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Asymptotics of Nonparametric Estimation under General Non-monotone MAR Missingness: A Nonparametric Maximum Likelihood Approach

作者: Yating Zou, Huimin Hu, Jeffrey Näf
主题: 非参数 / 半参数
相关性: 8/10
链接: https://arxiv.org/abs/2608.10113

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本文研究的核心问题是：在非单调（non-monotone）随机缺失（MAR） 的缺失数据机制下，能否以及如何非参数地估计完整数据的分布（特别是密度函数），并建立其渐近理论。这里的“非单调”意味着缺失模式可以任意复杂，不要求变量按某种顺序依次缺失（如纵向数据中的失访）。该问题的根本困难在于：MAR 条件本身不限制缺失模式的结构，使得传统的逆概率加权（IPW）或基于完全观测变量子集的方法在理论上难以适用。本文的目标是在不建模缺失机制、不限制缺失模式配置的条件下，仅依赖 MAR 本身和一个自然的正性条件，证明 sieve 最大似然估计（MLE）的收敛速率，并展示该速率与完整数据情形下的 minimax 最优速率一致（至多差一个对数因子和一个与正性条件相关的常数）。

发展脉络

  • 奠基工作：Rubin (1976) 提出了 MAR 概念和“可忽略性”（ignorability）结果，指出在 MAR 和参数空间可分离的条件下，基于观测数据的 MLE 可以忽略缺失机制。然而，这一结果本身不保证任何统计性质（如相合性、渐近正态性）。
  • 主要进展（参数情形）：Takai and Kano (2013) 首次在正则参数模型下证明了忽略 MLE 的相合性和渐近正态性，为 MAR 下 MLE 的合理性提供了形式化基础。但该结果不扩展到非参数估计。
  • 当前 Frontier（非参数情形）：
    • 贝叶斯路线：Näf and Chérief-Abdellatif (2026) 给出了非参数贝叶斯估计在 MAR 下的后验收缩速率，首次证明即使是非单调 MAR，完整数据密度仍可被相合估计，且速率与完整数据情形相同（仅差一个常数）。这是本文的直接前驱。
    • 频率学派路线：本文是第一个在频率学派框架下建立类似结果的尝试。
    • 其他竞争路线：
      • IPW 与模式图：Sun and Tchetgen (2018)、Chen (2022) 等尝试用逆概率加权或模式图（pattern graphs）处理非单调缺失。但作者指出，一般 MAR 不定义正则模式图（regular pattern graph），因此 IPW 在一般 MAR 下不可行（见 Section 3.2 的例子）。
      • 基于完全观测变量子集的方法：Wang and Rao (2002)、Wei et al. (2012)、Chen et al. (2015) 等假设缺失概率只依赖于一组完全观测的变量，这比一般 MAR 强得多。
      • 经验似然：Liu and Fan (2023) 使用经验似然作为 IPW 的替代，但作者指出该方法仍限于受限的 MAR 设定。
      • Wasserstein 梯度流：Kremling et al. (2026) 结合忽略方法与 Wasserstein 梯度流，但未提供相合性结果，且需要缺失机制的平滑性条件（二阶导数存在且有界），这在本文的 MAR 挑战例子中不成立。
  • 本文的位置：本文填补了频率学派非参数估计在一般非单调 MAR 下的理论空白，提供了一个通用的 sieve MLE 收敛速率定理，并将其应用于密度估计，证明该估计量在 Hölder 类上达到 minimax 最优速率（至多对数因子）。这是对 Näf and Chérief-Abdellatif (2026) 贝叶斯结果的频率学派对应。

子线索聚类

  1. 参数 MLE 与可忽略性：Rubin (1976)、Takai and Kano (2013)。核心是证明在参数模型下，忽略 MLE 是合理的，但理论不扩展到非参数。
  2. 受限 MAR 下的非参数方法：Wang and Rao (2002)、Wei et al. (2012)、Chen et al. (2015)、Liu and Fan (2023)。这些方法假设缺失概率只依赖于完全观测变量，或使用经验似然等替代工具，无法处理一般非单调 MAR。
  3. 模式图与识别条件：Chen and Sadinle (2019)、Chen (2022)。通过假设缺失模式的图结构（如正则模式图）来识别分布，但一般 MAR 不满足这些条件。
  4. 贝叶斯非参数方法：Näf and Chérief-Abdellatif (2026)。在贝叶斯框架下建立后验收缩速率，是本文的直接前驱。
  5. 频率学派 sieve MLE（本文）：本文。在频率学派框架下建立一般收敛速率，并应用于密度估计。

