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The V-fold jackknife for semiparametric inference: variance estimation, confidence intervals, and simultaneous confidence bands

作者: Yi Li, Ashkan Ertefaie, Mark van der Laan
主题: 效率理论 / Debiased ML
相关性: 8/10
链接: https://arxiv.org/abs/2607.22493

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

这个子方向的核心问题是：如何为现代半参数估计量（尤其是那些依赖机器学习算法的估计量）提供计算高效且理论上可靠的推断（方差估计、置信区间、联合置信带）？ 传统上，bootstrap 是默认工具，但其理论性质在数据自适应估计的背景下常常不明确，且计算成本高昂。该方向旨在寻找替代方案，这些方案应直接利用估计量自身的渐近线性展开，而不是依赖于对重抽样分布的重建。

发展脉络（history）

  1. 奠基工作：经典 Jackknife 与 Bootstrap

    • Quenouille (1949) 和 Tukey (1958)：提出了 jackknife 方法，用于偏差估计和方差估计。Tukey 引入了“伪值”（pseudo-values）的概念，这是本文方法的核心构件。
    • Efron (1979)：提出了 bootstrap，并指出对于非光滑泛函（如样本中位数），普通的 delete-1 jackknife 会失效，而删除更大组别的观测可以缓解这个问题。这为分组 jackknife 提供了直觉基础。
    • Brillinger (1964)：在经典参数设定下（最大似然估计），证明了固定分组数 V 时，Studentized 分组 jackknife 统计量收敛到自由度为 V-1 的 t 分布。这是本文定理 1 的直接先驱。

  2. 主要进展：Jackknife 方差估计的一致性理论

    • Shao & Wu (1989)：发展了 delete-d jackknife 方差估计量一致性的通用理论，强调了底层泛函的平滑性或可微性。本文的定理 2（发散 V 下的方差一致性）建立在这一工作之上，但针对的是不同的设定：使用单个平衡分区，且假设直接基于 RAL 展开和折层余项稳定性。

  3. 当前 Frontier：半参数与机器学习估计量的推断

    • Chernozhukov et al. (2018)：提出了去偏机器学习（DML）框架，使用交叉拟合（cross-fitting）来估计半参数参数。本文在讨论部分（9.3节）指出，V-fold jackknife 可以自然地集成到交叉拟合的工作流中，因为昂贵的 nuisance 估计步骤已经完成。
    • van der Laan (2023)：发展了高阶样条高度自适应 lasso（HAL）估计量的点态渐近正态性理论，其收敛速度慢于 √n，且影响函数方差发散。本文的第 7 节专门将 V-fold jackknife 理论推广到这类“广义渐近线性估计量”，并以 HAL 剂量反应曲线作为主要应用例子。
    • Ohlendorff et al. (2025)：提出了“廉价子抽样”（cheap subsampling）方法，与本文共享计算动机。但本文指出，该方法引入了额外的调优参数（子样本比例 m/n），且其 t_B 校正是蒙特卡洛复制误差，而非数据成分的有限数量。

  4. 本文的位置：本文系统地将固定 V 的 t_{V-1} 结果从经典 MLE 推广到整个正则渐近线性估计量类（定理 1），建立了发散 V 下方差估计量的 √V 一致性（定理 2），并首次基于分组 jackknife 构建了联合置信带（定理 4）。它还通过尺度不变性，将框架扩展到非 √n 收敛率的估计量（定理 7, 8）。本文的定位是提供一个计算上比 bootstrap 更轻、理论上比 bootstrap 更直接（与估计量自身的一阶线性化挂钩）的推断框架。

子线索聚类

  1. 经典 Jackknife 理论：包括 Quenouille (1949), Tukey (1958), Brillinger (1964), Miller (1974), Shao & Wu (1989)。这一簇关注 jackknife 在参数或平滑设定下的理论性质（偏差、方差、一致性）。
  2. Bootstrap 及其变体：包括 Efron (1979), Efron & Tibshirani (1993), van der Vaart (1998), Gill et al. (1989), Praestgaard & Wellner (1993), Lam (2022), Ohlendorff et al. (2025)。这一簇关注 bootstrap 及其计算高效的变体，但其理论验证通常需要更强的条件（如 Hadamard 可微性）。
  3. 基于影响函数的半参数推断：包括 Chernozhukov et al. (2018), Zheng & van der Laan (2011), van der Laan (2019), D´ıaz & van der Laan (2013)。这一簇依赖于显式推导和评估影响函数（EIC）来进行推断，计算上通常只需一次拟合，但推导复杂，且可能数值不稳定。
  4. 复杂抽样中的 Jackknife：包括 Kott (1998, 2001), Kott & Garren (2011), Yang et al. (2020)。这一簇在调查抽样中被称为“delete-a-group jackknife (DAGJK)”，本文为其在半参数设定下的应用提供了通用理论。

