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Two-stage Adaptive Testing of Large-scale Mediation Hypotheses

作者: Yueqi Xu, Kwun Chuen Gary Chan
主题: 数理统计 / 假设检验
相关性: 8/10
链接: https://arxiv.org/abs/2607.17579

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

这个子方向解决的根本问题是：如何在大规模（成千上万到数十万个候选）中介效应假设检验中，在控制错误发现率（FDR）的同时，最大化检验功效（即发现真正中介的能力）。核心困难在于，每个中介假设的零假设是复合的（H0j: δj * βj = 0，即暴露-中介路径或中介-结果路径至少一条为零），而传统的 Sobel 检验和联合显著性检验（MaxP）在这种复合零假设下是保守的，导致功效极低。当前该领域已从“如何构造单个中介的检验”发展到“如何在大规模多重比较中处理复合零假设的保守性”，成熟度较高，但仍有改进空间。

发展脉络（history）

  • 奠基工作：Baron & Kenny (1986) 提出了经典的中介分析框架和逐步回归法。Sobel (1982) 提出了基于 Delta 方法的乘积系数检验（Sobel 检验）。MacKinnon et al. (2002) 系统比较了多种中介检验方法，指出联合显著性检验（MaxP）的实用性。这些工作奠定了单个中介检验的基础，但未考虑大规模多重比较问题。
  • 主要进展（处理复合零假设的保守性）：Liu et al. (2022) 提出了 DACT（Divide-Aggregate Composite-null Test），通过估计三种零假设情形（全局零、部分零）的比例来构造加权复合 p 值，显著提升了功效。Dai et al. (2022) 提出了 HDMT，通过估计混合零分布来调整 MaxP 统计量的拒绝阈值。Yang et al. (2025) 提出了 M-DACT，结合了 DACT 和 HDMT 的思路，同时进行加权和阈值调整。这三篇工作（本文的核心竞争方法）都聚焦于“在校准复合零分布后，对所有 J 个假设直接应用 FDR 控制程序”。
  • 当前 frontier 与本文位置：本文指出，即使经过上述校准，对所有 J 个假设直接进行多重比较仍然需要支付一个“全基因组”的多重比较惩罚，这在信号稀疏时（如表观遗传学中，绝大多数 CpG 位点不是中介）会严重限制功效。本文的切入点是：先通过一个筛选步骤，过滤掉那些极可能是全局零假设（两条路径都为零）的候选中介，只对剩下的候选进行正式的多重比较。这个思路借鉴了 Sarkar et al. (2013) 的两阶段自适应设计框架，但本文的关键创新在于：利用中介检验中两条路径 p 值的特殊结构，构造出渐近独立的筛选 p 值和检验 p 值，从而避免了样本分割或复杂的依赖调整。

子线索聚类

这些被引文献大致落在三条子线索上： 1. 单中介检验方法：Baron & Kenny (1986), Sobel (1982), MacKinnon et al. (2002)。关注单个中介的检验统计量和零分布。 2. 大规模中介检验的复合零假设校准：Liu et al. (2022) [DACT], Dai et al. (2022) [HDMT], Yang et al. (2025) [M-DACT]。核心是估计复合零假设中不同情形的比例，并据此调整 p 值或拒绝阈值，然后对所有假设进行 FDR 控制。 3. 两阶段筛选与多重比较：Sarkar et al. (2013) [两阶段自适应设计框架], Jeng et al. (2019) [adSMR 信号缺失率筛选方法], Derkach et al. (2020) [中介分析中的分组检验，也用了多步筛选]。本文属于这一条线索，但通过构造渐近独立 p 值对，解决了前序工作中筛选与检验依赖性的问题。

这个方向在追问的核心问题

  1. 如何准确估计复合零假设中全局零、部分零的比例？ DACT、HDMT、M-DACT 给出了不同方案，但估计的准确性直接影响后续检验的校准。
  2. 如何在不损失功效的前提下，有效减少多重比较的负担？ 两阶段筛选是自然思路，但如何保证筛选后的检验仍能控制 FDR 是一个关键挑战。
  3. 如何处理候选中介之间的相关性？ 大多数方法假设独立性，但实际数据（如 DNA 甲基化位点）存在复杂的区块相关结构，这会影响 FDR 控制的稳健性。