这个方向在追问的核心问题

  1. 相合性：在一般非单调 MAR 下，能否不建模缺失机制而相合地估计完整数据分布？
  2. 收敛速率：如果相合，收敛速率是多少？是否与完整数据情形相同？
  3. 最优性：该速率是否达到 minimax 最优？
  4. 计算可行性：是否存在可实现的算法来逼近该估计量？

当前主流方法与已知瓶颈：主流方法（IPW、基于完全观测变量子集的方法、模式图方法）要么在一般 MAR 下不可行，要么需要额外的强假设。贝叶斯方法提供了理论保证，但计算上可能复杂。本文的 sieve MLE 方法在理论上提供了频率学派的保证，且通过 EM 算法实现，计算上可行。

⚠️ 作者的 framing

  • 作者把缺口 frame 成什么：作者将缺口 frame 为“在一般非单调 MAR 下，频率学派非参数估计的相合性和收敛速率问题尚未被回答”。他们将自己的工作定位为“提供频率学派版本的贝叶斯收缩速率结果”，并强调其方法的最小假设（仅需 MAR 和正性条件）和通用性（不限制缺失模式、不建模缺失机制）。
  • 哪些竞争路线被他淡化或回避了：
    • 贝叶斯方法：作者明确承认 Näf and Chérief-Abdellatif (2026) 是直接前驱，但将其定位为“贝叶斯版本”，而本文是“频率学派版本”。作者淡化了贝叶斯方法在计算上的复杂性（虽然本文的 EM 算法也可能有局部最优问题）。
    • 模式图方法：作者在 Section 3.2 的 MAR 挑战例子中明确指出，该例子无法用正则模式图表示，从而论证了 IPW 和模式图方法的局限性。这是一种有效的“排除法”，但可能忽略了模式图方法在更广泛设定下的潜力。
    • Wasserstein 梯度流：作者指出 Kremling et al. (2026) 需要缺失机制的平滑性条件，而本文不需要。这强化了本文假设的“最小性”。
  • 什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里？：未见明显缺失。作者对相关文献的梳理相当全面，涵盖了参数、半参数、非参数、贝叶斯、频率学派等多个分支。

张力

未见明显对立引用。不同方法（IPW、模式图、贝叶斯、本文）适用于不同强度的假设，彼此之间是互补而非矛盾的关系。作者通过 MAR 挑战例子清晰地展示了不同方法的适用边界。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：
    • \(X_i \in \mathbb{R}^d\)：第 \(i\) 个样本的完整数据向量（\(d\) 维），服从分布 \(P_0\)，密度为 \(p_0\)。
    • \(M_i \in \{0,1\}^d\)：第 \(i\) 个样本的缺失模式掩码。\((M_i)_j = 0\) 表示第 \(j\) 个分量被观测到，\(=1\) 表示缺失。
    • \(X_i^{(M_i)}\)：第 \(i\) 个样本的观测到的子向量，即只包含 \((M_i)_j = 0\) 的那些分量。
    • \(\tilde{S}_n = \{(X_1^{(M_1)}, M_1), \dots, (X_n^{(M_n)}, M_n)\}\)：实际观测到的数据集（部分观测向量 + 缺失模式）。
    • \(p^{(m)}(x^{(m)})\)：在缺失模式 \(m\) 下，观测部分 \(x^{(m)}\) 的边际密度。即 \(p^{(m)}(x^{(m)}) = \int p(x^{(m)}, x^{(\bar{m})}) dx^{(\bar{m})}\)，其中 \(x^{(\bar{m})}\) 是缺失部分。
    • \(P(M=m|X=x)\)：缺失机制，即给定完整数据 \(x\) 时，缺失模式为 \(m\) 的条件概率。
    • \(\tilde{f}(x, m)\)：对于一组函数 \(\{f^{(m)}\}_{m \in \{0,1\}^d}\)，定义 \(\tilde{f}(x, m) = f^{(m)}(x^{(m)})\)。这允许我们将观测数据的期望写成 \(E_{(X,M)\sim P_0}[f^{(M)}(X^{(M)})] = P_0 \tilde{f}\)。
    • \(\text{fKL}(P_0 \| P)\)：适应于缺失数据的 KL 散度，定义为 \(E_{(X,M)\sim P_0}[\log(p_0^{(M)}(X^{(M)}) / p^{(M)}(X^{(M)}))]\)。
    • \(\text{eH}(p_0, p)\)：适应于缺失数据的 Hellinger 距离，定义为 \(\sqrt{\sum_m \int (\sqrt{p_0^{(m)}(x^{(m)})} - \sqrt{p^{(m)}(x^{(m)})})^2 P(M=m|x^{(m)}) dx^{(m)}}\)。
    • \(H(p_0, p)\)：标准的完整数据 Hellinger 距离，\(\sqrt{\int (\sqrt{p_0(x)} - \sqrt{p(x)})^2 dx}\)。
  • 模型：
    • 数据生成机制：\((X_i, M_i)\) 独立同分布，\(X_i \sim P_0\)（密度 \(p_0\)），\(M_i\) 的条件分布由未知的缺失机制 \(P(M=m|X=x)\) 决定。
    • 关键假设：
      • MAR (Assumption 2.1)：\(P(M=m|X=x) = P(M=m|X^{(m)} = x^{(m)})\)。即缺失只依赖于观测到的数据。
      • 正性条件 (Assumption 2.3)：\(P(M=0|X=x) \ge c_0 > 0\)。即每个样本都有至少 \(c_0\) 的概率被完全观测到。
      • 忽略空模式 (Assumption 2.2)：\(P(M=\mathbf{1}) = 0\)，即不会所有分量都缺失。
    • 要估计的对象：完整数据的密度 \(p_0\)。
  • 可观测数据：
    • 研究者能观测到的是 \(\tilde{S}_n = \{(X_i^{(M_i)}, M_i)\}_{i=1}^n\)，即每个样本的部分观测值及其缺失模式。
    • 不可观测的是完整数据 \(X_i\) 本身，以及缺失机制 \(P(M=m|X=x)\)。本文的核心在于不建模缺失机制，仅通过 MAR 和正性条件来识别 \(p_0\)。