这个方向在追问的核心问题

  1. 计算效率：如何在不进行成百上千次重拟合（如 bootstrap）的情况下，获得有效的推断？
  2. 理论可靠性：对于数据自适应估计量，如何确保推断方法（如 bootstrap）的理论有效性？其所需的正则性条件（如 Hadamard 可微性）是否成立？
  3. 易用性：如何避免推导和评估复杂的影响函数（EIC）？能否提供一个“即插即用”的推断工具？
  4. 非标准收敛率：当估计量收敛速度慢于 √n 时（如非参数函数估计），如何构建有效的置信区间？已知的瓶颈是，delta 方法需要知道并估计发散的方差率，而这可能非常困难。

⚠️ 作者的 framing

  • 作者把缺口 frame 成什么：作者将缺口 frame 为：bootstrap 在现代半参数和机器学习设定下，其理论性质“largely unstudied”（未充分研究），且其计算成本“substantial”（巨大）。因此，需要一个“computationally efficient and theoretically justified alternative”（计算高效且理论上合理的替代方案）。作者将 V-fold jackknife 定位为这样一个方案，其有效性直接与估计量自身的“asymptotic linearity and fold-level remainder stability”（渐近线性和折层余项稳定性）挂钩，而不是与 bootstrap 对完整自适应估计过程的近似挂钩。
  • 哪些竞争路线被他淡化或回避了：作者淡化了 bootstrap 的实用性，强调其理论验证的困难。对于基于影响函数（EIC）的方法，作者承认其计算成本低（1次拟合），但指出其需要显式推导影响函数，且可能在数值上失败（如在 HAL 剂量反应曲线中，失败率高达 6.2%）。作者也淡化了廉价 bootstrap 变体（如 Ohlendorff et al. 2025），指出它们引入了额外的调优参数（子样本比例），且其 t 校正是蒙特卡洛误差而非数据成分的有限数量。
  • 什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里？：作者在附录 B 中提到了 Chen & Kato (2020) 的“jackknife multiplier bootstrap”，但并未在引言中引用。这可能是因为 Chen & Kato 的方法与本文方法有本质不同（它使用 leave-one-out jackknife 来估计 Hajek 投影，然后将其输入到外部的高斯乘子 bootstrap 方案中，而不是直接对伪值进行 Studentization）。这是一个值得研究者去查的张力点：为什么作者选择不将 Chen & Kato (2020) 作为主要的相关工作来讨论？

张力

未见明显对立引用。被引工作之间没有在略不同条件下得出相反结论的明显例子。它们更多地是在不同的设定（参数 vs. 半参数，平滑 vs. 非平滑）下发展不同的工具。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：

    • O_i：第 i 个观测数据，i.i.d. 来自未知分布 P_0。
    • P_0：真实的数据生成分布。
    • Ψ(P_0)：目标参数，一个从统计模型 M 到实数的映射（标量）。
    • Ψ̂(P_n)：基于全样本 P_n 的估计量。
    • φ = φ_{P_0}：影响函数，一个均值为 0、方差有限的函数。
    • R(P_n, P_0)：渐近线性展开中的余项，满足 R(P_n, P_0) = o_p(n^{-1/2})。
    • V：折数（fold number），一个固定的整数（如 5, 10, 20）。
    • I_v：第 v 折的观测索引集合，大小 |I_v| = n/V。
    • P_{n, -v}：去掉第 v 折后的经验分布（leave-fold-out 样本）。
    • Ψ̂(P_{n, -v})：基于 leave-fold-out 样本的估计量。
    • IC_Jack(v)：第 v 个 jackknife 伪值，定义为 V Ψ̂(P_n) - (V-1) Ψ̂(P_{n, -v})。
    • Ψ̂_Jack(P_n)：jackknife 估计量，即所有伪值的均值 (1/V) Σ_v IC_Jack(v)。
    • Ŝ_Jack²：V-fold jackknife 方差估计量，定义为 (V-1)^{-1} Σ_v (IC_Jack(v) - Ψ̂_Jack(P_n))²。
    • cSE：jackknife 标准误，定义为 Ŝ_Jack / √V。
    • t_{V-1, 1-α/2}：自由度为 V-1 的 t 分布的 (1-α/2) 分位数。

