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A Nonparametric Nonclassical Measurement Error Approach to Estimating Intergenerational Mobility Elasticities

作者: Yonghong An, Le Wang, Ruli Xiao
来源: Journal of Business & Economic Statistics
主题: 因果推断
相关性: 8/10
机构绿灯: Texas A&M University（US News 前 50，免分进入精读）
链接: https://doi.org/10.1080/07350015.2020.1787176

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

这个子方向要解决的根本问题是：如何从有测量误差的观测数据中，可靠地估计代际收入弹性（IGE）。IGE 通常定义为子女永久收入对父母永久收入的弹性（或回归系数），是衡量社会流动性的核心指标。然而，永久收入本身是潜变量（无法直接观测），研究者只能观测到某一时点的当期收入（如某年的工资），这带来了两个核心挑战：① 生命周期偏差：当期收入是永久收入的噪声测量，且噪声方差随年龄变化，导致 OLS 估计向零衰减；② 非经典测量误差：父母与子女的测量误差可能相关（如共同受宏观经济冲击影响），且误差方差可能随收入水平变化，这使得经典的“均值独立”假设（测量误差与真实值无关）不成立。当前该领域的成熟度处于从线性、参数化模型向非线性、非参数模型过渡的阶段，但非参数识别与估计在同时处理潜变量和测量误差时仍面临严重的技术瓶颈。

发展脉络（history）

  1. 奠基工作（1970s-1990s）：Becker & Tomes (1979, 1986) 建立了代际流动的经济学理论框架，将 IGE 定义为线性回归系数。Solon (1992) 和 Zimmerman (1992) 首次系统处理生命周期偏差，使用多年平均收入作为永久收入的代理变量，并指出 OLS 估计会因测量误差而向下偏倚。这些工作奠定了“线性 IGE + 经典测量误差”的基准范式。

  2. 主要进展（2000s-2010s）：Haider & Solon (2006) 正式提出生命周期偏差的统计模型，证明当期收入对永久收入的回归系数（即“生命周期偏倚因子”）随年龄变化，并给出偏倚校正公式。Mazumder (2005) 使用社会保障行政数据（多年平均）来减少测量误差。关键口子：这些工作都假设 IGE 是常数（线性模型），且测量误差是经典的（均值独立于真实值）。

  3. 非线性与异质性探索（2010s-2020s）：Blanden, Gregg & Macmillan (2007) 使用转换矩阵（transition matrix）发现 IGE 可能随收入水平变化。Chetty, Hendren, Kline & Saez (2014) 使用大规模行政数据发现美国代际流动存在显著的地理异质性。关键口子：这些工作虽然揭示了异质性，但要么依赖参数化假设（如分位数回归），要么无法同时处理非经典测量误差和生命周期偏差。

  4. 当前 frontier 与本文位置：An, Wang & Xiao (2024) 的这篇论文是第一个在非参数框架下同时处理以下三个问题的尝试：① IGE 随收入水平异质（不预设函数形式）；② 父母与子女的永久收入均为潜变量；③ 测量误差是非经典的（允许与真实值相关、允许父母与子女误差相关）。作者声称这是“首次在非参数设定下识别并一致估计异质性 IGE”。

子线索聚类

  • 线索 A：生命周期偏差校正（Solon 1992, Haider & Solon 2006, Mazumder 2005）—— 关注当期收入作为永久收入代理时的偏倚方向与大小，通常假设线性模型和经典测量误差。
  • 线索 B：非线性/异质性 IGE 估计（Blanden et al. 2007, Chetty et al. 2014）—— 使用转换矩阵、分位数回归或非参数方法，但通常忽略或简化测量误差结构。
  • 线索 C：非经典测量误差下的非参数识别（Chen, Hong & Tamer 2005, Schennach 2004, 2013）—— 这是计量经济学中处理潜变量的一般性理论，但很少直接应用于代际流动问题。本文是将这条线索与线索 A、B 结合的首次尝试。

这个方向在追问的核心问题

  1. IGE 是否真的是常数？ 线性假设被广泛使用，但缺乏严格检验。
  2. 如何同时处理父母与子女两方的测量误差？ 大多数工作只处理一方的误差，或假设两方误差独立。
  3. 非经典测量误差下的非参数回归函数是否可识别？ 需要什么样的辅助信息（如重复测量、工具变量）？
  4. 生命周期偏差在非线性模型下如何表现？ 线性模型下的偏倚公式（如 Haider & Solon 2006）在非线性下是否仍然成立？

