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Modeling Multivariate Time Series With Copula-Linked Univariate D-Vines

作者: Zifeng Zhao, Peng Shi, Zhengjun Zhang
来源: Journal of Business & Economic Statistics
主题: 其他
相关性: 4/10
机构绿灯: University of Notre Dame（US News 前 50，免分进入精读）
链接: 期刊页 · arXiv

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本文所研究的子方向是多元时间序列的灵活建模，其核心科学问题在于：如何同时捕捉时间序列内部的时间依赖性（temporal dependence，即同一序列不同时间点之间的相关性）和不同序列之间的截面依赖性（cross-sectional dependence，即同一时间点不同序列之间的相关性），同时保持模型的可解释性和计算可行性。当前该领域的成熟度较高，已有大量参数化（如VARMA）和非参数化方法，但如何在边际分布和依赖结构上同时提供灵活性，且能处理高阶马尔可夫性和高维截面，仍是一个活跃的研究前沿。

发展脉络（history）

从本文的引言和参考文献中，可以梳理出以下发展脉络：

  1. 奠基工作：Copula 在时间序列中的引入

    • Joe (1997) 和 Nelsen (2006) 奠定了 copula 理论的基础，提供了将边际分布与依赖结构分离建模的框架。
    • Sklar (1959) 的定理是 copula 方法的理论基石。
    • 这些工作为后续将 copula 应用于时间序列提供了可能。

  2. 主要进展：一阶 copula 马尔可夫链

    • Darsow, Nguyen & Olsen (1992) 首次将 copula 引入马尔可夫链，提出了 copula 马尔可夫链的概念，但仅限于一阶（即当前值只依赖于前一个值）。
    • Chen & Fan (2006) 和 Beare (2010) 进一步研究了 copula 马尔可夫链的估计和性质，但同样局限于一阶马尔可夫性。作者在引言中明确指出：“existing copula-based Markov chain models are limited to first-order Markov chains”，这是本文要解决的一个关键缺口。

  3. 当前 Frontier：D-vine 与多元时间序列

    • Aas et al. (2009) 和 Czado (2019) 提出了 D-vine copula，这是一种用于高维依赖建模的灵活工具，通过将多元联合分布分解为一系列成对 copula 和条件 copula。
    • Brechmann & Czado (2015) 和 Smith (2015) 将 D-vine 应用于多元时间序列，但他们的模型通常假设时间依赖性由一阶马尔可夫链或 VAR 结构驱动，而截面依赖性由 D-vine 建模。作者指出，这些模型“either assume a first-order Markov chain or a VAR structure for the temporal dependence”，限制了时间依赖性的灵活性。

  4. 本文的位置：CuDvine

    • 本文提出 CuDvine，其核心创新在于：将单变量时间序列的 D-vine 模型（uDvine）推广到任意阶马尔可夫链，然后通过一个参数 copula 将这些 uDvine 链接起来。这同时解决了两个问题：① 时间依赖性的阶数不再受限于一阶；② 截面依赖性可以通过灵活的 copula 建模，包括时变和时空结构。

子线索聚类

这些被引文献大致落在以下 2-3 条子线索上：

  • 线索一：Copula 马尔可夫链（单变量时间序列）

    • 代表工作：Darsow, Nguyen & Olsen (1992), Chen & Fan (2006), Beare (2010), 本文的 uDvine。
    • 核心问题：如何用 copula 灵活地建模单变量时间序列的边际分布和时序依赖。
    • 当前瓶颈：现有模型几乎都限于一阶马尔可夫链。本文的 uDvine 通过 D-vine 结构将其推广到任意阶。

  • 线索二：D-vine 在多元时间序列中的应用

    • 代表工作：Brechmann & Czado (2015), Smith (2015), 本文的 CuDvine。
    • 核心问题：如何用 D-vine 建模多元时间序列的截面依赖性。
    • 当前瓶颈：现有模型通常假设时间依赖性由一阶马尔可夫链或 VAR 驱动，不够灵活。本文的 CuDvine 通过 uDvine 提供灵活的时间依赖性，再通过 copula 链接。

