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Regularized High-Dimensional Additive Tensor Autoregressive Model

作者: Debika Ghosh, Nilanjana Chakraborty, Samrat Roy
主题: 高维统计 / 随机矩阵
相关性: 6/10
链接: https://arxiv.org/abs/2608.26366

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

高维张量时间序列建模的核心问题：如何利用过去的多维观测（三维或更高阶张量）预测未来，同时处理参数爆炸（参数数量随维度乘积增长）和内在结构（行、列、管等模式间的交互）。当前成熟度：向量VAR（高维稀疏正则化）已成熟；矩阵VAR（双线性形式）已有若干工作；张量VAR（Tucker分解形式）刚起步，但存在可解释性差、非凸优化、低维模式刻画不足等问题。本文试图在张量VAR中引入加性结构，并用低秩+稀疏分解来同时捕捉共享和特异性的时序依赖，且保持凸优化可解。

发展脉络（history）

  • 奠基工作：高维稀疏VAR（Basu & Michailidis, 2015 [1]）建立了ℓ1正则化VAR的有限样本误差界，依赖谱密度和受限强凸性。这是后续所有高维时序正则化估计的理论模板。
  • 矩阵/张量VAR的兴起：Chen, Xiao & Yang (2018 [15]) 提出矩阵自回归（MAR），用双线性形式 \(AY_{t-1}B'\) 捕捉行、列依赖。Li & Xiao (2021 [16]) 将其推广到张量，用Tucker分解 \(Y_{t-1} \times_1 A_1 \times_2 A_2 \times_3 A_3\)。这些工作保留了多路结构，但参数仍多，且优化非凸。
  • 低维结构探索：为降维，研究者对过渡矩阵施加低秩或稀疏约束（Wang et al. 2019 [16] 用张量分解；Hsu et al. 2021 [19] 用双线性加空间邻域；Xiao et al. 2022 [18] 用降秩）。但这些仍基于Tucker的乘性交互，难以分离各模式效应。
  • 加性替代：Zhang (2023 [23]) 提出矩阵加性自回归（Add-ARM），将行、列效应加性组合，提升可解释性。本文将其扩展到张量，并进一步引入低秩+稀疏分解。
  • 本文位置：在加性矩阵自回归基础上，首次为张量时间序列提出加性结构，并同时施加低秩+稀疏正则化，给出凸优化算法和完整的高维误差界。作者声称这是“novel contributions to the field of high-dimensional tensor time series analysis”（Section 1末句）。

子线索聚类

  1. 高维稀疏VAR及其理论（[1] Basu & Michailidis 2015, [13] Kock & Callot 2012, [19] Ghosh et al. 2018）：建立ℓ1正则化VAR的误差界、后验一致性，依赖谱密度和受限强凸性。本文的偏差界推导直接继承自[1]。
  2. 矩阵/张量自回归的乘性模型（[15] Chen et al. 2018, [16] Li & Xiao 2021, [18] Xiao et al. 2022, [19] Hsu et al. 2021）：用双线性或Tucker分解捕捉模式间交互，但优化非凸，可解释性受限。本文明确批评其“convoluted multiplicative interaction form”（Section 1 (a)）。
  3. 加性矩阵/张量自回归（[23] Zhang 2023）：提出矩阵加性形式，本文是其张量推广。
  4. 低秩+稀疏分解的凸优化理论（[31] Agarwal et al. 2011, [30] Negahban et al. 2012）：为矩阵分解提供统一框架，包括受限强凸性、可分解正则化、非相干条件。本文的证明路线直接借用这些工具，但将其适配到张量时序的加性结构。

这个方向在追问的核心问题

  • Q1：如何在高维张量时序中同时实现可解释性（各模式效应可分离）和统计效率（参数数量可控）？
  • Q2：如何设计凸优化算法来估计张量自回归参数，避免Tucker分解的非凸性？
  • Q3：在加性结构下，低秩+稀疏分解的可识别性条件是什么？误差界如何随维度、秩、稀疏度变化？
  • Q4：与乘性模型（Tucker）相比，加性模型的预测能力是否损失？理论保证是否更强？

当前主流方法（Tucker分解+稀疏/降秩）在Q1上失败（效应纠缠），在Q2上非凸，在Q3上仅给出整体维度的误差界（[16] Theorem 3）。本文声称在Q1-Q3上均有改进。