  • 模型：

    • 假设估计量 Ψ̂(P_n) 是正则渐近线性 (RAL) 的，即它满足： Ψ̂(P_n) - Ψ(P_0) = P_n φ + R(P_n, P_0) 其中 P_n φ = (1/n) Σ_i φ(O_i) 是影响函数的样本均值，R(P_n, P_0) = o_p(n^{-1/2}) 是渐近可忽略的余项。
    • 目标参数 Ψ(P_0) 是路径可微 (pathwise differentiable) 的，这意味着其影响函数 φ 存在且方差有限。

  • 可观测数据：

    • 可观测：n 个 i.i.d. 样本 O_1, ..., O_n。研究者可以计算全样本估计量 Ψ̂(P_n) 和 V 个 leave-fold-out 估计量 Ψ̂(P_{n, -v})。
    • 想要但观测不到：影响函数 φ 本身是未知的，因为它依赖于真实分布 P_0。因此，基于影响函数的方差 Var(φ(O)) 也是未知的，需要估计。V-fold jackknife 的核心思想就是不直接估计 φ，而是通过伪值的离散度来近似 φ 的方差。

第二步：讲最小内核

最简特例：线性估计量 (Linear Estimator)

假设 Ψ̂(P_n) 是一个精确的线性估计量，即余项 R(P_n, P_0) = 0。那么： Ψ̂(P_n) - Ψ(P_0) = P_n φ = (1/n) Σ_i φ(O_i)

现在，考虑第 v 折的伪值： IC_Jack(v) = V Ψ̂(P_n) - (V-1) Ψ̂(P_{n, -v})

代入线性展开： IC_Jack(v) = V [Ψ(P_0) + P_n φ] - (V-1) [Ψ(P_0) + P_{n, -v} φ] = Ψ(P_0) + V P_n φ - (V-1) P_{n, -v} φ

注意，P_n φ 是全样本均值，P_{n, -v} φ 是去掉第 v 折后的样本均值。它们之间有一个精确的关系： P_n φ = (1/V) P_{n, v} φ + ((V-1)/V) P_{n, -v} φ 其中 P_{n, v} φ 是第 v 折内的样本均值。

代入上式： IC_Jack(v) = Ψ(P_0) + V [(1/V) P_{n, v} φ + ((V-1)/V) P_{n, -v} φ] - (V-1) P_{n, -v} φ = Ψ(P_0) + P_{n, v} φ + (V-1) P_{n, -v} φ - (V-1) P_{n, -v} φ = Ψ(P_0) + P_{n, v} φ

核心发现：对于精确的线性估计量，第 v 个伪值 IC_Jack(v) 恰好等于目标参数 Ψ(P_0) 加上第 v 折内影响函数的样本均值 P_{n, v} φ。

因此，伪值的均值（jackknife 估计量）是： Ψ̂_Jack(P_n) = (1/V) Σ_v IC_Jack(v) = Ψ(P_0) + (1/V) Σ_v P_{n, v} φ = Ψ(P_0) + P_n φ = Ψ̂(P_n) （对于线性估计量，jackknife 估计量等于全样本估计量，偏差为 0。）

伪值的样本方差 Ŝ_Jack² 是： Ŝ_Jack² = (1/(V-1)) Σ_v (IC_Jack(v) - Ψ̂_Jack(P_n))² = (1/(V-1)) Σ_v (P_{n, v} φ - P_n φ)²

这正是 V 个独立折层均值 P_{n, v} φ 的样本方差。由于每个折层有 n/V 个 i.i.d. 观测，根据中心极限定理，当 n/V 足够大时，P_{n, v} φ 近似服从均值为 0、方差为 (V/n) Var(φ) 的正态分布。