第二步：讲最小内核

本文的最小内核是：在 MAR 下，基于观测数据的似然（忽略缺失机制）的最大化，等价于最小化一个适应于缺失数据的 KL 散度 \(\text{fKL}\)，并且这个散度在正性条件下能唯一识别真实密度 \(p_0\)。 因此，我们可以通过最大化观测数据的似然来估计 \(p_0\)，而无需处理缺失机制。

最简特例：\(d=2\)，且只有一个变量可能缺失。

  • 设定：\(X = (X_1, X_2)\)。假设 \(X_1\) 总是被观测到，\(X_2\) 可能缺失。那么可能的缺失模式只有 \(m = (0,0)\)（完全观测）和 \(m = (0,1)\)（\(X_2\) 缺失）。
  • 可观测数据：对于每个样本 \(i\)，我们观测到 \((X_{i1}, M_i)\)。如果 \(M_i = (0,0)\)，则 \(X_{i2}\) 也观测到；如果 \(M_i = (0,1)\)，则 \(X_{i2}\) 缺失。
  • MAR 假设：\(P(M=(0,1)|X_1=x_1, X_2=x_2) = P(M=(0,1)|X_1=x_1)\)。即 \(X_2\) 的缺失只依赖于 \(X_1\)。
  • 正性条件：\(P(M=(0,0)|X_1=x_1, X_2=x_2) \ge c_0 > 0\)。
  • 要估计的：\(p_0(x_1, x_2)\)。
  • 观测数据的似然：对于单个样本 \((x_1, m)\)：
    • 如果 \(m=(0,0)\)：似然为 \(p_0(x_1, x_2)\)。
    • 如果 \(m=(0,1)\)：似然为 \(p_0^{(0,1)}(x_1) = \int p_0(x_1, x_2) dx_2\)，即 \(X_1\) 的边际密度。
  • 核心思路：我们最大化 \(\prod_i p_0^{(M_i)}(X_i^{(M_i)})\)。这等价于最小化 \(\text{fKL}(P_0\|P) = E[\log(p_0^{(M)}(X^{(M)}) / p^{(M)}(X^{(M)}))]\)。
  • 为什么能识别 \(p_0\)？：Proposition 4.1 表明，在 MAR 和正性条件下，\(\text{fKL}(P_0\|P) = 0\) 当且仅当 \(P = P_0\)。这意味着，即使我们只观测到边际分布，最小化 \(\text{fKL}\) 也能唯一地恢复联合分布 \(p_0\)。这背后的直觉是：MAR 保证了缺失机制不提供关于 \(p_0\) 的额外信息，而正性条件保证了完全观测模式的存在，从而能“锚定”联合分布。
  • 推广到一般情形：当 \(d>2\) 且缺失模式非单调时，观测数据的似然是各个模式下的边际密度的乘积。本文的 Theorem 4.4 证明，只要满足类似的条件（MAR、正性、以及一些关于 sieve 的熵条件），sieve MLE 就能以与完整数据相同的速率（至多差一个常数 \(1/\sqrt{c_0}\)）收敛到 \(p_0\)。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：在一般非单调 MAR 缺失数据下，非参数估计（特别是密度估计）的渐近理论，即能否以及以多快的速度相合地估计完整数据分布。
  2. 核心工具 / 方法：基于 sieve 最大似然估计（sieve MLE），利用经验过程理论（empirical process theory）和适应于缺失数据的 Hellinger 距离（adapted Hellinger functional）来建立收敛速率。具体地，使用有限高斯混合（finite Gaussian mixtures）作为 sieve。
  3. 主要结论：在 MAR、正性条件和 Hölder 光滑类假设下，sieve MLE 可以达到 minimax 最优速率 \(n^{-\beta/(2\beta+d)}\)（至多一个对数因子），缺失数据仅通过常数 \(1/\sqrt{c_0}\) 影响速率，而不改变速率本身。

