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Empirical optimal transport potentials: fast rates and a functional central limit theorem

作者: Alberto Gonz\'alez-Sanz, Gilles Mordant, Shunan Sheng
主题: 非参数 / 半参数
相关性: 6/10
链接: https://arxiv.org/abs/2608.00649

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本文研究的子方向是统计最优传输（Statistical Optimal Transport） 中，对二次最优传输势函数（Brenier potential） 的估计与推断问题。具体设定是：固定一个绝对连续的参考分布 µ，目标分布 ν 未知，只能通过其经验测度（i.i.d. 样本）来访问。核心问题是：作为随机函数的势函数 φ（满足 (∇φ)♯µ = ν）能以多快的速度收敛到真值，以及能否建立函数空间中心极限定理（FCLT）用于推断。这个方向处于非参数统计、凸几何与偏微分方程（Monge-Ampère 方程）的交汇处，当前成熟度中等——传输映射（transport map）的估计已有较完整理论，但势函数本身的统计性质（特别是函数值极限理论）此前几乎是空白。

发展脉络（history）

  1. 奠基工作：Brenier (1991) 证明了二次代价下最优传输映射是某个凸势函数的梯度，奠定了势函数作为基本对象的理论基础。Ekeland, Galichon and Henry (2012) 将势函数解释为多变量风险度量中的影子价格，开启了其在经济学和金融中的应用。

  2. 主要进展——传输映射的估计：

  3. Hütter and Rigollet (2021) 建立了光滑最优传输映射的 minimax 率。
  4. Manole et al. (2024) 研究了 plug-in 映射估计器，并给出了 Wasserstein 距离下的稳定性不等式。
  5. Delalande and Mérigot (2023) 给出了 Brenier 映射关于目标分布变化的定量稳定性，并通过 Poincaré 不等式间接控制势函数。

  6. 这些工作都聚焦于映射 ∇φ 或耦合，而非势函数 φ 本身。

  7. 当前 frontier——势函数的极限理论：

  8. del Barrio, González-Sanz and Loubes (2024) 证明了固定有限支撑目标下半离散对偶权重的 CLT——但随机性只改变有限维权重向量，不改变支撑点的位置和数量。
  9. González-Sanz, Loubes and Niles-Weed (2022); Goldfeld et al. (2024) 在固定熵正则化下得到了光滑 Schrödinger 势函数的 FCLT。
  10. Mordant (2024) 让正则化参数递减，在点态和 L² 极限中平衡正则化偏差与随机误差。

  11. 本文的位置：填补了无正则化、经验目标（支撑点数和位置都随 n 变化） 下势函数的函数值极限理论空白。

  12. 稳定性与收敛率：

  13. 已有的 Wasserstein 基势函数界（通过 Poincaré 不等式从映射稳定性导出）在高维（d≥4）下只给出本质 n^{-1/d} 的率。
  14. 本文的贡献：用一条新的稳定性不等式将主导项从 Wasserstein 距离替换为更弱的对偶范数，从而得到更快的势函数收敛率（d≤3 时 n^{-1/2}，d≥5 时本质 n^{-2/d}），并证明多项式指数是紧的。

子线索聚类

  • 线索一：传输映射的估计与稳定性（Hütter and Rigollet, 2021; Manole et al., 2024; Delalande and Mérigot, 2023; Letrouit and Mérigot, 2024; Mischler and Trevisan, 2024; Kitagawa, Letrouit and Mérigot, 2025; Caja-Lopez, Delgadino and Kitagawa, 2026）。这一簇研究 ∇φ 或耦合的收敛率与稳定性，通常以 Wasserstein 距离为度量。本文的稳定性不等式（Theorem 2.1）直接与这一簇对话，但将目标从映射提升到势函数。

  • 线索二：势函数的极限理论（del Barrio, González-Sanz and Loubes, 2024; González-Sanz, Loubes and Niles-Weed, 2022; Goldfeld et al., 2024; Mordant, 2024）。这一簇研究各种设定下势函数的 CLT 或 FCLT，但要么目标支撑固定有限，要么依赖熵正则化。本文是第一个在无正则化、经验目标下得到 FCLT 的工作。

  • 线索三：熵正则化 OT 的统计性质（Nutz and Wiesel, 2022; López-Rivera, 2026; Malamut and Sylvestre, 2025; Mena and Niles-Weed, 2019）。这一簇研究正则化参数 ε 固定或递减时势函数、值或计划的收敛性。本文的 Theorem 2.12 给出了 ε → 0 时熵对偶势函数和的匹配上下界，直接与这一簇对话。

