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The Influence Function of Transport-based Quantiles

作者: Alberto Gonz\'alez-Sanz, Shunan Sheng, Bohan Wu, Marco Avella Medina
主题: 非参数 / 半参数
相关性: 7/10
链接: https://arxiv.org/abs/2607.19080

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本文研究的核心问题是：多变量分位数（transport-based quantile）的稳健性。具体来说，它关注的是当目标分布 \(P\) 受到一个点质量（Huber 污染）的微小扰动时，基于最优传输（OT）的分位数映射 \(Q_P\) 会如何变化。这个子方向的根本统计问题是：如何量化一个复杂的、非线性的统计泛函（如 OT 映射）对数据中单个异常点的敏感性？ 当前，该方向处于一个“已知高崩溃点，但未知影响函数”的成熟度阶段——即已知 OT 分位数能容忍大量污染（高崩溃点），但对其在无穷小污染下的局部行为（影响函数）几乎一无所知。

发展脉络（history）

作者在引言中梳理了一条清晰的脉络，从奠基工作到当前前沿：

  1. 奠基工作：OT 分位数的定义与性质。Chernozhukov et al. (2017) 和 Hallin et al. (2021) 开创性地将最优传输引入多变量分位数定义，证明了它能够完全刻画目标分布（即 \(Q_P\) 是双射），而基于 Tukey 深度的分位数则不具备这一性质（Nagy, 2021）。这为后续统计推断奠定了基础。

  2. 主要进展：OT 分位数的统计性质。一系列工作开始系统研究其统计性质，包括：Ghosal and Sen (2022) 证明了经验 OT 分位数的一致性；Hallin et al. (2022) 将其用于半参数 VARMA 模型；Deb et al. (2024) 基于 OT 定义了分布无关的关联度量；Huang and Sen (2025) 推广了 Wilcoxon 检验；del Barrio et al. (2025) 研究了非参数分位数回归；Shi et al. (2025) 提出了基于 OT 的独立性检验。这些工作表明 OT 分位数已成为一个活跃的统计工具。

  3. 当前 Frontier：OT 分位数的稳健性。稳健性分析有两个经典工具：崩溃点和影响函数。关于崩溃点，Paindaveine and Passeggeri (2026)、Avella Medina and González-Sanz (2026) 和 Gonzalez-Sanz and Avella Medina (2026) 已经证明，在适当条件下，OT 分位数具有高崩溃点（即能容忍大量污染）。然而，作者明确指出：“despite its fundamental importance, the influence function of transport quantiles has not yet been systematically investigated.” 这正是本文要填补的缺口。

  4. 本文的位置：本文是首次系统研究多变量（\(d \ge 2\)）OT 分位数影响函数的论文。它揭示了与单变量情形（影响函数有界）截然不同的极点型奇异性，并由此推测经验 OT 分位数可能具有非高斯、重尾的极限分布。

子线索聚类

这些被引文献大致落在三条子线索上：

  • 线索一：OT 分位数的统计推断。包括 Chernozhukov et al. (2017), Hallin et al. (2021, 2022), Ghosal and Sen (2022), Deb et al. (2024), Huang and Sen (2025), del Barrio et al. (2025), Shi et al. (2025)。这一簇主要关注 OT 分位数的定义、一致性、渐近分布、假设检验等经典统计问题，但基本不涉及稳健性。
  • 线索二：OT 映射的稳定性。包括 Loeper (2009), González-Sanz and Sheng (2024), del Barrio and Loubes (2019), Manole et al. (2023), Balakrishnan and Manole (2025)。这一簇研究 OT 映射在光滑扰动下的定量/定性稳定性，通常使用 PDE 方法。本文的技术路线（PDE 表征）直接继承自这一线索，但面临的核心挑战是：Huber 污染（点质量）是非光滑的，导致经典方法失效。
  • 线索三：多变量分位数的稳健性。包括 Donoho and Gasko (1992), Chen and Tyler (2002), Konen and Paindaveine (2025, 2026), Konen (2025)。这一簇研究其他多变量分位数（如 Tukey 中位数、M-分位数、空间分位数）的稳健性（崩溃点、影响函数）。本文的研究对象（OT 分位数）是这一簇的新成员，其影响函数此前未被研究。

