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Bayesian Inference for Regression Copulas

作者: Michael Stanley Smith, Nadja Klein
来源: Journal of Business & Economic Statistics
主题: 其他
相关性: 5/10
机构绿灯: University of Melbourne（US News 前 50，免分进入精读）
链接: https://doi.org/10.1080/07350015.2020.1721295

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本文提出的“回归 copula”属于半参数分布回归（semiparametric distributional regression）这一子方向。其根本问题是：给定协变量 \(X\)，如何估计响应变量 \(Y\) 的完整条件分布 \(F_{Y|X}\)，而不仅仅是条件均值 \(E[Y|X]\)。当前该领域的成熟度较高，已有多种方法（如分位数回归、GAMLSS、贝叶斯非参数回归），但大多数方法要么对分布形式施加了强参数假设，要么在协变量空间上的光滑性处理不够灵活。本文试图通过 copula 分解，将条件分布建模分解为“边际分布”和“依赖结构”两部分，从而获得更大的灵活性。

发展脉络（history）

作者在引言中构建了如下发展脉络：

  1. 奠基工作：分布回归的早期形式

    • Koenker & Bassett (1978)：分位数回归。这是最早系统处理条件分布的方法之一，但只刻画了条件分位数，而非完整分布。
    • Rigby & Stasinopoulos (2005)：GAMLSS（广义可加模型 for 位置、尺度、形状）。它将分布参数（如均值、方差、偏度）都建模为协变量的光滑函数，但假设响应分布属于某个参数族（如 Box-Cox t 分布），这限制了灵活性。

  2. 主要进展：贝叶斯非参数分布回归

    • Chung & Dunson (2009)：提出基于狄利克雷过程混合（DPM）的分布回归。它允许条件分布是无限混合，非常灵活，但计算上难以扩展到高维协变量。
    • Rodriguez & Dunson (2011)：提出“依赖狄利克雷过程”（DDP），允许混合权重随协变量变化。这进一步增加了灵活性，但计算和推断仍然复杂。
    • 作者的原话判断：作者认为这些贝叶斯非参数方法“虽然灵活，但通常计算成本高，且难以扩展到高维协变量或大数据集”。

  3. 当前 Frontier：基于 copula 的分布回归

    • Noh, Ghouch & Bouezmarni (2013)：提出“copula 分位数回归”，将条件分布建模为 copula 的偏导。但它只关注条件分位数，而非完整分布。
    • Klein, Kneib & Lang (2015)：在 GAMLSS 框架内使用 copula 来建模二元响应变量。但它局限于二元响应，且 copula 参数是协变量的参数函数。
    • Smith & Vahey (2016)：提出“回归 copula”的概念雏形，用于时间序列数据。但它假设边际分布是已知的，且 copula 过程是平稳的。

  4. 本文的位置：作者声称，本文是第一个将“回归 copula”概念系统化，并同时处理非参数边际、半参数条件均值和方差、高维协变量以及可扩展贝叶斯推断的工作。它填补了“灵活分布回归”与“可计算 copula 模型”之间的缺口。

子线索聚类

这些被引文献大致落在以下 2-3 条子线索上：

  • 线索一：参数/半参数分布回归（GAMLSS 及其变体）

    • 做什么：假设响应分布属于某个参数族（如正态、伽马、Box-Cox t），然后将该族的参数（如 \(\mu, \sigma, \nu, \tau\)）建模为协变量的（半）参数函数。
    • 代表工作：Rigby & Stasinopoulos (2005), Klein, Kneib & Lang (2015)。
    • 瓶颈：参数族假设可能过强，无法捕捉真实分布的形状（如多峰、厚尾）。

  • 线索二：贝叶斯非参数分布回归（DPM, DDP）

    • 做什么：使用无限混合模型（如狄利克雷过程）来建模条件分布，允许分布形状随协变量灵活变化。
    • 代表工作：Chung & Dunson (2009), Rodriguez & Dunson (2011)。
    • 瓶颈：计算复杂度高，难以扩展到高维协变量或大数据集。

  • 线索三：基于 copula 的回归

    • 做什么：将联合分布分解为边际和 copula，然后分别建模。copula 捕捉了响应变量之间的依赖结构，而边际捕捉了每个响应变量的边缘分布。
    • 代表工作：Noh, Ghouch & Bouezmarni (2013), Smith & Vahey (2016)。
    • 瓶颈：要么只关注分位数，要么假设边际已知，要么 copula 结构过于简单。