⚠️ 作者的 framing

  • 作者把缺口 frame 成什么：作者认为，现有方法（DACT, HDMT, M-DACT）即使校准了复合零分布，仍然需要对所有 J 个假设进行多重比较，这在信号稀疏时惩罚过重。因此，本文的“显然的下一步”是：通过一个筛选步骤，在进入正式 FDR 控制之前，先大幅减少假设数量。作者强调，他们的关键贡献是利用中介检验中两条路径 p 值的渐近独立性，构造出渐近独立的筛选 p 值和检验 p 值，从而使得这个两阶段程序可以合法地使用全部数据（无需样本分割）且无需复杂的依赖调整。
  • 哪些竞争路线被他淡化或回避了：作者明确选择了“一次只检验一个中介”的模型（Model 1），并说“their goal in mediation testing is often to identify whether a potential variable is a mediator without considering its joint effect with other mediators”。这淡化了高维联合建模的路线（如 Derkach et al. 2020 的 Group Testing，Tian et al. 2022 的 Knockoff Filter），这些方法试图同时考虑所有中介，但需要更复杂的推断技术（如 debiasing）。作者回避了讨论这些方法在 FDR 控制上的相对优劣，只简单提及“For large J, inference requires advanced debiasing techniques”。
  • 什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里？ 作者引用了 Bourgon et al. (2010) 关于独立筛选的经典工作，但未深入讨论其与本文方法的联系与区别。此外，关于“p 值变换”的文献，作者只引用了 Tippett (1931) 的最小 p 值变换，但未引用更现代的关于“p 值组合与独立性”的文献（如 Fisher 方法、Stouffer 方法等），也未讨论为何选择这种特定的变换形式。

张力

未见明显对立引用。所有被引工作都承认 Sobel 和 MaxP 检验的保守性，并致力于改进。主要差异在于改进路径（校准 vs. 筛选），但本文作者将其 frame 为互补而非对立。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：

    • A: 暴露/处理变量（随机变量）。
    • Mj: 第 j 个候选中介变量（随机变量），j = 1, ..., J。
    • Y: 结局变量（随机变量）。
    • X: 基线协变量向量（随机变量）。
    • δj: 暴露 A 对中介 Mj 的因果效应（参数，要检验 H0δ,j: δj = 0）。
    • βj: 在控制 A 和 X 后，中介 Mj 对结局 Y 的因果效应（参数，要检验 H0β,j: βj = 0）。
    • p1j: 检验 H0δ,j 得到的 p 值（随机变量）。
    • p2j: 检验 H0β,j 得到的 p 值（随机变量）。
    • p(1)j: p1j 和 p2j 中的较小值（有序统计量）。
    • p(2)j: p1j 和 p2j 中的较大值（有序统计量）。
    • p*_{1/2,j}: 变换后的筛选 p 值，定义为 1 - (1 - p(1)j)^2。
    • p*_{2/2,j}: 变换后的检验 p 值，定义为 1 - (1 - p(2)j) / (1 - p(1)j)。
    • J: 候选中介的总数（假设数）。
    • n: 样本量。
    • tγ: 第一阶段的筛选阈值。
    • α: 目标 FDR 水平。

  • 模型：

    • 对于每个候选中介 Mj，分别拟合两个线性回归模型（Model 1）：
      • Mj = δ0,j + δj * A + δX,j^T * X + εM,j
      • Y = β0,j + βj * Mj + βA,j * A + βX,j^T * X + εY,j
    • 其中 εM,j 和 εY,j 是均值为零的独立误差项。这个模型是“一次一个中介”的，不假设所有中介同时进入结局模型。

  • 可观测数据：

    • 研究者能观测到的是 (A, Mj, Y, X) 的样本，共 n 个独立同分布观测。
    • 从上述两个回归模型中，可以计算出每个 j 的路径 p 值 p1j 和 p2j。这些 p 值是可观测的。
    • 想要但观测不到的量：真实的 δj 和 βj 值，以及它们是否为零。我们只能通过 p 值进行推断。复合零假设 H0j: δj * βj = 0 的真假也是未知的。

第二步：讲最小内核

本文的核心思路可以用一个最简特例来理解：假设只有一个候选中介（J=1），且两个路径 p 值 p1 和 p2 在零假设下是独立且服从均匀分布 Unif(0,1) 的。