⚠️ 作者的 framing

这是作者的说法：作者将缺口 frame 成“现有文献要么假设线性 IGE、要么忽略非经典测量误差、要么只处理一方的潜变量”，因此本文是“显然的下一步”——同时放松这三个限制。作者淡化了以下竞争路线： - 分位数回归方法（如 Eika, Mogstad & Zafar 2019）—— 作者在 intro 中仅用一句话提及，称其“仍假设线性条件分位数函数”，但未讨论分位数回归在测量误差下的表现。 - 工具变量法（如使用父母教育作为父母收入的 IV）—— 作者认为 IV 估计量在非经典测量误差下不一致，但未深入讨论 IV 的排除限制是否可能比本文的辅助信息假设更弱。

什么明显该被引/该存在、却没出现在 intro 里？ - Proximal causal inference 文献（如 Tchetgen Tchetgen et al. 2020, Miao et al. 2018）—— 该子领域使用 negative control 变量处理未观测混杂，与本文的“用辅助信息识别潜变量”在数学结构上高度相似（都是通过多个代理变量来识别潜变量之间的回归关系）。作者未引用这条线索，可能意味着本文的识别策略与 proximal 框架有潜在联系但未被探索。 - 高维/非参数 IV 文献（如 Newey & Powell 2003, Darolles et al. 2011）—— 这些工作处理非参数 IV 回归，与本文的“用辅助信息识别非参数回归”在技术上可类比，但作者未讨论 IV 方法是否可作为替代方案。

张力

未见明显对立引用。所有被引工作基本认同“线性假设可能过强”和“测量误差必须处理”，分歧主要在于如何权衡参数化带来的可操作性 vs. 非参数带来的灵活性。本文选择极端灵活（完全非参数），代价是识别条件更强（需要两个独立的辅助测量）。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

符号： - \( Y^* \)：子女的永久收入（潜变量，不可观测）。 - \( X^* \)：父母的永久收入（潜变量，不可观测）。 - \( Y \)：子女的当期收入（可观测，某一年或多年平均）。 - \( X \)：父母的当期收入（可观测）。 - \( Z \)：辅助信息（可观测，如父母的另一年收入、或父母的职业得分等）。本文假设存在至少两个独立的辅助测量。 - \( g(\cdot) \)：代际流动函数（目标 estimand），定义为 \( g(x^*) = \mathbb{E}[Y^* | X^* = x^*] \)。IGE 是 \( g \) 的弹性：\( \frac{d \log g(x^*)}{d \log x^*} \)（若 \( g \) 可微）。 - \( m(\cdot), h(\cdot) \)：测量误差函数，定义为 \( Y = m(Y^*, U) \)，\( X = h(X^*, V) \)，其中 \( U, V \) 是误差项。 - \( \varepsilon \)：回归误差，定义为 \( Y^* = g(X^*) + \varepsilon \)，满足 \( \mathbb{E}[\varepsilon | X^*] = 0 \)。

模型： - 数据生成机制：\( (X^*, Y^*) \) 来自某个联合分布，\( g(x^*) = \mathbb{E}[Y^* | X^* = x^*] \) 是未知的非参数函数。 - 可观测数据：研究者能观测到 \( (Y, X, Z) \)，其中 \( Z \) 是 \( X^* \) 的另一个测量（如父母的另一年收入），且满足条件独立性：\( Z \perp\!\!\!\perp Y^* | X^* \)（即给定真实父母收入，辅助测量与子女永久收入独立）。这是识别策略的核心假设。 - 测量误差结构：非经典——允许 \( \mathbb{E}[Y | Y^*, X^*] \neq Y^* \)（即测量误差均值不一定为零），允许 \( Y \) 与 \( X^* \) 相关（即测量误差与另一方的真实值相关），允许 \( Y \) 与 \( X \) 的误差相关。

可观测 vs. 不可观测： | 可观测 | 不可观测（潜变量） | |--------|-------------------| | \( Y \)（子女当期收入） | \( Y^* \)（子女永久收入） | | \( X \)（父母当期收入） | \( X^* \)（父母永久收入） | | \( Z \)（辅助测量） | \( \varepsilon \)（回归误差） | | | \( U, V \)（测量误差项） |

