Large Sample Properties of Higher Order Markov Models¶

作者: Tuhin Majumder, Donald E. K. Martin, Soumendra N. Lahiri
主题: 数理统计 / 假设检验
相关性: 7/10
链接: https://arxiv.org/abs/2608.20321

一、领域脉络与小综述¶

这个方向是什么¶

这个子方向研究的是高阶马尔可夫链（order m 随序列长度 n 增长）的渐近理论，特别是其加性泛函的中心极限定理（CLT）。核心统计问题是：当模型的有效维度（即状态空间大小 d^m_n）随样本量 n 增长时，传统的固定阶 CLT 是否仍然成立？若成立，需要什么样的条件（如 m_n 的增长速率、稀疏性结构）？这为高维时间序列的推断（如假设检验、置信区间）提供了理论基础。

发展脉络（history）¶

奠基工作：固定阶马尔可夫链的渐近理论 - Raftery [1985]：提出了一个线性混合模型（Mixture Transition Distribution, MTD），将高阶链的参数从 d^m(d-1) 压缩到 m(d-1) + d(d-1)。这是早期降维尝试，但模型结构是参数化的，且渐近理论仍基于固定阶。 - Rissanen [1983]：提出了变长马尔可夫链（VLMC） 的概念，通过上下文树（context tree）让记忆长度随过去状态自适应变化。这是第一个真正意义上的稀疏高阶模型，但当时缺乏严格的渐近理论。

主要进展：VLMC 与 SMM 的推断与渐近 - Bühlmann and Wyner [1999] 和 Bühlmann [2000]：为 VLMC 建立了模型选择方法和渐近性质，包括基于 bootstrap 的 CLT。这是第一个将 VLMC 的渐近理论系统化的成果，但他们的 CLT 仍假设阶数固定（或至少不随 n 增长）。 - García et al. [2011] 和 Jääskinen et al. [2014]：提出了稀疏马尔可夫模型（SMM），将状态空间 Σ^m 划分为等价类，同一类内的历史共享相同的转移概率。这比 VLMC 更一般（VLMC 是 SMM 的一种特例，其划分由上下文树决定）。Jääskinen et al. [2014] 给出了贝叶斯框架下的推断。 - Xiong et al. [2016]：为 SMM 开发了递归划分算法，用于快速近似后验模式。 - Kontoyiannis et al. [2020] 和 Papageorgiou and Kontoyiannis [2022]：提出了贝叶斯上下文树（BCT） 框架，给出了精确的后验推断和预测分布，并证明了后验一致性。这是当前 VLMC 推断的最先进方法之一。 - Majumder et al. [2026]（本文作者之一）：开发了基于凸聚类的 SMM 拟合方法，并证明了模型选择一致性。

当前 frontier：阶数随样本量增长的渐近理论 - 本文（Majumder, Martin, Lahiri [2026]）是第一个系统研究 m_n → ∞ 时高阶马尔可夫链 CLT 的工作。它填补了上述所有工作的空白：无论是 VLMC、SMM 还是 BCT，其渐近理论都假设阶数固定或增长极慢（如 m_n = O(log n)），而本文允许 m_n 以更快的速率增长（如 m_n log m_n / n → 0）。

子线索聚类¶

参数化降维模型（Raftery [1985]）：通过线性混合结构减少参数，但模型形式受限，渐近理论仍基于固定阶。
变长马尔可夫链（VLMC）（Rissanen [1983], Bühlmann and Wyner [1999], Bühlmann [2000], Kontoyiannis et al. [2020], Papageorgiou and Kontoyiannis [2022]）：通过上下文树实现自适应记忆长度。渐近理论（CLT、后验一致性）在固定阶下已成熟，但 m_n 增长时未研究。
稀疏马尔可夫模型（SMM）（García et al. [2011], Jääskinen et al. [2014], Xiong et al. [2016], Bennett et al. [2023], Majumder et al. [2026]）：通过状态空间划分实现更一般的稀疏性。模型选择一致性已建立，但渐近分布理论缺失。
本文：m_n 增长时的 CLT（Majumder, Martin, Lahiri [2026]）：独立于上述所有工作，直接处理三角阵列设定，为 VLMC 和 SMM 的推断提供渐近基础。

