State-Varying Factor Models of Large Dimensions¶

作者: Markus Pelger, Ruoxuan Xiong
来源: Journal of Business & Economic Statistics
主题: 经济理论 / 应用
相关性: 6/10
链接: 期刊页 · arXiv

一、领域脉络与小综述¶

这个方向是什么¶

本文研究的核心问题是：如何在大规模面板数据（N 和 T 都很大）中，允许因子载荷（factor loadings）随某个可观测的状态变量（state variable）平滑变化，而不是假设其为常数。 传统的因子模型（如 PCA 估计的静态因子模型）假设载荷是时间不变的，这在许多经济/金融应用中过于严格——例如，股票对市场因子的敏感度（beta）会随市场波动率（VIX）或经济周期（繁荣/衰退）而变化。本文提出的“状态变化因子模型”（State-Varying Factor Model, SVFM）将载荷建模为状态过程的非参数函数，并开发了一套完整的估计与推断理论。

该方向的成熟度：中等偏上。因子模型本身（静态、动态）已有非常成熟的渐近理论（Bai 2003, Bai & Ng 2002）。允许载荷随时间/状态变化的工作也有不少（如时变参数因子模型、马尔可夫转换因子模型），但非参数地将载荷建模为可观测状态变量的函数，并给出大样本推断理论（收敛速度、渐近正态、假设检验），是本文的核心贡献。该方向在实证资产定价和宏观经济学中需求明确，但理论上的完整处理（尤其是联合估计因子和状态依赖载荷的渐近性质）此前并不充分。

发展脉络（history）¶

根据本文的引言和参考文献，该领域的发展脉络可梳理如下：

奠基工作：静态因子模型的大样本理论
- Bai (2003, Econometrica)：建立了“交互效应面板模型”（interactive effects panel data model）的渐近理论，其中因子和载荷都是常数。证明了当 N, T → ∞ 时，PCA 估计的因子和载荷是 √N 和 √T 一致的，且渐近正态。这是本文最核心的基准。
- Bai & Ng (2002, Econometrica)：提出了基于信息准则的因子个数选择方法。本文的检验部分也依赖于对因子个数的估计。
主要进展：允许载荷/因子随时间变化
- 时变参数因子模型：一类工作允许载荷是时间的确定性函数（如线性趋势、结构断点）。例如，Stock & Watson (2002, JASA) 和 Del Negro & Otrok (2008, JME) 考虑了因子载荷的时变性，但通常假设变化是平滑的或离散的（马尔可夫转换）。
- 状态空间模型：另一类工作将因子和载荷视为潜变量，通过卡尔曼滤波等状态空间方法估计。例如，Diebold, Rudebusch & Aruoba (2006, J. Econometrics) 对收益率曲线建模。这些方法计算量大，且通常需要参数化假设。
- 本文的定位：作者明确指出，上述工作要么假设载荷是时间的函数（而非状态的函数），要么需要参数化形式。本文的贡献在于：将载荷建模为可观测状态变量（如 VIX、GDP 增长率）的非参数函数，并利用核平滑与 PCA 结合，在 N, T 都大时给出完整的渐近理论。 作者认为，状态变量比时间更能捕捉经济结构的变化（例如，高波动期和低波动期的因子结构不同，无论它们发生在何时）。
当前 Frontier 与本文位置
- 近年来，“条件因子模型”（conditional factor models）在实证资产定价中非常流行，例如 Ferson & Schadt (1996, J. Finance) 将 beta 表示为状态变量的线性函数。本文的非参数方法是对这类线性条件模型的推广。
- 与本文最接近的竞争工作是 Su & Wang (2017, J. Econometrics)，他们考虑了因子载荷是某个不可观测状态变量的非参数函数。本文则假设状态变量是可观测的，这使得估计和推断更直接，也更容易解释（状态变量有经济含义）。
- 本文的位置：它填补了“可观测状态变量驱动的非参数因子载荷”这一设定下的推断理论空白。它不是一个全新的框架，而是将非参数核平滑与PCA这两种成熟工具，在“大 N 大 T”面板下进行了一次严谨的理论整合，并附加了结构变化检验。