  • 线索三：多元时间序列的经典模型

    • 代表工作：Lütkepohl (2005) 的 VARMA 模型，Tsay (2014) 的多元时间序列分析。
    • 核心问题：提供参数化、可解释的多元时间序列模型。
    • 当前瓶颈：这些模型通常对边际分布和依赖结构有较强的参数假设（如高斯性、线性），不够灵活。

这个方向在追问的核心问题

  1. 如何同时灵活建模边际分布和依赖结构？ 传统参数模型（如 VAR）假设边际分布为高斯，依赖结构为线性。Copula 方法允许分离建模，但如何选择 copula 族和阶数仍是一个挑战。
  2. 如何在高维情况下保持计算可行性？ D-vine 的复杂度随维度增加而快速增长。本文的序贯模型选择方法旨在解决这一问题。
  3. 如何建模时变的截面依赖性？ 许多实际应用（如电价数据）中，截面相关性会随时间变化。本文通过允许 copula 参数随时间变化来应对。

⚠️ 作者的 framing（必须明确标注成"这是作者的说法"）

  • 作者把缺口 frame 成什么？ 作者将现有工作的主要缺口 frame 为：“existing copula-based Markov chain models are limited to first-order Markov chains” 和 “existing D-vine-based multivariate time series models either assume a first-order Markov chain or a VAR structure for the temporal dependence”。因此，本文的 CuDvine 被 frame 为“显然的下一步”：将单变量时间序列的 D-vine 推广到任意阶，再通过 copula 链接。
  • 哪些竞争路线被他淡化或回避了？ 作者淡化了非参数/半参数方法（如核方法、样条）在多元时间序列建模中的应用。这些方法也能提供灵活性，但可能面临“维数灾难”和“可解释性差”的问题。作者在引言中未提及这些竞争路线。
  • 什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里？ 作者未引用深度学习方法（如 LSTM、Transformer）在时间序列建模中的应用。这些方法在处理高维、非线性时间序列方面表现出色，但通常缺乏可解释性和统计推断能力。这可能是作者有意回避的竞争路线，因为 CuDvine 更强调可解释性和统计性质。

张力

未见明显对立引用。所有被引工作都沿着“copula + 时间序列”这一主线发展，彼此之间是渐进式的改进，而非根本性的对立。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：

    • \( \mathbf{Y}_t = (Y_{1,t}, \ldots, Y_{d,t})^\top \in \mathbb{R}^d \)：在时间点 \( t \) 观测到的 \( d \) 维多元时间序列向量。这是可观测数据。
    • \( t = 1, \ldots, T \)：时间索引，\( T \) 是时间序列长度。
    • \( i = 1, \ldots, d \)：序列索引，\( d \) 是维度。
    • \( p \)：马尔可夫阶数，即当前值依赖于前 \( p \) 个历史值。
    • \( F_i(\cdot) \)：第 \( i \) 个序列的边际分布函数（连续且严格递增）。这是要估的对象。
    • \( U_{i,t} = F_i(Y_{i,t}) \)：概率积分变换后的均匀分布随机变量，\( U_{i,t} \sim \text{Uniform}(0,1) \)。这是潜在变量，由边际分布定义。
    • \( C(\cdot; \theta) \)：一个 \( d \) 维copula 函数，参数为 \( \theta \)，用于建模 \( \mathbf{U}_t = (U_{1,t}, \ldots, U_{d,t})^\top \) 的联合分布。这是要估的对象。
    • \( \mathcal{V} \)：一个 D-vine 结构，用于分解高维 copula 为一系列成对 copula。
    • \( \theta_{\text{temp}} \)：uDvine 模型中用于建模时间依赖性的 copula 参数。
    • \( \theta_{\text{cross}} \)：CuDvine 模型中用于建模截面依赖性的 copula 参数。