这个方向在追问的核心问题¶

CLT 成立的最小条件是什么？ 即 m_n 可以多快增长？本文给出一个充分条件：存在一个状态 α_n 使得 nπ_n(α_n) → ∞，且方差条件 (iv) 成立。在二元 VLMC 例子中，这退化为 m_n log m_n / n → 0。
这个条件是否紧？ 即是否存在反例表明 m_n log m_n / n → 0 是必要的？本文未讨论。
对于更一般的 SMM，条件如何简化？ 本文仅给出了 VLMC 的例子，SMM 的类似结果留作未来工作。
加性泛函的 CLT 能否推广到更一般的统计量（如 M-估计量、U-统计量）？ 本文仅处理了加性泛函。

⚠️ 作者的 framing¶

作者将缺口 frame 为：“当马尔可夫链阶数随序列长度增长时，CLT 尚未被研究”。他们通过嵌入一阶链和返回时间分解，将问题转化为 i.i.d. 块和 CLT，从而在自然遍历性和稀疏性条件下建立了结果。

被淡化或回避的竞争路线： - Bühlmann and Wyner [1999] 的 bootstrap CLT：作者在 intro 中仅提到“Bühlmann and Wyner [1999] derived large-sample properties of VLMC estimators, including bootstrap-based CLTs”，但未说明他们的 CLT 是否允许 m_n 增长。实际上，Bühlmann and Wyner 的 CLT 假设阶数固定，因此本文的结果是真正的推广。 - BCT 的后验一致性：Kontoyiannis et al. [2020] 和 Papageorgiou and Kontoyiannis [2022] 的后验一致性结果也假设模型空间固定或增长极慢，本文未与之对比。

什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里？ - 关于高阶马尔可夫链 minimax 估计率的工作：例如，对于 VLMC 或 SMM，是否存在 minimax 下界表明 m_n 不能超过某个速率？这类工作可能来自信息论或高维统计领域，但本文未引用。这可能是研究者值得去查的方向。 - 关于“有效维度增长”的渐近理论：例如，高维线性回归中 p_n → ∞ 时的 CLT（如 Portnoy [1985] 或 Mammen [1993] 的工作）。本文的设定（m_n → ∞）与高维统计中 p_n → ∞ 有平行性，但作者未建立这种联系。

张力¶

未见明显对立引用。所有被引工作都支持“固定阶渐近理论已成熟，增长阶渐近理论缺失”这一共识。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题¶

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚¶

符号： - Σ：有限字母表，大小 |Σ| = d。例如，二元序列 Σ = {0, 1}。 - Φ_n = {X_t^(n) : t = 0, 1, ..., n}：第 n 个三角阵列中的高阶马尔可夫链，阶数为 m_n。X_t^(n) ∈ Σ。 - m_n：第 n 个阵列的阶数，随 n 增长（m_n → ∞），且 m_n / n → 0。 - Y_t^(n) = (X_{t+m_n-1}^(n), ..., X_t^(n))：将高阶链嵌入为一阶链后的状态，t = 0, 1, ..., n - m_n + 1。Y_t^(n) ∈ S_n = Σ^{m_n}。 - Φ'_n = {Y_t^(n)}：嵌入后的一阶马尔可夫链，状态空间大小为 d^{m_n}。 - π_n：Φ'n 的平稳分布，是长度为 d^{m_n} 的概率向量。 - α_n：一个精心选择的序列状态，α_n ∈ Σ^{m_n}，满足 nπ_n(α_n) → ∞（即该状态的平稳概率足够大，使得期望返回次数发散）。 - τ_{α_n}：从状态 α_n 出发，首次返回 α_n 的时间（即返回时间）。 - ℓ_{n, α_n}：在 n - m_n + 1 个时间步内，Φ'_n 返回 α_n 的次数（减去首次命中）。即 ℓ{n, α_n} = Σ_{j=0}^{n-m_n+1} I(Y_j^(n) = α_n) - 1。 - g_n : Σ^{m_n} → ℝ：定义在嵌入状态上的函数。我们关心其加性泛函 Σ_{j=0}^{n-m_n+1} g_n(Y_j^(n))。 - \bar{g}n(x) = g_n(x) - E{π_n}[g_n]：中心化后的函数。 - s_j^(n)(f)：第 j 个“块和”，即从第 j 次返回 α_n 到第 j+1 次返回之间，函数 f 的和。s_j^(n)(f) = Σ_{t = σ_{α_n}(j)+1}^{σ_{α_n}(j+1)} f(Y_t^(n))。

