoff (2007) 的完全贝叶斯分析（使用 MCMC）是可行的，但作者以“computationally involved for the practitioner”为由将其排除在主要比较之外。这回避了 sBIC 作为一种近似方法，与精确贝叶斯方法在有限样本下的性能对比。
  • 什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里？：未见明显缺失的关键引用。该领域的核心工作（Watanabe, Drton, Lin, Aoyagi）均已覆盖。

张力

未见明显对立引用。不同工作（如 Bai et al. 2018 的高维 AIC/BIC 一致性与本文的固定 p 奇异渐近）是在不同设定下得出的结论，并非直接矛盾。Drton et al. (2025) 对因子分析模型的学习系数计算与本文对 PPCA 的计算是互补的，共同构成了对潜变量模型奇异性的更完整理解。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：

    • p：观测数据的维度（变量个数）。
    • n：样本量。
    • k：候选 PPCA 模型中的主成分（PC）个数，k = 0, 1, ..., p-1。
    • r：真实数据生成过程中，最小的主成分个数，即 Σ_0 ∈ M_r \ M_{r-1}。
    • X_i：第 i 个观测到的 p 维随机向量，i = 1, ..., n。
    • Z_i：第 i 个观测对应的 r 维潜变量（主成分得分），Z_i ~ N_r(0, I_r)。
    • W：p × k 的载荷矩阵，是模型的参数。
    • σ²：噪声方差，是模型的参数（标量）。
    • Σ：p × p 的协方差矩阵，Σ = WW^T + σ² I_p。
    • Σ_0：真实的协方差矩阵。
    • M_k：具有 k 个主成分的 PPCA 模型，即所有形如 WW^T + σ² I_p 的协方差矩阵的集合。
    • λ_k(Σ_0) 或 λ_kr：当真实模型为 M_r 时，模型 M_k（k ≥ r）的学习系数。
    • m_k(Σ_0) 或 m_kr：对应的多重性。
    • φ_k(W, σ²)：参数化映射，φ_k(W, σ²) = WW^T + σ² I_p。
    • I_{p,k}(Σ_0)：纤维理想，由 WW^T + σ² I_p - Σ_0 的所有元素生成的理想。
    • RLCT(I; φ)：理想 I 关于权重函数 φ 的实对数规范阈值。

  • 模型：

    • 数据生成机制：观测数据 X_i 独立同分布于 p 维零均值高斯分布，其协方差矩阵为 Σ_0。Σ_0 属于某个未知的 PPCA 模型 M_r，即 Σ_0 = W_0 W_0^T + σ_0² I_p，其中 W_0 是 p × r 矩阵，σ_0² > 0。
    • 候选模型：对于每个候选的 PC 个数 k，我们考虑模型 M_k，其参数为 (W, σ²)，其中 W ∈ ℝ^{p×k}，σ² > 0。模型假设数据来自 N_p(0, WW^T + σ² I_p)。
    • 已知/未知：p 和 n 已知。W 和 σ² 是待估参数。r 是未知的，是模型选择的目标。

  • 可观测数据：

    • 可观测：n 个 p 维观测向量 X_1, ..., X_n。样本协方差矩阵 (1/n) Σ_i X_i X_i^T 是充分统计量。
    • 不可观测/潜在：潜变量 Z_i（主成分得分）是不可观测的。真实的载荷矩阵 W_0 和噪声方差 σ_0² 也是未知的。模型选择的目标就是推断出 r，即 W_0 的列数。

第二步：讲最小内核

本文的核心数学问题是：计算 PPCA 模型 M_k 在真实模型为 M_r（r ≤ k）时的学习系数 λ_kr 和多重性 m_kr。

最简特例：p = 2，k = 1，r = 0（真实模型是纯噪声，Σ_0 = I_2）。

在这个特例下： - 模型：M_1 的参数是 W = (w_1, w_2)^T ∈ ℝ² 和 σ² > 0。协方差矩阵为 Σ = WW^T + σ² I_2。 - 真实分布：Σ_0 = I_2，即 r=0。 - 要计算的量：学习系数 λ_10。

为什么这是最小内核？ 因为 Σ_0 = I_2 是 M_1 中的一个奇异点（W = 0 时，Fisher 信息矩阵不满秩）。这个例子包含了奇异学习理论的核心困难：在奇异点处，似然函数无法用二次型近似，边际似然积分的主导项由代数几何决定。