  • 模型：

    • 数据生成机制：假设 \( \{\mathbf{Y}_t\}_{t=1}^T \) 是一个严格平稳的多元时间序列。
    • 边际模型：每个单变量序列 \( \{Y_{i,t}\}_{t=1}^T \) 的边际分布由 \( F_i \) 描述。\( F_i \) 可以是参数化的（如高斯、t分布），也可以是非参数的（如经验分布函数）。本文采用半参数方法：边际分布用非参数的经验分布估计，依赖结构用参数 copula 建模。
    • 时间依赖性模型（uDvine）：对于每个单变量序列 \( i \)，其时间依赖性由一个任意阶 \( p \) 的 D-vine copula 马尔可夫链建模。具体来说，\( (U_{i,t}, U_{i,t-1}, \ldots, U_{i,t-p}) \) 的联合分布由一个 D-vine copula 分解，该 D-vine 的树结构是固定的（例如，一个“串联”结构，其中 \( U_{i,t} \) 与 \( U_{i,t-1} \) 直接相连，\( U_{i,t-1} \) 与 \( U_{i,t-2} \) 直接相连，以此类推）。
    • 截面依赖性模型（CuDvine）：在给定时间点 \( t \)，\( \mathbf{U}_t = (U_{1,t}, \ldots, U_{d,t})^\top \) 的联合分布由一个参数 copula \( C(\cdot; \theta_{\text{cross}}) \) 建模。这个 copula 可以是任何灵活的 copula 族（如高斯 copula、t-copula、Clayton copula），甚至可以允许参数 \( \theta_{\text{cross}} \) 随时间变化（时变 copula）或依赖于空间位置（时空 copula）。
    • 整体模型：CuDvine 假设时间依赖性和截面依赖性可分离，即 \( \mathbf{U}_t \) 的联合分布由 uDvine 模型（时间）和截面 copula（截面）共同决定，但两者通过 copula 链接，而非独立建模。

  • 可观测数据：

    • 研究者实际能观测到的是 \( \{\mathbf{Y}_t\}_{t=1}^T \)，即 \( T \) 个 \( d \) 维向量。
    • 想要但观测不到的是：
      1. 边际分布 \( F_i \)。
      2. 时间依赖性 copula 的参数 \( \theta_{\text{temp}} \)。
      3. 截面依赖性 copula 的参数 \( \theta_{\text{cross}} \)。
      4. 马尔可夫阶数 \( p \) 和 D-vine 结构 \( \mathcal{V} \)。

第二步：讲最小内核

本文的最小内核是：如何用 D-vine copula 建模一个单变量时间序列的任意阶马尔可夫链（uDvine）。CuDvine 只是将多个这样的 uDvine 通过一个 copula 链接起来。

最简特例：\( d=1, p=2 \) 的单变量时间序列

  • 设定：我们只有一个时间序列 \( \{Y_t\}_{t=1}^T \)，假设它是二阶马尔可夫链，即 \( Y_t \) 的条件分布只依赖于 \( Y_{t-1} \) 和 \( Y_{t-2} \)。
  • 目标：建模 \( Y_t \) 的边际分布 \( F \) 和其与历史值 \( (Y_{t-1}, Y_{t-2}) \) 的依赖结构。

  • uDvine 模型：

    1. 边际变换：令 \( U_t = F(Y_t) \)，则 \( U_t \sim \text{Uniform}(0,1) \)。
    2. D-vine 分解：对于二阶马尔可夫链，我们需要建模 \( (U_t, U_{t-1}, U_{t-2}) \) 的联合分布。一个 D-vine 将其分解为：
      • 树 1 (Tree 1)：建模成对依赖 \( c(U_t, U_{t-1}) \) 和 \( c(U_{t-1}, U_{t-2}) \)。这里 \( c(\cdot, \cdot) \) 是成对 copula 密度。
      • 树 2 (Tree 2)：建模条件依赖 \( c(U_t, U_{t-2} | U_{t-1}) \)，即给定 \( U_{t-1} \) 后，\( U_t \) 和 \( U_{t-2} \) 的条件 copula 密度。
    3. 联合密度：\( (U_t, U_{t-1}, U_{t-2}) \) 的联合密度为：
      \[f(u_t, u_{t-1}, u_{t-2}) = c(u_t, u_{t-1}) \cdot c(u_{t-1}, u_{t-2}) \cdot c(u_t, u_{t-2} | u_{t-1})\]
      其中 \( c(\cdot, \cdot) \) 和 \( c(\cdot, \cdot | \cdot) \) 都是参数 copula 密度（例如，高斯 copula 或 Clayton copula）。
    4. 马尔可夫性质：这个 D-vine 结构隐含了二阶马尔可夫性质，因为 \( U_t \) 的条件分布只依赖于 \( U_{t-1} \) 和 \( U_{t-2} \)，而 \( U_{t-2} \) 对 \( U_t \) 的影响是通过条件 copula \( c(U_t, U_{t-2} | U_{t-1}) \) 实现的。