关键设定与假设

  • 完整设定：在第二节符号的基础上，本文进一步假设：
    • Sieve 空间：\(P_n = \{p_{F,\Sigma}: F \in \mathcal{F}_{N,a}, \Sigma \in \mathcal{D}_{\sigma, \delta_n}\}\)，其中 \(p_{F,\Sigma}(x) = \int \phi(x-z, \Sigma) dF(z)\) 是高斯混合密度。\(\mathcal{F}_{N,a}\) 是支撑在 \([-a,a]^d\) 上、最多 \(N\) 个原子的离散分布。\(\mathcal{D}_{\sigma, \delta_n}\) 是协方差矩阵的集合，其特征值介于 \(\sigma^2\) 和 \(\sigma^2(1+\delta_n^2)n\) 之间。
    • Hölder 类 (Assumption 5.1)：真实密度 \(p_0\) 属于一个 Hölder 光滑类，其 \(\beta\) 阶导数满足 Lipschitz 条件，且尾部以指数 \(e^{-b\|x\|^\tau}\) 衰减。
  • 相比已有文献的放宽或强化：
    • 放宽：相比 van der Vaart and Wellner (2023, Theorem 3.4.12) 的标准结果，本文利用 Kaji (2026) 的最新结果，避免了有界密度比（bounded density ratios）这一严格假设。这是本文的一个关键技术贡献，使得结果能应用于高斯位置族等密度比无界的情形。
    • 强化：相比贝叶斯方法 (Näf and Chérief-Abdellatif, 2026)，本文提供了频率学派的保证。相比 Wasserstein 梯度流 (Kremling et al., 2026)，本文不需要缺失机制的平滑性条件。

主要结果

  • 定理 4.4（一般收敛速率）：在 MAR、正性条件以及三个技术条件（(4')-(6')）下，观测数据 sieve MLE \(\hat{p}_n\) 满足：
    • \(\text{eH}(p_0, \hat{p}_n) = O_P(\delta_n \vee n^{-1/2})\)
    • \(H(p_0, \hat{p}_n) = O_P(\frac{1}{\sqrt{c_0}}(\delta_n \vee n^{-1/2}))\)
    • 直觉：该定理提供了一个通用框架。只要找到一个好的 sieve 序列 \(P_n\) 和一个好的近似 \(p_n \in P_n\)，使得 (4')-(6') 成立，就能得到收敛速率。条件 (4') 要求 \(p_n\) 在适应 Hellinger 距离下逼近 \(p_0\)；条件 (5') 控制观测数据似然比的尾部行为；条件 (6') 是标准的括号熵条件。
  • 定理 5.1（密度估计结果）：在 Hölder 类假设下，使用特定的高斯混合 sieve（参数如 (11) 所示），定理 4.4 的条件被满足，从而得到：
    • \(H(p_0, \hat{p}_n) = O_P\left(\frac{C_4}{\sqrt{c_0}} n^{-\beta/(2\beta+d)} (\log n)^t\right)\)
    • 直觉：速率 \(n^{-\beta/(2\beta+d)}\) 是 Hölder 类上密度估计的 minimax 最优速率。对数因子 \((\log n)^t\) 是 sieve MLE 的常见代价，并非缺失数据引入。常数 \(C_4/\sqrt{c_0}\) 是缺失数据带来的唯一代价，其中 \(c_0\) 是正性条件中的下界。