这个方向在追问的核心问题

  1. 影响函数是否存在且唯一？ 对于非线性的 OT 映射，在点质量扰动下，极限 \(\lim_{t \downarrow 0} (Q_{P_t} - Q_P)/t\) 是否存在？
  2. 影响函数的形式是什么？ 它能否被一个 PDE 的解的梯度所表征？
  3. 影响函数的奇异性如何？ 与单变量分位数（有界）相比，多变量 OT 分位数的影响函数是否更“敏感”？其发散速率是多少？
  4. 奇异性对统计推断有何影响？ 它是否意味着经验 OT 分位数不满足 \(\sqrt{n}\)-渐近正态性？其收敛速率和极限分布是什么？

已知瓶颈：主要瓶颈在于 Huber 污染的非光滑性。经典方法（如隐函数定理）要求扰动是光滑的，而点质量扰动导致 \(Q_{P_t}\) 不可微（Proposition 4.1 (i)），因此需要全新的分析工具（PDE + 调和分析）。

⚠️ 作者的 framing

作者将缺口 frame 成：“尽管 OT 分位数已被证明有高崩溃点，但其影响函数尚未被研究。” 这使得本文成为“显然的下一步”——填补稳健性分析中缺失的关键一环。

  • 被淡化/回避的竞争路线：作者没有深入讨论其他多变量分位数（如空间分位数）的影响函数结果（Konen and Paindaveine, 2026），只是简单提及。这暗示作者认为 OT 分位数因其“完全刻画分布”的性质而更优越，因此其影响函数的研究更有价值。
  • 值得研究者去查的问题：引言中引用了 Konen (2025) 关于“几何分布函数通过分数阶拉普拉斯算子被完全刻画”的工作。这篇论文与本文的 PDE 方法有潜在联系，但作者没有展开。值得去查：Konen (2025) 的 PDE 刻画是否能为 OT 分位数的影响函数提供另一种推导路径？或者，OT 分位数与几何分位数之间是否存在某种对偶关系，使得影响函数的结果可以相互转化？

张力

未见明显对立引用。所有被引工作都在各自的设定下自洽，没有出现“在略不同条件下得相反结论”的情况。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：

    • \(\mu\): 固定的参考分布（reference measure），通常取为单位球上的均匀分布 \(U(B_1(0))\)。它是已知的、固定的。
    • \(P\): 目标分布（target distribution），是我们想要研究其分位数的分布。它是未知的、待估计的。
    • \(Q_P := T_{\mu \to P}\): 从 \(\mu\) 到 \(P\) 的最优传输映射，定义为传输分位数函数（transport quantile function）。它是一个从 \(\mu\) 的支撑集 \(\Omega_\mu\) 到 \(P\) 的支撑集 \(\Omega_P\) 的映射。这是我们要研究的统计泛函。
    • \(F_P := Q_P^{-1}\): 传输分布函数（transport distribution function），是 \(Q_P\) 的逆映射。
    • \(z \in \Omega_\mu\): 一个固定的分位数水平（quantile level）。我们关心的是 \(Q_P(z)\) 这个点。
    • \(x_0 \in \Omega_P\): 污染点（contamination point），即异常值所在的位置。
    • \(P_t := (1-t)P + t\delta_{x_0}\): Huber 污染模型。\(t \in [0,1]\) 是污染比例。
    • \(Q_{P_t}\): 污染后的传输分位数。
    • \(I(x_0; Q_P(z)) := \lim_{t \downarrow 0} (Q_{P_t}(z) - Q_P(z))/t\): 影响函数。它量化了在 \(x_0\) 处施加无穷小污染时，\(Q_P(z)\) 的一阶变化率。
    • \(\xi_t := (Q_{P_t} - Q_P)/t\): 归一化后的差值。其极限（如果存在）就是影响函数的梯度势。
    • \(G_{x_0}\): 一个势函数（potential function），其梯度就是影响函数：\(I(x_0; Q_P(z)) = \nabla G_{x_0}(z)\)。
    • \(d\): 维度，且 \(d \ge 2\)（本文主要结果针对多变量情形）。