核心问题与已知瓶颈

  1. 势函数能否比传输映射估计得更快？ 已有的 Poincaré 不等式论证只能给出 E[inf_a ∥φ̂n − φ − a∥{L¹(µ)}] ≲ E[W₂(ν̂_n, ν)]，即本质 n^{-1/d}（d≥4）。本文证明可以更快（d≤3 时 n^{-1/2}，d≥5 时 n^{-2/d}），瓶颈在于能否将主导项从 Wasserstein 距离替换为更弱的对偶范数。

  2. 势函数的极限分布是什么？ 由于经验目标支撑点数和位置都随 n 变化，经典的经验过程理论不能直接应用。瓶颈在于：① 对偶范数 |ν̂n − ν|'{1,LogLip} 的收敛速度（由熵积分控制，d≤3 时达到 n^{-1/2}）；② 二阶 Wasserstein 余项在 d≤3 时可忽略。

  3. 高维（d≥4）下势函数估计的障碍是什么？ 本文证明：当 d≥5 时，n^{-2/d} 的下界来自多面体逼近——经验 Brenier 势函数至多有 n 个活跃仿射片，而一个强凸函数不能被少于 n 个仿射片以快于 n^{-2/d} 的 L¹ 率逼近（Proposition 2.7）。d=4 时多项式指数 n^{-1/2} 也是紧的。

⚠️ 作者的 framing

作者把缺口 frame 成："传输映射的已有界不能揭示势函数的真实收敛速度"（"A bound obtained indirectly from existing results on the transport map does not reveal the correct scale"）。他们通过稳定性不等式将势函数估计问题分解为经验过程项（主导）和 Wasserstein 余项（二阶），从而得到更快的率。被淡化或回避的竞争路线： - 熵正则化路线：作者明确说他们的结果回答的是不同的偏差问题（"Our result answers a different bias question"），但并未深入比较正则化与无正则化估计器的优劣（例如，正则化是否能在高维下获得更好的率？）。 - 平滑化路线：Manole et al. (2023) 在平坦环面上对平滑映射估计器证明了点态极限定理，但作者仅提及并指出其目标不同（"Our loss is instead imposed directly on the smoother primitive φ"）。 - 什么明显该被引/该存在、却没出现在 intro 里？ 未见明显缺失。intro 覆盖了映射估计、势函数极限、熵正则化三条主要线索，且引用了最新的预印本（如 Caja-Lopez, Delgadino and Kitagawa, 2026; Cazelles, Pauwels and Portales, 2026; Malamut and Sylvestre, 2025）。

张力

未见明显对立引用。各条线索的工作在各自设定下结论一致，没有在略不同条件下得出相反结论的情况。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：符号、模型、可观测数据

  • 符号：
  • µ：固定的参考分布，绝对连续，支撑在 Ω ⊂ ℝᵈ 上，密度有正下界 λ。
  • ν：未知的目标分布，支撑在 Ω' = ∇φ(Ω) 上。
  • φ：Brenier 势函数，满足 (∇φ)♯µ = ν，κ-强凸且 C³·α，唯一到加法常数。
  • X₁, …, Xₙ：来自 ν 的 i.i.d. 样本。
  • ν̂ₙ = n⁻¹∑δ_{Xᵢ}：经验测度。
  • φ̂ₙ：经验 Brenier 势函数，满足 (∇φ̂ₙ)♯µ = ν̂ₙ。
  • a：加法常数（势函数仅定义到加法常数，所以所有距离都模常数）。
  • d：维度。
  • n：样本量。
  • W₂(·,·)：二阶 Wasserstein 距离。
  • |·|'_{1,LogLip}：C^{1,LogLip} 的对偶范数（弱范数）。

  • ω_{LogLip}(t) = t(1 + |log t|)：对数-Lipschitz 模量。

  • 模型：二次最优传输。给定 µ 和 ν，Brenier 定理保证存在唯一的凸函数 φ（模常数）使得 ∇φ 将 µ 推送到 ν。统计问题是：基于 ν 的样本估计 φ。

  • 可观测数据：研究者能观测到的是来自 ν 的 i.i.d. 样本 X₁, …, Xₙ，以及完全已知的参考分布 µ。想要但观测不到的是：① 真势函数 φ；② 真目标分布 ν；③ 传输映射 ∇φ。只能通过 ν̂ₙ 和 µ 来构造 φ̂ₙ。