证明路线与技术技巧

  • 整体路线（定理 4.4）：
    1. 问题转化：将最大化观测数据似然转化为最小化适应 KL 散度 \(\text{fKL}\)。
    2. 建立距离关系：证明 \(\text{fKL}\) 与适应 Hellinger 距离 \(\text{eH}\) 之间的关系（Proposition B.1），以及 \(\text{eH}\) 与标准 Hellinger 距离 \(H\) 之间的关系（Proposition 4.3）。这允许我们在 \(\text{eH}\) 下工作，并最终将结果转化回 \(H\)。
    3. 应用经验过程理论：将 van der Vaart and Wellner (2023, Theorem 3.4.1) 应用于适应于缺失数据的准则函数。这需要验证三个条件：
      • 曲率条件：证明 \(\text{fKL}\) 在 \(\text{eH}\) 下是“凹”的，即 \(\text{fKL}(P_0\|P) \ge \text{eH}^2(p_0, p)\)（见 (38) 的证明）。
      • 模的连续性条件：证明经验过程 \(\sqrt{n}(P_n - P_0)\tilde{\ell}_{p_0, p}\) 在 \(\text{eH}\) 球上的最大值可以被一个括号熵积分控制。这里的关键技巧是将 \(\text{eH}\) 下的括号熵转化为标准 Hellinger 距离 \(H\) 下的括号熵（Lemma B.3），因为后者在具体 sieve 上更容易计算。
      • 序列条件：验证存在一个序列 \(\delta_n\) 使得上述两个条件成立，并且近似最大化条件 (7') 成立。
    4. 处理尾部：利用 Kaji (2026) 的引理，用 \(\text{eH}\) 和尾部项来控制 \(\text{fKL}\) 和似然比的二阶矩，从而避免有界密度比假设。
  • 关键跳跃点：
    • 从 \(\text{eH}\) 到 \(H\) 的括号熵传递 (Lemma B.3)：这是证明中最吃劲的部分之一。作者需要证明，在 \(\text{eH}\) 下的局部 sieve \(\tilde{P}_{n, \delta}\) 的括号熵可以被 \(H\) 下的局部 sieve \(P_{n, \delta/\sqrt{c_0}}\) 的括号熵控制。这依赖于 \(\text{eH} \le H\) 和 \(H \le \text{eH}/\sqrt{c_0}\) 这两个不等式。
    • 局部化 (Lemma B.6, Corollary B.7)：为了计算高斯混合 sieve 的括号熵，作者需要限制协方差矩阵的最大特征值。他们通过一个局部化论证，证明在 Hellinger 距离为 \(O(1)\) 的局部球内，协方差矩阵的最大特征值可以被一个常数 \(\bar{\sigma}^2\) 控制。这允许他们将整个 sieve 替换为一个“有帽的”子集 \(P_n^\star\)，其括号熵更容易计算。
  • 技术技巧点名：
    • 经验过程理论 (Empirical Process Theory)：核心工具，用于控制经验测度与真实测度之间的偏差。
    • 括号熵 (Bracketing Entropy)：用于度量函数类的复杂度，是建立收敛速率的关键。
    • Kaji (2026) 的 Hellinger 界：用于建立 \(\text{fKL}\)、\(\text{eH}\) 和似然比尾部之间的关系，避免了有界密度比假设。
    • 适应 Hellinger 距离 (Adapted Hellinger Functional)：本文引入的一个关键概念，是连接观测数据似然和完整数据分布之间的桥梁。
    • 局部化 (Localization)：通过限制参数空间来简化熵计算。
    • Lipschitz 参数化 (Lemma B.8)：证明高斯混合密度关于其参数是 Lipschitz 的，从而将参数空间的覆盖数转化为函数空间的括号数。