现在，考虑 Studentized 统计量： T = √V (Ψ̂_Jack(P_n) - Ψ(P_0)) / Ŝ_Jack = √V (P_n φ) / Ŝ_Jack

由于 Ŝ_Jack² 是 V 个独立近似正态随机变量的样本方差，根据经典统计理论，T 近似服从自由度为 V-1 的 t 分布。这就是 Brillinger (1964) 的结果，也是本文定理 1 的核心。

总结：这篇论文在数学上干了一件什么事？它证明了，即使对于更一般的渐近线性估计量（有余项），只要余项足够小，上述 t 分布近似仍然成立。其核心思路是：伪值 IC_Jack(v) 近似等于 Ψ(P_0) + P_{n, v} φ，因此伪值的离散度近似等于折层均值 P_{n, v} φ 的离散度，从而 Studentized 统计量近似服从 t 分布。 这个近似不依赖于方差估计量 Ŝ_Jack² 是否依概率收敛到真实方差，因为 t 分布的分位数已经为这种不确定性提供了校正。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：为现代半参数估计量（特别是基于机器学习的估计量）开发一个计算高效且理论上严谨的推断框架，用于方差估计、置信区间和联合置信带的构建。
  2. 核心工具 / 方法：V-fold jackknife。该方法仅需 V 次留出重拟合，利用 jackknife 伪值的经验离散度来量化不确定性，无需推导或评估影响函数。
  3. 主要结论：对于正则渐近线性估计量，固定 V 时 Studentized 统计量收敛到 t_{V-1} 分布（定理 1）；当 V 发散时，方差估计量以 V^{-1/2} 速率一致（定理 2）；该方法可扩展到联合置信带（定理 4）和非 √n 收敛率的广义渐近线性估计量（定理 7, 8）。

关键设定与假设

  • 核心设定：估计量 Ψ̂(P_n) 是正则渐近线性 (RAL) 的，即 Ψ̂(P_n) - Ψ(P_0) = P_n φ + R(P_n, P_0)，其中 R(P_n, P_0) = o_p(n^{-1/2})。这是整个理论的基础。
  • 关键假设（定理 1，固定 V）：
    1. E_{P_0}[φ] = 0，0 < σ² = E_{P_0}[φ²] < ∞。
    2. R(P_n, P_0) = o_p(n^{-1/2})。
    3. max_{1≤v≤V} |R(P_{n, -v}, P_0)| = o_p(n^{-1/2})。这个假设要求 leave-fold-out 估计量的余项也足够小，是保证伪值近似成立的关键。
  • 关键假设（定理 2，发散 V）：
    1. 与定理 1 相同的 RAL 假设。
    2. V → ∞，V = o(n)。
    3. 折层余项差异条件：∥d_n∥_{V,2} = o_p(1/(√n V))，其中 d_{n,v} = R(P_n, P_0) - R(P_{n, -v}, P_0)。这个条件要求全样本和 leave-fold-out 样本的余项差异足够小，是方差估计量一致性的关键。
  • 相比已有文献的放宽/强化：
    • 相比 Brillinger (1964)：将固定 V 的 t_{V-1} 结果从 MLE 推广到整个 RAL 类。
    • 相比 Shao & Wu (1989)：使用单个平衡分区（而非平均多个删除子集），假设直接基于 RAL 展开（而非一般的平滑性条件）。
    • 相比 bootstrap：不依赖于 Hadamard 可微性，而是依赖于更直接的渐近线性和折层余项稳定性。

主要结果

  • 定理 1 (固定 V 的 t 分布收敛)：对于固定 V ≥ 2，在满足上述假设的条件下，Studentized V-fold jackknife 统计量收敛到自由度为 V-1 的 t 分布。这意味着即使方差估计量不依概率收敛，也能通过使用 t 分布的分位数来获得有效的置信区间。
  • 定理 2 (发散 V 的方差一致性)：当 V → ∞ 且满足折层余项差异条件时，V-fold jackknife 方差估计量 σ̂² = (n/V) Ŝ_Jack² 是真实方差 σ² 的一致估计，且收敛速率为 V^{-1/2}。这为 Wald 型置信区间提供了理论基础。
  • 定理 4 (联合置信带)：对于 m 维参数向量，固定 V 时，分量 Studentized 向量收敛到一个由真实相关矩阵 R_0 决定的极限分布 T_∞。该分布不同于标准的多变量 t 分布，其分位数需通过蒙特卡洛模拟计算。这为构建联合置信带提供了理论基础。
  • 定理 7 & 8 (非 √n 收敛率)：将上述结果推广到影响函数方差发散（σ_n → ∞）的广义渐近线性估计量。由于 Studentization 的尺度不变性，未知的收敛率 σ_n 在 Studentized 统计量中被抵消，因此相同的 V-fold jackknife 程序无需知道有效维度即可提供有效的推断。

