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Conformal Prediction Through the Lens of Hypothesis Testing: Universality, Impossibility, and Optimality

作者: Ryan J. Tibshirani, Rina Foygel Barber, Aaditya Ramdas
主题: 数理统计 / 假设检验
相关性: 6/10
链接: https://arxiv.org/abs/2608.27310

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

共形预测（conformal prediction）是一套构造预测集的框架，在仅假设数据可交换（exchangeable）的条件下，保证有限样本的边际覆盖概率 \(P\{Y_{n+1} \in C_n(X_{n+1})\} \ge 1-\alpha\)，无需对数据生成分布做任何参数假设。它通过一个“非符合性得分”（nonconformity score）衡量新样本与已有数据的吻合程度，并将得分分位数作为阈值。过去十年，共形预测已成为机器学习不确定性量化的核心工具，但其理论基础长期被视为独立于经典统计推断。本文的核心贡献是将共形预测重新置于经典假设检验框架下，证明其普适性、不可能性和最优性均可由Neyman、Lehmann、Scheffé、Kraft、Le Cam等人的经典理论直接导出。

发展脉络

  • 奠基工作：Vovk等人在1990年代末提出共形预测（Vovk et al., 1999），Shafer & Vovk (2008) 的教程系统介绍了其思想。这些早期工作已强调与假设检验的联系（如Vovk et al., 2022第13.3章），但将共形预测视为对“\(H_0: Y_{n+1}=y\)”的逐点检验的逆。
  • 统计文献中的显式连接：Lei et al. (2013, 2014) 和 Lei & Wasserman (2014) 首次在统计期刊上明确将共形预测集描述为“inverting a test for the null hypothesis \(H_0: Y_{n+1}=y\)”。Lei et al. (2018) 进一步研究了分裂共形预测和条件覆盖。Sadinle et al. (2019) 在分类问题中推导了最优集值分类器的oracle形式（基于条件概率水平集）。
  • 当前frontier：Angelopoulos et al. (2025) 的书籍系统总结了共形预测的理论基础。Barber & Tibshirani (2026) 提出了一个统一框架，将多种共形变体（加权共形、非可交换共形等）视为基于部分信息的假设检验的逆。Hoff (2023) 利用充分统计量的完备性构造了贝叶斯最优预测集（Theorem 4.1），但局限于无协变量情形且效率定义是贝叶斯平均。Dandapanthula & Ramdas (2025) 和 Hore & Ramdas (2026) 在变点检测中提出了“共形Neyman-Pearson引理”。
  • 本文位置：作者声称，将共形预测重新解释为对“\(n+1\)个样本的联合分布可交换”这一原假设的置换检验的逆（而非对\(Y_{n+1}=y\)的检验），使得经典假设检验理论可以直接应用。由此，普适性（Theorem 3）和不可能性（Theorem 5, Corollary 1）成为经典定理的直接推论，而最优性（Theorem 7）是Neyman-Pearson引理在复合原假设下的应用，且是有限样本结果（区别于已有文献的渐近最优性）。

子线索聚类

  1. 共形预测的基础理论：Vovk et al. (1999, 2022), Shafer & Vovk (2008), Angelopoulos et al. (2025)。定义、有效性证明、扩展（分裂共形、加权共形等）。
  2. 与假设检验的显式联系：Lei et al. (2013, 2014, 2018), Lei & Wasserman (2014), Dobriban & Lin (2023), Hoff (2023), Zhang & Zhao (2023), Barber & Tibshirani (2026), Nair & Janson (2026)。这些工作将共形预测视为检验的逆，但大多针对“\(Y_{n+1}=y\)”原假设。
  3. 最优性研究：Sadinle et al. (2019)（分类，oracle水平集），Izbicki et al. (2020)（条件密度估计，渐近最优），Hoff (2023)（贝叶斯最优，有限样本但无协变量），Dandapanthula & Ramdas (2025)（变点检测，共形Neyman-Pearson引理）。这些结果在渐近或特定设定下指向逆条件密度得分。
  4. 不可能性结果：Vovk (2012)（条件覆盖不可能），Lei & Wasserman (2014) Lemma 1（条件覆盖导致平凡预测集）。本文用Kraft-Le Cam定理重新证明。