子线索聚类¶

这些被引文献大致落在以下 3 条子线索上：

线索 1：静态因子模型的大样本理论（Bai 2003, Bai & Ng 2002, Chamberlain & Rothschild 1983）
- 核心问题：当 N, T → ∞ 时，如何一致地估计潜因子和载荷？如何确定因子个数？
- 方法：PCA、信息准则。
- 本文的利用：直接继承其渐近框架，将常数载荷替换为核估计的载荷。
线索 2：时变/状态依赖的因子模型（Stock & Watson 2002, Del Negro & Otrok 2008, Su & Wang 2017, Ferson & Schadt 1996）
- 核心问题：如何允许因子结构（载荷或因子本身）随时间或经济状态变化？
- 方法：参数化（线性、马尔可夫转换）、半参数（状态变量已知但函数形式未知）。
- 本文的贡献：在可观测状态变量下，提供了非参数估计的完整渐近理论，包括收敛速度和渐近正态性，这是此前工作（如 Su & Wang 2017 处理不可观测状态）所没有的。
线索 3：非参数与半参数面板数据模型（Li & Racine 2007, Henderson & Parmeter 2015）
- 核心问题：如何用核方法估计面板数据中的非参数函数？
- 方法：核平滑、局部线性回归。
- 本文的利用：将核平滑技术应用于因子载荷的估计，并处理了由此带来的“生成回归元”（generated regressors）问题（因子是估计出来的）。

这个方向在追问的核心问题¶

识别问题：在因子模型 \( X_{it} = \lambda_i(z_t)^\top F_t + e_{it} \) 中，因子 \( F_t \) 和状态依赖载荷 \( \lambda_i(z) \) 能否被唯一识别？旋转不确定性（rotational indeterminacy）如何处理？
估计问题：如何联合估计潜因子 \( F_t \) 和状态依赖载荷 \( \lambda_i(z) \)？当 N, T 都大时，估计量的收敛速度是多少？是否受“维数灾难”影响（状态变量 z 的维数）？
推断问题：能否构造因子、载荷和共同成分的置信区间？能否检验“因子结构是否随状态变化”这一假设？
实证应用：在资产定价中，状态依赖的因子模型是否比常数因子模型更好地解释截面收益的差异？状态变量（如 VIX）是否捕捉到了时变的系统性风险？

⚠️ 作者的 framing¶

作者如何 frame 缺口：作者将缺口 frame 为“现有文献要么假设载荷是时间的函数，要么需要参数化，要么状态变量不可观测”。因此，本文的“显然的下一步”是：在可观测状态变量下，用非参数方法估计载荷，并给出完整的推断理论。 作者特别强调，他们的方法可以检验因子结构是否随状态变化，而不仅仅是假设它变化。
被淡化或回避的竞争路线：
- 时变参数因子模型（如 Stock & Watson 2002）被作者一笔带过，认为它们假设载荷是时间的函数，而本文是状态的函数。但作者没有深入讨论：如果状态变量本身是时间趋势（如 GDP 增长率），两种模型可能非常接近。
- 贝叶斯非参数方法（如 Dirichlet 过程混合）没有被提及。这些方法可以自动发现状态的数量和形状，但计算量大且推断依赖先验。作者回避了与这类方法的比较。
什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里？
- Fan, Liao & Mincheva (2011, J. Econometrics) 的“高维协方差矩阵的 POET 估计”及其后续工作。这些工作也处理了因子模型中的异方差性和厚尾，但本文没有引用。这可能是因为本文的焦点是载荷的状态依赖性，而非协方差矩阵的稀疏性。
- Gagliardini, Ossola & Scaillet (2016, J. Econometrics) 的“时变因子模型”的似然方法。他们用拟极大似然估计时变参数，与本文的非参数方法形成对比。未引用可能是一个遗漏。

张力¶

未见明显对立引用。所有被引工作基本是互补的，分别处理了因子模型的不同方面（静态、时变、状态依赖、参数、非参数）。没有发现同一问题下得出相反结论的文献。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题¶

