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Uniform Inference on Quantile Effects under Network Interference

作者: Zequn Jin, Gaoqian Xu, Zixin Yang, Zhengyu Zhang
主题: 因果推断
相关性: 8/10
链接: https://arxiv.org/abs/2608.22286

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

这个子方向是网络干扰下的因果推断，具体研究当个体间的处理分配相互影响（即干扰）时，如何识别、估计和推断因果效应。其根本的统计问题是：在观测数据或实验数据中，由于个体间存在连接（网络），一个体的处理可能影响另一个体的结果，从而违反了经典的“稳定单元处理值假设”（SUTVA）。该方向当前的核心挑战在于，如何在单一、大型、且依赖结构复杂的网络中，对非均值（如分位数）的因果效应进行有效的推断。

发展脉络（history）

  1. 奠基工作：从SUTVA到干扰的承认

    • Imbens and Rubin (2015)：确立了Neyman-Rubin因果模型，其中SUTVA是核心假设。该工作为后续所有放松SUTVA的研究提供了基准框架。
    • Hudgens and Halloran (2008)：提出了“部分干扰”（partial interference）框架，假设样本可划分为独立集群，集群内存在干扰，但集群间无干扰。这是处理干扰问题的早期、可操作的方法，但限制了其应用范围（如单一连接网络）。

  2. 主要进展：单一网络下的均值效应与暴露映射

    • Manski (2013); Aronow and Samii (2017)：提出了“暴露映射”（exposure mapping）的概念，将高维的处理分配向量压缩为低维的暴露状态（如“自身处理状态”和“被处理邻居的比例”），使得在单一网络中定义和识别因果效应成为可能。这是该领域的关键概念突破。
    • Leung (2020)：在暴露映射框架下，系统性地研究了单一大型网络中平均处理和溢出效应的估计与推断。他建立了估计量的渐近正态性，并提出了网络依赖的方差估计量。本文作者指出，Leung (2020) 的工作是本文的直接基础，但其推断依赖于度分布和网络依赖协方差结构的“稳定性”（stabilization）假设，这些假设难以从单一观测网络中验证。
    • Li and Wager (2022)：在随机图（graphon）模型下研究网络干扰，为平均效应估计量提供了更精确的渐近理论（中心极限定理），并提出了在特定设定下的一致估计量。本文作者将其定位为与Leung (2020) 并列的、在单一网络下处理平均效应的代表性工作。

  3. 当前Frontier：从均值到分布，从固定极限到条件推断

    • 本文 (Jin et al., 2026)：将研究焦点从平均效应扩展到分位数效应，以揭示处理效应在结果分布不同位置上的异质性。其核心贡献是提出了基于高斯近似的均匀置信带（UCB），该方法的推断条件于实现的网络，从而避免了Leung (2020) 所需的度分布和协方差结构稳定性假设。这是该方向从“均值”到“分布”、从“无条件极限”到“条件推断”的一次重要推进。

子线索聚类

这些被引文献大致落在以下三条子线索上：

  1. 干扰结构假设：

    • 部分干扰：Hudgens and Halloran (2008); Liu et al. (2016, 2019); Qu et al. (2026); Cheng and Li (2026)。这一簇假设样本可分成独立集群，简化了依赖结构，但无法处理单一连接网络。
    • 单一网络下的暴露映射：Manski (2013); Aronow and Samii (2017); Leung (2020, 2022); Li and Wager (2022); Vazquez-Bare (2023); 本文。这一簇是当前主流，通过低维暴露状态处理高维干扰，适用于单一网络。

  2. 目标参数类型：

    • 平均效应：Leung (2020); Li and Wager (2022); Gao and Ding (2025); Viviano (2025)。这是最广泛研究的参数，但掩盖了分布异质性。
    • 分位数效应：本文；Cheng and Li (2026)（在部分干扰下）。这一簇是新兴方向，旨在揭示处理效应的分布异质性。

  3. 推断方法：

    • 基于固定极限的推断：Leung (2020); Kojevnikov et al. (2021)。这类方法要求网络序列的度分布和协方差结构收敛到一个固定极限，从而得到估计量的极限分布。
    • 基于高斯近似的条件推断：本文；Chernozhukov et al. (2013, 2014a,b); Chang et al. (2024); Fang and Koike (2021)。这类方法不依赖固定极限，而是通过近似学生化统计量的分布来构造置信区间，条件于实现的网络。