⚠️ 作者的 framing（必须明确标注成“这是作者的说法”）

  • 作者把缺口 frame 成什么：作者在Section 1列出三个问题：(a) Tucker乘性形式使行、列、管效应“convoluted”，难以分离解释；(b) 低秩+稀疏在乘性形式下只能降维，不能显式捕捉“baseline + idiosyncratic”模式；(c) 优化非凸。因此，加性形式是“显然的下一步”，且凸优化+低秩稀疏分解能同时解决这三个问题。
  • 哪些竞争路线被他淡化或回避了：
  • 因子模型（[40] Wang et al. 2016）仅在Discussion中提了一句“future research”，未在正文中比较。因子模型也能处理高维张量时序，且可解释性不差（因子载荷可解释），但作者未讨论其与加性模型的优劣。
  • 贝叶斯方法（如[19] Ghosh et al. 2018的VAR后验一致性）被完全忽略，尽管贝叶斯张量时序也有工作。
  • 深度学习方法（如LSTM、Transformer）未被提及，尽管在OD预测中常见。
  • 什么明显该被引/该存在、却没出现在intro里：
  • 关于张量时间序列的贝叶斯工作（如Tensor Train变分推断）未被引用。
  • 关于加性模型可识别性的经典文献（如Hastie & Tibshirani 1990的GAM）未被引用，尽管本文的加性结构本质上是GAM在张量时序上的特例。
  • 关于低秩+稀疏分解在矩阵补全/回归中的非凸算法（如交替最小化，[14] Liu et al. 2016）被引用，但未讨论其与本文凸优化的计算效率对比。

张力

未见明显对立引用。所有被引工作基本一致认为Tucker分解是主流，但本文指出其不足。没有发现同一问题下不同方法得出相反结论的情况。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：
  • \(Y_t \in \mathbb{R}^{d_1 \times d_2 \times d_3}\)：第 \(t\) 时刻的三维张量观测（可观测）。
  • \(d_1, d_2, d_3\)：三个模式的维度（已知常数）。
  • \(T\)：时间序列长度（样本量）。
  • \(Y_{t-1(1)} \in \mathbb{R}^{d_1 \times (d_2 d_3)}\)：\(Y_{t-1}\) 的模式-1（行）展开矩阵（可观测）。
  • \(Y_{t-1(2)} \in \mathbb{R}^{d_2 \times (d_1 d_3)}\)：模式-2（列）展开。
  • \(Y_{t-1(3)} \in \mathbb{R}^{d_3 \times (d_1 d_2)}\)：模式-3（管）展开。
  • \(B_1 \in \mathbb{R}^{d_1 \times d_1}, B_2 \in \mathbb{R}^{d_2 \times d_2}, B_3 \in \mathbb{R}^{d_3 \times d_3}\)：过渡矩阵，捕捉各模式时序依赖（待估参数）。
  • \(L_k, S_k \in \mathbb{R}^{d_k \times d_k}\)：\(B_k\) 的低秩和稀疏分解，\(B_k = L_k + S_k\)（待估参数）。
  • \(E_t \in \mathbb{R}^{d_1 \times d_2 \times d_3}\)：误差张量（不可观测，假设独立或弱相关）。
  • \(\text{fold}_k(\cdot)\)：将矩阵“折叠”回张量的操作，是展开的逆。
  • \(\|\cdot\|_F\)：Frobenius范数；\(\|\cdot\|_*\)：核范数；\(\|\cdot\|_1\)：元素ℓ1范数。
  • \(\lambda_{L_k}, \lambda_{S_k}\)：正则化参数（需选择）。
  • \(R_k\)：\(L_k\) 的秩；\(s_k\)：\(S_k\) 的非零元素个数（均为未知，但假设远小于 \(d_k^2\)）。
  • \(\hat{L}_k, \hat{S}_k\)：估计量。

  • \(\hat{\Delta}_{L_k} = \hat{L}_k - L_k\)，\(\hat{\Delta}_{S_k} = \hat{S}_k - S_k\)：估计误差。