  • 核心思路：通过 D-vine 的树结构，我们可以将高阶马尔可夫链的联合分布分解为一系列低维（成对）copula 的乘积。这避免了直接建模高维联合分布，使得模型灵活且可解释。对于一般的 \( p \) 阶马尔可夫链，D-vine 会有 \( p \) 棵树，每棵树建模不同滞后阶数之间的（条件）依赖。

  • 为什么这是最小内核：CuDvine 的整个框架都建立在这个 uDvine 模型之上。一旦理解了如何用 D-vine 建模单变量时间序列的任意阶马尔可夫链，CuDvine 就只是将多个这样的 uDvine 通过一个截面 copula 链接起来。这个截面 copula 的建模与 uDvine 中的成对 copula 类似，只是维度更高。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：提出一种名为 CuDvine 的多元时间序列模型，旨在同时灵活地建模时间依赖性（任意阶马尔可夫链）和截面依赖性（通过参数 copula）。
  2. 核心工具 / 方法：将单变量 D-vine 时间序列模型（uDvine）推广到任意阶马尔可夫链，然后通过一个参数 copula 将多个 uDvine 链接起来。估计采用两阶段极大似然估计（two-stage MLE）和序贯模型选择方法。
  3. 主要结论：CuDvine 在模拟实验和澳大利亚电价数据的实证分析中，在预测性能上优于传统的多元时间序列模型（如 VAR、VARMA 和 DCC-GARCH）。

关键设定与假设

  • 设定：

    • \( \{\mathbf{Y}_t\}_{t=1}^T \) 是严格平稳的 \( d \) 维时间序列。
    • 每个单变量序列 \( \{Y_{i,t}\}_{t=1}^T \) 的边际分布 \( F_i \) 是连续的且严格递增。
    • 时间依赖性由 uDvine 建模，其马尔可夫阶数 \( p_i \) 可以不同（即每个序列可以有不同的阶数）。
    • 截面依赖性由参数 copula \( C(\cdot; \theta_{\text{cross}}) \) 建模，该 copula 可以允许参数随时间变化（时变 copula）或依赖于空间位置（时空 copula）。

  • 假设：

    • S1 (平稳性)：\( \{\mathbf{Y}_t\} \) 是严格平稳的。
    • S2 (边际分布连续性)：每个 \( F_i \) 是连续且严格递增的。
    • S3 (uDvine 模型正确指定)：对于每个单变量序列，其时间依赖性由一个阶数为 \( p_i \) 的 D-vine copula 马尔可夫链正确建模。
    • S4 (截面 copula 模型正确指定)：在给定时间点 \( t \)，\( \mathbf{U}_t = (U_{1,t}, \ldots, U_{d,t})^\top \) 的联合分布由一个参数 copula \( C(\cdot; \theta_{\text{cross}}) \) 正确建模。
    • S5 (可分离性)：时间依赖性和截面依赖性是可分离的，即 \( \mathbf{U}_t \) 的联合分布可以分解为 uDvine 模型（时间）和截面 copula（截面）的乘积。这是一个很强的假设，意味着时间依赖性和截面依赖性之间没有交互作用。
    • S6 (正则性条件)：用于两阶段 MLE 的 copula 密度满足通常的正则性条件（如可微性、可积性、可识别性），以确保 MLE 的渐近正态性。

  • 相比已有文献的放宽或强化：

    • 放宽：相比 Chen & Fan (2006) 和 Beare (2010) 的一阶马尔可夫链，本文的 uDvine 允许任意阶的马尔可夫链。
    • 放宽：相比 Brechmann & Czado (2015) 和 Smith (2015) 的模型，本文的 CuDvine 不假设时间依赖性由一阶马尔可夫链或 VAR 驱动，而是通过 uDvine 提供更灵活的时间依赖性建模。
    • 强化：本文的假设 S5（可分离性）是一个很强的假设，可能在实际应用中不成立。作者在文中承认了这一限制，并指出未来工作可以研究更一般的模型。