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚¶

符号：
- \( i = 1, \dots, N \)：截面个体（如股票）。
- \( t = 1, \dots, T \)：时间点。
- \( X_{it} \)：可观测的响应变量（如股票 i 在时间 t 的超额收益）。
- \( X_t = (X_{1t}, \dots, X_{Nt})^\top \)：N 维列向量。
- \( r \)：因子个数（已知或通过信息准则估计）。
- \( F_t \)：\( r \times 1 \) 的潜因子向量（不可观测，要估计）。
- \( F = (F_1, \dots, F_T)^\top \)：\( T \times r \) 的因子矩阵。
- \( z_t \)：\( d \)-维可观测状态变量（如 VIX 的对数）。这是本文的关键创新点——载荷是 \( z_t \) 的函数。
- \( \lambda_i(z) \)：\( r \times 1 \) 的载荷函数，是 \( z \) 的非参数函数（要估计）。\( \lambda_i(z_t) \) 表示个体 i 在时间 t 的载荷。
- \( \Lambda(z) = (\lambda_1(z), \dots, \lambda_N(z))^\top \)：\( N \times r \) 的载荷矩阵函数。
- \( e_{it} \)： idiosyncratic 误差项。
- \( C_{it} = \lambda_i(z_t)^\top F_t \)：共同成分（common component）。
- \( K_h(\cdot) = K(\cdot/h)/h \)：核函数，带宽为 \( h \)。
- \( \hat{F}_t, \hat{\lambda}_i(z) \)：估计量。
模型：
\[X_{it} = \lambda_i(z_t)^\top F_t + e_{it}\]
这是一个交互效应面板模型，但载荷 \( \lambda_i(\cdot) \) 是状态变量 \( z_t \) 的非参数函数。关键假设：
- \( F_t \) 和 \( e_{it} \) 是平稳的，且与 \( z_t \) 弱相关。
- \( \lambda_i(z) \) 是 \( z \) 的平滑函数（例如，二阶连续可微）。
- 识别条件：\( \mathbb{E}[F_t F_t^\top] = I_r \)（因子正交且方差为 1），且 \( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \lambda_i(z) \lambda_i(z)^\top \) 是满秩的（对每个 z）。这解决了旋转不确定性。
可观测数据：
- 研究者能观测到：\( \{X_{it}\}_{i=1, t=1}^{N, T} \)（面板数据）和 \( \{z_t\}_{t=1}^T \)（状态变量时间序列）。
- 研究者想要但观测不到：潜因子 \( F_t \)、载荷函数 \( \lambda_i(z) \)、误差项 \( e_{it} \)。这些都需要通过模型假设和估计来获得。

第二步：讲最小内核¶

本文的核心思路可以浓缩为一个最简特例：单因子模型（r=1），且状态变量 z 是一维的（d=1）。

在这个特例下，模型退化为：

\[X_{it} = \lambda_i(z_t) F_t + e_{it}\]

其中 \( F_t \) 是一个标量潜因子，\( \lambda_i(z) \) 是一个标量函数。

核心思路（三步走）：

第一步：给定载荷，估计因子。 如果 \( \lambda_i(z_t) \) 已知，那么对于每个 t，我们可以将 \( X_{it} \) 对 \( \lambda_i(z_t) \) 做回归（无截距），得到 \( F_t \) 的 OLS 估计。但 \( \lambda_i(z_t) \) 未知。
第二步：给定因子，估计载荷。 如果 \( F_t \) 已知，那么对于每个 i，我们可以将 \( X_{it} \) 对 \( F_t \) 做核加权的局部回归，得到 \( \lambda_i(z) \) 的核估计。具体地，对于任意给定的状态值 z，我们求解：
\[\hat{\lambda}_i(z) = \arg\min_{a} \sum_{t=1}^T K_h(z_t - z) (X_{it} - a F_t)^2\]
这是一个局部常数核回归（或局部线性）。解为：
\[\hat{\lambda}_i(z) = \frac{\sum_{t=1}^T K_h(z_t - z) F_t X_{it}}{\sum_{t=1}^T K_h(z_t - z) F_t^2}\]
第三步：迭代。 由于因子和载荷都未知，本文采用迭代算法：
- 初始化：用标准的 PCA 估计一个常数因子模型，得到 \( \hat{F}_t^{(0)} \)。
- 步骤 A（载荷更新）：给定 \( \hat{F}_t^{(k)} \)，对每个 i，用核回归估计 \( \hat{\lambda}_i^{(k+1)}(z) \)。
- 步骤 B（因子更新）：给定 \( \hat{\lambda}_i^{(k+1)}(z_t) \)，对每个 t，将 \( X_{it} \) 对 \( \hat{\lambda}_i^{(k+1)}(z_t) \) 做 OLS 回归，得到 \( \hat{F}_t^{(k+1)} \)。
- 迭代直到收敛。