  • 模型：

    \[Y_t = \text{fold}_1\big[(L_1 + S_1) Y_{t-1(1)}\big] + \text{fold}_2\big[(L_2 + S_2) Y_{t-1(2)}\big] + \text{fold}_3\big[(L_3 + S_3) Y_{t-1(3)}\big] + E_t\]
    这是一个一阶自回归模型，但加性分解为三个模式独立的线性变换。\(L_k\) 捕捉“共享”或“基线”模式（低秩意味着行/列间有线性依赖），\(S_k\) 捕捉“特异”或“异质”模式（稀疏意味着仅少数位置有额外效应）。

  • 可观测数据：\(\{Y_t\}_{t=1}^T\) 是唯一可观测的量。\(Y_{t-1(k)}\) 由 \(Y_{t-1}\) 通过确定性展开得到。误差 \(E_t\) 不可观测，需假设分布（高斯或次指数）。参数 \(L_k, S_k\) 是待估的潜在量。

第二步：讲最小内核

最简特例：考虑 \(d_1 = d_2 = d_3 = 2\)，即每个时刻的观测是 \(2 \times 2 \times 2\) 张量。假设 \(L_1, L_2, L_3\) 均为秩1矩阵，\(S_1, S_2, S_3\) 均只有1个非零元素（其余为零）。此时模型为：

\[Y_t = \text{fold}_1\big[(L_1 + S_1) Y_{t-1(1)}\big] + \text{fold}_2\big[(L_2 + S_2) Y_{t-1(2)}\big] + \text{fold}_3\big[(L_3 + S_3) Y_{t-1(3)}\big] + E_t\]
其中 \(L_1 = u_1 v_1^\top\)（秩1），\(S_1\) 仅在位置 \((i_1, j_1)\) 非零；类似定义 \(L_2, S_2, L_3, S_3\)。可观测数据为 \(\{Y_t\}_{t=1}^T\)，\(T\) 需足够大（如 \(T=100\)）。

核心思路：估计问题转化为最小化凸目标函数（3），其中核范数惩罚 \(\|L_k\|_*\) 鼓励低秩，ℓ1惩罚 \(\|S_k\|_1\) 鼓励稀疏。由于目标函数联合凸，可用交替块最小化（Algorithm 1）求解：每次固定其他块，更新一个 \(L_k\) 或 \(S_k\)，子问题分别是核范数正则化最小二乘（可用近端梯度法）和ℓ1正则化最小二乘（可用软阈值）。

在这个特例下，要证的命题退化成什么？ 定理3.1的误差界（高斯误差）退化为：

\[e^2 \preceq s_1 \frac{Q_1^2 \log d_1}{T} + s_2 \frac{Q_2^2 \log d_2}{T} + s_3 \frac{Q_3^2 \log d_3}{T} + R_1 \frac{Q_1^2 d_1}{T} + R_2 \frac{Q_2^2 d_2}{T} + R_3 \frac{Q_3^2 d_3}{T}\]
加上非相干项 \(s_k \gamma^2 \alpha_k^2 / d_k^2\)。在 \(d_1=d_2=d_3=2\) 时，\(\log d_k \approx 0.69\)，\(d_k=2\)，因此主导项是 \(s_k/T\) 和 \(R_k/T\)。由于 \(s_k=1, R_k=1\)，误差界约为常数除以 \(T\)，即估计误差以 \(O_p(1/\sqrt{T})\) 速率收敛（忽略对数因子）。证明的关键是验证受限强凸性（Assumption 3.1）和非相干条件（Assumption 3.2）在此特例下成立，然后通过确定性误差界（Lemma 3.1）和偏差界（高斯或次指数）得到最终结果。

为什么这个特例抓住了核心困难？ 即使维度很小，加性结构导致三个模式同时贡献，误差项 \(E_t\) 的偏差需要同时控制三个方向（行、列、管）的谱范数和无穷范数。证明中需要处理三个 \(D_k\) 矩阵的偏差，以及它们与正则化参数的关系。特例下，这些偏差的维数降低，但结构不变，因此理解特例有助于理解一般情况。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：针对高维张量时间序列，提出一个加性自回归模型（RATAR），将时序依赖分解为行、列、管三个模式的加性项，并对每个模式的过渡矩阵施加低秩+稀疏正则化，以同时捕捉共享和特异性的时序模式。
  2. 核心工具/方法：凸优化（核范数+ℓ1范数联合惩罚），交替块最小化算法，受限强凸性+非相干条件+可分解正则化框架（Negahban et al. 2012），以及基于谱密度的高斯/次指数偏差界（Basu & Michailidis 2015, Götze et al. 2019）。
  3. 主要结论：在受限强凸性和非相干条件下，给出有限样本误差界（Lemma 3.1, Theorem 3.1, Theorem 3.2），误差由 \(s_k \log d_k / T\)、\(R_k d_k / T\) 和非相干项 \(s_k / d_k^2\) 主导。模拟和真实数据（NYC出租车OD需求）验证了估计和预测性能优于Tucker-based TAR和稀疏VAR。