这个方向在追问的核心问题

  1. 如何定义和识别有意义的因果效应？ 当干扰存在时，处理效应不再是简单的个体级对比，而是依赖于整个网络的暴露状态。如何定义既能反映科学问题又具有可识别性的参数（如直接效应、溢出效应）是核心。
  2. 如何在单一、依赖的网络中进行有效的统计推断？ 网络依赖破坏了经典独立同分布假设，导致方差估计和极限分布推导困难。当前主流方法（如Leung, 2020）依赖于网络序列的“稳定性”假设，但该假设难以验证。
  3. 如何揭示处理效应的异质性？ 平均效应掩盖了分布上的差异。将因果推断从均值扩展到分位数、甚至整个分布，是重要的前沿方向，但会带来更复杂的推断挑战（如均匀推断）。
  4. 如何应对模型误设定？ 暴露映射的假设（如局部干扰）可能被违反。当暴露映射误设定时，估计量是否还有意义？如何定义和推断对误设定更稳健的因果参数？

⚠️ 作者的 framing

  • 作者的缺口定位：作者将缺口明确地frame为“现有网络干扰文献几乎全部聚焦于平均效应，而忽略了分布异质性”。他们将自己的工作定位为“首次在单一大型网络中研究分位数效应”，从而使其成为“显然的下一步”。
  • 被淡化或回避的竞争路线：
    • 部分干扰下的分位数效应：作者引用了Cheng and Li (2026)（在部分干扰下研究网络分位数因果效应），但将其定位为“然而，任何实证设定都涉及单一连接网络而非独立集群”，从而淡化了这条路线与自身工作的直接竞争关系。作者回避了讨论在部分干扰下发展出的方法（如双重稳健估计）是否可以或如何被推广到单一网络设定。
    • 设计-based方法：作者明确提到自己的方法“不同于设计-based的暴露效应方法”（Leung, 2022; Gao and Ding, 2025），但并未深入比较两种方法的优劣或适用场景，只是将其作为背景提及。
  • 什么明显该被引/该存在、却没出现在intro里？
    • 关于网络分位数回归的计量经济学文献：虽然引用了经典的QTE文献（Koenker and Xiao, 2002; Angrist et al., 2006），但未引用专门研究空间或网络自回归分位数模型的文献（如Su and Yang, 2011; Qu and Lee, 2015等）。这些文献处理的是空间依赖下的分位数回归，与本文的网络依赖问题有技术上的交叉，但模型设定（空间自回归 vs. 暴露映射）不同。这是一个值得研究者去查的潜在张力点：空间计量中的分位数工具能否用于或对比于本文的暴露映射方法？
    • 关于“条件于网络”的推断哲学：作者的核心创新是“条件于实现的网络”进行推断，这类似于计量经济学中“固定效应”或“条件似然”的思想。但intro中并未引用或讨论这一推断哲学在因果推断或网络分析中的其他应用（如条件随机场、指数随机图模型中的条件推断）。这可能是作者有意简化，但也可能是一个被忽略的、可用来加强其方法理论基础的文献线索。

张力

未见明显对立引用。被引工作之间在假设和结论上基本是互补和递进的关系，而非矛盾。例如，Leung (2020) 的稳定性假设与本文的条件推断方法，是解决同一问题（网络依赖下的推断）的两种不同技术路线，而非相互否定。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：

    • n: 样本量（个体数）。
    • i ∈ [n]: 个体索引。
    • A_n ∈ {0,1}^{n×n}: 对称邻接矩阵，A_{ij}=1 表示个体 i 和 j 之间有连接（网络边）。
    • |N_i| = Σ_j A_{ij}: 个体 i 的度（朋友数量）。
    • D_i ∈ {0,1}: 个体 i 的处理分配（1=处理，0=对照）。D_n 是全体处理向量。
    • T_i = Σ_j A_{ij} D_j: 个体 i 的被处理邻居数量。
    • W_i = (D_i, T_i, |N_i|): 个体 i 的暴露状态，是处理分配和网络结构的低维摘要。
    • Y_i ∈ ℝ: 个体 i 的观测结果。
    • U_i ∈ (0,1): 个体 i 的潜在秩（unobserved heterogeneity），代表不可观测的异质性。
    • q(w, τ): 结构分位数函数（SQF），表示在暴露状态 w 下，潜在结果分布的第 τ 分位数。这是待估参数。
    • q(τ) = q(w, τ) - q(w', τ): 结构分位数效应，是本文的核心estimand。
    • τ ∈ 𝒯 ⊂ (0,1): 分位数水平，通常在一个紧集上考虑。
    • π_n(w): 在给定网络 A_n 下，暴露状态 w 的期望概率。
    • f_w(·): 在暴露状态 w 下，结果 Y 的条件密度函数。
    • Ω_n: n×n 矩阵，Ω_n(i,j) = 1{ℓ_{A_n}(i,j) ≤ 2}，其中 ℓ 是最短路径长度。这个矩阵编码了网络依赖的范围（距离≤2的个体被视为依赖）。

