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Fast high-dimensional mean testing via logistic regression

作者: Sayan Das, Debraj Das, Subhajit Dutta
主题: 数理统计 / 假设检验
相关性: 8/10
链接: https://arxiv.org/abs/2608.20286

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

这个子方向解决的根本问题是：在数据维度p远大于样本量n的高维场景下，如何检验两个或多个总体的均值向量是否相等。经典方法（如Hotelling's T²）在p > n时因样本协方差矩阵奇异而失效。当前主流方法分为几类：基于标准化样本均值距离的检验（如Chen & Qin 2010）、基于投影的检验（如Huang 2015）、基于协方差/精度矩阵估计的检验（如Cai et al. 2014, Yang et al. 2024），以及基于置换/自助法的检验（如Xue & Yao 2020, Kong et al. 2022）。该领域已相当成熟，但计算可扩展性与对异方差/非高斯分布的鲁棒性仍是瓶颈。

发展脉络

  • 奠基工作：Bai & Saranadasa (1996) 将Hotelling's T²推广到高维，提出了一个基于样本均值差的标准化统计量，开启了高维均值检验的现代研究。
  • 主要进展：
  • Chen & Qin (2010) 提出了一个不直接估计协方差矩阵的检验（CQ检验），通过U-统计量技巧避免了高维协方差估计，允许两组协方差不等（通过共同潜因子或线性变换表示），但保留了共同的标准化潜结构。
  • Cai et al. (2014) 提出了一个基于精度矩阵估计的检验，在稀疏精度矩阵假设下达到了minimax最优分离速率，但计算代价高（需估计p×p精度矩阵）。
  • Huang (2015) 提出了最优投影检验（OP检验），通过寻找最大化均值差异的投影方向来提升功效，但其非高斯理论要求共同协方差矩阵。
  • Xue & Yao (2020) 提出了一个基于自助法sup-norm统计量的检验（XY检验），在坐标矩条件和指数尾条件下工作，不要求共同分布假设。
  • Kong et al. (2022) 提出了基于置换的检验（ES检验），在指数尾条件下一致，但其Hotelling-T²版本额外要求全协方差矩阵的特征值一致有界。
  • 当前frontier：Feng et al. (2024) 利用和与最大值的渐近独立性构造检验；Yang et al. (2024) 在线性结构假设下基于正则化精度矩阵估计提出相关感知检验。
  • 本文位置：本文提出一个全新的思路——将均值检验等价转化为逻辑回归参数为零的检验。这个转化使得可以利用逻辑Lasso进行变量筛选，然后在降维后的空间做推断，完全避免估计或求逆高维协方差矩阵。作者声称该方法在计算效率、对异方差/非高斯分布的鲁棒性、以及多总体推广方面具有优势。

子线索聚类

这些被引文献大致落在三条子线索上：

  1. 基于标准化均值距离的检验（CQ, Bai & Saranadasa）：直接比较样本均值，通过U-统计量或去交叉项技巧避免协方差估计。优点是计算快，缺点是对变量间依赖利用不充分，在强相关下功效可能下降。
  2. 基于协方差/精度矩阵估计的检验（Cai et al. 2014, Yang et al. 2024）：通过估计协方差或精度矩阵来利用变量间依赖。优点是理论上可达到更优的分离速率，缺点是计算代价高（尤其当p很大时），且对稀疏性假设敏感。
  3. 基于投影/置换/自助法的检验（Huang 2015, Xue & Yao 2020, Kong et al. 2022）：通过寻找最优投影方向或利用重抽样来构造检验。优点是灵活性高，缺点是计算代价高（尤其自助法），且对分布假设敏感。

这个方向在追问的核心问题

  1. 如何在不估计高维协方差矩阵的前提下，有效利用变量间依赖信息？ 当前主流方法要么忽略依赖（CQ），要么需要估计协方差/精度矩阵（Cai et al. 2014），要么依赖特定结构假设（Yang et al. 2024）。
  2. 如何构造对异方差和非高斯分布鲁棒的检验？ 许多现有方法要求共同协方差矩阵（Huang 2015）或指数尾条件（Xue & Yao 2020, Kong et al. 2022），在异方差或重尾分布下表现不佳。
  3. 如何实现计算可扩展性？ 当p达到数万时，许多现有方法（如基于精度矩阵估计或大量自助重抽样的方法）的计算代价变得不可接受。
  4. 如何自然推广到多总体（K≥2）情形？ 大多数方法专注于两样本，多总体推广往往需要重新设计统计量或依赖更严格的假设。