核心思路（在这个特例下）： 1. 边际似然积分：p(X|M_1) = ∫_{ℝ²} ∫_0^∞ [∏_{i=1}^n p(X_i|W, σ², M_1)] φ_1(W, σ²) dσ² dW。当 n 很大时，积分的主要贡献来自参数空间中使 Σ 接近 I_2 的区域，即 W 接近 0 的区域。 2. 局部化与代数化：在 W=0 附近，Σ - I_2 ≈ WW^T + (σ² - 1)I_2。纤维理想 I_{2,1}(I_2) 由 WW^T + σ² I_2 - I_2 的元素生成，即 w_1² + σ² - 1, w_2² + σ² - 1, w_1 w_2。 3. 奇点消解（Blow-up）：直接计算这个积分很困难，因为被积函数在 W=0 处有奇点。作者使用代数几何中的“blow-up”技巧来“消解”这个奇点。对于这个特例，一个关键的 blow-up 是沿着 W=0 和 σ=0 的线性子空间进行。在 blow-up 后的新坐标系下，被积函数变得简单，积分可以分解为几个标准形式的积分。 4. 计算 RLCT：通过 blow-up 和“和规则”（Sum Rule），可以将原积分分解为几个更简单积分的 RLCT 之和。对于 p=2, k=1, r=0 的情况，计算过程（如 Theorem 4.8 证明所示）最终会得到 RLCT 为 (2, 1)。根据 Fact 4.2，学习系数 λ = RLCT / 2 = 1。多重性 m = 1。 5. 结果解读：λ_10 = 1。而经典 BIC 的惩罚项是 (dim(M_1)/2) * log n。M_1 的参数维度是 dim(ℝ²) + 1 = 3，所以 BIC 惩罚是 (3/2) log n。由于 1 < 1.5，sBIC 的惩罚更小，因此更倾向于选择更大的模型（即包含更多 PCs 的模型），这与模拟结果（sBIC 比 BIC 更敏感）一致。

总结：这个最简例子展示了，在奇异点处，学习系数 λ 小于参数维度的一半。本文的核心工作就是通过复杂的代数几何计算，将这种“小于”的精确值（公式 4.1）推广到任意 p, k, r 的情形。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：本文研究了概率主成分分析（PPCA）模型中主成分个数选择的模型选择问题，该模型在参数空间存在奇异点（Fisher 信息矩阵不满秩），导致经典 BIC 准则失效。
  2. 核心工具/方法：利用 Watanabe 的奇异学习理论，通过代数几何方法（实对数规范阈值 RLCT、奇点消解、blow-up）完整刻画了 PPCA 模型及其推广形式（分区噪声 PPCA 模型）的边际似然渐近行为，并基于此构造了奇异贝叶斯信息准则（sBIC）。
  3. 主要结论：给出了 PPCA 模型学习系数 λ_kr 和多重性 m_kr 的显式公式（Theorem 4.1），并将其推广到分区噪声 PPCA 模型（Theorem 5.1）。模拟和真实数据实验表明，sBIC 在模型选择上优于经典 BIC，且比其它竞争方法（如 Normal-Gamma、GCV）更稳健。

关键设定与假设

  • 设定：固定维度 p，大样本 n → ∞。观测数据 X_i 独立同分布于零均值高斯分布 N_p(0, Σ_0)。真实协方差矩阵 Σ_0 属于某个 PPCA 模型 M_r，其中 r 是未知的。
  • 假设：
    1. 模型嵌套：PPCA 模型是嵌套的，即 M_0 ⊂ M_1 ⊂ ... ⊂ M_{p-1}（公式 2.1）。
    2. 先验分布：在每个模型 M_k 的参数 (W, σ²) 上，放置一个光滑且处处为正的 Lebesgue 密度 φ_k（Section 3, p.5）。这个假设保证了 RLCT 的计算可以忽略先验的具体形式（可设为 1）。
    3. 真实模型：真实协方差矩阵 Σ_0 属于 M_r \ M_{r-1}，即它恰好有 r 个主成分（公式 3.2）。
    4. 代数几何假设：为了计算 RLCT，需要假设参数空间是紧的（可以通过截断实现，不影响渐近），并且纤维理想由多项式生成（Section 4.1）。
  • 相比已有文献的放宽/强化：
    • 放宽：相比于 Minka (2000) 使用的 Laplace 近似，本文不要求 Fisher 信息矩阵在参数空间处处满秩，因此适用于奇异模型。
    • 强化：相比于 Bai et al. (2018) 的高维结果，本文的设定是固定 p，因此不要求特征值间隙或高维渐近框架。本文的结果是精确的学习系数公式，而 Bai et al. 的结果是 AIC/BIC 在高维下的一致性。