  • 模型：

    • 数据生成机制：个体的潜在结果由结构分位数模型决定：Y_i(d) = q(W_i(d), U_i)。其中 q(·) 是未知的、关于 U_i 严格递增的函数。W_i(d) = (d_i, T_i(d), |N_i|) 是暴露状态。
    • 关键假设：
      1. 局部干扰：Y_i(d) 只依赖于 d_i 和 T_i(d)（通过 W_i），而非整个 d。
      2. 秩相似性（简化版为秩不变性）：U_i 在反事实状态下分布相同，且 U_i | |N_i| ~ Unif(0,1)。这保证了 q(w, τ) 可以被解释为条件分位数。
      3. 随机化处理：D_i ~ i.i.d. Bern(p)，且 D_n 独立于 (A_n, U_n)。
      4. 条件外生性：U_i ⟂ A_n | |N_i|。允许 U_i 与度相关，但给定度后，与网络结构无关。
      5. 局部依赖：给定网络 A_n，距离大于2的个体，其 U_i 相互独立。

  • 可观测数据：研究者能观测到的是 (Y_i, D_i, A_n)。由此可以计算出 |N_i| 和 T_i，从而得到 W_i。不可观测的是潜在结果 Y_i(d) 和潜在秩 U_i。识别依赖于：通过随机化，W_i 的变异性是外生的；通过条件外生性，给定 |N_i| 后，U_i 与 W_i 独立。

第二步：讲最小内核

本文的核心思路可以浓缩为以下最简特例：

设定：假设网络是一个完全图（所有个体两两相连），且所有个体的度都相同，记为 l。我们只关心两个暴露状态：w = (1, t, l)（自己被处理，有 t 个被处理邻居）和 w' = (0, t, l)（自己未被处理，有 t 个被处理邻居）。我们想估计分位数直接效应 q(τ) = q(1, t, l, τ) - q(0, t, l, τ)。

可观测数据：对于每个个体 i，我们观测到 (Y_i, D_i, T_i)。由于是完全图，T_i = Σ_{j≠i} D_j。

核心问题：如何对 q(τ) 进行均匀推断（即构造一个置信带，使其同时覆盖所有 τ ∈ 𝒯 上的真实 q(τ)）？

最小内核的数学困难： 1. 非标准依赖：T_i 不是独立同分布的，它依赖于所有其他个体的处理分配 D_j。这导致基于 W_i 的条件分位数估计量 \hat{q}_w(τ) 的样本不是独立的。 2. 无固定极限：为了得到 \hat{q}(τ) 的极限过程，传统方法（如Leung, 2020）需要网络序列的度分布和协方差结构收敛。但在一个单一网络中，这个极限是什么？它依赖于这个特定网络的实现，因此没有“固定”的极限分布。

本文的关键想法： 放弃寻找一个固定的极限分布。转而采用条件于网络的视角，将网络 A_n 视为固定。那么，所有的不确定性只来自随机处理分配 D_n 和潜在秩 U_n。在这个条件视角下，\hat{q}(τ) 的分布是随机的，但它的协方差结构完全由 A_n 决定。