模型： - 数据生成机制：对于每个 n，Φ_n 是一个阶数为 m_n 的马尔可夫链，其转移概率由某个未知的（但满足遍历性条件的）规则决定。嵌入后的一阶链 Φ'_n 是不可约且非周期的（假设 (i)）。 - 要估的对象：我们并不直接估计转移概率，而是研究加性泛函 Σ g_n(Y_t^(n)) 的渐近分布。这类似于“给定一个函数，其样本均值的 CLT”。

可观测数据： - 可观测：序列 X_0^(n), X_1^(n), ..., X_n^(n)（长度为 n+1 的离散时间序列）。由此可构造 Y_t^(n)（长度为 n - m_n + 2 的嵌入状态序列）。 - 不可观测 / 潜在：平稳分布 π_n、返回时间 τ_{α_n}、块和 s_j^(n)(g_n) 的分布。这些是理论分析的工具，不是直接可观测的。CLT 的归一化因子（如 √(E[τ_{α_n}] / E[s_0^(n)(\bar{g}_n)^2])）依赖于这些不可观测量，因此该 CLT 是非自归一化的（non-self-normalized），即它给出了一个渐近正态的统计量，但其方差需要估计才能用于实际推断。

第二步：讲最小内核¶

最简特例：考虑一个二元（d=2）VLMC，其上下文树只有 m_n + 1 个叶子，如 Example 3.1 所述。具体地，上下文为 {0, 10, 110, ..., 1^{m_n-1}0, 1^{m_n}}。转移概率为： - P(0 | 1^j 0) = 1 - p_j, P(1 | 1^j 0) = p_j, j = 0, 1, ..., m_n - 1 - P(0 | 1^{m_n}) = 1 - p_{m_n}, P(1 | 1^{m_n}) = p_{m_n}

在这个特例下，要证的命题退化成什么？ - 定理 2.1 的条件 (iii) 要求存在一个状态 α_n 使得 nπ_n(α_n) → ∞。作者选择 α_n = 1^{m_n-1}0（即“连续 m_n-1 个 1 后跟一个 0”这个历史）。 - 他们推导出 π_n(1^{m_n-1}0) 的显式下界：1/π_n(1^{m_n-1}0) = q(p, m_n)，其中 q(p, m_n) 是 p_j 的函数（见论文公式）。 - 进一步，若取 p_j = (j+1)/(j+2)，则 q(p, m_n) = O(m_n log m_n)。因此，nπ_n(1^{m_n-1}0) → ∞ 当且仅当 m_n log m_n / n → 0。

核心思路： 1. 嵌入：将 m_n 阶链嵌入到 Σ^{m_n} 上的一阶链。这本身是标准技巧，但代价是状态空间大小 d^{m_n} 爆炸。 2. 返回时间分解：利用强马尔可夫性，将整个序列的加性泛函分解为“首次到达 α_n 之前的片段” + “一系列 i.i.d. 的块和（每次返回 α_n 之间的和）” + “最后一次返回后的片段”。关键点是：块和 s_j^(n)(\bar{g}_n) 是 i.i.d. 的（由强马尔可夫性保证）。 3. 用 i.i.d. CLT 逼近：如果 ℓ_n（返回次数）很大，则块和的和近似于 i.i.d. 随机变量的和，从而 CLT 成立。但 ℓ_n 本身是随机的，需要证明 ℓ_n / (nπ_n(α_n)) → 1（依概率），即返回次数与期望返回次数之比收敛到 1。这由条件 (iv)（方差趋于 0）保证。 4. 处理边界项：首次到达前的片段和最后一次返回后的片段是“边界项”，需要证明它们相对于主项可忽略。这通过假设 (ii)（矩条件）和 ℓ_n → ∞ 来证明。

为什么这个特例能体现核心困难？ - 核心困难在于：当 m_n 增长时，状态空间 Σ^{m_n} 指数级膨胀，导致每个状态的平稳概率 π_n(α_n) 可能指数级小。条件 nπ_n(α_n) → ∞ 本质上要求 m_n 不能增长太快，否则即使 n 很大，期望返回次数也有限。在 VLMC 例子中，这个条件退化为 m_n log m_n / n → 0，给出了一个具体的、可验证的增长速率。 - 证明中的关键跳跃点在于：如何从 ℓ_n / (nπ_n(α_n)) → 1 推导出 ℓ_n → ∞ 且边界项可忽略。这需要精细的概率估计，特别是 Kolmogorov 不等式和切比雪夫不等式的组合使用。