第二步：最小内核

最简特例：d = 1（一维），µ = Unif([0,1])（均匀分布），ν 有连续分布函数 F。此时 Brenier 势函数 φ 满足 φ'(x) = F⁻¹(x)，即 φ 是分位数函数的积分。经验势函数 φ̂ₙ 满足 φ̂ₙ'(x) = F̂ₙ⁻¹(x)，其中 F̂ₙ 是经验分布函数。

在这个特例下： - 要证的命题退化成什么：Theorem 2.4(i) 声称 E[inf_a ∥φ̂ₙ − φ − a∥{L¹(µ)}] ≲ n^{-1/2}。在一维下，这就是经典的分位数过程的 L¹ 收敛率。事实上，∥φ̂ₙ − φ∥{L¹([0,1])} = ∫₀¹ |F̂ₙ⁻¹(t) − F⁻¹(t)| dt，其期望的收敛率正是 n^{-1/2}（由 Donsker 定理和连续映射定理可得）。 - 证明怎么走：稳定性不等式 (3) 退化为：min_a ∥φ̂ₙ − φ − a∥{L¹(µ)} ≲ |ν̂ₙ − ν|'{1,LogLip} + W₂(ν̂ₙ, ν)ω_{LogLip}(W₂(ν̂ₙ, ν))。在一维下，|ν̂ₙ − ν|'{1,LogLip} 的期望是 O(n^{-1/2})（由经验过程的 Dudley 积分），而 W₂(ν̂ₙ, ν) 的期望是 O(n^{-1/2})（一维最优传输的经典结果），所以二阶项 W₂·ω{LogLip}(W₂) 是 O(n^{-1} log n)，可忽略。因此主导项给出 n^{-1/2} 率。 - 为什么成立：核心原因是势函数比传输映射更光滑——φ 是分位数函数的积分，而 ∇φ = F⁻¹ 是分位数函数本身。积分操作平滑了经验过程的波动，使得 L¹ 收敛率从映射的 n^{-1/2}（分位数过程）提升到势函数的 n^{-1/2}（积分分位数过程）。在一般维度下，稳定性不等式将这一维的直觉推广到高维：通过线性化将势函数的误差与 ν̂ₙ − ν 在弱对偶范数下的误差联系起来，而 Wasserstein 距离只出现在二阶项中。

一般情形下的核心数学困难：将一维的"积分平滑"直觉推广到高维。关键想法是：通过求解一个线性化的 Neumann 问题（div(µ[∇²φ]⁻¹∇u) = h），将势函数误差 φ̂ₙ − φ 与 ν̂ₙ − ν 在 C^{1,LogLip} 对偶范数下的误差联系起来。这个线性化操作相当于高维下的"积分"，而椭圆正则性理论（W^{2,BMO} 估计）保证了该操作的有界性。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：当参考分布 µ 固定且绝对连续、目标分布 ν 未知（通过经验测度访问）时，二次最优传输的 Brenier 势函数 φ 的估计问题——包括收敛率、函数空间中心极限定理（FCLT）以及非参数 bootstrap 的一致性。
  2. 核心工具/方法：一条新的稳定性不等式（Theorem 2.1），将势函数的 L¹(µ) 距离（模常数）分解为主导项（ν̂ₙ − ν 在 C^{1,LogLip} 对偶范数下的误差）和二阶余项（W₂(ν̂ₙ, ν) 乘以对数因子），从而将势函数估计问题转化为经验过程问题。
  3. 主要结论：① 在光滑性和一致凸性假设下，精确半离散 Brenier 势在 L¹(µ) 中的收敛率：d≤3 时为 n^{-1/2}，d=4 时为 n^{-1/2}(log n)^{5/2}，d≥5 时为 n^{-2/d}(log n)^{(d+2)/d}，且多项式指数是紧的（Theorem 2.4(i) + Remark 2.8）。② 在 d≤3 时，建立了非退化函数空间 CLT（Theorem 2.4(ii)），并证明了非参数 bootstrap 的一致性（Theorem 2.10）。③ 对熵对偶势的归一化不变和给出了 ε log(1/ε) 阶的匹配上下界（Theorem 2.12）。