⚠️ 作者的framing

作者将缺口frame成："现有方法要么计算代价高（需估计协方差/精度矩阵），要么对分布假设敏感（要求共同协方差或指数尾），而我们的方法通过逻辑回归转化，同时解决了计算效率和鲁棒性问题。" 作者淡化了以下竞争路线： - debiased Lasso方法（Ma et al. 2021）：作者在2.2节末尾提到"基于debiased Lasso的检验计算会很慢"，但未提供具体比较。这值得研究者去查：debiased Lasso在逻辑回归中的计算代价是否真的比本文的两步法高很多？ - 基于U-统计量的方法（Chen & Qin 2010）：作者在模拟中将其作为baseline，但未讨论其理论优势（如不要求稀疏性）。

什么明显该被引/该存在、却没出现在intro里？ - Baraud (2002) 关于非渐近minimax检验速率的奠基性工作——本文的minimax分析（Theorem 2.3）直接依赖其框架（Lemma 9），但intro未引用。 - Fan & Fan (2008) 关于高维分类中稀疏判别集与信号集关系的论文——本文在2.3节讨论稀疏判别集时引用了它，但intro未提及。 - Ma et al. (2021) 关于高维逻辑回归全局假设检验的论文——本文在2.2节末尾提到它，但intro未将其作为主要竞争方法讨论。

张力

未见明显对立引用。各方法在不同假设下各有优劣，但不存在根本性矛盾。一个值得注意的张力是：CQ检验允许协方差不等（通过共同潜因子），而Huang (2015)的非高斯理论要求共同协方差——这暗示了在异方差下，不同方法可能给出相反结论。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：符号、模型、可观测数据交代清楚

符号： - \(X_1, \ldots, X_{n_1} \in \mathbb{R}^p\)：来自总体1的样本，iid，分布\(F_1\)，均值\(\mu_1\)。 - \(Y_1, \ldots, Y_{n_2} \in \mathbb{R}^p\)：来自总体2的样本，iid，分布\(F_2\)，均值\(\mu_2\)。 - \(n = n_1 + n_2\)：总样本量。 - \(p\)：数据维度（可远大于n）。 - \(\pi_1, \pi_2\)：总体1和2的先验概率（\(\pi_1 + \pi_2 = 1\)），用\(n_1/n, n_2/n\)估计。 - \(z_i\)：样本i的总体指示变量，\(z_i = 0\)若来自总体1，\(z_i = 1\)若来自总体2。 - \(W_i\)：合并后的协变量向量，\(W_i = X_i\)（若\(z_i=0\)），\(W_i = Y_{i-n_1}\)（若\(z_i=1\)）。 - \(\dot{W}_i = (1, W_i^\top)^\top\)：带截距项的协变量向量。 - \(\beta = (\beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_p)^\top \in \mathbb{R}^{p+1}\)：逻辑回归参数向量。 - \(\beta^{(1)} = (\beta_1, \ldots, \beta_p)^\top\)：逻辑回归的斜率参数。 - \(A_n = \{0 \leq j \leq p : \beta_j \neq 0\}\)：真实非零回归系数的集合（活跃集）。 - \(\tilde{A}_n\)：基于逻辑Lasso估计的活跃集。 - \(\hat{\beta}_n\)：两步估计量（post-Lasso逻辑回归估计量）。 - \(\lambda_n\)：Lasso惩罚参数。 - \(\kappa\)：sub-Weibull尾参数（\(\kappa=2\)对应sub-Gaussian，\(\kappa=1\)对应sub-Exponential）。

模型： - 数据生成机制：\(X_i \sim F_1\)，\(Y_j \sim F_2\)，\(F_1\)和\(F_2\)可以不同（除均值外）。 - 逻辑回归模型：\(\log \frac{P(z=1|W)}{1-P(z=1|W)} = \log(\pi_2/\pi_1) + \beta_0 + \beta^{(1)\top}W\)。 - 关键：\(\beta\)被定义为总体逻辑评分方程的解（即伪真最小化器），因此条件类概率不必服从正确的线性逻辑模型。这使等价性（Proposition 1）在一般分布下成立。