  • 模型：

    • 数据生成机制：我们观测到来自目标分布 \(P\) 的 i.i.d. 样本 \(X_1, \dots, X_n \sim P\)。\(P\) 是未知的，但假设它是“正则的”（regular，见 Definition 2.2）：支撑集 \(\Omega_P\) 是凸的、有界的、\(C^{2,1}\) 光滑的；密度 \(f_P\) 在支撑集上 \(C^{1,\alpha}\) 光滑且上下有界（\(0 < \lambda \le f_P \le \Lambda\)）。参考分布 \(\mu\) 也是正则的。
    • 要估的对象：对于给定的分位数水平 \(z\)，我们想要估计 \(Q_P(z)\)，即从 \(\mu\) 到 \(P\) 的最优传输映射在 \(z\) 点的值。
    • 已知条件：\(\mu\) 是完全已知的。\(P\) 的密度 \(f_P\) 和支撑集 \(\Omega_P\) 满足正则性条件，但具体形式未知。

  • 可观测数据：

    • 可观测：来自 \(P\) 的 i.i.d. 样本 \(X_1, \dots, X_n\)。我们可以计算经验分布 \(P_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \delta_{X_i}\)。
    • 想要但观测不到：传输分位数 \(Q_P(z)\) 本身。我们只能通过经验分布 \(P_n\) 来估计它，即计算 \(Q_{P_n}(z)\)。此外，影响函数 \(I(x_0; Q_P(z))\) 是一个理论量，依赖于未知的 \(P\)，无法直接观测。本文的核心就是推导出这个理论量的性质。

第二步：讲最小内核

本文的最小内核是单位球上的均匀分布这个特例。在这个特例下，几乎所有复杂的正则性假设都自动满足，而核心的数学困难——极点型奇异性——已经显现。

  • 最简特例：设 \(\mu = P = U(B_1(0))\)，即参考分布和目标分布都是 \(d\) 维单位球上的均匀分布。那么，从 \(\mu\) 到 \(P\) 的最优传输映射就是恒等映射：\(Q_P(z) = z\)。相应地，传输分布函数也是恒等映射：\(F_P(x) = x\)。

  • 污染模型：考虑在原点 \(x_0 = 0\) 处进行 Huber 污染：\(P_t = (1-t)U(B_1(0)) + t\delta_0\)。

  • 核心问题：在这个特例下，影响函数 \(I(0; Q_P(z))\) 是什么？它有什么性质？

  • 答案（Proposition 4.1 (iii)）：当 \(z=0\) 时（即我们关心的是 OT 中位数），影响函数有一个极其简洁的表达式：

    \[I(x; 0) = \begin{cases} 0, & x = 0 \\ \frac{1}{d} \left( \|x\|^{-d} - (1-d) \right) x, & x \neq 0 \end{cases}\]
    这个公式揭示了核心的数学困难：

    • 极点型奇异性：当 \(x \to 0\) 时，\(\|I(x; 0)\| \sim \frac{1}{d} \|x\|^{-(d-1)}\)。也就是说，影响函数的范数以 \(\|x\|^{-(d-1)}\) 的速度发散到无穷大。这与单变量（\(d=1\)）时影响函数有界（仅为 \(\text{sgn}(x)\)）形成鲜明对比。
    • 为什么难：这个奇异性意味着，即使是一个无穷小的污染（\(t \to 0\)），如果污染点 \(x_0\) 恰好落在我们关心的分位数点 \(Q_P(z)\) 附近，它对估计量的影响也是巨大的。这直接导致了经验 OT 分位数 \(Q_{P_n}(z)\) 的收敛速率变慢，且极限分布不再是高斯分布。