关键设定与假设

  • 模型：式(1)-(2)，加性结构，\(B_k = L_k + S_k\)。
  • 假设：
  • Assumption 3.1 (受限强凸性)：损失函数在误差属于某个“受限集”时具有曲率 \(\gamma > 0\)。该受限集由Lemma A.1和A.2刻画，本质上是误差的核范数和ℓ1范数受控。相比已有文献（如[30]），这是标准假设，但本文需要同时处理三个模式的误差。
  • Assumption 3.2 (非相干条件)：\(\|L_k\|_\infty \leq \alpha_k / \sqrt{d_k d_k}\)，即低秩矩阵的“尖峰性”受控。这比涉及奇异向量非相干的假设（如[32,33]）更弱，作者声称“milder”。该条件确保低秩和稀疏分量可识别。
  • Assumption 3.3 (正则化参数下界)：\(\lambda_{L_k} \geq 4\|D_k\|_{\text{sp}}\)，\(\lambda_{S_k} \geq 4\|D_k\|_\infty + 4\gamma \alpha_k / \sqrt{d_k d_k}\)，其中 \(D_k = \frac{1}{T} \sum_t E_{t(k)} Y_{t-1(k)}^\top\)。这是标准条件，确保偏差项被正则化参数覆盖。
  • 相比已有文献的放宽/强化：
  • 相比Tucker-based TAR [16]：本文的加性结构更可解释，且优化凸（[16]非凸）。但[16]的误差界只针对Kronecker积表示，本文则给出每个模式独立的速率。
  • 相比矩阵加性模型 [23]：本文扩展到张量，并引入低秩+稀疏分解（[23]只考虑低秩或稀疏之一？实际上[23]未用低秩+稀疏，而是用Gershgorin圆盘定理保证平稳性）。
  • 相比矩阵分解理论 [31]：本文将其从独立同分布误差推广到时序相关误差（通过谱密度控制）。

主要结果

  • Lemma 3.1 (确定性误差界)：在Assumptions 3.1-3.3下，\(e^2 \preceq \lambda_{L1}^2 R_1 + \lambda_{S1}^2 s_1 + \lambda_{L2}^2 R_2 + \lambda_{S2}^2 s_2 + \lambda_{L3}^2 R_3 + \lambda_{S3}^2 s_3\)。这是后续所有定理的基础。
  • Theorem 3.1 (高斯误差)：若 \(\text{vec}(E_t) \sim \text{MVN}(0, \Sigma)\) 且 \(\Sigma\) 有可加结构（\(\Sigma_1 \otimes I + I \otimes \Sigma_2 + I \otimes I \otimes \Sigma_3\)），则选择 \(\lambda_{L_k} \propto Q_k \sqrt{2d_k/T}\)，\(\lambda_{S_k} \propto Q_k \sqrt{2\log d_k/T} + 4\gamma \alpha_k / \sqrt{d_k d_k}\)，可得：
    \[e^2 \leq s_1 \left(c_1 \frac{Q_1^2 \log d_1}{T} + c_2 \frac{\gamma^2 \alpha_1^2}{d_1^2}\right) + \cdots + c_7 R_1 \frac{Q_1^2 d_1}{T} + \cdots\]
    概率至少 \(1 - \max(e^{-c_{10}\log d_1}, e^{-c_{11}\log d_2}, e^{-c_{12}\log d_3})\)。
  • 直觉：稀疏部分代价为 \(s_k \log d_k / T\)（类似Lasso），低秩部分代价为 \(R_k d_k / T\)（类似核范数正则化），非相干项 \(s_k / d_k^2\) 来自低秩与稀疏的纠缠。
  • 必要条件：\(T\) 需足够大使得 \(\log d_k / T\) 和 \(d_k / T\) 小；\(Q_k\) 有限（谱密度有界）。
  • 解决的技术难点：同时控制三个模式的偏差，且误差 \(E_t\) 与 \(Y_{t-1}\) 相关（时序依赖）。通过谱密度工具（[1]的Proposition 2.4）得到偏差界。
  • Theorem 3.2 (次指数误差)：若 \(\text{vec}(E_t)\) 的每个坐标有 \(\alpha\)-次指数尾（\(\alpha \in (0,1] \cup \{2\}\)），则误差界中 \(\log d_k\) 替换为 \((\log d_k)^{2/\alpha}\)，\(d_k\) 替换为 \(d_k^{2/\alpha}\)。概率为 \(1 - \max(e^{-c_{10}(\log d_1)^{2/\alpha}}, \ldots)\)。这推广了高斯情形（\(\alpha=2\) 时退化回Theorem 3.1）。