可观测数据： - 可观测：\(\{(z_i, W_i)\}_{i=1}^n\)，即每个样本的总体标签和协变量向量。 - 想要但观测不到：\(\mu_1 - \mu_2\)（均值差），以及\(\beta\)（逻辑回归参数）。 - 核心识别假设：\(\mu_1 = \mu_2 \iff \beta = 0\)（Proposition 1），将不可直接检验的均值相等问题转化为可检验的逻辑参数为零问题。

第二步：讲最小内核

最简特例：对称分布、等先验概率（\(\pi_1 = \pi_2 = 1/2\)）、绝对连续分布。

在这个特例下，Proposition 1的证明就是整篇论文的最小内核。它展示了核心思路：均值相等与逻辑参数为零的等价性。

证明（最简特例）：

  1. （\(\beta=0 \Rightarrow \mu_1 = \mu_2\)）：若\(\beta=0\)，则逻辑评分方程为：

    \[0 = E[(z - 1/2)W] = \frac{1}{4}(\mu_2 - \mu_1)\]
    因此\(\mu_1 = \mu_2\)。

  2. （\(\mu_1 = \mu_2 \Rightarrow \beta=0\)）：假设\(\mu_1 = \mu_2\)。逻辑评分方程为：

    \[E\left[ \left( -\frac{\exp(\beta_0 + X_1^\top \beta^{(1)})}{1 + \exp(\beta_0 + X_1^\top \beta^{(1)})} \right) \begin{pmatrix} 1 \\ X_1 \end{pmatrix} + \left( \frac{1}{1 + \exp(\beta_0 + Y_1^\top \beta^{(1)})} \right) \begin{pmatrix} 1 \\ Y_1 \end{pmatrix} \right] = 0\]
    显然\(\beta=0\)是一个解。需要证明它是唯一解。

假设\(\beta^{(1)} \neq 0\)。由于分布对称且绝对连续，\((X_1 - \mu_1)^\top \beta^{(1)}\)和\((Y_1 - \mu_1)^\top \beta^{(1)}\)（因为\(\mu_1 = \mu_2\)）的分布关于0对称。令\(f_1, f_2\)为它们的密度，\(f_{1,2} = (f_1 + f_2)/2\)。

从评分方程可推导出（经过变量变换）：

\[\int_{-\infty}^\infty \frac{1 - \exp(y)}{1 + \exp(y)} f_{1,2}(y - \beta_0 - \beta^{(1)\top}\mu_1) dy = 0\]
由于\(\frac{1 - \exp(\cdot)}{1 + \exp(\cdot)}\)是奇函数，且\(f_{1,2}\)关于0对称，可得\(\beta_0 + \beta^{(1)\top}\mu_1 = 0\)。

进一步推导可得：

\[\int_{-\infty}^\infty y \frac{1 - \exp(y)}{1 + \exp(y)} f_{1,2}(y) dy = 0\]
但函数\(z \frac{1 - \exp(z)}{1 + \exp(z)}\)是非正的偶函数，而\(f_{1,2}\)是密度函数，因此该积分严格为负（除非\(f_{1,2}\)退化，但分布非退化）。矛盾。因此\(\beta^{(1)} = 0\)，进而\(\beta_0 = 0\)。

这个最小内核说明了什么： - 核心数学困难：证明均值相等蕴含逻辑参数为零，需要利用分布的对称性和评分方程的结构，通过奇偶性论证排除非零解。 - 关键想法：将均值检验转化为逻辑回归参数检验，利用了逻辑回归的评分方程与均值差的代数关系。 - 一般情形（非对称、不等先验）的证明在附录中，思路类似但更复杂。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究问题：提出一类计算高效的高维均值向量相等性检验方法，适用于两样本和多样本（K≥2）情形。
  2. 核心工具/方法：将均值相等问题等价转化为逻辑回归参数为零的检验（Proposition 1 & 2），然后使用逻辑Lasso筛选重要变量，再在降维后的变量集上做无惩罚逻辑回归推断（两步法：D3），并提出了基于标签置换的自适应惩罚参数选择方案（D3op）。
  3. 主要结论：在sub-Weibull尾条件和稀疏判别集假设下，检验具有渐近正确大小（Theorem 2.1 & 3.1）和一致性（Theorem 2.2 & 3.1）；在指定的二元高斯子模型下，检验达到了minimax可分离速率\(\sqrt{\log p / n}\)（Theorem 2.3）。