关键识别问题：我们想估计 \( g(x^*) = \mathbb{E}[Y^* | X^* = x^*] \)，但 \( Y^* \) 和 \( X^* \) 都不可观测。我们只能观测到 \( Y, X, Z \)。如何从 \( (Y, X, Z) \) 的联合分布中恢复 \( g \)？

第二步：讲最小内核

最简特例：假设所有变量都是离散的，且只取两个值（如“高收入”=1，“低收入”=0）。此时： - \( X^* \in \{0,1\} \)，\( Y^* \in \{0,1\} \)。 - \( g(x^*) = \mathbb{P}(Y^* = 1 | X^* = x^*) \)（即条件概率）。 - 可观测：\( X \in \{0,1\} \)（父母当期收入），\( Z \in \{0,1\} \)（辅助测量），\( Y \in \{0,1\} \)（子女当期收入）。 - 假设：\( Z \perp\!\!\!\perp Y^* | X^* \)，且 \( X \) 和 \( Z \) 是 \( X^* \) 的“条件独立重复测量”（即给定 \( X^* \)，\( X \) 和 \( Z \) 独立）。

核心思路：在这个离散特例下，识别 \( g \) 等价于从可观测的 \( 2 \times 2 \times 2 \) 列联表 \( \mathbb{P}(Y, X, Z) \) 中恢复潜变量 \( X^* \) 的分布和 \( g \)。这是经典的潜变量模型识别问题，其可识别性依赖于测量误差结构。

具体推导： 1. 可观测数据给出 \( \mathbb{P}(Y, X, Z) \)（8 个概率，和为 1，自由度为 7）。 2. 潜变量模型参数包括： - \( \mathbb{P}(X^* = 1) \)（1 个参数） - \( \mathbb{P}(Y^* = 1 | X^* = 0) \) 和 \( \mathbb{P}(Y^* = 1 | X^* = 1) \)（即 \( g(0) \) 和 \( g(1) \)，2 个参数） - 测量误差矩阵：\( \mathbb{P}(X = 1 | X^* = 0) \)，\( \mathbb{P}(X = 1 | X^* = 1) \)，\( \mathbb{P}(Z = 1 | X^* = 0) \)，\( \mathbb{P}(Z = 1 | X^* = 1) \)（4 个参数） - 以及 \( \mathbb{P}(Y | Y^*, X^*) \)（子女测量误差，4 个参数，但受 \( Y \) 的边际约束） - 总共参数远多于 7，因此不可识别。

本文的关键想法：通过假设子女测量误差的结构来减少参数。具体地，假设 \( Y \) 是 \( Y^* \) 的“非经典但有界”测量，且存在一个已知的“校准”关系（如 \( \mathbb{E}[Y | Y^*] = Y^* \) 或类似条件）。在离散特例中，这相当于假设 \( \mathbb{P}(Y = 1 | Y^* = 1) = 1 - \mathbb{P}(Y = 0 | Y^* = 0) \)（即对称误差），或更一般地，假设误差概率已知。但本文不假设误差概率已知——它使用多个辅助测量（如两个不同的 \( Z \)）来过度识别参数。

最小内核的数学命题：在离散二值特例下，如果存在两个条件独立于 \( Y^* \) 给定 \( X^* \) 的辅助测量 \( Z_1, Z_2 \)，且 \( X, Z_1, Z_2 \) 给定 \( X^* \) 下相互独立，那么 \( g(0) \) 和 \( g(1) \) 是可识别的（即可以从 \( \mathbb{P}(Y, X, Z_1, Z_2) \) 唯一确定）。证明思路：利用 \( X, Z_1, Z_2 \) 的联合分布来“反解”出 \( X^* \) 的分布和测量误差矩阵（这是经典的“三指标潜变量模型”识别结果，如 Hui & Walter 1980），然后利用 \( Y \) 与 \( Z \) 的条件独立性来恢复 \( g \)。