证明路线与技术技巧

整体路线（以高斯误差为例）： 1. 基本不等式：由最优性条件导出式(20)，将损失函数差与正则化项差联系起来。 2. 受限集刻画：Lemma A.1和A.2证明误差 \(\hat{\Delta}_{L_k}, \hat{\Delta}_{S_k}\) 属于一个“受限集”，其中核范数和ℓ1范数被低秩和稀疏部分的对应范数控制（式(17)-(19)）。这依赖于正则化参数下界（Assumption 3.3）。 3. 确定性误差界：利用受限强凸性（Assumption 3.1）将损失函数下界与Frobenius范数联系起来，再结合基本不等式和受限集性质，得到Lemma 3.1：\(e^2 \preceq \sum_k (\lambda_{L_k}^2 R_k + \lambda_{S_k}^2 s_k)\)。 4. 偏差界（高斯）：需要找到 \(\lambda_{L_k}, \lambda_{S_k}\) 使得Assumption 3.3以高概率成立。即控制 \(\|D_k\|_{\text{sp}}\) 和 \(\|D_k\|_\infty\)。利用谱密度工具（[1]的Proposition 2.4）和ϵ-net离散化，得到： - \(\|D_1\|_\infty \leq C Q_1 \sqrt{2\log d_1 / T}\) 以高概率（式(52)）。 - \(\|D_1\|_{\text{sp}} \leq C Q_1 \sqrt{2d_1 / T}\) 以高概率（式(57)）。 类似得到 \(D_2, D_3\) 的界。代入Lemma 3.1即得Theorem 3.1。 5. 次指数推广：将[1]的偏差界推广到\(\alpha\)-次指数线性过程（Lemma A.3-A.6），主要工具是Götze et al. (2019)的多项式浓度不等式。关键是将Hanson-Wright型不等式推广到次指数尾，并处理时序依赖（通过谱密度）。最终得到类似但更慢的速率（\(\log d_k\) 变为 \((\log d_k)^{2/\alpha}\)）。

关键跳跃点： - 受限强凸性的验证：Lemma A.6证明在次指数误差下，样本协方差矩阵在稀疏锥上满足RSC。这需要将[1]的证明从高斯推广到次指数，依赖Lemma A.3的浓度不等式。 - 非相干条件的处理：在确定性误差界推导中，需要处理 \(\langle \hat{\Delta}_{L_k}, \hat{\Delta}_{S_k} \rangle\) 项，通过非相干条件将其上界为 \(\gamma \| \hat{\Delta}_{L_k} \|_\infty \| \hat{\Delta}_{S_k} \|_1 \leq \gamma (2\alpha_k / \sqrt{d_k d_k}) \| \hat{\Delta}_{S_k} \|_1\)，然后被正则化项吸收（式(29)附近）。这是低秩+稀疏可识别的关键。

技术技巧点名： - 可分解正则化框架（Negahban et al. 2012 [30]）：用于刻画核范数和ℓ1范数的受限集性质（Lemma A.1, A.2）。 - 谱密度与偏差界（Basu & Michailidis 2015 [1]）：用于处理时序依赖下的偏差，包括ϵ-net离散化和谱密度最大特征值有界假设。 - 多项式浓度不等式（Götze et al. 2019 [34]）：用于次指数情形，推广Hanson-Wright型不等式到\(\alpha\)-次指数随机变量（Lemma A.3）。 - 交替块最小化：算法1，每个子问题凸，可用近端梯度法或软阈值求解。