关键设定与假设

在第二节最小记号的基础上，补全完整设定：

  • 数据生成：\(X_1, \ldots, X_{n_1} \sim F_1\)，\(Y_1, \ldots, Y_{n_2} \sim F_2\)，iid within each population。\(F_1\)和\(F_2\)可以不同（除均值外）。
  • 尾条件：分布为sub-Weibull，即\(\max_{1 \leq i \leq n} \max_{1 \leq j \leq p} \|W_{ij}\|_{\psi_\kappa} < C\)，其中\(\kappa \in (0, 2]\)。这包含sub-Gaussian (\(\kappa=2\))和sub-Exponential (\(\kappa=1\))作为特例，且允许更重的尾（\(\kappa < 1\)）。
  • 稀疏性假设：逻辑回归参数\(\beta\)是稀疏的，即活跃集大小\(p_0 = \|\beta\|_0 - 1\)远小于p。注意：稀疏性施加在判别参数\(\beta\)上，而非直接施加在均值差\(\mu_1 - \mu_2\)上。因此，即使均值差是稠密的，只要判别集稀疏，方法仍有效。
  • 强不可表示条件（A.1/C.1）：\(\max_{j \notin A_n} | (E L_{21,n})^\top_{j\cdot} (E L_{11,n})^{-1} \text{sgn}(\beta^{(1)}) | \leq 1 - \tau\)。这是Lasso变量选择一致性的标准条件（Zhao & Yu 2006, Wainwright 2009），几乎必要。
  • 设计矩阵条件（A.2/C.2）：\((E L_{11,n})^{-1}\)的\(\ell_\infty\)范数以\(n^{a_1}\)增长（允许缓慢发散），且其对角元有正下界。这保证MLE在活跃集上存在且非退化。
  • 样本比例条件（A.3/C.3）：\(|n_k - n\pi_k| = o(n^{1/2 - a_1})\)，要求样本比例与先验概率的偏差足够小。
  • 惩罚参数条件（A.4/C.4）：\(\lambda_n \sqrt{n} \geq \delta_1^{-1} \max\{\sqrt{\log(np)}, p_0 n^{a_1} \sqrt{\log(np_0)}\}\)，且\(\frac{\lambda_n}{n} n^{3a_1} p_0^2 = o(1)\)，\(\log p \leq \delta_1 n^{\kappa/3} (\log n)^{-1}\)。这允许p随n指数增长（当\(\kappa=2\)时，\(\log p = o(n^{2/3})\)）。

相比已有文献的放宽/强化： - 放宽：不要求共同协方差矩阵（对比Huang 2015, Cai & Xia 2014），不要求指数尾条件（对比Xue & Yao 2020, Kong et al. 2022），不要求全协方差矩阵特征值一致有界（对比Kong et al. 2022的Hotelling-T²版本）。 - 强化：需要强不可表示条件（Lasso变量选择一致性的标准条件），而CQ、XY等方法不需要。

主要结果

Theorem 2.1（渐近正确大小）：在sub-Weibull尾条件和适当的惩罚参数选择下，对于任意\(\alpha \in (0,1)\)，有\(E_{H_0}[\psi^{(1)}_{n,\alpha}] \to \alpha\)。证明思路：在\(H_0\)下，逻辑Lasso以概率趋于1选择空集（\(\tilde{A}_n = \emptyset\)），因此检验统计量退化为\(b_1(p,n)Z_1\)，其最大值分布收敛到标准极值分布。

Theorem 2.2（一致性）：在正则条件(A.1)-(A.4)和beta-min条件（\(\min_{j \in A_n} |\beta_j| \geq C_2 \frac{\lambda_n}{n} n^{a_1}\)）下，有\(E_{H_1}[\psi^{(1)}_{n,\alpha}] \to 1\)。当\(\lambda_n \sim \sqrt{n \log p}\)且\(a_1=0\)时，beta-min条件退化为\(\min |\beta_j| \geq C_2 \sqrt{\log p / n}\)。