主要结果

  • 结果 1：uDvine 的统计性质

    • 定理 1：在正则性条件下，uDvine 的两阶段 MLE 是相合且渐近正态的。
    • 直觉：第一阶段用经验分布估计边际分布，第二阶段用 MLE 估计 copula 参数。由于边际分布估计是 \( \sqrt{T} \)-相合的，第二阶段 MLE 的渐近方差与已知边际分布时的 MLE 相同（即“oracle”性质）。
    • 必要条件：假设 S1-S3 和正则性条件。
    • 解决的技术难点：需要处理第一阶段非参数估计对第二阶段 MLE 的影响，证明其不影响渐近分布。

  • 结果 2：CuDvine 的统计性质

    • 定理 2：在正则性条件下，CuDvine 的两阶段 MLE 是相合且渐近正态的。
    • 直觉：与 uDvine 类似，第一阶段估计所有 uDvine 的参数，第二阶段估计截面 copula 的参数。由于第一阶段估计是 \( \sqrt{T} \)-相合的，第二阶段 MLE 的渐近方差与已知所有 uDvine 参数时的 MLE 相同。
    • 必要条件：假设 S1-S5 和正则性条件。
    • 解决的技术难点：需要处理第一阶段多个 uDvine 参数估计的联合影响，证明其不影响第二阶段截面 copula 参数的渐近分布。

  • 结果 3：序贯模型选择方法

    • 方法：提出一种序贯方法，用于选择每个 uDvine 的马尔可夫阶数 \( p_i \) 和 D-vine 结构，以及截面 copula 的族和参数。
    • 步骤：
      1. 对于每个单变量序列，使用 AIC/BIC 等准则选择最优的 uDvine 阶数 \( p_i \) 和 copula 族。
      2. 基于选定的 uDvine，计算概率积分变换后的残差 \( \hat{U}_{i,t} \)。
      3. 使用这些残差，通过 AIC/BIC 等准则选择最优的截面 copula 族和参数。
    • 性能：模拟实验表明，该序贯方法能够以高概率正确选择模型结构。

证明路线与技术技巧

  • 整体路线：

    1. 第一阶段：边际分布估计：使用经验分布函数 \( \hat{F}_i(y) = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \mathbb{I}(Y_{i,t} \le y) \) 估计边际分布。
    2. 第二阶段：uDvine 参数估计：对于每个单变量序列 \( i \)，基于 \( \hat{U}_{i,t} = \hat{F}_i(Y_{i,t}) \)，使用 MLE 估计 uDvine 的 copula 参数 \( \theta_{\text{temp}, i} \)。似然函数是 D-vine 分解中所有成对 copula 密度的乘积。
    3. 第三阶段：截面 copula 参数估计：基于所有 uDvine 的残差 \( \hat{U}_{i,t} \)，使用 MLE 估计截面 copula 的参数 \( \theta_{\text{cross}} \)。似然函数是截面 copula 的密度。
    4. 渐近理论：证明第二阶段和第三阶段的 MLE 是相合且渐近正态的。关键在于证明第一阶段边际分布估计的误差不影响第二阶段和第三阶段 MLE 的渐近分布（即“oracle”性质）。

  • 关键跳跃点：

    • 跳跃点 1：证明 uDvine 的 D-vine 结构确实隐含了任意阶马尔可夫性质。这需要证明 D-vine 的树结构对应于条件独立关系。
    • 跳跃点 2：证明两阶段 MLE 的“oracle”性质。这需要证明第一阶段边际分布估计的误差是 \( o_p(1/\sqrt{T}) \) 的，从而不影响第二阶段 MLE 的渐近分布。这通常通过经验过程理论（empirical process theory）和泰勒展开来实现。
    • 跳跃点 3：证明序贯模型选择方法的一致性。这需要证明 AIC/BIC 准则能够以概率 1 选择正确的模型阶数和 copula 族。

  • 技术技巧点名：

    • 经验过程理论 (Empirical process theory)：用于处理第一阶段非参数估计的误差，证明其不影响第二阶段 MLE 的渐近分布。
    • 泰勒展开 (Taylor expansion)：用于推导 MLE 的渐近方差。
    • Delta 方法 (Delta method)：用于推导估计量的渐近分布。
    • D-vine 分解 (D-vine decomposition)：用于将高维联合分布分解为一系列低维成对 copula，使得模型灵活且可解释。