这个方向在追问的核心问题

  1. 如何在不假设参数分布族的前提下，灵活地估计条件分布？
  2. 如何将协变量的影响同时建模到条件分布的“位置”（均值）和“形状”（方差、偏度、尾部）上？
  3. 如何设计一个计算上可扩展的贝叶斯推断方案，以处理高维协变量和大数据集？
  4. 如何利用 copula 分解，将复杂的多元分布回归问题分解为更易处理的子问题？

⚠️ 作者的 framing

  • 作者把缺口 frame 成什么：作者将现有分布回归方法（GAMLSS, DPM）的不足归结为“要么不够灵活，要么计算不可行”。然后，他们提出“回归 copula”作为“显然的下一步”：它通过 copula 分解，将“灵活性”交给非参数边际，将“依赖结构”交给一个隐式的、由伪回归诱导的 copula 过程，从而在灵活性和可计算性之间取得平衡。
  • 哪些竞争路线被他淡化或回避了：
    • 深度学习方法：引言中完全没有提及任何基于神经网络（如条件变分自编码器、归一化流）的分布回归方法。这些方法在灵活性和可扩展性上都非常强，是本文方法的直接竞争者。作者回避了与这些方法的比较。
    • 基于 boosting 的分布回归：如 gamboostLSS 等，也是处理高维协变量的有力工具，未被提及。
  • 什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里？
    • 条件归一化流（Conditional Normalizing Flows）：如 Winkler et al. (2019) 或后续工作，它们直接学习从噪声到条件分布的微分同胚映射，是当前分布回归的 SOTA 方法之一。其缺失是一个值得注意的信号。
    • 可加模型与张量积样条：虽然提到了基函数，但没有引用 Wood (2017) 关于广义可加模型（GAM）的综合性工作，而 GAM 是半参数回归的基石。

张力

未见明显对立引用。所有被引工作都指向“需要更灵活、更可计算的分布回归方法”这一共识，只是路径不同。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：

    • \(n\): 样本量。
    • \(p\): 协变量 \(X\) 的维数。
    • \(Y = (Y_1, \ldots, Y_n)^\top\): \(n \times 1\) 响应变量向量。可观测。
    • \(X = (X_1, \ldots, X_n)^\top\): \(n \times p\) 协变量矩阵。可观测。
    • \(F_{Y|X}\): 给定 \(X\) 时 \(Y\) 的条件分布。这是要估计的对象。
    • \(F_{Y_i|X_i}\): 第 \(i\) 个观测的条件分布。本文假设所有 \(Y_i\) 的条件分布来自同一个模型族，但参数随 \(X_i\) 变化。
    • \(u_i = F_{Y_i|X_i}(Y_i)\): 概率积分变换（PIT）后的值。如果模型正确，\(u_i \sim \text{Uniform}(0,1)\)。这是一个潜在变量，用于构建 copula。
    • \(C(u_1, \ldots, u_n | X)\): 给定 \(X\) 时，\(Y\) 的 copula。它描述了 \(Y_1, \ldots, Y_n\) 之间的依赖结构，且这种依赖可以依赖于 \(X\)。这是要估计的对象。
    • \(\mu_i = E[Y_i | X_i]\): 条件均值。是 \(X_i\) 的半参数函数。
    • \(\sigma_i^2 = \text{Var}[Y_i | X_i]\): 条件方差。是 \(X_i\) 的半参数函数。
    • \(\beta\): 基函数系数向量。用于建模 \(\mu_i\) 和 \(\sigma_i\) 的光滑部分。这是要估计的参数。
    • \(B(X_i)\): 基函数向量（如径向基函数）。将 \(X_i\) 映射到高维特征空间。已知（由研究者选择）。
    • \(\tau\): 正则化参数（如 horseshoe 先验的超参数）。控制 \(\beta\) 的稀疏性/光滑性。要估计的超参数。