Theorem 2.3（minimax最优性）：在二元高斯子模型下，对于任意水平\(\alpha\)检验，minimax分离距离\(\rho^* \geq c \sqrt{\log p / n}\)。结合Theorem 2.2，本文检验达到了该下界，因此是minimax速率最优的。

Theorem 3.1（多样本推广）：将两样本结果推广到K≥2总体，在类似正则条件下，检验具有渐近正确大小和一致性。

证明路线与技术技巧

整体路线（以两样本为例）：

  1. Step 1: 等价性（Proposition 1）：证明\(\mu_1 = \mu_2 \iff \beta = 0\)，将均值检验转化为逻辑参数检验。
  2. Step 2: 变量选择一致性（VSC）（Lemma 3）：证明在正则条件下，逻辑Lasso以概率趋于1正确识别活跃集（\(\tilde{A}_n = A_n\)）。证明使用KKT条件和Brouwer不动点定理。
  3. Step 3: 后Lasso推断（Lemma 4-5）：在VSC下，后Lasso逻辑回归估计量在活跃集上是\(\sqrt{n}\)-一致的，且其分量渐近正态。
  4. Step 4: 检验构造：定义检验统计量\(T_n^{(1)} = \sqrt{n} \hat{\beta}_n + b_1(p,n) Z_1\)，其中\(Z_1\)是标准高斯随机向量，\(b_1(p,n) \to 0\)是缩放因子。在\(H_0\)下，\(\hat{\beta}_n = 0\)以概率趋于1，因此\(T_n^{(1)}\)退化为\(b_1(p,n) Z_1\)，其最大值分布用于确定临界值。
  5. Step 5: 大小控制（Theorem 2.1）：利用VSC证明检验水平收敛到名义水平。
  6. Step 6: 功效分析（Theorem 2.2）：利用VSC和渐近正态性，证明当活跃系数足够大时，检验功效趋于1。
  7. Step 7: Minimax下界（Theorem 2.3）：使用Le Cam's lemma和\(\chi^2\)散度，构造先验分布证明下界。

关键跳跃点： - 等价性证明（Proposition 1）：最吃功夫的部分是证明\(\mu_1 = \mu_2 \Rightarrow \beta = 0\)。作者利用分布的对称性和评分方程的奇偶性论证，通过反证法排除非零解。这个证明在一般情形（非对称、不等先验）下更复杂，需要用到多类逻辑回归的类似论证（Proposition 2）。 - VSC证明（Lemma 3）：关键跳跃点是利用Brouwer不动点定理证明KKT方程的解存在且满足\(\|\tilde{u}_n^{(1)}\|_\infty \leq C \frac{\lambda_n}{\sqrt{n}} n^{a_1}\)。这需要精细地控制多个随机项（\(\Lambda_n^{(1)}, \zeta_n^{(1)}\)等）的\(\ell_\infty\)范数。 - Minimax下界（Theorem 2.3）：关键跳跃点是将\(\beta\)的稀疏性转化为\(\mu\)的稀疏性（利用高斯分布下\(\beta = \Sigma^{-1}(\mu_2 - \mu_1)\)的关系），然后利用Cai et al. (2014)的论证框架。

技术技巧点名： - Brouwer不动点定理：用于证明KKT方程的解存在且满足范数界（Lemma 3证明的核心）。 - KKT条件分析：用于刻画Lasso解的特征，推导VSC的充分条件。 - Taylor展开：用于线性化逻辑损失函数，将非线性问题转化为线性问题处理。 - Bernstein型不等式（Lemma 1）：用于控制随机项的\(\ell_\infty\)范数，是sub-Weibull尾条件下的关键工具。 - Berry-Esseen定理：用于证明后Lasso估计量的分量渐近正态（Lemma 5）。 - Le Cam's lemma + \(\chi^2\)散度：用于推导minimax下界（Theorem 2.3）。

真实例子与应用

数据：两个乳腺癌基因表达数据集（GSE1456和GSE7390），来自Gene Expression Omnibus。 - GSE1456：根据Elston肿瘤分级分为Grade 1 (n1=28), Grade 2 (n2=58), Grade 3 (n3=61)，p=22,283个基因。 - GSE7390：对应分组大小为n1=30, n2=83, n3=83，p=22,283个基因。