  • 证明思路（在这个特例下）：证明的核心是求解一个带有 Dirac 源和 Neumann 边界条件的椭圆 PDE：

    \[\Delta G = 1 - L^d(B_1(0)) \delta_x, \quad \frac{\partial G}{\partial n} = 0 \text{ on } \partial B_1(0)\]
    这个 PDE 的解 \(G_x(z)\) 的梯度就是影响函数。对于单位球，这个 PDE 的 Green 函数有显式解（Wirth, 2020），从而可以显式计算影响函数。这个显式解直接展示了 \(\|z-x\|^{-(d-1)}\) 的奇异性。

  • 一般情形的推广：对于一般的正则分布 \(P\)，Caffarelli 定理（Theorem 2.3）保证了 \(Q_P\) 是 \(C^{2,\alpha}\) 光滑的，且其 Jacobian 矩阵 \(\nabla Q_P\) 是正定对称的。因此，通过变量变换（将 \(P\) 拉回到均匀分布），一般情形下的 PDE 变为：

    \[\text{div}(f_\mu [\nabla Q_P]^{-1} \nabla G) = \mu - \delta_{F_P(x_0)}\]
    这是一个系数光滑的均匀椭圆 PDE，其解在源点 \(F_P(x_0)\) 处具有与单位球情形相同的极点型奇异性。因此，整个证明的核心就是：将一般问题通过 Caffarelli 正则性约化到与单位球情形类似的 PDE 问题，然后利用 PDE 理论（Schauder 估计、Moser 迭代）来刻画解的奇异性。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：在多变量（\(d \ge 2\)）Huber 污染模型下，研究了基于最优传输的分位数映射 \(Q_P(z)\) 的影响函数的存在性、唯一性及其奇异性。
  2. 核心工具/方法：利用 PDE 方法，将影响函数表征为一个带有 Dirac 源和 Neumann 边界条件的均匀椭圆方程的解的梯度。证明路线从 \(L^2\) 估计出发，通过 \(L^q\) 估计和局部 \(C^{2,\alpha}\) 估计，最终利用 PDE 的正则性理论（Moser 迭代、Schauder 估计）和 Green 函数的性质来刻画奇异性。
  3. 主要结论：影响函数存在且唯一，并由一个 PDE 的解的梯度给出。当 \(d \ge 2\) 时，该影响函数具有极点型奇异性：当污染点 \(x_0\) 接近分位数点 \(Q_P(z)\) 时，其范数以 \(\|z - F_P(x_0)\|^{-(d-1)}\) 的速度发散。这意味着影响函数的二阶矩无穷大，经验 OT 分位数可能不满足 \(\sqrt{n}\)-渐近正态性，而是以更慢的速率收敛到重尾分布。

关键设定与假设

  • 正则性假设（Definition 2.2）：\(\mu\) 和 \(P\) 都是“正则的”。这是整个理论分析的基石，它保证了：
    • Caffarelli 定理（Theorem 2.3）成立，从而 \(Q_P\) 和 \(F_P\) 是 \(C^{2,\alpha}\) 光滑的，且 \(\nabla Q_P\) 是正定对称的。这使得 PDE 方法成为可能。
    • PDE 的系数 \(f_\mu [\nabla Q_P]^{-1}\) 是光滑且一致椭圆的。
  • 与已有文献的对比：相比 Loeper (2009) 和 González-Sanz and Sheng (2024) 中考虑的光滑扰动，本文的 Huber 污染是非光滑的（点质量）。因此，本文的假设虽然与它们类似，但面临的技术挑战完全不同。本文的贡献在于证明了，即使在非光滑扰动下，通过更精细的分析（\(L^q\) 估计、局部 \(C^{2,\alpha}\) 估计），仍然可以刻画影响函数。