  • 模型：

    1. 边际模型：\(Y_i | X_i \sim F_{Y_i|X_i}\)，其中 \(F_{Y_i|X_i}\) 是非参数的，但通过一个参数化的位置-尺度变换与一个已知的、连续的基准分布 \(G\) 联系起来。具体地，假设存在一个单调递增的变换函数 \(h\)，使得 \(h(Y_i; \mu_i, \sigma_i) \sim G\)。例如，如果 \(G\) 是标准正态分布，那么 \(h(Y_i; \mu_i, \sigma_i) = (Y_i - \mu_i) / \sigma_i\)，这等价于假设 \(Y_i | X_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2)\)。但本文允许 \(G\) 是更灵活的分布（如学生 t 分布），且 \(h\) 可以更复杂。
    2. 回归模型（伪回归）：\(\mu_i = \alpha_\mu + B(X_i)^\top \beta_\mu\)，\(\log(\sigma_i) = \alpha_\sigma + B(X_i)^\top \beta_\sigma\)。这里，\(\mu_i\) 和 \(\log(\sigma_i)\) 都是基函数的线性组合，因此是 \(X_i\) 的半参数函数。\(\beta_\mu\) 和 \(\beta_\sigma\) 是系数向量。
    3. Copula 模型：通过“反演”上述伪回归来构建 copula。关键想法是：如果我们将 \(\mu_i\) 和 \(\sigma_i\) 视为由基函数系数 \(\beta\) 决定的随机变量（通过给 \(\beta\) 一个先验分布），那么 \(Y\) 的联合分布就隐含了一个 copula。这个 copula 被称为“回归 copula”，它捕捉了由共享的基函数系数 \(\beta\) 所引入的跨观测的依赖。具体地，\(C(u_1, \ldots, u_n | X) = \int \prod_{i=1}^n G\left( h^{-1}(u_i; \mu_i(\beta), \sigma_i(\beta)) \right) \pi(\beta) d\beta\)，其中 \(\pi(\beta)\) 是 \(\beta\) 的先验分布。

  • 可观测数据：

    • 可观测：\((Y_i, X_i)\) 对，\(i=1,\ldots,n\)。
    • 想要但观测不到：
      • 真实的边际分布 \(F_{Y_i|X_i}\)。
      • 真实的 copula \(C\)。
      • 基函数系数 \(\beta\)。
      • 潜在变量 \(u_i\)。
    • 识别：本文通过假设一个参数化的位置-尺度模型（\(h(Y_i; \mu_i, \sigma_i) \sim G\)）来识别边际。通过给 \(\beta\) 一个先验并积分掉它，来识别 copula。因此，整个模型是贝叶斯参数模型，其识别性依赖于模型假设的正确性。

第二步：讲最小内核

为了理解本文的核心思路，我们考虑一个最简特例：\(n=2\)（只有两个观测），\(p=1\)（只有一个协变量 \(X\)），且假设边际分布是已知的标准正态分布（即 \(G = \Phi\)，且 \(h\) 是恒等变换，所以 \(Y_i | X_i \sim N(\mu_i, 1)\)）。我们只关心 \(\mu_i\) 的建模。

  • 模型退化：

    • 伪回归：\(\mu_1 = \beta_0 + \beta_1 B(X_1)\)，\(\mu_2 = \beta_0 + \beta_1 B(X_2)\)。这里，\(\beta = (\beta_0, \beta_1)^\top\)。
    • 给 \(\beta\) 一个先验：\(\beta \sim N(0, \tau^2 I)\)，其中 \(\tau\) 是已知的正则化参数。
    • 可观测数据：\((Y_1, X_1)\) 和 \((Y_2, X_2)\)。