方法应用：将D3和D3op应用于三样本均值检验（比较三个肿瘤等级的基因表达均值是否相等），并与CS和HDT方法比较。

结果： - 所有方法在完整数据上均拒绝零假设（p<0.001），表明三个等级的基因表达均值存在显著差异。 - 置换检验诊断：对标签进行500次随机置换，D3、D3op和CS的拒绝比例接近0.05（名义水平），而HDT拒绝所有置换数据集（表明其在该应用中不可靠）。 - 自助法功效：在500次组内重抽样的自助数据集上，D3、D3op和CS均拒绝所有样本（功效1），表明组间分离高度稳定。 - 子抽样分析：当保留样本比例较小时（如25%），D3op的拒绝比例最高，D3次之，CS需要更大样本才能达到可比功效。这验证了自适应惩罚在小样本下的优势。 - 计算时间：D3最快（0.17-0.22秒），D3op次之（3.3-4.4秒），CS最慢（10.8-13.8秒）。HDT最快但不可靠。

这个例子想说明： - 验证了方法在超高维（p=22,283）真实数据上的计算可扩展性。 - 通过置换检验诊断，展示了D3和D3op在零假设下的良好校准（对比HDT的完全失效）。 - 通过子抽样分析，展示了D3op在小样本下的灵敏度优势。

🔎 结论是否比证明窄

  • Theorem 2.3（minimax最优性） 只在二元高斯子模型下证明，且要求\(\Sigma_{\min} \geq p_0^{-1}\)和\(\|\Sigma\|_{L_1} \leq M\)。作者在Section 2.4明确说明了这一点，但introduction中"the test also attains the minimax separation rate"的表述可能被误解为更一般的结论。实际上，minimax最优性只在非常特定的高斯设定下成立。
  • Theorem 2.2（一致性） 的beta-min条件\(\min |\beta_j| \geq C_2 \frac{\lambda_n}{n} n^{a_1}\)依赖于\(a_1\)（来自(A.2)(i)中\((E L_{11,n})^{-1}\)的\(\ell_\infty\)范数增长率）。当\(a_1 > 0\)时，该条件比\(\sqrt{\log p / n}\)更严格。作者在2.3节末尾提到当\(a_1=0\)时退化为\(\sqrt{\log p / n}\)，但未讨论\(a_1 > 0\)时条件的具体含义。
  • VSC（Lemma 3） 的证明依赖于强不可表示条件(A.1)，该条件在Lasso文献中是"几乎必要"的，但并非总是满足。作者在2.3节提到可以用adaptive Lasso或UniLasso来避免，但本文未采用。

四、开放问题

  1. 弱化强不可表示条件：作者提到可以用adaptive Lasso或UniLasso来避免强不可表示条件（Section 2.3），但未给出理论结果。能否在更弱的条件下（如部分正交设计）建立VSC和检验的一致性？扎根于Section 2.3："One can drop this irrepresentable condition if one considers weighted ℓ1-penalty like the adaptive Lasso (Zou [2006]) or UniLasso (Chatterjee et al. [2025])."

  2. 非稀疏设定下的表现：本文假设判别参数\(\beta\)是稀疏的。但当均值差是稠密的（即许多变量都有微小差异）时，逻辑Lasso的变量选择一致性可能失效。能否构造一个不依赖稀疏性的检验（如基于debiased Lasso或U-统计量），同时保持计算效率？扎根于Section 1.2："A sparse discriminative set need not correspond to a sparse mean difference, so the proposed procedure can remain effective under some dense mean alternatives."——但"some"的范围未明确。

  3. 更紧的minimax下界：Theorem 2.3的minimax下界只在高斯子模型下证明，且要求\(\Sigma_{\min} \geq p_0^{-1}\)和\(p_0 \leq M p^{1/4}\)。能否在更一般的分布（如sub-Weibull）和更弱的协方差条件下建立minimax下界？扎根于Theorem 2.3的假设条件。

  4. 自适应惩罚的理论性质：D3op使用置换法选择惩罚参数，作者在模拟中展示了其优势，但未给出理论保证（如置换法是否真的能实现VSC）。能否建立置换法选择惩罚参数的渐近性质？扎根于Section 4.1："We instead calibrate the penalty parameter under the null hypothesis, with the aim of favoring the selection of no variables when there is no association between the covariates and the response."——但未证明这确实能实现VSC。

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