三、这篇论文做了什么¶

三句话¶

研究了什么问题：当高阶马尔可夫链的阶数 m_n 随序列长度 n 增长时，其加性泛函的中心极限定理。
核心工具 / 方法：将高阶链嵌入 Σ^{m_n} 上的一阶链，利用返回时间分解将加性泛函分解为 i.i.d. 块和，再结合三角阵列的 CLT。
主要结论：在自然遍历性（不可约、非周期）和稀疏性（存在一个状态 α_n 使得 nπ_n(α_n) → ∞，且返回次数的方差趋于 0）条件下，归一化的加性泛函依分布收敛到标准正态分布。在二元 VLMC 特例中，给出了显式条件 m_n log m_n / n → 0。

关键设定与假设¶

完整设定（在第二节记号基础上补充）： - 三角阵列：对于每个 n，有一个独立的马尔可夫链 Φ_n，其阶数为 m_n。不同 n 的链之间没有依赖关系。 - 函数 g_n：定义在 Σ^{m_n} 上的实值函数，可以随 n 变化。这是为了允许函数本身依赖于状态空间的大小（例如，g_n 可能是某个统计量的组成部分）。 - 归一化因子：CLT 的归一化因子是 √(E_{α_n}[τ_{α_n}] / E_{α_n}[s_0^(n)(\bar{g}_n)^2])。注意，这个因子依赖于不可观测的返回时间分布和块和方差，因此该 CLT 是非自归一化的——它给出了一个渐近正态的统计量，但实际应用时需要估计这个归一化因子。

假设逐条说明： - (i) 不可约且非周期：保证平稳分布 π_n 存在且唯一，且链是遍历的。这是马尔可夫链 CLT 的标准条件。 - (ii) m_n → ∞ 且 m_n / n → 0：阶数增长，但比样本量慢。这是三角阵列设定的核心——如果 m_n 与 n 同阶，则每个状态几乎只出现一次，CLT 不可能成立。 - (iii) nπ_n(α_n) → ∞：存在一个状态 α_n，其平稳概率足够大，使得期望返回次数发散。这是稀疏性条件——它要求链的“质量”集中在少数状态上，而不是均匀分布在 d^{m_n} 个状态上。如果链是均匀的（π_n(α_n) = 1/d^{m_n}），则此条件要求 n / d^{m_n} → ∞，即 m_n = o(log n)。但通过利用稀疏结构（如 VLMC），可以允许更快的增长（如 m_n log m_n / n → 0）。 - (iv) Var_{π_n}[ℓ_n / (nπ_n(α_n))] → 0：返回次数的方差相对于其均值可忽略。这是技术性条件，用于保证 ℓ_n / (nπ_n(α_n)) → 1（依概率）。它等价于要求返回次数的波动足够小。 - 函数 g_n 的条件 (i) 和 (ii)：保证块和 s_0^(n)(\bar{g}_n) 的二阶矩存在，且其绝对值的二阶矩与二阶矩之比有界（即 Lyapunov 型条件）。这是应用 CLT 的标准矩条件。

相比已有文献放宽或强化了哪些： - 放宽：允许 m_n → ∞，而所有已有工作（Bühlmann and Wyner [1999], Kontoyiannis et al. [2020]）假设阶数固定。 - 强化：需要存在一个“好”的状态 α_n 满足 nπ_n(α_n) → ∞。对于均匀链，这要求 m_n = o(log n)，比 Bühlmann and Wyner [1999] 的固定阶设定更严格。但对于稀疏链（如 VLMC），这个条件可以放松。

主要结果¶

定理 2.1（核心定理）： - 陈述：在假设 (i)-(iv) 和函数 g_n 的条件 (i)-(ii) 下，

\[\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{j=0}^{n-m_n+1} \bar{g}_n(Y_j^{(n)}) \sqrt{\frac{E_{\alpha_n}[\tau_{\alpha_n}]}{E_{\alpha_n}\left[ \left( \sum_{j=1}^{\tau_{\alpha_n}} \bar{g}_n(Y_j^{(n)}) \right)^2 \right]}} \xrightarrow{d} N(0, 1).\]