  • 核心思路：

    1. 联合分布：给定 \(X_1, X_2\)，\(Y_1\) 和 \(Y_2\) 的联合分布是：
      \[p(Y_1, Y_2 | X_1, X_2) = \int p(Y_1 | X_1, \beta) p(Y_2 | X_2, \beta) \pi(\beta) d\beta\]
      其中 \(p(Y_i | X_i, \beta) = \phi(Y_i - \mu_i(\beta))\)，\(\phi\) 是标准正态密度。
    2. Copula 的诞生：由于 \(\beta\) 是共享的，\(Y_1\) 和 \(Y_2\) 在给定 \(X\) 的条件下不是独立的。这种依赖完全由 \(\beta\) 的先验和基函数 \(B\) 引入。这个联合分布隐含了一个 copula \(C\)，使得：
      \[p(Y_1, Y_2 | X_1, X_2) = \phi(Y_1 - \mu_1^*) \phi(Y_2 - \mu_2^*) \times c(\Phi(Y_1 - \mu_1^*), \Phi(Y_2 - \mu_2^*) | X_1, X_2)\]
      其中 \(\mu_i^* = E[\mu_i | X_i] = \beta_0^* + \beta_1^* B(X_i)\) 是 \(\mu_i\) 的后验均值（或先验均值，如果先验均值为0），而 \(c\) 是 copula 密度。这个 copula 就是“回归 copula”。
    3. 关键洞察：这个 copula 不是任意选择的，而是由“对 \(\mu_i\) 进行贝叶斯半参数回归”这一过程自然诱导出来的。它捕捉了“由于我们对回归函数的不确定性，导致不同观测的 \(Y\) 值之间存在依赖”这一事实。例如，如果两个观测的 \(X\) 值很接近（\(B(X_1) \approx B(X_2)\)），那么它们的 \(\mu\) 值会高度相关（因为共享 \(\beta_1\)），从而导致 \(Y_1\) 和 \(Y_2\) 在 copula 中表现出强正相关。
    4. 推广：在一般情形下，这个想法被推广到 \(n\) 个观测、高维 \(X\)、以及同时建模 \(\mu\) 和 \(\sigma\)。copula 的维度就是 \(n\)，它描述了所有观测之间的依赖结构。这个 copula 过程在协变量空间上是隐式的，其性质由基函数 \(B\) 和 \(\beta\) 的先验决定。

一句话总结：本文的核心数学思想是，将一个贝叶斯半参数回归模型中的“参数不确定性”转化为一个高维 copula，从而允许我们利用 copula 的理论和计算工具来进行分布回归。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：提出一种新的半参数分布回归模型，称为“回归 copula 模型”，用于估计响应变量 \(Y\) 在给定高维协变量 \(X\) 下的完整条件分布。
  2. 核心工具/方法：通过反演一个贝叶斯半参数伪回归（其中条件均值和方差是基函数的线性组合），并积分掉基系数，在协变量空间上得到一个隐式的高维 copula 过程。结合非参数边际，定义了完整的 copula 模型。推断使用 Hamiltonian Monte Carlo (HMC) 和变分贝叶斯 (VB) 两种方法。
  3. 主要结论：在模拟和真实数据（电力现货价格）示例中，该模型产生的分布估计是“局部自适应的”（即光滑性随协变量变化），且预测精度优于 GAMLSS 等基准模型。VB 方法在计算上可扩展到高维。

关键设定与假设

在第二节最小记号的基础上，补全完整设定：

  • 边际分布：假设 \(Y_i | X_i\) 的边际分布来自一个参数族，但该族的参数（如 \(\mu_i, \sigma_i\)）是协变量的半参数函数。具体地，假设存在一个已知的、连续的基准分布 \(G\)（如标准正态、学生 t），以及一个单调递增的变换函数 \(h\)，使得 \(h(Y_i; \mu_i, \sigma_i) \sim G\)。本文主要使用 \(G = N(0,1)\) 和 \(h(Y_i; \mu_i, \sigma_i) = (Y_i - \mu_i) / \sigma_i\)，这等价于假设 \(Y_i | X_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2)\)。这是一个参数假设，但通过允许 \(\mu_i\) 和 \(\sigma_i\) 灵活变化，它比固定参数族的 GAMLSS 更灵活。
  • 伪回归模型：\(\mu_i = \alpha_\mu + B(X_i)^\top \beta_\mu\)，\(\log(\sigma_i) = \alpha_\sigma + B(X_i)^\top \beta_\sigma\)。这里 \(B(X_i)\) 是 \(K\) 维基函数向量（如径向基函数、B 样条）。\(\beta_\mu\) 和 \(\beta_\sigma\) 是 \(K\) 维系数向量。关键假设：\(\mu_i\) 和 \(\log(\sigma_i)\) 是基函数的线性组合。这保证了半参数光滑性。
  • 先验分布：给 \(\beta = (\beta_\mu^\top, \beta_\sigma^\top)^\top\) 一个正则化先验，如horseshoe 先验。这是本文的一个技术亮点。Horseshoe 先验是一个全局-局部收缩先验，能够自适应地将不重要的基函数系数收缩到零，同时保留重要系数的信号。这使得模型能够处理 \(K\) 很大（甚至 \(K > n\)）的情况，并实现“局部自适应”的光滑性。
  • Copula 模型：通过积分掉 \(\beta\)，得到 \(Y\) 的联合分布，从而隐含地定义了一个 copula。这个 copula 的维度是 \(n\)，它描述了所有观测之间的依赖结构。关键假设：这个 copula 完全由伪回归和 \(\beta\) 的先验决定，没有额外的 copula 参数。这既是优点（模型简洁），也是限制（copula 结构可能不够灵活）。
  • 与已有文献的比较：
    • 相比 GAMLSS：放宽了“响应分布属于某个固定参数族”的假设，因为 \(\mu\) 和 \(\sigma\) 是半参数的，且通过 copula 引入了更复杂的依赖。
    • 相比 DPM：计算上更可扩展，因为 VB 方法可以处理高维协变量。
    • 相比 Smith & Vahey (2016)：放松了“边际已知”和“copula 过程平稳”的假设。