这个最小内核揭示了本文的核心数学困难： * 生成回归元问题：在步骤 A 中，回归元 \( F_t \) 是估计出来的（不是真实的），这会影响核估计的渐近方差。 * 非参数收敛速度：核估计的收敛速度是 \( \sqrt{N T h} \)（对于载荷）和 \( \sqrt{T} \)（对于因子），其中 h 是带宽。这比标准 PCA 的 \( \sqrt{N} \) 和 \( \sqrt{T} \) 要慢，因为非参数平滑引入了偏差-方差权衡。 * 联合渐近分布：需要证明迭代算法得到的估计量是渐近正态的，且其方差可以解析表达（涉及核函数和误差项的协方差结构）。

三、这篇论文做了什么¶

三句话¶

研究了什么问题：在大规模面板数据（N, T 都大）中，提出了一个状态变化因子模型，允许因子载荷是可观测状态变量的非参数函数，并开发了估计与推断理论。
核心工具/方法：结合非参数核平滑（局部常数/局部线性）与主成分分析（PCA），通过迭代算法联合估计潜因子和状态依赖载荷。
主要结论：推导了因子、载荷和共同成分的收敛速度与渐近正态分布；构造了因子结构是否随状态变化的统计检验；在实证中，发现美国国债和股票的因子结构在不同经济状态（繁荣/衰退、高/低波动）下显著不同。

关键设定与假设¶

在第二节最小记号的基础上，补全完整设定：

模型：\( X_{it} = \lambda_i(z_t)^\top F_t + e_{it} \)，其中 \( \lambda_i(\cdot) \) 是 \( \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^r \) 的未知平滑函数。
关键假设（简化表述）：
1. 因子结构：\( \mathbb{E}[F_t F_t^\top] = I_r \)，且 \( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \lambda_i(z) \lambda_i(z)^\top \) 对每个 z 正定。这保证了识别。
2. 误差项：\( e_{it} \) 允许截面相关和时间相关，但满足一定的混合条件（如 α-混合），以确保大数定律和中心极限定理成立。相比 Bai (2003)，本文允许误差项与状态变量 \( z_t \) 相关，但要求这种相关性是“弱”的。
3. 状态变量：\( z_t \) 是平稳的、强混合的，且其密度函数 \( f(z) \) 是平滑的、有界的。相比 Su & Wang (2017)，本文假设 \( z_t \) 可观测，这是关键区别。
4. 平滑性：\( \lambda_i(z) \) 和 \( f(z) \) 是二阶连续可微的（对于局部线性核估计，需要更高阶可微性）。
5. 带宽条件：\( h \to 0 \)，\( N h^d \to \infty \)，\( T h^d \to \infty \)，且 \( \sqrt{N T h^d} h^2 \to 0 \)（用于消除渐近偏差）。这些条件确保了核估计的一致性和渐近正态性。

主要结果¶

定理 1（载荷估计的收敛速度与渐近正态）： * 陈述：对于任意给定的状态值 z，\( \hat{\lambda}_i(z) \) 是 \( \lambda_i(z) \) 的一致估计。收敛速度为 \( \sqrt{N T h^d} \)。且 \( \sqrt{N T h^d} (\hat{\lambda}_i(z) - \lambda_i(z) - \text{bias}) \xrightarrow{d} N(0, \Omega_i(z)) \)，其中 \( \Omega_i(z) \) 是渐近方差，依赖于核函数、误差项方差和状态密度。 * 直觉：收敛速度是 \( \sqrt{N T h^d} \)，其中 \( N T h^d \) 是“有效样本量”——每个局部邻域内的观测数。偏差项来自核平滑，阶数为 \( h^2 \)。 * 必要条件：N, T 都趋于无穷，且带宽 h 以适当速度趋于 0。 * 解决的技术难点：处理了“生成回归元”（估计的因子）对核估计方差的影响。作者通过证明因子估计的收敛速度足够快（\( \sqrt{T} \)），使得生成回归元带来的额外方差可以忽略不计（或可以被解析地修正）。