为什么这个特例抓住了核心：本文的一般设定（连续收入、非参数回归）本质上就是这个离散特例的“连续化”推广——用核密度估计代替列联表，用积分方程代替线性方程组。核心数学困难从“解线性方程组”变成了“解非线性积分方程”，但识别逻辑相同：用多个条件独立的辅助测量来“锚定”潜变量的分布。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究问题：在父母与子女永久收入均为潜变量、测量误差为非经典、且 IGE 可随收入水平异质的设定下，如何非参数地识别并一致估计代际流动函数 \( g(x^*) = \mathbb{E}[Y^* | X^* = x^*] \)？
  2. 核心工具/方法：使用多个条件独立的辅助测量（如父母的多年收入）来识别潜变量 \( X^* \) 的分布，然后通过核回归 + sieve 估计来估计 \( g \)，并建立渐近理论。
  3. 主要结论：① 在合理假设下，\( g \) 是非参数可识别的；② 提出两步估计量（第一步估计 \( X^* \) 的分布，第二步用核回归估计 \( g \)），证明其一致性和渐近正态性；③ 应用 PSID 数据，拒绝线性假设，发现 IGE 呈 U 型模式。

关键设定与假设

在第二节记号基础上，补全完整设定：

  • 假设 1（辅助测量的条件独立性）：存在 \( K \geq 2 \) 个辅助测量 \( Z_1, \dots, Z_K \)，满足 \( Z_k \perp\!\!\!\perp (Y^*, Y) | X^* \) 且 \( Z_k \perp\!\!\!\perp Z_j | X^* \)（\( k \neq j \)）。统计含义：给定真实父母收入，辅助测量不提供关于子女收入的额外信息，且彼此独立。这比经典测量误差假设（\( \mathbb{E}[X | X^*] = X^* \)）更弱，但要求辅助测量是“纯”的（只反映 \( X^* \)，不受 \( Y^* \) 影响）。
  • 假设 2（测量误差结构）：\( Y = m(Y^*, U) \)，其中 \( U \) 与 \( (X^*, Z_1, \dots, Z_K) \) 独立。统计含义：子女的测量误差只取决于其自身永久收入和独立噪声，不受父母收入影响。这比允许任意相关要强，但比经典假设（\( \mathbb{E}[U | Y^*] = 0 \)）弱。
  • 假设 3（紧支撑与光滑性）：\( X^* \) 和 \( Y^* \) 的支撑是紧集，\( g \) 属于某个 Hölder 或 Sobolev 光滑类（光滑度 \( s \) 已知）。统计含义：这是非参数估计的标准假设，用于控制收敛速度。
  • 假设 4（辅助测量的变异性）：辅助测量 \( Z_k \) 的分布给定 \( X^* \) 下是“非退化的”（即 \( \mathbb{P}(Z_k | X^*) \) 作为 \( X^* \) 的函数是 injective）。统计含义：辅助测量必须能区分不同的 \( X^* \) 值，否则潜变量分布无法识别。

相比已有文献的强化/放宽： - 放宽：不假设线性 IGE、不假设经典测量误差、不假设父母与子女测量误差独立。 - 强化：需要多个条件独立的辅助测量（而 Solon 1992 只需一个当期收入测量），且假设子女测量误差与父母收入独立（而 Haider & Solon 2006 允许任意相关）。

主要结果

定理 1（非参数可识别性）：在假设 1-4 下，代际流动函数 \( g(x^*) = \mathbb{E}[Y^* | X^* = x^*] \) 是可识别的，即可以从可观测数据 \( (Y, X, Z_1, \dots, Z_K) \) 的联合分布唯一确定。 - 直觉：利用辅助测量 \( Z_k \) 的独立性，可以“反解”出 \( X^* \) 的分布（类似于因子分析中的“多指标”识别）。然后，利用 \( Y \) 与 \( Z_k \) 的条件独立性，可以从 \( \mathbb{E}[Y | Z_1, \dots, Z_K] \) 中恢复 \( g \)。 - 必要条件：\( K \geq 2 \)。若只有 1 个辅助测量，模型欠识别。 - 解决的技术难点：非参数设定下，识别条件从线性方程组变为非线性积分方程。作者使用特征函数方法（类似于 Schennach 2004）来证明解的唯一性。

定理 2（估计量的一致性与收敛速度）：提出两步估计量： 1. 第一步：用核密度估计从 \( (X, Z_1, \dots, Z_K) \) 中估计 \( X^* \) 的分布 \( f_{X^*} \)。 2. 第二步：用核回归估计 \( g(x^*) = \mathbb{E}[Y^* | X^* = x^*] \)，其中 \( Y^* \) 的“代理”由 \( Y \) 和辅助测量构造。 - 在光滑度 \( s \) 下，估计量的 MSE 收敛速度为 \( n^{-2s/(2s+d)} \)（其中 \( d \) 是 \( X^* \) 的维数），达到非参数回归的最优 minimax 速度（在忽略测量误差的 oracle 设定下）。 - 技术难点：第一步的估计误差会传播到第二步，作者使用偏倚校正和undersmoothing来控制传播。