主要结果

  • 定理 4.1（核心定理）：对于 PPCA 模型 M_k，当真实模型为 M_r（0 ≤ r ≤ k ≤ p-1）时，学习系数和多重性为： λ_kr = (pk + r(p - k + 1) + 2) / 4，m_kr = 1。
  • 直觉：λ_kr 是 k 和 r 的二次函数。当 r = k（非奇异点）时，λ_kk = (pk + k(p - k + 1) + 2)/4 = (k(2p - k + 1) + 2)/4。而模型 M_k \ M_{k-1} 的流形维度为 k(p - k) + k(k+1)/2 + 1，其一半恰好等于 λ_kk，与经典 BIC 一致。当 r < k（奇异点）时，λ_kr < λ_kk，即惩罚更小。
  • 必要条件：Σ_0 ∈ M_r \ M_{r-1}，先验光滑且处处为正。

  • 解决的技术难点：通过一系列代数变换（对角化、限制参数空间、blow-up、和规则），将复杂的纤维理想 RLCT 计算分解为几个已知 RLCT 的简单理想之和。

  • 定理 5.1（推广）：对于分区噪声 PPCA 模型 M_{k,d}（d 是 p 的一个整数划分，s 是划分的块数），当真实模型为 M_{r,e}（e 是 d 的加细）时，学习系数为： λ_{kr}^{de} = (pk + r(p - k + 1) + 2s) / 4，多重性为 1。

  • 直觉：该公式统一了 PPCA（s=1）和因子分析（s=p）模型。s 越大，惩罚越大，反映了因子分析模型有更多噪声参数。
  • 解决的技术难点：处理了更复杂的噪声结构，需要更精细的 blow-up 和代数操作。

证明路线与技术技巧（理论型）

  • 整体路线：

    1. 连接学习系数与 RLCT：通过 Fact 4.2，将学习系数 λ 的计算转化为计算纤维理想 I_{p,k}(Σ_0) 的全局 RLCT。
    2. 简化问题：
      • 利用正交不变性（Lemma 4.7），假设 Σ_0 是对角矩阵。
      • 利用参数空间的流形结构（Lemma 4.6），将 W 限制在 L_{r,+}^{p×k} 形式（分块下三角矩阵），这对应于固定了旋转自由度。
    3. 代数变换：通过一系列可逆的代数变换（如 W_21 → W_21 W_11^T，W_21 → W_21 + A(ψ)_21），将纤维理想简化为两个不相交的理想 I_1 和 I_2 之和。
    4. 奇点消解（Blow-up）：对 I_2 的变量（W_22 和 σ 或 ψ）进行 blow-up，以消解 W_22=0, σ=0 处的奇点。在 blow-up 的不同坐标卡（chart）上，I_2 被简化为一个单项式理想（如 ⟨σ²⟩ 或 ⟨w_pk²⟩）。
    5. 应用和规则（Fact 4.4）：由于 I_1 和 I_2 的变量在 blow-up 后被解耦，可以应用和规则，将总 RLCT 分解为 I_1 的 RLCT 和 I_2 的 RLCT 之和。
    6. 计算各部分的 RLCT：
      • I_1 的 RLCT：I_1 = ⟨W_11 W_11^T - I_r⟩ 定义了一个光滑的实解析簇，其余维数为 r(r+1)/2，因此 RLCT 为 (r(r+1)/2, 1)（Fact 4.5）。
      • I_2 的 RLCT：在 blow-up 的每个坐标卡上，I_2 被简化为 ⟨σ²⟩ 或 ⟨w_pk²⟩。其 RLCT 可以通过计算一个一维积分得到，结果为 ((p-r)(k-r) + 2s)/2, 1)（其中 s 是噪声分块数，对于 PPCA s=1）。
    7. 汇总：将各部分 RLCT 相加，并加上之前被“和规则”暂时忽略的 W_21 变量的贡献 (p-r)r，得到总 RLCT，再除以 2 得到学习系数。

  • 关键跳跃点：

    • 从 Fisher 信息矩阵的秩亏到纤维理想：这是奇异学习理论的核心跳跃。它将对似然函数局部行为的分析，转化为对参数空间上代数簇的几何分析。
    • Blow-up 的选择：选择沿着 W_22 = 0 和 σ = 0（或 ψ = 0）的线性子空间进行 blow-up，这是消解该特定奇点的标准代数几何技巧。选择哪个坐标卡（σ-chart 或 w_pk-chart）需要保证最终结果一致，这本身是一个技术验证点。
    • “和规则”的应用条件：确保在 blow-up 后，I_1 和 I_2 的变量是“不相交”的，这是应用和规则的前提。证明中通过仔细的代数操作（如利用 I_2 的生成元消去 I_1 中的交叉项）来满足这一条件。