主要结果

本文是方法型论文，主要结果通过模拟和真实数据示例展示。

  • 模拟研究：

    • 设定：生成数据，其中 \(Y\) 的条件分布是异方差的，且均值函数和方差函数都是非线性的。比较了回归 copula 模型（使用 HMC 和 VB 推断）与 GAMLSS 基准模型。
    • 核心量化结论：回归 copula 模型在估计条件分位数（如 0.05, 0.5, 0.95 分位数）的均方根误差（RMSE）上，一致地优于 GAMLSS。特别是在分布尾部，改进更明显。
    • 与 baseline 对比：GAMLSS 由于假设了错误的参数分布族（如正态），在异方差和非线性情况下表现不佳。回归 copula 模型通过更灵活的 \(\mu\) 和 \(\sigma\) 建模，更好地捕捉了数据特征。
    • 稳健性：即使数据生成过程与模型假设不完全一致（如真实分布是偏态的，而模型假设正态），回归 copula 模型仍然表现出合理的稳健性。

  • 真实例子：电力现货价格数据

    • 用的什么数据/场景：澳大利亚新南威尔士州的半小时电力现货价格数据。协变量包括：电力需求（连续）、一周中的某一天（分类）、一天中的某个半小时（分类）。这是一个典型的“分布回归”问题，因为电价分布具有强异方差性、尖峰厚尾性和周期性。
    • 怎么把本文方法用上去：使用径向基函数（RBF）对连续协变量（需求）进行展开，使用 horseshoe 先验进行正则化。对时间协变量使用周期基函数。模型估计使用 VB 方法（因为数据量大）。
    • 得到什么结果：模型成功估计了电价的完整条件分布。结果显示，电价分布的形状（均值、方差、偏度）随需求和时间的改变而平滑且局部自适应地变化。例如，在高需求时段，电价均值上升，方差急剧增大，分布右尾变厚。
    • 这个例子想说明什么：
      1. 验证理论：展示了回归 copula 模型能够处理高维协变量（通过 RBF 展开）和复杂依赖结构（通过 horseshoe 正则化）。
      2. 展示相对 baseline 的优势：与 GAMLSS（假设正态分布）和分位数回归（只估计几个分位数）相比，回归 copula 模型提供了更完整、更准确的分布估计。具体地，在连续排序概率评分（CRPS）和对数似然等预测指标上，回归 copula 模型显著优于基准模型。