核心问题与瓶颈

  • 核心问题：① 如何构造有限样本有效的预测集？② 能否实现条件覆盖（给定\(X_{n+1}\)）？③ 什么是最优的得分函数？④ 共形预测与经典统计推断（Neyman-Pearson、完备性）有何深层联系？
  • 已知瓶颈：条件覆盖（给定\(X_{n+1}=x\)）在非参数设定下不可能非平凡（Vovk 2012; Lei & Wasserman 2014）。最优得分函数在渐近意义下是逆条件密度（\(1/p_{Y|X}\)），但有限样本最优性此前缺乏一般证明。

⚠️ 作者的framing

作者将缺口frame为：已有文献将共形预测与假设检验的联系视为“motivating principles”，但未将其作为严格的理论工具。本文声称“these are not just analogies, and core facts about hypothesis testing directly translate to conformal prediction”（Section 2.3末尾）。作者通过将原假设从“\(Y_{n+1}=y\)”改为“可交换性”，使得经典理论（Neyman结构、Kraft-Le Cam、Neyman-Pearson）可以直接套用。竞争路线（如Hoff 2023的贝叶斯最优框架）被淡化：作者指出Hoff的结果局限于无协变量且效率为贝叶斯平均，而本文的Theorem 7是频率学派有限样本最优性，且允许协变量。明显该被引但未出现：本文未引用近期关于“自适应共形预测”（如Gibbs & Candès, 2021）或“分布自由条件覆盖”的尝试（如Barber et al., 2021），但这些工作可能偏离本文的经典理论焦点。

张力

未见明显对立引用。所有被引工作均承认可交换性下边际覆盖的可行性，以及条件覆盖的不可行性。最优性方面，渐近结果一致指向逆条件密度，本文的有限样本结果与之兼容。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：符号、模型、可观测数据

  • 符号：
  • \(Z_i = (X_i, Y_i)\)，\(i=1,\dots,n+1\)：第\(i\)个样本，\(X_i\)为协变量（可高维），\(Y_i\)为响应变量。
  • \(n\)：训练样本数；\(n+1\)：测试样本索引（\(Y_{n+1}\)未知）。
  • \(C_n(X_{n+1})\)：基于\(X_{n+1}\)和\(Z_1,\dots,Z_n\)构造的预测集，是\(\mathcal{Y}\)的子集。
  • \(\alpha \in [0,1]\)：预设错误率，要求\(P\{Y_{n+1} \in C_n(X_{n+1})\} \ge 1-\alpha\)。
  • \(s((x,y); z)\)：得分函数，衡量点\((x,y)\)与数据集\(z\)的“非符合性”。通常要求对称性：\(s((x,y); z) = s((x,y); z_\sigma)\)对任意排列\(\sigma\)（即只依赖于多重集）。
  • \(U = \langle Z \rangle\)：多重集（bag），即\(Z_1,\dots,Z_{n+1}\)的无序集合。它是可交换分布族的充分统计量。
  • \(\mu\)：\(\mathcal{Y}\)上的\(\sigma\)-有限测度（如Lebesgue测度或计数测度），用于衡量预测集的大小（效率）。
  • \(p_{Y|X}(y|x)\)：给定\(X=x\)时\(Y\)的条件密度（关于\(\mu\)）。
  • 模型：数据\((Z_1,\dots,Z_{n+1})\)来自可交换分布，即联合分布在任意排列下不变。这比i.i.d.弱，但包含i.i.d.作为特例。没有参数形式假设。
  • 可观测数据：研究者实际观测到\(Z_1,\dots,Z_n\)和\(X_{n+1}\)。\(Y_{n+1}\)是未观测的，需要预测。潜在量：无，但得分函数\(s\)可能依赖于整个增广数据集（包括候选\(y\)），因此计算时需遍历所有\(y\)。

第二步：最小内核

考虑无协变量（即\(X\)退化）、样本量\(n=1\)、连续响应\(Y \in \mathbb{R}\)、测度\(\mu\)为Lebesgue测度、错误率\(\alpha=0.1\)。此时数据为\(Y_1\)（已知）和\(Y_2\)（未知），可交换性等价于\((Y_1,Y_2)\)的联合分布在交换下不变（即i.i.d.）。我们要构造预测集\(C(Y_1)\)使得\(P(Y_2 \in C(Y_1)) \ge 0.9\)。