如何构造UCB？ 1. 线性化：通过Bahadur表示，将 \sqrt{n}(\hat{q}(τ) - q(τ)) 近似为一个网络依赖的得分函数之和：(1/\sqrt{n}) Σ_i \tilde{ψ}_i(τ)。这个得分函数 \tilde{ψ}_i(τ) 是 (Y_i, W_i) 的函数，且其依赖结构由 Ω_n 刻画（距离≤2的个体得分相关）。 2. 高斯近似：我们关心的统计量是学生化的上确界统计量：sup_{τ∈𝒯} |\sqrt{n}(\hat{q}(τ) - q(τ)) / \hat{σ}_n(τ)|。本文的核心论证是：这个统计量的分布，可以被一个高斯向量最大值的分布所近似。这个高斯向量的协方差矩阵就是得分函数 \tilde{ψ}_i(τ) 的（估计的）协方差矩阵 \hat{Γ}_n。 3. 模拟临界值：由于 \hat{Γ}_n 可以从数据中估计出来，我们可以从这个估计的高斯分布中模拟出 bZ_n，然后计算其最大值的分位数 z^*_{1-α}，作为UCB的临界值。

一句话总结：本文的核心数学操作是将“在单一网络中推断分位数效应”这个复杂问题，转化为“在已知协方差结构的高斯向量中模拟最大值”这个可计算的问题，从而绕过了寻找固定极限分布的难题。这个转化的关键在于Bahadur表示和高斯近似定理（Chernozhukov et al., 2013, 2014a,b），而网络依赖则通过 Ω_n 矩阵被编码进协方差结构中。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：在随机网络实验中，如何对分位数处理效应和溢出效应进行均匀推断（即构造同时覆盖所有分位数水平的置信带），以揭示处理效应在结果分布不同位置上的异质性。
  2. 核心工具/方法：提出了一个基于高斯近似的均匀置信带（UCB）构造方法。该方法通过Bahadur表示将分位数估计量线性化，然后利用高维高斯近似定理（Chernozhukov et al., 2013, 2014a,b）来近似学生化上确界统计量的分布，其临界值通过模拟一个网络依赖协方差矩阵的高斯向量来获得。
  3. 主要结论：证明了所提出的UCB在条件于实现的网络下具有渐近有效性，即其覆盖概率趋近于名义水平。该方法不需要传统大网络渐近理论所要求的度分布和网络依赖协方差结构的“稳定性”假设。模拟和实证研究验证了其良好的有限样本表现。

关键设定与假设

在第二节最小记号的基础上，补全完整设定：

  • 暴露状态：w = (d, t, l)，其中 d ∈ {0,1}, t ≤ l。本文的比较仅限于度相同的暴露状态，以避免混淆暴露效应与度相关的异质性。
  • 假设3.1（有界度）：max_i |N_i| ≤ K_{max}，几乎必然成立。这是一个很强的技术假设，保证了网络依赖的“稀疏性”，使得依赖图的最大度有界，从而简化了概率论证明（如Hajnal-Szemerédi定理的应用）。相比Leung (2020) 的度分布收敛假设，这个假设更强但更易处理。
  • 假设3.2（正则性）：条件密度 f_w(·) 有界、远离0、且Lipschitz连续。这是分位数回归的标准假设，用于保证估计量的渐近性质和Bahadur表示的有效性。
  • 假设3.3（局部依赖）：给定网络，距离大于2的个体，其潜在秩 U_i 相互独立。这是本文推断方法的核心假设，它定义了网络依赖的范围。作者指出可以放松到任意固定半径 r。
  • 假设4.1（密度估计）：存在一个一致的条件密度估计量 \hat{f}_w。这是一个高层次的假设，具体实现可以用核密度估计。
  • 假设4.2（方差有界）：得分函数的方差 σ_n^2(τ) 一致有界且远离0。这是进行学生化推断的标准假设。

相比已有文献的强化或放宽： - 相比Leung (2020)：本文放宽了其核心的“稳定性”假设（Assumptions 3.4和3.5），即不需要度分布和协方差核收敛。但本文强化了局部依赖假设（Assumption 3.3），而Leung (2020) 允许更一般的网络依赖形式（通过ψ-依赖）。 - 相比标准QTE文献：本文的推断问题更复杂，因为条件变量 W_i 是网络依赖的，且潜在秩 U_i 也可能存在网络依赖。因此，标准的i.i.d. bootstrap方法失效，需要本文提出的网络依赖高斯近似。