- 直觉：加性泛函经过适当的归一化后，渐近正态。归一化因子由返回时间 τ_{α_n} 和块和 s_0^(n)(\bar{g}_n) 的方差决定。 - 必要条件：nπ_n(α_n) → ∞（期望返回次数发散）和 Var[ℓ_n / (nπ_n(α_n))] → 0（返回次数波动小）。 - 解决的技术难点：如何处理 ℓ_n 的随机性？证明通过 Kolmogorov 不等式将 ℓ_n 替换为 n^* = [(n-m_n+2)π_n(α_n)]，并证明误差可忽略。

推论 3.1.1（VLMC 特例）： - 陈述：对于 Example 3.1 中的二元 VLMC，若 p_j = (j+1)/(j+2)，则 nπ_n(1^{m_n-1}0) → ∞ 当且仅当 m_n log m_n / n → 0。 - 直觉：在这个 VLMC 中，平稳概率 π_n(1^{m_n-1}0) 的下界是 1 / O(m_n log m_n)，因此条件 (iii) 退化为 m_n log m_n / n → 0。 - 意义：给出了一个具体的、可验证的增长速率。例如，若 m_n = n^{0.4}，则 m_n log m_n / n → 0 成立；若 m_n = n^{0.6}，则不成立。

证明路线与技术技巧¶

整体路线（3-5 步逻辑主干）： 1. 嵌入与返回时间分解：将高阶链嵌入一阶链，并将加性泛函分解为“首次到达 α_n 前的片段” + “ℓ_n 个 i.i.d. 块和” + “最后一次返回后的片段”。即：

\[\sum_{j=0}^{n-m_n+1} \bar{g}_n(Y_j^{(n)}) = \underbrace{\sum_{t=0}^{\sigma_{\alpha_n}(0)} \bar{g}_n(Y_t^{(n)})}_{\text{边界项 1}} + \underbrace{\sum_{j=0}^{\ell_n-1} s_j^{(n)}(\bar{g}_n)}_{\text{主项}} + \underbrace{\sum_{t=\sigma_{\alpha_n}(\ell_n)+1}^{n-m_n+1} \bar{g}_n(Y_t^{(n)})}_{\text{边界项 2}}.\]

2. 证明边界项可忽略：利用假设 (ii)（矩条件）和 ℓ_n → ∞，证明两个边界项除以 √(n^ v_n) 依概率收敛到 0。这里 n^ = [(n-m_n+2)π_n(α_n)]，v_n^2 = E[s_0^(n)(\bar{g}_n)^2]。 3. 证明 ℓ_n / n^* → 1（依概率）：由假设 (iii) 和 (iv)，E[ℓ_n / n^] → 1 且 Var[ℓ_n / n^] → 0，因此 ℓ_n / n^ → 1（依概率）。 4. 用 i.i.d. CLT 逼近主项：主项是 ℓ_n 个 i.i.d. 随机变量 s_j^(n)(\bar{g}_n) 的和。由于 ℓ_n / n^ → 1，可以用 n^ 个 i.i.d. 随机变量的和来逼近，误差由 Kolmogorov 不等式控制（见公式 (3)）。 5. 应用三角阵列 CLT：n^ 个 i.i.d. 均值为 0、方差为 1 的随机变量的和，除以 √(n^*) 后依分布收敛到 N(0, 1)。结合步骤 2-4，得到最终结果。

关键跳跃点： - 最吃功夫的引理：证明边界项可忽略（公式 (2) 之前的推导）。这需要处理 ℓ_n 的随机性——边界项的大小依赖于 ℓ_n，而 ℓ_n 本身是随机的。作者通过将 ℓ_n 替换为 n^ 并证明误差可忽略来绕过这个困难。 - 难点卡在哪：如何控制 s_{\ell_n}^{(n)}(|\bar{g}_n|) / √(n^ v_n)？由于 ℓ_n 是随机的，s_{\ell_n}^{(n)}(|\bar{g}n|) 不是通常的 i.i.d. 和。作者通过将 ℓ_n 限制在区间 [n, \bar{n}] 内，并利用 Kolmogorov 不等式和切比雪夫不等式来证明其可忽略。 - 作者用什么办法绕过去：他们先证明 ℓ_n / n^ → 1，然后对 ℓ_n 进行“夹逼”：对于任意 ϵ > 0，存在 n_0 使得 P(n_ ≤ ℓ_n ≤ \bar{n}) ≥ 1-ϵ，其中 n_ = [(1-ϵ)n^], \bar{n} = [(1+ϵ)n^]。然后分别处理 ℓ_n 在区间内和区间外的情况。