经典共形预测的做法：选择一个得分函数，例如\(s(y; (y_1, y_2)) = |y - \text{median}(y_1, y_2)|\)？但更简单：取\(s(y; z) = y\)（即得分就是响应值本身）。对于候选\(y\)，增广数据为\((Y_1, y)\)。计算置换p值：

\[p = \frac{1}{2} \left[ \mathbf{1}\{s(y; (Y_1, y)) \ge s(y; (Y_1, y))\} + \mathbf{1}\{s(Y_1; (y, Y_1)) \ge s(y; (Y_1, y))\} \right].\]
由于对称性，第一项恒为1，第二项为\(\mathbf{1}\{Y_1 \ge y\}\)。因此\(p = \frac{1}{2}(1 + \mathbf{1}\{Y_1 \ge y\})\)。当\(y \le Y_1\)时，\(p=1\)；当\(y > Y_1\)时，\(p=0.5\)。取\(\alpha=0.1\)，则\(p > 0.1\)对所有\(y\)成立？实际上\(p\)最小为0.5，因此所有\(y\)都被接受，预测集为整个实数轴。这显然效率极低。

本文的视角：将共形预测视为对可交换性原假设的置换检验的逆。原假设\(H_0\)：\((Y_1, Y_2)\)来自可交换分布。对于每个候选\(y\)，构造增广数据\((Y_1, y)\)，检验该数据是否可交换。使用统计量\(T(z) = s(z_2; z)\)（即最后一个样本的得分）。置换p值为：

\[p = \frac{1}{2} \left[ \mathbf{1}\{T(Y_1, y) \ge T(Y_1, y)\} + \mathbf{1}\{T(y, Y_1) \ge T(Y_1, y)\} \right].\]
若\(s\)对称，则与上述计算一致。但本文的普适性定理（Theorem 3）说：任何在可交换分布族上达到覆盖\(1-\alpha\)的预测集，必须由某个得分函数\(s\)通过上述置换检验反演得到。也就是说，共形预测是唯一可能的方法。这个结论在\(n=1\)时也很直观：给定\(Y_1\)，要构造\(Y_2\)的预测集，任何有效方法必须利用\((Y_1,Y_2)\)的对称性，即预测集只能依赖于\(Y_1\)和\(Y_2\)的排序信息。事实上，可以证明：若要求对所有可交换分布覆盖\(\ge 0.9\)，则预测集必须几乎处处等于整个\(\mathbb{R}\)（因为任何非平凡区间都会在某些分布下覆盖不足）。这就是不可能性（Theorem 5）的雏形：条件覆盖（这里无协变量，条件覆盖退化为无条件）在非参数设定下必然导致平凡预测集。

最优性内核：假设我们已知条件密度\(p_{Y|X}\)（此处无\(X\)，即\(p_Y\)）。本文Theorem 7说：最优得分是\(s(y; z) = 1/p_Y(y)\)。在\(n=1\)时，使用该得分，预测集为：

\[C(Y_1) = \left\{ y : \frac{1}{2}\left[ \mathbf{1}\{1/p_Y(y) \ge 1/p_Y(y)\} + \mathbf{1}\{1/p_Y(Y_1) \ge 1/p_Y(y)\} \right] > \alpha \right\}.\]
简化得：\(C(Y_1) = \{ y : p_Y(y) \ge p_Y(Y_1) \}\)（当\(\alpha<0.5\)时）。这恰好是似然比检验的逆：接受那些比观测值\(Y_1\)更可能出现的\(y\)。这个预测集在期望Lebesgue测度下最小。这个例子揭示了最优得分与条件密度的直接联系。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究问题：从假设检验的经典视角重新审视共形预测，证明其普适性（任何有效预测集必为共形类型）、不可能性（条件覆盖必然平凡）和最优性（逆条件密度得分达到有限样本最优效率）。
  2. 核心工具：Neyman结构定理（Theorem 2）、Kraft-Le Cam定理（Theorem 4）、Neyman-Pearson引理（Theorem 6），以及充分统计量（多重集）的有界完全性。
  3. 主要结论：Theorem 3（普适性）、Theorem 5 & Corollary 1（不可能性）、Theorem 7（最优性）。其中最优性结果是新的有限样本结果，不依赖于渐近近似。