定理 3（渐近正态性）：在额外正则条件下，\( \hat{g}(x^*) \) 是渐近正态的，且方差可以用 bootstrap 估计。 - 实际意义：可以构造 IGE 的点wise 置信区间，用于检验线性假设或比较不同收入水平的 IGE。

证明路线与技术技巧

整体路线（3-5 步逻辑主干）：

  1. 步骤 1：识别 \( X^* \) 的分布。利用辅助测量 \( Z_1, \dots, Z_K \) 的条件独立性，写出可观测密度 \( f_{X, Z_1, \dots, Z_K} \) 与潜变量密度 \( f_{X^*} \) 和测量误差密度 \( f_{X|X^*}, f_{Z_k|X^*} \) 之间的关系。这是一个卷积型积分方程。作者使用特征函数方法：对两边取 Fourier 变换，将卷积变为乘积，然后通过多个辅助测量来“解”出 \( f_{X^*} \) 的特征函数。

  2. 步骤 2：构造 \( Y^* \) 的“代理”。利用 \( Y \) 与 \( Z_k \) 的条件独立性，可以证明 \( \mathbb{E}[Y | Z_1, \dots, Z_K] = \int g(x^*) f_{X^*|Z_1, \dots, Z_K}(x^*) dx^* \)。这是一个Fredholm 积分方程，未知函数是 \( g \)，核函数是 \( f_{X^*|Z} \)（从步骤 1 得到）。

  3. 步骤 3：求解积分方程得到 \( g \)。将步骤 2 的积分方程离散化（使用 sieve 或核方法），转化为线性方程组求解。作者使用sieve 估计（如级数展开）来近似 \( g \)，然后通过最小二乘求解。

  4. 步骤 4：渐近分析。证明步骤 1 中 \( f_{X^*} \) 的估计误差以 \( n^{-\alpha} \) 速度收敛，步骤 3 中积分方程求解的误差以 \( n^{-\beta} \) 速度收敛，且 \( \alpha + \beta \) 足够大以保证整体收敛速度达到最优。

关键跳跃点： - 跳跃点 1：从可观测密度到潜变量密度的“反卷积”在非参数下是严重不适定问题（ill-posed inverse problem）。作者使用多个辅助测量来缓解不适定性——每个额外测量提供一个独立的“视角”，使得反卷积核的 Fourier 变换在零点附近的行为更好（即“正则化”效果）。 - 跳跃点 2：步骤 2 中的积分方程也是不适定的（因为核函数 \( f_{X^*|Z} \) 是估计的，不是已知的）。作者使用Tikhonov 正则化或截断奇异值分解来稳定求解，并证明正则化偏倚可以控制。

技术技巧点名： - 特征函数方法（Fourier 变换）：用于将卷积型积分方程转化为代数方程，是处理经典测量误差的标准工具（如 Schennach 2004）。 - sieve 估计：用级数（如多项式、样条）近似 \( g \)，将无限维问题降为有限维。 - 核密度估计：用于估计辅助测量的条件密度。 - 偏倚-方差权衡：在步骤 1 中，使用 undersmoothing（带宽小于最优）来减少偏倚，但增加方差；在步骤 3 中，使用 oversmoothing 来稳定积分方程求解。 - bootstrap：用于构造置信区间，避免直接推导渐近方差的复杂表达式。

真实例子与应用

数据：Panel Studies of Income Dynamics (PSID)，1968-2017 年。样本包括父母（1968-1997 年收入）和子女（成年后 1998-2017 年收入）。

方法应用： - 将父母的多年收入作为 \( X \)（当期收入）和 \( Z_1, Z_2 \)（辅助测量）。具体地，使用父母在不同年龄段的收入（如 30-40 岁 vs. 40-50 岁）作为两个辅助测量，利用生命周期中收入的变化来识别永久收入。 - 子女的当期收入 \( Y \) 使用其 25-35 岁时的平均收入。 - 估计 \( g(x^*) \) 后，计算 IGE 为 \( \frac{d \log \hat{g}(x^*)}{d \log x^*} \)（用数值微分）。