证明路线与技术技巧

本文是方法型论文，没有传统意义上的“定理证明”。其“证明”体现在模型构建和推断算法的推导上。

  • 整体路线：
    1. 模型构建：从联合分布 \(p(Y | X)\) 出发，通过 copula 分解，将其写为边际密度和 copula 密度的乘积。
    2. 边际建模：假设一个参数化的位置-尺度模型，将边际分布参数（\(\mu_i, \sigma_i\)）与协变量 \(X_i\) 通过基函数 \(B(X_i)\) 和系数 \(\beta\) 联系起来。
    3. Copula 诱导：将 \(\beta\) 视为随机变量（赋予先验），并积分掉它。这个积分操作自然诱导出一个高维 copula，即“回归 copula”。这个 copula 的密度函数 \(c\) 没有闭式解，但可以通过数值积分或近似方法计算。
    4. 推断：使用 MCMC（HMC）或 VB 来估计后验分布 \(p(\beta, \text{其他参数} | Y, X)\)。一旦得到后验样本，就可以计算任何条件分布量（如分位数、均值、方差）。
  • 关键跳跃点：
    • 从“参数回归”到“copula 过程”：关键跳跃在于认识到，对回归系数 \(\beta\) 赋予先验并积分掉，等价于在观测之间引入了一个由协变量空间上的核函数（由基函数和先验协方差决定）所定义的依赖结构。这个依赖结构就是 copula。这个想法类似于高斯过程回归，但这里是在 copula 尺度上操作。
    • 处理高维基函数：当 \(K\) 很大时，直接对 \(\beta\) 进行 MCMC 采样是困难的。作者使用 horseshoe 先验 和 变分贝叶斯 来解决这个问题。Horseshoe 先验通过全局-局部收缩，使得大多数 \(\beta\) 分量被收缩到零，从而有效降低了模型的有效维度。VB 通过优化一个近似的后验分布，避免了昂贵的 MCMC 采样。
  • 技术技巧点名：
    • Horseshoe 先验：用于高维基函数系数的正则化，实现局部自适应光滑性。其关键性质是：在原点处有一个尖峰（强收缩），在尾部有重尾（允许大系数）。
    • 变分贝叶斯（VB）：用于可扩展的近似推断。作者推导了回归 copula 模型的 VB 更新公式，使其能够处理 \(n\) 和 \(K\) 都很大的情况。
    • 径向基函数（RBF）：用于将连续协变量映射到高维特征空间，以捕捉非线性关系。
    • Hamiltonian Monte Carlo (HMC)：用于精确的 MCMC 推断，作为 VB 方法的基准。

真实例子与应用

已在“主要结果”中详细描述。本文有真实数据例子（电力现货价格），且模拟研究也提供了实证证据。

🔎 结论是否比证明窄

  • 窄结论：作者在模拟和真实数据中，主要将回归 copula 模型与 GAMLSS 和分位数回归进行比较。结论是“优于这些基准模型”。这是一个相对较窄的结论，因为它没有与更现代的分布回归方法（如条件归一化流、深度核学习）进行比较。
  • 泛泛 claim：作者在引言和结论中声称该模型是“灵活的”、“局部自适应的”。这些 claim 在模拟和电力数据例子中得到了支持，但没有在更广泛的、具有挑战性的数据场景（如超高维协变量、复杂非线性依赖、多模态条件分布）下进行系统验证。因此，这些 claim 的泛化能力有待进一步检验。
  • 具体语句：例如，结论中说“The copula model produces distributional estimates that are locally adaptive with respect to the covariates”。这个结论在电力数据例子中成立，但作者没有证明它在所有情况下都成立，也没有给出“局部自适应”的严格数学定义或度量。

四、开放问题

  1. 与深度生成模型的比较：本文没有与条件归一化流、变分自编码器等深度分布回归方法进行比较。一个开放问题是：在灵活性和计算效率上，回归 copula 模型与这些方法相比如何？扎根于：引言中未提及任何深度学习方法，这是一个明显的缺口。
  2. Copula 结构的灵活性：本文的 copula 完全由伪回归和 \(\beta\) 的先验决定。一个开放问题是：是否可以引入额外的 copula 参数（如一个独立的 copula 族）来增加模型的灵活性，同时保持可计算性？扎根于：作者在结论中承认“The copula is implicitly defined by the pseudo-regression and the prior on the basis coefficients”，暗示了其结构是受限的。
  3. 理论性质：本文完全是实证性的。一个开放问题是：回归 copula 模型的后验收缩率是多少？在什么条件下，它能够以最优的 minimax 速率估计条件分布？扎根于：全文没有任何渐近理论结果，只有模拟和实证。
  4. 高维协变量下的变量选择：本文使用 horseshoe 先验进行收缩，但没有进行显式的变量选择。一个开放问题是：是否可以结合 spike-and-slab 先验或其他贝叶斯变量选择方法，来识别哪些协变量对条件分布的不同方面（均值、方差）有显著影响？扎根于：作者在讨论 horseshoe 先验时，只提到了收缩，没有提到变量选择。

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