定理 2（因子估计的收敛速度与渐近正态）： * 陈述：\( \hat{F}_t \) 是 \( F_t \) 的一致估计。收敛速度为 \( \sqrt{T} \)。且 \( \sqrt{T} (\hat{F}_t - F_t) \xrightarrow{d} N(0, \Sigma_t) \)。 * 直觉：因子估计的收敛速度与标准 PCA 相同（\( \sqrt{T} \)），不受非参数载荷估计的影响。这是因为在因子更新步骤中，我们对所有 N 个个体做了平均，从而“抹平”了载荷估计的误差。 * 必要条件：N 足够大（\( N h^d \to \infty \)），使得截面平均有效。

定理 3（共同成分的收敛速度与渐近正态）： * 陈述：\( \hat{C}_{it} = \hat{\lambda}_i(z_t)^\top \hat{F}_t \) 是 \( C_{it} \) 的一致估计。收敛速度为 \( \min(\sqrt{N h^d}, \sqrt{T}) \)。 * 直觉：共同成分的收敛速度受限于载荷和因子中较慢的那个。由于因子收敛快（\( \sqrt{T} \)），而载荷收敛慢（\( \sqrt{N T h^d} \)），所以共同成分的收敛速度由载荷决定，即 \( \sqrt{N h^d} \)（当 N 和 T 同阶时）。

定理 4（结构变化检验）： * 陈述：构造了一个检验统计量 \( J \)，用于检验原假设 \( H_0: \lambda_i(z) = \lambda_i \)（载荷不随状态变化） vs \( H_1: \lambda_i(z) \neq \lambda_i \)（载荷随状态变化）。在原假设下，\( J \xrightarrow{d} \chi^2_{rN} \)（或某种加权卡方分布）。 * 直觉：检验统计量基于“有约束模型”（常数载荷）和“无约束模型”（状态依赖载荷）的残差平方和之差。如果状态依赖模型显著减少了残差，则拒绝原假设。 * 必要条件：需要估计常数因子模型和状态依赖因子模型，并比较它们的拟合优度。

证明路线与技术技巧¶

整体路线：
1. 初始化：用标准 PCA 得到 \( \hat{F}_t^{(0)} \) 和常数载荷 \( \hat{\lambda}_i^{(0)} \)。
2. 迭代收敛性：证明迭代算法（步骤 A 和 B）是收缩映射（contraction mapping），即每次迭代后估计误差减小，最终收敛到不动点。这需要证明核估计和 OLS 估计的“一致性”在迭代中保持。
3. 渐近等价性：证明迭代收敛后的估计量 \( (\hat{F}_t, \hat{\lambda}_i(z)) \) 与“一步估计量”（oracle estimator，即假设因子已知时估计载荷，再假设载荷已知时估计因子）是渐近等价的。这是关键跳跃点——它允许作者将复杂的迭代过程简化为一个可分析的“两步”过程。
4. 渐近分布推导：在渐近等价性的基础上，分别推导因子和载荷的渐近分布。这涉及：
  - 载荷的渐近分布：将核估计的表达式展开，处理生成回归元（\( \hat{F}_t \) 代替 \( F_t \)）带来的影响。作者使用 U-统计量 的投影方法（Hájek 投影）来得到渐近线性表示（influence function）。
  - 因子的渐近分布：将 OLS 估计的表达式展开，利用载荷估计的一致性来简化。
5. 检验统计量的渐近分布：在原假设下，将检验统计量表示为“有约束”和“无约束”残差平方和之差，并证明其渐近服从卡方分布。这需要处理两个模型估计误差之间的相关性。
关键跳跃点：
- 引理 1（迭代收敛性）：证明迭代算法在 \( L_2 \) 范数下是收缩的。难点在于核估计的非线性性。作者通过假设初始估计足够好（来自标准 PCA），并利用核估计的“局部 Lipschitz”性质来证明。
- 引理 2（渐近等价性）：证明迭代估计量与 oracle 估计量之差是 \( o_p(1/\sqrt{N T h^d}) \)（对于载荷）和 \( o_p(1/\sqrt{T}) \)（对于因子）。这需要精细的偏差分析，并利用带宽条件来确保核估计的偏差项被控制。
技术技巧点名：
- 核平滑：用于估计状态依赖的载荷函数。
- 主成分分析（PCA）：用于估计潜因子。
- U-统计量投影（Hájek 投影）：用于推导核估计的渐近线性表示，从而得到渐近正态性。
- 混合过程（α-mixing）的中心极限定理：用于处理时间序列相关性。
- 生成回归元（generated regressors）的渐近理论：处理估计的因子被用作回归元的问题。
- 收缩映射（contraction mapping）：证明迭代算法的收敛性。