在这个特例下，本文要解决的问题是：如何构造一个检验，既能有效筛选出“两条路径都为零”的全局零假设，又能对剩下的假设进行有效的检验？

核心想法： 1. 构造两个新的 p 值： - 筛选 p 值 p*_{1/2} = 1 - (1 - p(1))^2。这个值很小当且仅当 p(1)（即 min(p1, p2)）很小。在全局零假设下（p1, p2 ~ Unif(0,1) 独立），p(1) 的分布是 Beta(1,2)，其累积分布函数 F(t) = 1 - (1-t)^2。因此，p*_{1/2} = F(p(1)) 在全局零假设下服从 Unif(0,1)。这个 p 值专门用来检测“至少有一条路径显著”的信号。 - 检验 p 值 p*_{2/2} = 1 - (1 - p(2)) / (1 - p(1))。这个变换的妙处在于：在全局零假设下，p*_{2/2} 不仅服从 Unif(0,1)，而且与 p*_{1/2} 是独立的。这是通过 Rényi 表示证明的：给定 p(1)，p(2) 的条件分布是 Unif(p(1), 1)，因此 (1-p(2))/(1-p(1)) 的条件分布是 Unif(0,1)，与 p(1) 无关。这个 p 值专门用来检验“第二条路径是否也显著”，即检验复合零假设。

  1. 两阶段程序：
    • 第一阶段（筛选）：使用 p*_{1/2} 进行筛选。如果 p*_{1/2} > tγ，则拒绝该假设为全局零（即两条路径都为零），不进入第二阶段。这相当于用“至少一条路径显著”这个更宽松的标准来过滤。
    • 第二阶段（检验）：对通过筛选的假设（即 p*_{1/2} ≤ tγ 的假设），使用 p*_{2/2} 进行正式的 FDR 控制检验。由于 p*_{1/2} 和 p*_{2/2} 在全局零下独立，筛选过程不会扭曲第二阶段 p 值的零分布。因此，可以直接对通过筛选的 p*_{2/2} 应用标准的 FDR 控制方法（如 BH 过程），无需任何额外调整。

为什么这个特例能体现核心思路？ - 它清晰地展示了如何通过一个巧妙的 p 值变换，将“复合零假设检验”问题分解为两个独立的、分别针对“至少一条路径”和“第二条路径”的检验。 - 它揭示了渐近独立性的来源：p(2) 在给定 p(1) 下的条件均匀分布。这个性质是本文所有理论结果的基石。 - 它说明了为什么两阶段程序能提升功效：第一阶段过滤掉大量“两条路径都不显著”的假设，使得第二阶段需要处理的多重比较数量大大减少，从而降低了 FDR 控制的阈值，提高了发现真正中介的能力。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：针对大规模中介效应假设检验中，现有方法（DACT, HDMT, M-DACT）因对所有假设进行多重比较而导致功效不足的问题，提出了一种两阶段自适应检验程序。
  2. 核心工具 / 方法：利用两条路径 p 值的渐近独立性，构造了一对渐近独立的 p 值（p*_{1/2} 用于筛选，p*_{2/2} 用于检验），并采用数据自适应的信号缺失率（adSMR）方法选择第一阶段筛选阈值，第二阶段使用 Storey 的 FDR 估计量进行 step-up 控制。
  3. 主要结论：该程序在渐近意义上控制 FDR，且在模拟和真实数据（Normative Aging Study）中，相比 DACT、HDMT、M-DACT，在保持 FDR 控制的同时，显著提升了检验功效，尤其是在信号稀疏的场景下。

关键设定与假设

  • 模型设定：采用“一次一个中介”的线性模型（Model 1），这是本文方法的基础。作者明确选择此设定，因为“p-values can be readily obtained by practitioners”。
  • 核心假设：
    1. 路径 p 值的渐近独立性：(p1j, p2j) 在样本量 n → ∞ 时，依分布收敛到一对独立的随机变量 (D1, D2)。其中，若 H0δ,j 为真，则 D1 ~ Unif(0,1)；若 H0β,j 为真，则 D2 ~ Unif(0,1)。这个假设源于得分检验的正交性（Liu et al., 2022; Dai et al., 2022），是本文所有理论推导的基石。
    2. 零假设 p 值的渐近相互独立性：用于证明定理 2 的 FDR 控制。作者在 Remark 3 中说明，在更强的独立假设下，结论可推广到更一般的 step-up 程序。但模拟部分验证了在区块相关结构下的稳健性。
    3. 信号稀疏性：虽然方法本身不要求，但作者在动机和模拟中强调，该方法在 π00（全局零比例）很大时优势最明显，因为筛选步骤能有效减少假设数量。
  • 相比已有文献的放宽或强化：
    • 放宽：相比需要样本分割的两阶段方法，本文允许使用全部数据，因为构造的 p 值对是渐近独立的。
    • 强化：相比 DACT 等直接对所有假设进行 FDR 控制的方法，本文通过筛选减少了多重比较负担，从而在稀疏信号下获得更高功效。但代价是，如果第一阶段筛选阈值选择不当，可能会漏掉真正的信号。