关键设定与假设

  • 数据：\((Z_1,\dots,Z_{n+1})\)可交换（或i.i.d.）。记\(\mathcal{P}_{\text{exch}}\)为所有可交换分布类，\(\mathcal{P}_{\text{iid}}\)为所有i.i.d.分布类。
  • 预测集：任意映射\(C_n(X_{n+1})\)，可等价写为\(C_n(X_{n+1}) = \{y: \phi(Z_1,\dots,Z_n,(X_{n+1},y)) = 0\}\)，其中\(\phi\)是检验函数（取0表示接受）。
  • 得分函数：\(s((x,y); z)\)满足对称性（6）：\(s((x,y); z) = s((x,y); z_\sigma)\)对任意排列\(\sigma\)。但普适性定理（Theorem 3）不要求对称性，仅要求预测集本身有效。
  • 效率度量：期望测度\(E_P[\mu(C_n(X_{n+1}))]\)，其中\(\mu\)是\(\mathcal{Y}\)上的\(\sigma\)-有限测度。最优性定理（Theorem 7）要求\(\mu\)是\(\sigma\)-有限的，且条件密度\(p_{Y|X}(y|x) > 0\)对\(P_X\)-几乎每个\(x\)和所有\(y\)成立。
  • 与已有文献的对比：普适性结果已知（Vovk et al., 2022 Proposition 2.9; Angelopoulos et al., 2025 Theorem 9.7），但本文用经典Neyman结构理论重新证明。不可能性结果已知（Vovk 2012 Proposition 4; Lei & Wasserman 2014 Lemma 1），本文用Kraft-Le Cam定理证明。最优性结果是新的有限样本结果，区别于已有文献的渐近最优性（如Sadinle et al., 2019; Izbicki et al., 2020）或贝叶斯最优性（Hoff, 2023）。

主要结果

  • Theorem 3（普适性）：若预测集\(C_n(X_{n+1})\)对所有可交换分布满足\(P\{Y_{n+1} \in C_n(X_{n+1})\} \ge 1-\alpha\)，则它必为共形类型，即存在得分函数\(s\)使得\(C_n(X_{n+1}) = \{y: \text{置换p值} > \alpha\}\)。若\(C_n\)对前\(n\)个样本的顺序不变，则\(s\)可对称化。
  • 直觉：由Theorem 2，任何水平\(\alpha\)检验必须具有Neyman结构（条件于充分统计量\(U=\langle Z \rangle\)时错误率\(\le \alpha\)）。对于可交换分布，\(U\)是充分且（单侧）有界完全的，因此Neyman结构等价于检验是置换检验。反演即得。
  • Theorem 5（不可能性，有限测度情形）：假设\(\mu(\mathcal{Y}) < \infty\)。若预测集满足条件覆盖：\(P\{Y_{n+1} \in C_n(x) | X_{n+1}=x\} \ge 1-\alpha\)对所有\(x \in \text{supp}(P_X)\)和所有\(P \in \mathcal{P}_{\text{iid}}\)成立，则对任何非原子点\(x_0\)，有\(E_P[\mu(C_n(x_0))] \ge \mu(\mathcal{Y})(1-\alpha)\)。即效率不比随机猜测（以概率\(1-\alpha\)输出整个\(\mathcal{Y}\)，否则输出空集）好。
  • 直觉：条件覆盖等价于对一类分布\(\mathcal{P}_{\text{cond}}\)的边际覆盖。构造一个分布\(P_0 \in \mathcal{P}_{\text{cond}}\)使得其与备择\(Q_0\)（见(28)）的全变差距离为0。由Kraft-Le Cam定理，任何水平\(\alpha\)检验的势不超过\(\alpha\)，因此预测集效率下界为\(\mu(\mathcal{Y})(1-\alpha)\)。
  • Corollary 1（无限测度情形）：若\(\mu(\mathcal{Y})=\infty\)且\(\sigma\)-有限，则\(E_P[\mu(C_n(x_0))] = \infty\)。即条件覆盖必然导致预测集几乎处处无穷大。
  • Theorem 7（最优性）：固定\(P = P_{X,Y}^{n+1}\)（i.i.d.）。在所有对\(\mathcal{P}_{\text{exch}}\)达到覆盖\(1-\alpha\)的预测集中，最小化\(E_P[\mu(C_n(X_{n+1}))]\)的预测集是使用得分\(s((x,y); z) = 1/p_{Y|X}(y|x)\)的随机化共形预测器（见(37)）。该预测器在期望测度下最优。
  • 直觉：效率最小化等价于势最大化。对于固定的多重集\(u\)，条件分布\(Q_u\)（来自备择）与均匀排列分布\(P'_u\)（来自原假设）之间的Neyman-Pearson最优检验是随机化置换检验，统计量为\(1/p_{Y|X}\)。由于该检验不依赖于\(u\)，整体最优。