主要结果

  • 定理3.1（弱收敛）：在度分布和协方差核稳定的假设下（Assumptions 3.4, 3.5），分位数效应过程 \sqrt{n}(\hat{q}(τ) - q(τ)) 弱收敛到一个均值为零的高斯过程 G(τ)。这个结果是一个基准，用于说明在理想化条件下会得到什么，但作者指出这些条件难以验证。
  • 定理4.1（UCB有效性）：这是本文的核心理论结果。它表明，在条件于网络的视角下，学生化上确界统计量 sup_{τ∈𝒯} |\sqrt{n}(\hat{q}(τ) - q(τ)) / \hat{σ}_n(τ)| 的分布，可以被高斯bootstrap统计量 bT^*_n = sup_i |bZ_n(τ_i)| 的分布所一致近似。这个近似的误差在一定的正则条件下（如网格大小、密度估计速率、维数条件）趋近于0。该定理直接保证了所构造的UCB的渐近有效性。

证明路线与技术技巧（理论型）

整体路线（以定理4.1为例）：

  1. Step 1: Bahadur表示：将 \sqrt{n}(\hat{q}(τ) - q(τ)) 近似为得分函数之和 (1/\sqrt{n}) Σ_i \tilde{ψ}_i(τ)。这一步将非参数分位数估计问题转化为一个关于线性统计量的推断问题。关键跳跃点：证明这个近似的余项在 τ 上一致地小（Lemma 3.1）。难点在于处理网络依赖下的经验过程，作者使用了依赖图（dependency graph）和Hajnal-Szemerédi定理将网络分解为若干独立子集，然后应用VC理论中的极大不等式来控制余项。
  2. Step 2: 学生化与离散化：将连续的上确界统计量 sup_{τ∈𝒯} 离散化为在一个精细网格 𝒯_n 上的最大值 sup_{τ∈𝒯_n}。这一步通过控制网格近似误差（Lemma D.1）来实现，误差由网格大小 δ_n 和过程的光滑性决定。
  3. Step 3: 高维高斯近似：将离散化后的学生化统计量向量 { (1/\sqrt{n}) Σ_i \tilde{ψ}_i(τ_j) / σ_n(τ_j) } 的分布，用一个具有相同协方差矩阵 Γ_n 的高斯向量 Z_n 的分布来近似。关键跳跃点：证明这个近似的有效性。作者引用了Chang et al. (2024) 关于高维依赖数据的高斯近似定理。该定理的应用需要验证两个条件：得分函数有界（由假设保证）和协方差矩阵对角元为1（通过学生化实现）。技术技巧：这里用到了Stein方法的变体来处理依赖数据的高维中心极限定理。
  4. Step 4: 协方差矩阵估计：用数据估计协方差矩阵 Γ_n，得到 \hat{Γ}^+_n。技术技巧：由于 \hat{Γ}_n 可能不正定，作者采用了最近相关矩阵（nearest correlation matrix）的投影方法（式4.3），并证明了估计误差在最大范数下是可控的（Lemma D.3）。这一步依赖于密度估计的速率（r_{f,n}）和Bahadur表示的余项。
  5. Step 5: 高斯比较：将基于真实协方差 Γ_n 的高斯向量 Z_n 的最大值分布，与基于估计协方差 \hat{Γ}^+_n 的高斯bootstrap向量 bZ_n 的最大值分布进行比较。技术技巧：使用高斯比较不等式（如Chernozhukov et al., 2017, Lemma C.1），该不等式表明，如果两个协方差矩阵在最大范数下接近，那么它们对应的高斯向量最大值的分布也接近。这一步将估计误差传递到最终的临界值上。
  6. Step 6: 汇总：通过三角不等式，将Step 1-5的误差累积起来，最终证明定理4.1。

技术技巧点名： - 依赖图与Hajnal-Szemerédi定理：用于将网络依赖的随机变量分解为独立子集，从而应用经典的经验过程理论。 - VC理论：用于控制经验过程的随机模（stochastic modulus），特别是在证明Bahadur表示和高斯近似的余项时。 - Stein方法：通过引用Fang and Koike (2021) 和 Chang et al. (2024)，间接使用了Stein方法来建立高维依赖数据的高斯近似。 - 最近相关矩阵投影：用于处理估计协方差矩阵不正定的问题，保证模拟的可行性。 - 高斯比较不等式：用于连接基于真实和估计协方差矩阵的高斯向量分布。