关键设定与假设

  • Ω ⊂ ℝᵈ：有界、连通、C^{2,α} 边界（保证椭圆正则性理论适用）。
  • µ：有 C^{1,α}(Ω) 密度，在 Ω 上密度有正下界 λ > 0（保证 L¹(µ) 与 L¹(Ω) 等价，且 µ[∇²φ]⁻¹ 满足均匀椭圆条件）。
  • φ：κ-强凸，在 Ω 的邻域上 C^{3,α}（保证 ∇²φ 有正上下界，且 ∇φ: Ω → Ω' 是 C^{2,α} 微分同胚）。
  • ∇φ(Ω) ∪ ∇φ̂ₙ(Ω) ⊂ B_R(0)（紧支撑，保证对数-Lipschitz 模量有定义）。
  • 相比已有文献：与 Delalande and Mérigot (2023) 的稳定性相比，本文的假设更强（要求 φ 是 C^{3,α} 而非仅 C²，且 µ 有光滑密度），但这是为了使用端点椭圆估计（W^{2,BMO}）和嵌入定理（W^{2,BMO} ↪ C^{1,LogLip}）。与 Manole et al. (2024) 的映射估计相比，本文对 φ 的光滑性要求相同，但目标不同（势函数 vs 映射）。

主要结果

  • Theorem 2.1（稳定性不等式）：对任意凸函数 φ̃，min_a ∥φ̃ − φ − a∥{L¹(µ)} ≤ C( |ν̃ − ν|'{1,LogLip, B_R} + W₂(ν̃, ν) ω_{LogLip}(W₂(ν̃, ν)) )，其中 ν̃ = (∇φ̃)♯µ。直觉：势函数的误差由两个机制控制——① 推送分布 ν̃ 与 ν 在弱对偶范数下的差异（主导项），② 推送分布之间的 Wasserstein 距离（二阶项，因为 W₂ 控制映射的 L²(µ) 误差，而映射误差通过 Poincaré 不等式间接控制势函数误差，但这里被吸收为二阶项）。必要条件：φ 的强凸性和 C^{3,α} 光滑性，µ 密度的正下界和 C^{1,α} 光滑性。解决的技术难点：将线性化后的余项用 W₂ 和对数-Lipschitz 模量控制（Proposition 4.1 中的 (15) 式），以及证明 W^{2,BMO} 嵌入 C^{1,LogLip}（Lemma D.1）。

  • Theorem 2.4（收敛率与 FCLT）：

  • (i) E[inf_a ∥φ̂ₙ − φ − a∥_{L¹(µ)}] ≲ β(n,d)，其中 β(n,d) 如上述。
  • (ii) 当 d≤3 时，√n(φ̂ₙ − φ) 在 L^{p'}(Ω)/⟨1⟩ 中依分布收敛到 (L⁻¹_A)* T_{∇φ}(G_ν)，其中 G_ν 是 W^{2,p}(Ω')/⟨1⟩ 上的中心高斯过程。
  • 直觉：收敛率由经验过程项 |ν̂ₙ − ν|'{1,LogLip} 的收敛速度主导（Lemma 2.2），而 Wasserstein 余项在 d≤3 时可忽略。FCLT 的证明通过线性化将 φ̂ₙ − φ 表示为 (L⁻¹_A)* T{∇φ}(ν − ν̂ₙ) 加上可忽略的余项，然后应用经验过程的 CLT（Lemma 2.3）。

  • 必要条件：d≤3 对 FCLT 是必要的，因为当 d≥4 时，|ν̂ₙ − ν|'_{1,LogLip} 的收敛速度慢于 n^{-1/2}（由熵积分控制），且二阶余项不再可忽略。

  • Theorem 2.10（Bootstrap 一致性）：当 d≤3 时，√n(φ̂ₙ − φ̂ₙ) 条件依分布收敛到与 Theorem 2.4(ii) 相同的极限。直觉：bootstrap 经验过程 Gₙ 在 W^{2,p} 对偶空间中条件收敛到 G_ν（因为 W^{2,p} 的单位球是 Donsker 类），然后通过线性化映射的连续性得到 bootstrap 势函数的一致性。

  • Theorem 2.12（熵正则化势的界）：∥φ_ε ⊕ ψ_ε − φ ⊕ φ∥_{L¹(µ⊗ν)} 的阶为 ε log(1/ε)。直觉*：上界来自稳定性不等式（将 ε 视为 ν̃ 与 ν 之间的"偏差"），下界来自 Malamut and Sylvestre (2025) 对正则化值的渐近展开。