  • 技术技巧点名：

    • 实对数规范阈值 (RLCT)：核心分析工具，用于量化奇异点处积分渐近行为。
    • 奇点消解 (Resolution of Singularities)：通过 blow-up 将复杂的奇点转化为简单的“正常交叉”奇点。
    • Blow-up：沿着线性子空间 {W_22 = 0, σ = 0} 进行 blow-up，是消解该奇点的具体操作。
    • 和规则 (Sum Rule)：将解耦后的理想之和的 RLCT 分解为各部分 RLCT 之和。
    • 链式法则 (Chain Rule)：用于处理参数变换（如 W_21 → W_21 W_11^T）对 RLCT 的影响。
    • 纤维理想 (Fiber Ideal)：将统计问题（边际似然积分）转化为代数问题（理想 RLCT 计算）的关键桥梁。

真实例子与应用

  • 数据：
    1. Decathlon 数据：p=10 个十项全能项目，n=24 名 2008 年奥运会顶尖男运动员的成绩。
    2. Wine 数据：p=14 种味觉品质，n=21 种不同的葡萄酒。
  • 方法应用：作者将 sBIC 应用于 PPCA 模型和因子分析（FA）模型的联合选择。对于每个候选的 PC/因子个数 k，计算 PPCA 和 FA 模型的 sBIC 值。sBIC 值被归一化到 [0,1] 区间，最大值对应的模型被选中。
  • 结果：
    • Decathlon 数据：sBIC 选择了具有 4 个因子的 FA 模型，而 BIC 选择了具有 1 个 PC 的 PPCA 模型。
    • Wine 数据：sBIC 选择了具有 8 个 PC 的 PPCA 模型，而 BIC 选择了具有 4 个 PC 的 PPCA 模型。
  • 例子想说明什么：这两个例子旨在说明 sBIC 在实际应用中比 BIC 更“敏感”，倾向于选择更大的模型（更多 PCs 或因子）。作者认为，基于 scree plot（图 5），BIC 选择的模型（如 Decathlon 的 1 个 PC）可能过于保守，因为许多特征值都贡献了显著方差。这验证了 sBIC 修正了 BIC 过度惩罚的预期效果。

🔎 结论是否比证明窄

  • 结论：Theorem 4.1 和 5.1 是在固定 p、大 n 的渐近框架下严格证明的。
  • 比证明窄的地方：作者在结论部分（Section 7, p.19）明确将“高维扩展”（large-p settings）列为开放问题。因此，本文的结论不直接适用于高维情形。作者引用了 Katsevich (2024, 2026) 和 Tang & Reid (2025) 关于高维 Laplace 近似的工作，但指出“Obtaining asymptotic log-marginal likelihood expansions in high-dimensions when singularities are present is a challenging open direction.” 这意味着，虽然本文的 sBIC 在模拟中（p=20）表现良好，但其理论保证仅限于 p 固定。将结果推广到 p → ∞ 需要额外的理论工作。

四、开放问题（点到为止，扎根具体语句）

  1. 高维扩展：将本文的固定 p 渐近结果推广到 p 随 n 增长的高维情形。扎根：Section 7, p.19: “One immediate question is how to extend the present results to the large-p settings that are prevalent in the high-dimensional covariance matrix estimation literature... Obtaining asymptotic log-marginal likelihood expansions in high-dimensions when singularities are present is a challenging open direction.”
  2. 分层 PCA 模型的学习系数：计算更一般的“分层 PCA”（Stratified PCA）模型的学习系数。扎根：Section 7, p.20: “Determining the learning coefficients for the larger class of stratified PCA models remains an open question.”
  3. 典型相关分析（CCA）的模型选择：将奇异学习理论应用于概率 CCA 模型，以选择典型方向的个数。扎根：Section 7, p.21: “...canonical correlation analysis (CCA) has a probabilistic formulation akin to PPCA... a study of the learning coefficients of this model is warranted; these learning coefficients can be used to perform model selection on the number of canonical directions.”
  4. sBIC 在有限样本下的行为：虽然 sBIC 具有渐近一致性，但其在有限样本下的表现（特别是当信号较弱或模型接近时）的理论刻画尚不完整。扎根：模拟结果（如 Figure 4）显示，在 n=30 时，sBIC 和 BIC 都倾向于选择小模型，其有限样本性质值得进一步研究。

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