真实例子与应用

  • MAR 挑战例子 (Section 3.2, 6)：
    • 数据：\(d=3\) 的多元正态分布，\(X_1, X_2\) 相关，\(X_3\) 独立。缺失机制如 (5) 所示，是一个复杂的非单调 MAR 机制。
    • 方法应用：使用本文提出的 MAR 高斯混合 EM 算法来估计完整数据密度，然后从中计算 \(X_1\) 的 0.1 分位数。
    • 结果：Figure 3 显示，该方法能较好地估计该分位数，中位数接近真实值，尽管变异性不可忽略。正性条件中的下界 \(c_0\) 从 0.01 到 0.1 变化时，性能没有明显变化。
    • 说明的问题：该例子旨在展示本文方法能够处理其他方法（如 IPW、基于完全观测变量子集的方法）无法处理的复杂非单调 MAR 情形。
  • 高维密度恢复模拟 (Section 6)：
    • 数据：\(d=20\)，数据生成自高斯混合、多元正态、多元逻辑斯蒂分布。训练数据被按照 MAR 机制截断，缺失水平从 10% 到 90% 变化。
    • 方法应用：将本文的 MAR 高斯混合方法与完整数据下的核密度估计（KDE）进行比较。
    • 结果：
      • 高斯混合数据 (Figure 4)：本文方法在所有缺失水平下都优于完整数据 KDE，且缺失水平增加对性能影响很小。
      • 相关正态数据 (Figure 5)：本文方法在能量距离（energy distance）上优于 KDE，但在密度得分（density score）上略逊于完整数据 KDE，且随缺失增加而下降。
      • 重尾逻辑斯蒂数据 (Figure 6)：类似相关正态数据，本文方法在能量距离上优于 KDE，但密度得分随缺失增加而下降。
    • 说明的问题：本文方法在恢复整体分布（能量距离）方面非常稳健，但在精确估计密度值（密度得分）方面，尤其是在重尾和高缺失水平下，可能不如完整数据 KDE。这验证了理论结果：缺失数据不影响速率，但可能影响常数项。

🔎 结论是否比证明窄

  • 定理 4.4 的结论是严格的：它给出了 \(\text{eH}\) 和 \(H\) 下的收敛速率，并明确指出了常数 \(1/\sqrt{c_0}\) 的来源。证明中每一步都对应着具体的假设和引理。
  • 定理 5.1 的结论是严格的：它给出了在 Hölder 类下的具体速率，并明确指出了对数因子 \((\log n)^t\) 的来源（sieve 的熵）。证明中详细验证了定理 4.4 的条件。
  • 潜在比证明窄的地方：
    • Remark 2 (iii) 提到，如果真实密度是超光滑的（如正态位置混合），可以得到近参数速率 \(n^{-1/2}(\log n)^{(d+1+1/r_0)/2}\)。这个结论是基于相同的证明结构的推测，论文中并未给出完整的证明，只是说“following the same proof structure”。这是一个conjecture，而非严格证明。
    • Section 7 (Conclusion) 提到，改变 sieve 可能得到类似 Saha and Guntuboyina (2020) 的凸优化结果。这同样是推测，而非本文的贡献。

四、开放问题

  1. 凸优化实现：本文的 EM 算法是非凸的，且需要 BIC/AIC 选择分量数 \(N\)。作者在 Conclusion 中推测，通过改变 sieve（如使用 Saha and Guntuboyina (2020) 的估计量），可以将估计转化为一个无限维凸问题，从而避免非凸优化和模型选择问题。扎根于：Section 7, "it is likely possible to obtain similar results for an ignoring version of the estimator discussed in Saha and Guntuboyina (2020)."
  2. 非参数回归：作者提到定理 4.4 可能直接应用于非参数回归问题，如 Näf and Chérief-Abdellatif (2026) 中讨论的。扎根于：Section 7, "there might also be direct applications for nonparametric regression problems as in Näf and Chérief-Abdellatif (2026)."
  3. 更紧的速率：定理 5.1 的速率包含一个对数因子 \((\log n)^t\)。作者在 Remark 2 (ii) 中指出，这是 sieve MLE 的常见代价，但完整数据下的 minimax 速率没有这个因子。能否消除这个对数因子，或者证明它是必要的？扎根于：Remark 2 (ii), "The logarithmic factor is not an artifact of missingness... sieve MLEs are not known to attain the rate \(\varepsilon_n\)... at which the metric entropy of the target class balances the information in \(n\) observations."
  4. 更优的模型选择准则：模拟结果显示，BIC 在高缺失水平下表现更好，而 AIC 在低缺失水平下表现更好。作者指出，需要一个能考虑缺失数据信息损失的惩罚项。扎根于：Section 6, "this indicates that standard AIC/BIC is too simplistic, and instead a penalty is needed that factors in the information loss of the missing values."

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