主要结果

  • 命题 1（p 值变换的性质）：这是本文的理论核心。它证明了在假设 1 下，变换后的 p 值 p*_{1/2,j} 和 p*_{2/2,j} 满足：
    1. 在复合零假设 H0j 下，p*_{2/2,j} 渐近服从 Unif(0,1)。
    2. 在备择假设 H1j 下，p*_{2/2,j} 依概率收敛到 0。
    3. 在 H0j 或 H1j 下，p*_{1/2,j} 和 p*_{2/2,j} 是渐近独立的。
    4. 直觉：性质 1 和 2 保证了 p*_{2/2,j} 是一个有效的检验统计量。性质 3 是两阶段程序可行的关键，它确保了第一阶段筛选不会扭曲第二阶段 p 值的零分布。
  • 定理 2（FDR 控制）：在零假设 p 值渐近相互独立的假设下，使用 Storey 的 FDR 估计量作为第二阶段程序，本文提出的两阶段程序能在渐近意义上将 FDR 控制在预设水平 α 以下。
    • 直觉：证明的核心是利用了 p*_{2/2,j} 在给定第一阶段信息后的鞅性质，以及 Storey 估计量的保守性。通过条件期望和可选停止定理，将 FDR 上界归结为一个小于等于 1 的表达式。
    • 必要条件：零假设 p 值的渐近相互独立性。作者在 Remark 3 中说明，如果第二阶段使用更一般的、满足“保守且坐标单调非减”的零比例估计量，则结论成立。
    • 解决的技术难点：如何证明一个数据自适应的第一阶段筛选阈值（由 adSMR 决定）不会破坏第二阶段的 FDR 控制。作者通过证明渐近独立性，将问题简化为对第二阶段独立 p 值的标准 FDR 控制问题。

证明路线与技术技巧

  • 整体路线：
    1. 建立渐近独立性：通过命题 1，证明 p*_{1/2,j} 和 p*_{2/2,j} 在极限分布下是独立的。这一步依赖于 Rényi 关于有序均匀分布的条件分布表示。
    2. 将问题转化到极限分布：利用连续映射定理和有界收敛定理，证明有限样本下的 FDR 收敛到极限分布下的 FDR。
    3. 在极限分布下证明 FDR 控制：这是证明的核心。定义合适的滤子（filtration），证明 V(t)/t（其中 V(t) 是错误拒绝数）是一个反向鞅。然后利用可选停止定理，将 FDR 表示为关于第一阶段信息的条件期望，并最终通过代数运算和 Storey 估计量的性质，证明其不超过 α。
  • 关键跳跃点：
    • 从有限样本到极限分布的跳跃：证明 FDP(P*(n)) 依分布收敛到 FDP(P*(∞))。这需要证明 FDP 映射在极限分布的支撑上几乎处处连续。作者论证了在极限分布下，零假设 p 值是连续的且相互独立，因此不会出现导致不连续性的“平局”或“恰好等于阈值”的情况。
    • 鞅论证中的关键步骤：在证明 FDR ≤ α 时，需要处理 1/(R1(tγ)π0 - V(tγ, λ) + 1) 的期望。作者巧妙地利用 N(tγ, λ) = R1(tγ)π0 - V(tγ, λ) 在给定第一阶段信息下服从二项分布这一事实，计算了 E[1/(N+1)] 的精确表达式，从而完成了证明。
  • 技术技巧点名：
    • Rényi 表示：用于推导有序均匀分布的条件分布，是构造渐近独立 p 值对的理论基础。
    • 连续映射定理与有界收敛定理：用于从有限样本的渐近分布推导极限性质。
    • 鞅与可选停止定理：用于在第二阶段证明 FDR 控制，这是处理数据自适应阈值（tα）的标准工具。
    • Storey 的 FDR 估计量：作为第二阶段 FDR 控制的默认方法，其保守性和鞅性质被用于证明。
    • Meinshausen-Rice 估计量与 adSMR 程序：用于数据自适应地选择第一阶段筛选阈值，其一致性保证了筛选的有效性。