主要结果

  • Theorem 3.1 (影响函数的存在性与表征)：

    • 陈述：对于任意 \(x_0 \neq Q_P(z)\)，影响函数 \(I(x_0; Q_P(z))\) 存在且唯一。它等于一个势函数 \(G_{x_0}\) 的梯度：\(I(x_0; Q_P(z)) = \nabla G_{x_0}(z)\)。
    • 直觉：\(G_{x_0}\) 是 PDE \(\text{div}(f_\mu [\nabla Q_P]^{-1} \nabla G) = \mu - \delta_{F_P(x_0)}\) 的解。这个 PDE 的物理意义是：在点 \(F_P(x_0)\) 处有一个“负单位源”（\(\delta_{F_P(x_0)}\)），而整个区域有一个均匀的“正源”（\(\mu\)）。这个势场的梯度就刻画了 OT 映射对污染的敏感性。
    • 必要条件：\(x_0 \neq Q_P(z)\)。当 \(x_0 = Q_P(z)\) 时，影响函数为 0（Remark 3.4 (a)）。
    • 解决的技术难点：证明了极限的存在性。由于 \(Q_{P_t}\) 不可微，不能直接使用隐函数定理。作者通过先证明 \(\xi_t = (Q_{P_t} - Q_P)/t\) 在 \(L^q\) 中一致有界，然后利用 Kolmogorov-Riesz-Fréchet 定理证明其相对紧性，从而得到极限的存在性。

  • Theorem 3.3 (影响函数的极点型奇异性)：

    • 陈述：对于 \(z \in \text{int}(\Omega_\mu)\)，存在常数 \(C > 0\) 使得：
      • (i) 全局上界：\(\|I(x_0; Q_P(z))\| \le C / \|z - F_P(x_0)\|^{d-1}\)。
      • (ii) 局部双界：当 \(x_0\) 充分接近 \(Q_P(z)\) 时，\(\|I(x_0; Q_P(z))\| \asymp 1 / \|z - F_P(x_0)\|^{d-1}\)。
    • 直觉：这个结果意味着 OT 分位数对“内点”（inliers）——即那些其传输分布函数值 \(F_P(x_0)\) 接近分位数水平 \(z\) 的点——极其敏感。这种敏感性随着维度 \(d\) 的增加而加剧（发散速率更快）。
    • 必要条件：\(d \ge 2\)。当 \(d=1\) 时，影响函数有界。
    • 解决的技术难点：证明奇异性。作者通过将 PDE 的解分解为奇异部分（基本解 \(\Phi_{x_0}\)）和正则部分（\(v = G_{x_0} - \Phi_{x_0}\)），然后证明正则部分的梯度在奇异点附近是 Hölder 连续的，从而主导项来自基本解的梯度。这需要精细的 PDE 正则性估计（局部最大原理、Schauder 估计）。

  • Proposition 3.5 (污染点原像的形状)：

    • 陈述：污染点 \(x_0\) 在 \(\Omega_\mu\) 中的原像 \(K_{t, x_0} = Q_{P_t}^{-1}(x_0)\) 在 \(t \to 0\) 时，渐近地像一个半径为 \(t^{1/d}\) 的球（\(d \ge 3\)）或半径为 \(\sqrt{t|\log t|}\) 的球（\(d=2\)）。
    • 直觉：这个结果刻画了污染是如何在“分位数空间”中扩散的。为了将质量为 \(t\) 的点质量 \(x_0\) 传输回去，OT 映射必须将 \(\mu\) 中一个体积为 \(t\) 的区域映射到 \(x_0\)。这个区域的形状和大小由 Proposition 3.5 给出。
    • 解决的技术难点：利用 John 引理（Lemma 5.9）将任意凸集 \(K_{t, x_0}\) 用一个椭球逼近，然后通过 \(L^2\) 估计（Theorem 5.1）来控制椭球的轴长。