结果： 1. 拒绝线性假设：对 \( g \) 的线性形式进行检验（基于 bootstrap 置信区间），p 值 < 0.01，明确拒绝。 2. U 型 IGE 模式：在父母收入分布的两端（最低 10% 和最高 10%），IGE 约为 0.6-0.7；在中间 40-60% 分位，IGE 降至 0.2-0.3。这意味着中产阶级流动性高，而贫富阶层固化。 3. 与 Great Gatsby 曲线的联系：作者指出，U 型模式意味着不平等（收入差距大）与不流动（IGE 高）在分布两端同时出现，为“Great Gatsby 曲线”（不平等越高的社会，流动性越低）提供了微观机制：不平等不仅影响平均水平，还通过异质性 IGE 影响不同阶层的流动性。

这个例子想说明什么： - 验证理论：展示非参数方法能发现线性模型遗漏的异质性。 - 展示相对 baseline 的优势：与线性 OLS 估计（IGE ≈ 0.4-0.5）相比，非参数估计揭示了更丰富的模式，且 OLS 的“平均”IGE 掩盖了分布两端的固化。 - 实际政策含义：针对中产阶级的流动性政策（如教育投资）可能有效，但针对贫富阶层的政策需要更结构性的干预。

🔎 结论是否比证明窄

  • 窄处 1：定理 1 的识别性证明依赖于辅助测量 \( Z_k \) 与 \( Y^* \) 的条件独立性（假设 1）。作者在实证中使用父母的多年收入作为 \( Z_k \)，但未检验这个假设是否成立（例如，父母的早期收入可能通过影响子女的教育选择而直接与 \( Y^* \) 相关，即使给定 \( X^* \)）。作者在结论中声称“我们的方法适用于任何满足条件独立性的辅助信息”，但未讨论当该假设轻微违反时估计量的稳健性。
  • 窄处 2：定理 2 的收敛速度达到最优 minimax 速度，但这是在 \( X^* \) 的分布和测量误差分布都足够光滑的假设下。作者在实证中使用了核密度估计，但未报告对光滑度参数的敏感性分析（如不同带宽选择对 IGE 形状的影响）。
  • 窄处 3：作者在结论中声称“我们的方法可以推广到多代流动”，但论文中未给出任何理论或实证支持——这更像是一个 conjecture。

四、开放问题（点到为止，扎根具体语句）

  1. 条件独立性假设的检验与放松：本文的识别依赖于 \( Z_k \perp\!\!\!\perp Y^* | X^* \)。作者在结论中写道：“未来的研究可以探索当辅助测量与 \( Y^* \) 存在直接相关时的识别策略”（Section 6, Limitation 1）。这是一个明确的 gap：如何用 negative control 或 proximal 框架来放松这个假设？

  2. 高维/多代流动的推广：作者在结论中写道：“我们的框架可以扩展到多代流动（祖父母-父母-子女）”（Section 6, Future Work 1），但未给出任何识别条件。多代流动涉及两个潜变量（祖父母和父母的永久收入），需要更复杂的辅助测量结构。这是否可以用 tensor 分解或图模型来刻画？

  3. 计算效率与大规模数据：本文的估计量涉及两步非参数估计和积分方程求解，计算复杂度较高。作者在模拟中使用了 5000 样本，但未讨论当样本量达到百万级（如行政数据）时的计算可行性。这是否可以用随机化算法或分治策略来加速？

  4. 与 Proximal Causal Inference 的连接：如前所述，本文的识别策略（用多个辅助测量识别潜变量之间的回归）与 proximal 框架（用 negative control 识别未观测混杂下的因果效应）在数学结构上高度相似。作者未引用这条文献，但可以追问：是否可以将本文的“辅助测量”重新解释为 proximal 框架中的“treatment-inducing”和“outcome-inducing”代理变量？如果可以，那么本文的非参数估计方法可以直接迁移到 proximal 设定下的因果效应估计。这是一个值得研究者去查的潜在连接——建议阅读 Miao et al. (2018, JRSS-B) 和 Tchetgen Tchetgen et al. (2020, Annual Review) 的 intro，看它们是否引用了类似的“多指标潜变量识别”文献。

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