证明路线与技术技巧

整体路线（以 Theorem 2.4 为例）：

  1. 稳定性不等式（Theorem 2.1）：将势函数误差与 ν̂ₙ − ν 的弱对偶范数 + Wasserstein 余项联系起来。
  2. 控制经验过程项（Lemma 2.2）：用 Dudley 熵积分 bound E[|ν̂ₙ − ν|'_{1,LogLip}]。关键步骤：① 证明 C^{1,LogLip} 单位球的覆盖数 bound（Lemma E.1，通过 Whitney 延拓 + 分片仿射逼近）；② 应用 Dudley 定理得到不同维度下的率。
  3. 控制 Wasserstein 余项：利用已知的 W₂(ν̂ₙ, ν) 率（(7)式）和 ω_{LogLip} 的凹性，证明 E[W₂·ω_{LogLip}(W₂)] ≲ β(n,d)。
  4. 线性化（Proposition 4.1）：对光滑测试函数 g，将 (ν̂ₙ − ν)(g∘∇φ*) 展开为 ∫⟨[∇²φ]⁻¹∇g, ∇(φ̂ₙ − φ)⟩ dµ 加上余项。余项由 ∥g∥{W^{2,BMO}}·W₂·ω{LogLip}(W₂) 控制。
  5. 对偶论证：对任意 h ∈ L^∞0(Ω)，求解 Neumann 问题 L_A u = h，得到 u ∈ W^{2,BMO}/⟨1⟩。将 g = u 代入线性化公式，利用分部积分将 ∫⟨[∇²φ]⁻¹∇u, ∇(φ̂ₙ − φ)⟩ dµ 转化为 ∫ h(φ̂ₙ − φ) dx。取 sup{∥h∥_∞ ≤ 1} 得到 L¹(Ω) 估计。
  6. FCLT：对 p > max{d, 2d/(4-d)}，用 W^{2,p} 椭圆估计代替 W^{2,BMO} 估计，得到 √n(φ̂ₙ − φ) = (L⁻¹_A)* T_{∇φ}(√n(ν − ν̂ₙ)) + o_P(1) 在 L^{p'} 中。然后应用 Lemma 2.3（经验过程的 W^{2,p} 对偶空间 CLT）和连续映射定理。

关键跳跃点： - 从线性化到 L¹ 估计：需要求解 Neumann 问题 L_A u = h 并得到 W^{2,BMO} 估计（Theorem B.2）。这是整个证明的技术核心，因为 h 只是 L^∞ 的，不能期望 u 有有界二阶导数，但 BMO 估计恰好够用（嵌入 C^{1,LogLip}）。 - W^{2,BMO} 估计的建立（Appendix B-C）：通过 Green 函数方法，将解表示为 u(x) = ∫ G(x,y) h(y) dy，然后对 Green 函数建立内点和边界点的逐点导数估计（Lemma C.1, C.2, C.3），最终得到二阶导数的 BMO 范数 bound。这需要精细的椭圆正则性理论（Schauder 估计、Sobolev 迭代、冻结系数法）。 - 从 W^{2,BMO} 到 C^{1,LogLip} 的嵌入（Lemma D.1）：利用 John-Nirenberg 不等式和 Orlicz-Sobolev 嵌入定理（Cianchi, 1996），证明 W^{2,BMO} 函数的梯度具有对数-Lipschitz 连续性。

技术技巧点名： - 经验过程理论：Dudley 熵积分（Lemma 2.2 的证明），用于控制 C^{1,LogLip} 对偶范数的期望。 - 椭圆正则性理论：Schauder 估计、Calderón-Zygmund 估计、W^{2,BMO} 端点估计（Theorem B.2），用于求解线性化 Neumann 问题。 - Green 函数方法（Appendix B-C）：构造并估计与 Neumann 问题关联的 Green 函数，得到解的逐点导数界。 - 冻结系数法（Lemma C.2）：在边界附近将变系数方程与常系数方程比较，得到 Green 函数导数的边界估计。 - Orlicz-Sobolev 嵌入（Lemma D.1）：证明 W^{2,BMO} 嵌入 C^{1,LogLip}。 - 多面体逼近下界（Proposition 2.7）：利用强凸函数不能被少量仿射片快速逼近的事实，得到高维下的 minimax 下界。

真实例子与应用

数据：Loss–ALAE 数据集（Frees and Valdez, 1998），包含 1,500 个一般责任保险索赔的赔付金额（Loss）和理赔费用（ALAE）。剔除 34 个有保单限额的索赔后，剩余 n = 1,466 个观测。对两个变量做 log₁₀(1 + ·/1000) 变换。