证明路线与技术技巧

  • 整体路线（参见 Figure 1）：

    1. \(L^2\) 估计（Theorem 5.1）：证明 \(\|Q_{P_t} - Q_P\|_{L^2(\mu)}^2\) 以快于 \(t\) 的速率收敛到 0（\(t^{1+2/d}\) 或 \(t^2|\log t|\)）。这是整个证明的基石，但它本身不足以得到影响函数（因为除以 \(t\) 后发散）。
    2. \(L^q\) 估计（Proposition 5.3）：证明 \(\xi_t = (Q_{P_t} - Q_P)/t\) 在 \(L^q(\mu)\) 中一致有界（\(q < d(d+2)/(d^2+2d-4)\)）。这一步通过线性化技巧（Lemma 5.4）和 PDE 的 \(L^p\) 理论（Lemma A.1）实现。
    3. 局部 \(C^{2,\alpha}\) 估计（Proposition 5.5）：在远离奇异点 \(F_P(x_0)\) 的区域上，证明 \(\xi_t\) 在 \(C^{2,\alpha}\) 范数下一致有界。这一步利用 Caffarelli 的内点正则性理论（Lemma 5.6）和 Schauder 估计。
    4. 证明 Theorem 3.1：利用 Kolmogorov-Riesz-Fréchet 定理，从 \(L^q\) 有界性和局部 \(C^{2,\alpha}\) 有界性推出 \(\xi_t\) 在 \(L^q\) 中相对紧，从而存在极限 \(G_{x_0}\)。然后通过 PDE 的弱形式（5）来唯一刻画这个极限。
    5. 证明 Theorem 3.3：将 \(G_{x_0}\) 分解为基本解 \(\Phi_{x_0}\)（对应 PDE 的奇异部分）和正则部分 \(v\)。利用 PDE 的正则性理论（局部最大原理、Schauder 估计）证明 \(\nabla v\) 在奇异点附近有界，从而 \(\nabla G_{x_0}\) 的奇异性由 \(\nabla \Phi_{x_0} \sim \|z - F_P(x_0)\|^{-(d-1)}\) 主导。

  • 关键跳跃点：

    • 从 \(L^2\) 到 \(L^q\)：\(L^2\) 估计表明 \(\|\xi_t\|_{L^2}\) 发散，但作者通过巧妙的线性化（Lemma 5.4）和 PDE 的 \(L^p\) 理论，证明了 \(\xi_t\) 在更弱的 \(L^q\) 范数下一致有界。这是整个证明中最具技巧性的一步。
    • 从 \(L^q\) 到局部 \(C^{2,\alpha}\)：利用 PDE 的局部最大原理（Moser 迭代）和 Schauder 估计，将 \(L^q\) 控制提升为局部 \(C^{2,\alpha}\) 控制。这一步依赖于 Caffarelli 定理提供的系数光滑性。

  • 技术技巧点名：

    • Caffarelli 定理 (Theorem 2.3)：提供了 \(Q_P\) 和 \(F_P\) 的 \(C^{2,\alpha}\) 正则性，是整个 PDE 方法的基础。
    • Moser 迭代：用于局部最大原理，从 \(L^q\) 界推导出 \(L^\infty\) 界。
    • Schauder 估计：用于从 \(L^\infty\) 界推导出 \(C^{2,\alpha}\) 界。
    • John 引理 (Lemma 5.9)：用于将任意凸集用椭球逼近，从而控制其大小。
    • Kolmogorov-Riesz-Fréchet 定理：用于证明函数序列在 \(L^q\) 中的相对紧性。
    • Green 函数 / 基本解：用于分解 PDE 的解，分离出奇异部分。