真实例子与应用

  • 数据：澳大利亚电价数据（Australian electricity price data），包含 5 个地区的半小时电价数据，时间跨度为 2010 年 1 月 1 日至 2010 年 12 月 31 日（共 17520 个观测值）。
  • 如何应用：
    1. 边际建模：对每个地区的电价序列，使用 uDvine 建模其时间依赖性。作者选择了阶数 \( p=2 \) 的 uDvine，并使用 t-copula 作为成对 copula。
    2. 截面建模：使用高斯 copula 或 t-copula 作为截面 copula，建模 5 个地区电价之间的截面依赖性。作者还尝试了时变 copula，允许截面相关性随时间变化。
    3. 预测：使用 CuDvine 进行一步向前预测，并与 VAR、VARMA 和 DCC-GARCH 等基准模型进行比较。
  • 结果：
    • CuDvine 在预测均方根误差（RMSE）和平均绝对误差（MAE）上优于所有基准模型。
    • CuDvine 能够捕捉到电价数据中的厚尾和非对称依赖结构，而传统模型（如 VAR）无法做到。
    • 时变 copula 的 CuDvine 进一步提高了预测性能，表明截面依赖性随时间变化。
  • 这个例子想说明什么：
    • 验证理论：展示了 CuDvine 在实际数据中的可行性和有效性。
    • 展示相对 baseline 的优势：证明了 CuDvine 在预测性能上优于传统的多元时间序列模型，特别是在处理非对称依赖和厚尾数据时。
    • 展示灵活性：展示了 CuDvine 能够建模时变的截面依赖性。

🔎 结论是否比证明窄

  • 结论：作者声称 CuDvine 能够“simultaneously model both temporal and cross-sectional dependence for multivariate time series”。
  • 证明：作者严格证明了在假设 S1-S5 下，两阶段 MLE 是相合且渐近正态的。然而，假设 S5（可分离性）是一个很强的假设，它意味着时间依赖性和截面依赖性之间没有交互作用。在实际应用中，这个假设可能不成立。例如，一个序列的冲击可能同时影响其自身未来的值和另一个序列当前的值，这种交互作用被假设 S5 排除在外。
  • 结论是否比证明窄：是的。作者在结论中声称 CuDvine 能够“simultaneously model”两种依赖性，但证明只覆盖了“可分离”的情况。对于更一般的、存在交互作用的情况，CuDvine 的统计性质尚未被证明。作者在文中也承认了这一点，并将其列为未来工作。

四、开放问题

  1. 放松可分离性假设：本文的 CuDvine 假设时间依赖性和截面依赖性是可分离的（假设 S5）。一个重要的开放问题是：如何构建一个模型，允许时间依赖性和截面依赖性之间存在交互作用？例如，一个序列的冲击可以同时影响其自身未来的值和另一个序列当前的值。这需要更复杂的 copula 结构或不同的建模框架。扎根于本文的假设 S5 和未来工作部分。

  2. 高维情况下的计算可行性：CuDvine 的 D-vine 结构在维度 \( d \) 较大时，其复杂度会快速增长。本文的序贯模型选择方法旨在缓解这一问题，但并未提供理论上的计算复杂度分析。一个开放问题是：如何设计更高效的算法，使得 CuDvine 能够应用于高维（例如 \( d > 100 \)）时间序列？扎根于本文的序贯模型选择方法部分和引言中提到的“high-dimensional applications”。

  3. 非平稳时间序列的扩展：本文假设时间序列是严格平稳的。许多实际应用（如金融时间序列）是非平稳的。一个开放问题是：如何将 CuDvine 扩展到非平稳时间序列？例如，可以引入时变的边际分布或时变的 copula 参数。扎根于本文的假设 S1（平稳性）和未来工作部分。

  4. 因果推断的扩展：CuDvine 是一个描述性模型，而非因果模型。一个开放问题是：如何将 CuDvine 与因果推断方法（如工具变量、断点回归）结合，用于估计多元时间序列中的因果效应？例如，可以假设一个序列的冲击通过 CuDvine 的依赖结构传播，从而估计其因果效应。扎根于本文的引言部分，其中提到 CuDvine 可用于“spatio-temporal dependence”，这暗示了潜在的因果结构。

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