证明路线与技术技巧

普适性（Theorem 3）： 1. 由预测集定义检验\(\phi(Z) = 1\{Y_{n+1} \notin C_n(X_{n+1})\}\)，覆盖条件等价于\(E_P[\phi(Z)] \le \alpha\)对所有\(P \in \mathcal{P}_{\text{exch}}\)。 2. 证明多重集\(U=\langle Z \rangle\)是\(\mathcal{P}_{\text{exch}}\)的充分统计量，且满足单侧有界完全性（19）。因此Theorem 2（Neyman结构定理）适用：\(\phi\)必须满足\(E[\phi(Z)|U=u] \le \alpha\)对几乎所有\(u\)。 3. 条件于\(U=u\)时，\(Z\)的条件分布是均匀排列。因此\(E[\phi(Z)|U=u] = \frac{1}{(n+1)!}\sum_{\sigma}\phi(z_\sigma) \le \alpha\)。这等价于\(\phi\)是置换检验（见(22)的证明）。 4. 反演得预测集形式。若预测集对前\(n\)个样本顺序不变，则得分函数可对称化，得到标准共形形式。

不可能性（Theorem 5）： 1. 将条件覆盖转化为对\(\mathcal{P}_{\text{cond}}\)的边际覆盖（(27)）。 2. 定义备择分布\(Q_0 = P_{X,Y}^n \times (\delta_{x_0} \times \frac{\mu}{\mu(\mathcal{Y})})\)。效率\(E_P[\mu(C_n(x_0))] = \mu(\mathcal{Y}) \cdot E_{Q_0}[1-\phi(Z)]\)。 3. 构造\(P_0 \in \mathcal{P}_{\text{cond}}\)：将\(x_0\)处的条件分布改为\(\mu/\mu(\mathcal{Y})\)，其余不变。则\(P_0\)与\(Q_0\)的全变差距离为0（因为\(x_0\)是非原子点，修改不影响边际）。 4. 由Kraft-Le Cam定理（Theorem 4），任何在\(\mathcal{P}_{\text{cond}}\)上水平\(\alpha\)的检验，其势不超过\(\alpha + TV(\text{conv}(\mathcal{P}_{\text{cond}}), \{Q_0\}) = \alpha\)。因此\(E_{Q_0}[\phi(Z)] \le \alpha\)，从而\(E_P[\mu(C_n(x_0))] \ge \mu(\mathcal{Y})(1-\alpha)\)。

最优性（Theorem 7）： 1. 将效率写为\(E_P[\mu(C_n(X_{n+1}))] = E_{P_U}[h(\phi, U)]\)，其中\(h(\phi, u) = \frac{1}{c_u (n+1)!} E_{Q_u}[1-\phi(Z)]\)，\(Q_u\)是条件于\(U=u\)下来自备择\(Q\)的分布。 2. 固定\(u\)，问题化为：在\(E_{P'}[\phi] \le \alpha\)对所有\(P' \in \mathcal{P}_{\text{exch}}\)的约束下，最大化\(E_{Q_u}[\phi]\)。 3. 证明均匀排列分布\(P'_u = \frac{1}{(n+1)!}\sum_{\sigma}\delta_{z_\sigma}\)是\(\mathcal{P}_{\text{exch}}\)相对于\(Q_u\)的最不利分布。即，若检验对\(P'_u\)水平\(\alpha\)，则对全体\(\mathcal{P}_{\text{exch}}\)水平\(\alpha\)。 4. 应用Neyman-Pearson引理（Theorem 6）：最优检验是似然比检验，似然比为\(q_u(z_\sigma)/p'_u(z_\sigma) \propto 1/p_{Y|X}(y_{\sigma(n+1)}|x_{\sigma(n+1)})\)。因此统计量取为\(T(z) = 1/p_{Y|X}(y_{n+1}|x_{n+1})\)。 5. 该检验是随机化置换检验（Proposition 2），且不依赖于\(u\)，因此整体最优。反演得预测集形式(37)。