真实例子与应用

  • 数据：NYC TLC Yellow Taxi Trip Record，2017年1月至2026年2月共110个月。构造 \(6 \times 6 \times 5\) 张量：6个行政区（含EWR）作为起/终点，5个时段（早高峰、午间、晚高峰、夜间、深夜）。每个条目为对应起-终点-时段的月均出租车次数。
  • 方法应用：运行Algorithm 1，选择正则化参数使AIC最小（Section 4.2末）。得到 \(\hat{L}_1, \hat{L}_2, \hat{L}_3\) 均为秩3，\(\hat{S}_1, \hat{S}_2, \hat{S}_3\) 高度稀疏（图5.5）。
  • 结果：
  • 对 \(\hat{L}_1\)（起点模式）做varimax旋转，得到三个因子：机场相关（EWR vs Queens）、商业vs住宅（Manhattan vs Bronx/Brooklyn）、Staten Island孤立（图5.2）。
  • 对 \(\hat{L}_2\)（终点模式）类似：Staten Island孤立、核心城市需求（Manhattan/Brooklyn/Queens）、机场相关（图5.3）。
  • 对 \(\hat{L}_3\)（时段模式）：夜间、午间vs深夜、早高峰vs晚高峰（图5.4）。
  • 预测比较（表5.2）：对h=1,2,3，本文Additive TAR的RMSE（0.761, 0.747, 0.746）低于Tucker-based TAR（0.801, 0.794, 0.798）和稀疏VAR（1.229, 1.113, 1.053）。
  • 这个例子想说明什么：验证模型的可解释性（因子结构有实际意义）和预测优越性（加性结构优于乘性Tucker和朴素向量化）。同时展示AIC准则可用于实际选择正则化参数。

🔎 结论是否比证明窄

  • 窄的地方：Theorem 3.1和3.2的误差界中，非相干项 \(s_k \gamma^2 \alpha_k^2 / d_k^2\) 在 \(d_k\) 固定时是常数阶，不随 \(T\) 衰减。这意味着即使 \(T \to \infty\)，误差也不会趋于0，除非 \(d_k \to \infty\) 或 \(\alpha_k \to 0\)。但作者在模拟中（表4.1,4.2）显示RE随T增加而下降，说明实际中非相干项可能被常数掩盖或假设更强。作者未明确讨论这一矛盾。
  • 泛化的claim：作者在Section 1末声称“the proposed methodology and the subsequent theoretical developments are novel contributions”，但理论部分仅覆盖一阶自回归和三维张量。对于更高阶滞后或更高维张量，仅在第6节作为未来工作提及，未给出理论保证。
  • 未证明的conjecture：在Discussion中，作者说“Though our proposed algorithm and all the theoretical derivations follow for this case as well”（指 \(D>3\)），但并未给出具体定理或证明，只是推测。

四、开放问题

  1. 动态因子模型的加性版本：作者在Section 6提到，可将加性思想用于矩阵因子模型（[40]），即用加性行、列、管因子载荷替代双线性形式。这是一个直接扩展，但需要重新建立可识别性和误差界。扎根于论文Section 6第一句：“this method can be explored in the context of dynamic factor model as well”。

  2. 更高维张量（\(D>3\)）的可视化与算法：当 \(D>3\) 时，模式展开和折叠操作仍可行，但“visualize different mode-wise matricized data”困难。作者建议“explore a new variant ... that provides a more effective visualization”。扎根于Section 6第二段。

  3. 贝叶斯加性张量自回归：作者指出“overall Bayesian literature is sparse in the context of matrix and tensor-variate time series models”，并建议贝叶斯实现和理论。扎根于Section 6末句。

  4. 非相干项 \(s_k / d_k^2\) 的紧性：Theorem 3.1中非相干项不随 \(T\) 衰减，但模拟中RE下降。是否可能通过更精细的证明（如利用 \(L_k\) 的奇异向量非相干）消除该项？或者这是低秩+稀疏可识别性的固有代价？这需要检查Lemma 3.1证明中非相干项的处理（式(29)附近），看是否可改进。这是一个理论问题，扎根于Theorem 3.1的表达式和模拟结果（表4.1,4.2）。

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