真实例子与应用

  • 数据 / 场景：Normative Aging Study (NAS)，一个关于男性衰老的纵向研究。目标是识别 DNA 甲基化 CpG 位点，这些位点可能中介了吸烟对肺功能（FEF 25%-75%）的影响。数据集包含 n=603 名男性和 J=484,613 个 CpG 位点。
  • 如何应用：作者直接使用了 Liu et al. (2022) 提供的 p 值（从 Model 1 的线性回归中得到）。然后应用本文提出的两阶段程序：
    1. Stage 1：使用 Meinshausen-Rice 估计量估计全局零比例（π00 = 99.933%），然后通过 adSMR 程序确定筛选阈值 tγ。结果筛选后保留了 3,556 个假设。
    2. Stage 2：对保留的 3,556 个假设，使用 Storey 的 FDR 估计量，在 α=0.05 水平下进行 FDR 控制，最终识别出 23 个 CpG 位点。
  • 得到什么结果：
    • 本文方法识别出 23 个 CpG 位点，而直接对所有 484,613 个假设应用 Stage 2 程序（无筛选）仅识别出 6 个，直观展示了筛选步骤带来的功效提升。
    • 与现有方法对比：本文方法识别出的 23 个位点，包含了 HDMT(emp) 和 M-DACT 识别的全部 21 个位点，并额外发现了 2 个新位点（cg11279857 和 cg23079012）。其中 cg23079012 在先前文献中已被关联到吸烟和肺功能。
  • 这个例子想说明什么：
    • 验证理论：展示了在极端稀疏（π00 ≈ 99.9%）的真实场景下，筛选步骤能有效减少假设数量（从 48 万到 3 千），从而大幅提升发现能力。
    • 展示相对优势：通过与现有最强方法（HDMT, M-DACT）的直接对比，证明了本文方法在真实数据上能发现更多、且生物学上 plausible 的中介位点，体现了其在实际应用中的价值。

🔎 结论是否比证明窄

  • 是。定理 2 的 FDR 控制证明依赖于“零假设 p 值相互独立”的假设。作者在 Remark 3 中承认，这个假设可以放宽到“更一般的线性 step-up 程序”，但证明仍然依赖于某种形式的独立性或正回归依赖性。然而，在真实数据（如 NAS）中，CpG 位点之间存在复杂的区块相关结构。作者在模拟中验证了在区块相关下的稳健性，但没有提供在一般相关结构下 FDR 控制的严格理论证明。因此，论文的结论“controls the false discovery rate asymptotically”在严格意义上只适用于独立或特定依赖结构，对于更一般的依赖结构，这是一个conjecture（基于模拟证据）。
  • 另一个窄化之处：命题 1 的渐近独立性依赖于 (p1j, p2j) 的渐近联合分布收敛到独立均匀分布。这个假设在 Model 1 的线性模型和得分检验下成立，但如果模型设定错误（如存在未观测的混杂、非线性关系），这个假设可能不成立，从而影响方法的有效性。论文没有讨论模型误设下的稳健性。

四、开放问题

  1. 更一般的依赖结构下的 FDR 控制理论：定理 2 的证明依赖于零假设 p 值的相互独立性。虽然模拟验证了区块相关下的稳健性，但能否在更一般的正依赖或弱依赖条件下给出严格的 FDR 控制上界？这扎根于论文的 Remark 3 和模拟部分（Section 3, 图 3）。
  2. 有限样本下的 FDR 控制行为：论文的 FDR 控制是渐近的。在样本量 n 较小或假设数 J 极大时，渐近近似可能不准确，导致 FDR 膨胀或过于保守。论文在 Discussion 中明确提到“the procedure may be less reliable in small samples, and its finite-sample behavior warrants further investigation”。这是一个明确的开放问题。
  3. 扩展到其他复合零假设检验问题：作者在 Discussion 中提出，该两阶段框架可扩展到其他具有类似复合零结构的问题，如可重复性分析（Heller and Yekutieli, 2014）。但作者也指出“the validity of such extensions would require problem-specific justification”。一个具体的开放问题是：对于可重复性分析中的 p 值对，是否也能构造出类似的渐近独立变换？如果不能，需要如何调整两阶段程序？
  4. 第一阶段筛选方法的优化：论文使用了 adSMR 方法，但作者也提供了另一种基于 F1-score 的替代方法（Algorithm 3, Supplementary Materials）。是否存在更优的、针对特定信号结构（如信号聚集在特定区块）的筛选方法？这扎根于论文的 Discussion 部分：“other combinations of screening algorithms, proportion estimators, and test statistics may perform better in particular regimes and worth study”。

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