技术技巧点名： - 强马尔可夫性：用于证明块和 s_j^(n)(\bar{g}_n) 是 i.i.d. 的。这是整个分解的基础。 - 返回时间分解：将非 i.i.d. 的马尔可夫链加性泛函转化为 i.i.d. 块和。这是马尔可夫链 CLT 的经典技巧（如“再生方法”）。 - Kolmogorov 不等式：用于控制用 n^ 个 i.i.d. 和逼近 ℓ_n 个 i.i.d. 和时的误差（公式 (3)）。 - 切比雪夫不等式 + 联合界：用于证明边界项可忽略（公式 (2) 之前的推导）。 - 三角阵列 CLT：用于 n^ 个 i.i.d. 随机变量的和。这是标准结果，但需要验证 Lyapunov 条件（由假设 (ii) 保证）。

真实例子与应用¶

本文为纯理论 / 无实证例子。论文没有模拟实验或真实数据应用。Example 3.1 是一个理论例子，用于说明条件 (iii) 在二元 VLMC 中如何简化。它展示了如何推导 π_n(1^{m_n-1}0) 的显式下界，并给出了 m_n log m_n / n → 0 这个具体条件。

🔎 结论是否比证明窄¶

定理 2.1 的结论是“非自归一化的”：归一化因子 √(E[τ_{α_n}] / E[s_0^(n)(\bar{g}_n)^2]) 依赖于不可观测的分布。这意味着该定理本身不能直接用于构造置信区间或假设检验——需要额外的估计步骤来估计这个归一化因子。作者在结论部分没有讨论如何估计这个因子，这是一个明显的“结论比证明窄”的地方。
条件 (iv) 的验证：Var_{π_n}[ℓ_n / (nπ_n(α_n))] → 0 是一个技术性条件，在 VLMC 例子中并未验证。作者仅验证了条件 (iii)（nπ_n(α_n) → ∞），但未验证 (iv)。因此，对于 VLMC 例子，定理 2.1 的完整条件是否满足仍是一个开放问题。
函数 g_n 的条件：条件 (i) 和 (ii) 要求块和的二阶矩存在且有界。对于常见的函数（如指示函数、线性函数），这些条件可能成立，但作者没有给出具体的例子或验证。

四、开放问题（点到为止，扎根具体语句）¶

SMM 的类似条件：作者在结论中说“Similar reductions may be possible for Sparse Markov Models (SMMs) by exploiting their underlying partition structure. Investigating such conditions for SMMs and other sparse higher-order Markov models is an interesting direction for future work.” 具体要证什么：对于一般的 SMM，能否找到类似于 VLMC 例子中的显式下界，从而将条件 (iii) 简化为一个关于 m_n 和划分结构的具体增长条件？
条件 (iv) 的验证与紧性：在 VLMC 例子中，作者仅验证了条件 (iii)，但未验证条件 (iv)（Var[ℓ_n / (nπ_n(α_n))] → 0）。一个开放问题是：对于 Example 3.1 中的 VLMC，条件 (iv) 是否自动满足？或者需要额外的假设？更一般地，条件 (iv) 是否可以被更简单的条件（如几何遍历性）所蕴含？
自归一化 CLT：定理 2.1 的归一化因子依赖于不可观测的返回时间分布和块和方差。一个实际可用的 CLT 需要自归一化形式，即用可观测的样本方差来归一化。例如，能否证明
\[\frac{\sum_{j=0}^{n-m_n+1} \bar{g}_n(Y_j^{(n)})}{\sqrt{\sum_{j=0}^{n-m_n+1} (\bar{g}_n(Y_j^{(n)}) - \bar{g}_n)^2}} \xrightarrow{d} N(0, 1)?\]
这需要额外的理论工作，且可能对 m_n 的增长速率有更严格的限制。
m_n 增长速率的紧性：推论 3.1.1 给出了一个充分条件 m_n log m_n / n → 0。是否存在反例表明这个条件是必要的？即，是否存在一个 VLMC（或更一般的 SMM），使得 m_n log m_n / n → c > 0 时 CLT 不成立？这需要构造一个具体的反例，并证明其加性泛函的极限分布不是正态的（例如，是 Poisson 或退化分布）。

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