证明路线与技术技巧（理论型）

整体路线（以定理 1 为例）： 1. 伪值分解：将伪值 IC_Jack(v) 分解为 Ψ(P_0) + P_{n, v} φ + 余项。证明的关键是，通过代数恒等式，全样本余项 R(P_n, P_0) 被精确抵消，只留下 leave-fold-out 余项的组合。 2. 方差估计量等价：证明 Ŝ_Jack² 与折层均值 W_v = P_{n, v} φ 的样本方差 S_W² 在渐近意义下等价（引理 1）。这依赖于余项假设 max_v |R(P_{n, -v}, P_0)| = o_p(n^{-1/2})。 3. 中心化等价：证明 jackknife 估计量 Ψ̂_Jack(P_n) 与全样本估计量 Ψ̂(P_n) 的差异是 o_p(cSE)（引理 2），因此可以将 Studentized 统计量中心化在 Ψ̂(P_n) 上。 4. 极限分布：将 Studentized 统计量表示为 (√V * 折层均值均值) / (折层均值标准差) + o_p(1)。由于折层均值是独立同分布随机变量的均值，根据中心极限定理和连续映射定理，该统计量收敛到 t_{V-1} 分布。

关键跳跃点： * 引理 1 的证明：证明 Ŝ_Jack² 和 S_W² 的差异是 o_p(n^{-1})。这需要仔细处理余项 ∆_v 的阶数，并利用 W_v - W̄ = O_p(n^{-1/2}) 和 max_v |∆_v| = o_p(n^{-1/2}) 来证明交叉项和平方项都是可忽略的。 * 定理 2 的证明：证明方差估计量的一致性。关键跳跃点在于将 (n/V) Ŝ_W² 精确分解为 (1/n) Σ φ_i² + T_n + ...，其中 T_n 是折内交叉项。然后证明 T_n = O_p(V^{-1/2})，从而得到 σ̂² = (1/n) Σ φ_i² + O_p(V^{-1/2})。这需要计算 T_n 的方差，并利用 V → ∞ 的条件。

技术技巧点名： * 代数恒等式：在伪值分解和方差分解中，大量使用代数恒等式来精确抵消或分离出余项。 * 连续映射定理：用于从折层均值的联合正态分布推导出 Studentized 统计量的 t 分布。 * Slutsky 定理：用于处理中心化等价和余项可忽略性。 * Cauchy-Schwarz 不等式：用于在定理 2 中界定量交叉项。 * U-统计量方差计算：用于计算 T_n 的方差，得到 O(V^{-1}) 的阶数。

真实例子与应用

本文包含三个详细的模拟实验，是验证理论的重要部分： 1. 平均处理效应 (ATE) 的标量推断： * 数据/场景：模拟数据，包含 8 个协变量、一个二元处理和一个连续结果。通过 TMLE 和 Super Learner 估计 ATE。考虑了四种场景（倾向性得分模型正确/错误指定，正性假设中等/严重）。 * 方法应用：将 V-fold jackknife (V=5,10,20) 与 EIC 方法、bootstrap 和稳健方差估计进行比较。 * 结果：在 n=200 时，EIC 方法严重欠覆盖（70-87%），而 V-fold jackknife 达到 93-98% 的覆盖。在 n=1000 时，差距缩小，但 V-fold jackknife 仍保持良好覆盖。 * 说明的问题：验证了定理 1 在有限样本下的有效性，特别是在 EIC 方法失效（由于 nuisance 估计不精确）的情况下。同时展示了 V 的选择对区间宽度的影响（V 越小，t 分位数越重尾，区间越宽，但覆盖更保守）。