真实例子与应用¶

本文包含两个真实数据例子：

美国国债收益率数据：
- 数据：1971-2016 年的月度国债收益率（不同期限：3 个月到 30 年），N=17 个期限，T=552 个月。
- 状态变量：经济周期（NBER 定义的繁荣/衰退）、市场波动率（VIX 指数）。
- 方法应用：估计状态变化因子模型（r=3 个因子：水平、斜率、曲率），并比较不同状态下的载荷。
- 结果：发现国债因子结构在繁荣期与衰退期、高波动与低波动期显著不同。例如，在衰退期，短期和长期收益率对“水平因子”的载荷都更高，且“斜率因子”的载荷形状发生变化。检验统计量显著拒绝了常数载荷的原假设。
- 这个例子想说明：状态变化因子模型能捕捉到常数因子模型遗漏的结构性变化，且这些变化与经济状态（而非单纯的时间趋势）相关。
S&P500 股票收益数据：
- 数据：1996-2016 年的月度股票超额收益，N=100 只股票（随机选取），T=252 个月。
- 状态变量：VIX 指数（市场波动率）。
- 方法应用：估计单因子模型（市场因子），比较常数 beta 和状态依赖 beta。
- 结果：基于 VIX 的状态变化因子模型比常数因子模型捕捉到个股更多的变异（更高的 \( R^2 \)）和更多的定价信息（在截面回归中，状态依赖的 beta 能更好地解释预期收益的差异）。
- 这个例子想说明：在资产定价中，允许 beta 随市场波动率变化是重要的，且非参数方法比线性条件 beta 模型（如 Ferson & Schadt 1996）更灵活。

🔎 结论是否比证明窄¶

是。作者在引言中声称他们的方法适用于“高维”面板数据，但证明中假设因子个数 r 是固定且已知的。在实际应用中，r 需要通过信息准则（如 Bai & Ng 2002）估计，而估计误差对后续推断的影响没有被证明。作者在实证中使用了估计的 r，但理论结果严格来说只适用于 r 已知的情况。
作者在定理 4 的检验中，假设了在原假设下，常数因子模型和状态依赖因子模型使用相同的因子个数。如果实际因子个数在不同状态下不同（例如，繁荣期需要 3 个因子，衰退期只需要 2 个），则检验的设定可能有问题。作者没有讨论这种情况。
作者假设状态变量 \( z_t \) 是平稳的。但在实证中，VIX 和 GDP 增长率都可能存在单位根或结构性断点。作者没有讨论非平稳状态变量下的理论性质。

四、开放问题（点到为止，扎根具体语句）¶

因子个数未知时的推断：本文的渐近理论假设因子个数 r 已知。当 r 需要从数据中估计时（如通过 Bai & Ng 2002 的信息准则），估计误差如何影响载荷和因子的置信区间？作者在实证中使用了估计的 r，但未提供理论保证。扎根于：定理 1-4 的陈述中均假设 r 已知。
高维状态变量：本文的核方法受“维数灾难”困扰——当状态变量 z 的维数 d 增大时，收敛速度 \( \sqrt{N T h^d} \) 迅速下降。如何将本文的方法扩展到 d ≥ 3 的情形？是否可以使用可加模型或单指标模型来缓解维数灾难？扎根于：作者在引言中承认“我们的方法适用于低维状态变量”，并在模拟中只用了 d=1。
非平稳状态变量：本文假设状态变量 \( z_t \) 是平稳的。但在许多宏观经济应用中，状态变量（如 GDP、利率）可能是 I(1) 或存在结构性断点。如何将本文的理论扩展到非平稳或带趋势的状态变量？扎根于：假设 3 明确要求 \( z_t \) 是平稳的。
因子载荷的异质性：本文假设所有个体的载荷函数 \( \lambda_i(z) \) 具有相同的平滑性（二阶可微）。如果某些个体的载荷函数非常粗糙（如存在跳跃），而另一些很平滑，本文的估计方法是否仍然有效？是否可以引入自适应带宽或分组结构？扎根于：假设 4 要求所有 \( \lambda_i(z) \) 具有相同的平滑阶数。

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