如何应用： - 参考分布 µ：平移后的单位圆盘 Unif{B(0,1)} 的仿射变换，支撑在正象限。 - 目标分布 ν：变换后的索赔数据经验分布。 - 计算半离散 Brenier 势 φ̂ₙ（通过求解连续源半对偶问题，使用平均 SGD）。 - 定义两个参考区域：Ω_a（外东北扇区，代表联合大损失）和 Ω_b（中心圆盘，代表典型损失）。 - 计算区域影子溢价 θ_{a,b} = ∫ φ w_{a,b} dµ，其中 w_{a,b} 是区域对比权重。

结果： - 估计值 θ̂_{a,b} = 1.529（在变换后的损失尺度上）。 - Bootstrap 标准误 0.0192，95% bootstrap 区间 [1.4906, 1.5664]。 - 正态近似区间 [1.4910, 1.5662]，与 bootstrap 区间几乎一致。

这个例子想说明什么： 1. 验证理论：在 d=2 时，Theorem 2.4 保证 √n(θ̂{a,b} − θ{a,b}) 是渐近正态的，且 bootstrap 一致。数值结果支持这一结论（bootstrap 分布接近标准正态）。 2. 展示相对 baseline 的优势：区域影子溢价 θ_{a,b} 是一个函数值对比，它揭示了哪个参考区域驱动了风险度量的变化，而全局标量 ρ_µ(ν̂ₙ) 无法提供这种空间信息。这直接呼应了论文的核心论点：势函数保留了比传输值或传输映射更丰富的信息。

🔎 结论是否比证明窄

  • Theorem 2.4(ii) 的 FCLT 只在 d≤3 时成立，且收敛空间是 L^{p'}(Ω)/⟨1⟩（p' < 6/5 当 d=3），这是一个非常弱的空间。作者明确承认："does not imply convergence in H¹ or any control of the transport maps ∇φ̂ₙ − ∇φ in L²(µ)"（Remark 2.8 之后）。这意味着 FCLT 不能用于推断映射或点态值。
  • Corollary 2.11 的联合推断只对固定有限个 L^p 加权对比成立。作者没有声称对无限多个对比或函数本身（如逐点置信带）的推断。
  • Theorem 2.12 的熵正则化界只对归一化不变和（即 φ_ε ⊕ ψ_ε − φ ⊕ φ* 的 L¹(µ⊗ν) 范数）成立，而不是对单个势函数 φ_ε 或 ψ_ε 的 L¹ 范数。作者通过 (20) 式将和与正则化值联系起来，但单个势函数的界需要额外的归一化选择。
  • 高维（d≥5）下只有率，没有极限分布。作者只证明了 n^{-2/d} 的率是紧的（通过多面体下界），但没有给出任何 CLT 或推断方法。这留下了开放问题。

四、开放问题

  1. 高维（d≥4）下的极限理论：本文对 d≥4 只给出了收敛率，没有 FCLT。能否在高维下建立某种形式的极限分布（例如在更弱拓扑下，或对特定加权对比）？这扎根于 Theorem 2.4(ii) 的 d≤3 限制和 Remark 2.8 中关于高维下界的讨论。

  2. 非二次代价或非欧几何：稳定性不等式（Theorem 2.1）的证明强烈依赖于二次代价的线性化结构（∇²φ 的出现）和欧氏几何。能否将类似方法推广到一般凸代价（如 p-代价）或 Riemannian 流形上的平方距离？这扎根于 Introduction 1.2.3 节引用的 Mischler and Trevisan (2024) 和 Kitagawa, Letrouit and Mérigot (2025) 的工作。

  3. 熵正则化势的逐点或 L^∞ 收敛：Theorem 2.12 只给出了 L¹(µ⊗ν) 下的 ε log(1/ε) 界。能否得到逐点或 L^∞ 下的收敛率？这扎根于 Theorem 2.12 的证明，其中只用了 L¹ 范数。

  4. 计算-统计权衡：本文的估计器是精确半离散 Brenier 势，其计算复杂度随 n 增长（求解 n 个 Laguerre 细胞的凸优化）。能否设计一个计算上更高效的估计器（如基于神经网络或熵正则化），并保持类似的统计收敛率？这扎根于 Introduction 1.2.5 节对熵正则化的讨论，以及用户对统计-计算权衡的兴趣。

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