  1. Kaplan-Meier 生存曲线的点态和联合推断：

    • 数据/场景：模拟右删失生存数据，n=200，在 91 个时间点上评估生存函数。
    • 方法应用：比较 V-fold jackknife 与 Greenwood 公式（点态）以及经典的 Hall-Wellner 和 Equal Precision 带（联合）。
    • 结果：点态覆盖接近 95%。联合覆盖（V=20）达到 94.6%，与经典方法（96.6%）相当。
    • 说明的问题：验证了定理 4 在功能参数上的有效性。通过分析有效秩（effective rank），解释了即使 V < m（91个点），秩亏的相关矩阵估计也能很好地工作，因为相邻时间点高度相关，有效维度很低。

  2. HAL 剂量反应曲线的推断：

    • 数据/场景：模拟四种不同复杂度的剂量反应曲线（光滑、振荡、分段光滑、不连续），n=500，在 20 个剂量点上评估。
    • 方法应用：比较 V-fold jackknife (V=20) 与 delta 方法和 bootstrap。这是对定理 7 和 8 的验证。
    • 结果：对于光滑和振荡曲线，V-fold jackknife 达到近 95% 的点态覆盖，而 delta 方法严重欠覆盖（低至 72%）且数值失败率高达 6.2%。对于不连续曲线，所有方法覆盖都下降，但 V-fold jackknife 仍是最高的。偏差校正的联合置信带（定理 6）在偏差适中时恢复了近名义覆盖。
    • 说明的问题：展示了 V-fold jackknife 在非 √n 收敛率设定下的实际价值。其尺度不变性使其无需知道有效维度 J_n 即可自动适应发散的方差，而 delta 方法需要显式计算发散的方差，这既困难又数值不稳定。

🔎 结论是否比证明窄

  • 定理 4 的联合置信带：作者明确指出，对于固定 V，极限分布 T_∞ 依赖于真实相关矩阵 R_0，而 R_0 在固定 V 下是不可一致估计的。因此，正式的 plug-in 联合覆盖有效性需要 V → ∞（定理 5）。然而，模拟中使用了固定 V（如 V=20）并取得了良好效果。作者将此归因于低有效秩，并承认这是“empirical support”（经验支持），而非“formal fixed-V coverage theorem”（正式的固定 V 覆盖定理）。这是一个重要的窄结论。
  • 定理 6 的偏差校正：定理 6 的证明依赖于一个均匀相对误差条件 ε_n = max_j |b̂_j - b_j| / cSE_j → 0。作者在模拟中展示了当偏差适中时（DGPs 1-2），该条件似乎成立，但当偏差很大时（DGPs 3-4），校正不充分。这表明定理 6 的结论可能比其证明所依赖的条件更窄，即它不能保证在偏差很大的情况下恢复名义覆盖。

四、开放问题

  1. 依赖数据的 V 选择：作者在 9.1 节给出了选择 V 的实用指导（如 V=10 到 20 是合理的默认值），并提出了一个基于有效秩的启发式规则（V ≥ 2 r̂_V）。一个开放问题是：能否开发一个完全数据自适应的程序来选择 V，以平衡偏差-方差和计算成本？这扎根于论文的 9.1 节和 9.3 节。

  2. 增长维度的联合推断：论文的联合置信带理论假设 m 是固定的。一个自然的扩展是允许 m = m_n → ∞，例如在密集网格上评估函数。这需要均匀控制余项，并可能涉及高斯过程近似。这扎根于论文的 9.2 节（“The simultaneous confidence band theory assumes fixed m; extending to a growing number of evaluation points ... is beyond the scope of this paper.”）。

  3. 依赖数据的推广：论文假设 i.i.d. 数据。将框架扩展到时间序列或聚类数据，需要将折层结构替换为块或基于聚类的分区，类似于块 bootstrap 方法。这扎根于论文的 9.3 节（“adapting the framework to dependent data ... would require replacing the i.i.d. fold structure with block or cluster-based partitions”）。

  4. 与高阶影响函数 (HOIF) 的连接：论文的方法基于一阶渐近线性展开。一个开放问题是，对于需要高阶展开才能获得有效推断的估计量（例如，当一阶余项不可忽略时），V-fold jackknife 是否仍然有效，或者是否需要类似“高阶 jackknife”的构造？这扎根于研究者自身的兴趣（HOIF）和论文的 9.2 节（“Parameters fall outside the present theory when the required asymptotic linearity or fold-stable remainder conditions fail”）。

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