技术技巧： - 单侧有界完全性（19）：比传统双侧定义更强，用于处理保守检验（允许\(E[\phi] \le \alpha\)而非严格等于\(\alpha\)）。作者在Appendix A.2中说明，对于i.i.d.分布，多重集仅满足双侧完全性，因此Hoff (2023)的结果只能处理精确覆盖；而可交换分布族足够丰富，使得单侧完全性成立。 - Kraft-Le Cam定理：用于将不可能性转化为全变差距离的计算。关键步骤是构造\(P_0\)使得\(TV(P_0, Q_0)=0\)，这依赖于非原子点假设。 - Neyman-Pearson引理在复合原假设下的应用：通过识别最不利分布（均匀排列分布），将复合原假设简化为点原假设。 - 随机化置换检验：用于处理得分相等时的离散性，保证精确水平\(\alpha\)。

真实例子与应用

图1：异方差高斯模型，\(n=500\)，\(X \sim \text{Unif}[0,2\pi]\)，\(Y|X \sim N(\sin(X), (\pi X/30)^2)\)。比较两种得分： - 学生化得分：\(s = |y - \hat{f}(x)| / \hat{\sigma}(x)\)，其中\(\hat{f}=\sin\)，\(\hat{\sigma}=\pi x/30\)（真实函数）。 - 高效得分（Theorem 7建议）：\(s = (y-\hat{f}(x))^2/(2\hat{\sigma}^2(x)) + \log \hat{\sigma}(x)\)。 结果：高效得分产生的预测区间平均窄12.5%。该例子说明理论最优得分在实际中确实更高效，且揭示了学生化得分在异方差下并非最优（因为忽略了\(\log \sigma(x)\)项）。

🔎 结论是否比证明窄

  • Theorem 7假设条件密度\(p_{Y|X}(y|x) > 0\)对所有\(y\)和\(P_X\)-几乎每个\(x\)成立。若密度在某些点为零，则得分无穷，预测集定义需调整。作者未讨论此情形。
  • Theorem 7的效率度量是期望测度\(E[\mu(C_n)]\)。其他效率度量（如中位数测度、最坏情况测度）下的最优性未涉及。
  • 普适性定理（Theorem 3）的证明依赖于单侧有界完全性，而该性质对可交换分布族成立，但对i.i.d.分布族不成立（Appendix A.2）。因此，若将约束从“对所有可交换分布有效”改为“对所有i.i.d.分布有效”，则普适性可能不成立（即存在非共形但有效的预测集）。作者未明确讨论这一点，但Appendix A.2暗示了这种可能性。
  • 不可能性定理（Theorem 5）要求\(x_0\)是\(P_X\)的非原子点。若\(P_X\)有原子，则条件覆盖可能非平凡？作者未讨论。

四、开放问题

  1. 条件密度未知时的最优性：Theorem 7假设已知\(p_{Y|X}\)。实际中需估计，估计误差如何影响效率？能否建立非参数收敛速率下的有限样本最优性？扎根于Theorem 7的假设“已知密度”及Section 6.3的plug-in讨论。
  2. 非可交换数据下的普适性：本文的普适性依赖于可交换分布族的丰富性。对于非可交换数据（如时间序列、自适应收集数据），是否存在类似“任何有效预测集必为某种加权共形类型”的结果？扎根于Section 7第一段：“the relevance of hypothesis-theoretic tools should extend beyond the standard setting”。
  3. 条件覆盖的其他形式：Theorem 5针对“给定\(X_{n+1}=x\)”的条件覆盖。若要求“给定\(X_{n+1} \in A\)”（某集合）的条件覆盖，是否仍有不可能性？扎根于Theorem 5的证明中使用了非原子点假设。
  4. 其他效率度量下的最优性：Theorem 7使用期望测度。若使用中位数测度或最坏情况测度，最优得分是否仍为逆条件密度？扎根于Theorem 7的设定（效率定义为期望测度）。

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