真实例子与应用

  • 数据/场景：尼泊尔随机储蓄账户实验（Prina, 2015; Comola and Prina, 2021）。数据包含915个家庭及其金融支持网络。处理是随机提供免费储蓄账户。
  • 方法应用：作者估计了一个线性分位数回归模型（式5.1），其中结果变量是（对数化的）货币资产、总资产和教育支出。关键解释变量是自身处理状态 D_i 和被处理邻居比例 M_i。他们构造了 β_D(τ)（直接效应）和 β_M(τ)（溢出效应）的90%点状置信区间和均匀置信带。
  • 结果：
    • 对于货币资产，β_D(τ) 的估计值在低分位数和中分位数上显著为正（UCB整体高于0），表明储蓄账户对资产较少家庭的直接增益更大。
    • 对于所有三个结果变量，β_M(τ) 的UCB在整个分位数范围内都包含0，表明没有发现统计上显著的溢出效应。
  • 例子想说明什么：这个例子旨在展示方法在实际应用中的价值。它说明了平均效应分析可能掩盖的异质性（直接效应在分布低端更强），同时也展示了UCB相比点状置信区间能提供更可靠的（更保守的）推断，避免了对溢出效应的错误发现。宽泛的UCB也反映了估计溢出效应时面临的高不确定性（由于网络稀疏）。

🔎 结论是否比证明窄

  • 是。定理4.1的证明依赖于假设3.3（局部依赖，距离>2独立）。作者在结论部分（Section 6）承认，如果结果依赖超出距离2，UCB可能无效。虽然他们声称可以放松到任意固定半径，但并未给出严格证明。因此，论文的核心结论（UCB的渐近有效性）在技术上被证明仅适用于局部依赖的设定。
  • 此外，定理4.1的证明依赖于假设3.1（有界度）。这是一个很强的假设，在真实网络中（如本例中的平均度0.25）可能成立，但对于度分布有厚尾的网络（如社交网络中的“大V”），该假设可能被违反。论文没有讨论当度无界时，UCB是否仍然有效。
  • 论文的模拟部分验证了在特定数据生成过程（DGP）下的表现，但该DGP满足所有假设。对于假设被违反的DGP（如长程依赖、无界度），其表现未知。因此，论文的实证结论（“UCB表现良好”）的适用范围严格受限于其理论假设。

四、开放问题

  1. 放松局部依赖假设：本文的推断依赖于“距离>2的个体独立”的假设（Assumption 3.3）。作者提到可以放松到任意固定半径，但未给出证明。一个明确的开放问题是：能否将推断方法扩展到允许ψ-依赖（Kojevnikov et al., 2021）或更一般的、随距离衰减的依赖结构？ 这需要发展新的高斯近似定理或bootstrap方法。（扎根于Section 6: “Assumption 3.3 can be relaxed to allow for finite-range network dependence with any fixed radius... Another extension is to replace finite-range dependence with ψ-dependence...”）
  2. 暴露映射误设定下的稳健推断：本文的因果解释依赖于暴露映射的正确设定（Assumption 2.1）。当映射误设定时，估计量比较的只是条件分位数，不再具有结构性解释。一个重要的开放问题是：如何定义和推断对暴露映射误设定更稳健的因果参数？ 例如，能否定义某种形式的“局部”或“加权”分位数效应？（扎根于Section 6: “misspecification of the exposure mapping is a more fundamental issue, as it invalidates the structural interpretation of the estimand... Defining estimands that capture distributional heterogeneity robust to misspecified exposure mappings... is left for future research.”）
  3. 更一般的网络结构：本文假设网络是固定的、无向的。一个自然的扩展是：如何处理有向网络、动态网络（处理可能改变网络结构）或多层网络？ 特别是，当处理影响网络结构时（如Comola and Prina, 2021），本文的识别假设（处理不影响网络）不再成立。（扎根于Section 2.1: “We implicitly rule out treatment-induced changes in the network.”）
  4. 计算效率与高维扩展：本文的UCB构造需要计算和模拟一个 p_n × p_n 的协方差矩阵（p_n 是网格点数）。当 p_n 很大时，计算成本可能很高。一个开放问题是：能否开发出更计算高效的方法，例如基于乘子bootstrap或随机化方法的近似？ 此外，当协变量维度很高时，如何将本文的方法与高维分位数回归（如Belloni et al., 2019a）结合，也是一个值得探索的方向。

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