真实例子与应用

  • 数据/场景：模拟数据。\(\mu = P = U(B_1(0))\)（\(d=3\)），污染点 \(x_0 = 0\)。研究 OT 中位数 \(Q_P(0)\) 的经验估计 \(Q_{P_n}(0)\)。
  • 方法应用：计算经验 OT 中位数 \(Q_{P_n}(0)\) 和线性统计量 \(\frac{r_n}{n} \sum_{i=1}^n I(X_i; Q_P(0))\)，其中 \(r_n = n^{1/d}\)。通过比较两者的分布来验证 Conjecture 4.4。
  • 结果：
    • Figure 3 显示，随着样本量 \(n\) 增大，\(r_n Q_{P_n}(0)\) 的分布与线性统计量的分布越来越接近，且都表现出重尾特征。
    • Table 1 的 Kolmogorov-Smirnov 检验无法拒绝“两者分布相同”的原假设（\(p > 0.16\)），支持了 Conjecture 4.4。
    • Jarque-Bera 检验强烈拒绝正态性假设（\(p < 10^{-7}\)），表明极限分布是非高斯的。
  • 例子想说明什么：这个模拟实验旨在为 Conjecture 4.4 提供数值证据，即经验 OT 分位数不满足 \(\sqrt{n}\)-渐近正态性，而是以 \(n^{-1/d}\) 的速率收敛到一个重尾分布。它直观地展示了 Theorem 3.3 中影响函数奇异性对统计推断的深远影响。

🔎 结论是否比证明窄

  • Conjecture 4.4 (渐近线性形式)：这是一个猜想，不是严格证明的结论。作者只证明了其一个“弱版本”（Proposition 4.5）：在测试函数 \(g\) 下，线性化成立。但点态版本的线性化（即 (11) 式）仍未证明。作者明确将其标注为“conjecture”。
  • Proposition 4.5 的局限性：该命题证明的是“对偶形式”下的线性化，即 \(\int \langle Q_{P_n} - Q_P, [\nabla Q_P]^{-1} \nabla g \rangle d\mu\) 的渐近行为。这比直接证明 \(Q_{P_n}(z) - Q_P(z)\) 的渐近线性表示要弱。作者在证明中使用了 \(g \in C^{1,\eta}\) 的测试函数，这相当于对 OT 映射的差异进行了“平滑处理”，避开了点态奇异性带来的困难。
  • 结论的严格范围：本文严格证明的结论是：影响函数存在、唯一、具有极点型奇异性，且其 \(L^2\) 矩无穷大。关于经验 OT 分位数的收敛速率和极限分布，目前仍停留在猜想和数值证据阶段。作者在 Section 4.2 中明确讨论了这一点，并指出证明点态线性化是“challenging”。

四、开放问题

  1. 证明 Conjecture 4.4：严格证明经验 OT 分位数 \(Q_{P_n}(z)\) 的渐近线性表示（11），并确定其收敛速率 \(r_n\) 和极限分布（可能是 \(d\)-维稳定分布）。扎根点：Section 4.2 的 Conjecture 4.4 及其后的讨论。

  2. 刻画极限分布：如果 Conjecture 4.4 成立，那么极限分布的具体形式是什么？是各向同性的稳定分布吗？其谱测度（spectral measure）由什么决定？扎根点：Conjecture 4.4 之后关于稳定域吸引的讨论，以及 Proposition 4.5 中关于测试函数 \(g\) 的 CLT 结果。

  3. 高阶影响函数：本文只研究了影响函数（一阶项）。能否定义并计算 OT 分位数的高阶影响函数（如二阶项）？这能否解释有限样本下 \(Q_{P_n}\) 与线性统计量之间的偏差（如 Figure 3 中方差的不完全匹配）？扎根点：Theorem 3.1 只给出了第一阶极限。作者在 Remark 3.2 (c) 中提到了对称性 \(G_x(z) = G_{Q_P(z)}(F_P(x))\)，这可能是推导高阶项的一个线索。

  4. 其他污染模型下的影响函数：本文只考虑了 Huber 污染（点质量）。对于其他类型的污染，如局部污染（contamination by a smooth density）或替换污染（replace-ment contamination），OT 分位数的影响函数会是什么？扎根点：引言中提到的“smooth perturbations”已有研究（Loeper, 2009; González-Sanz and Sheng, 2024），但本文的“nonsmooth”扰动是全新的。探索介于两者之间的污染模型可能是一个有趣的方向。

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