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Higher-order Spillover Effects Under Partial Interference

作者: Qixiang Xu, Laura Forastiere
主题: 因果推断
相关性: 8/10
链接: https://arxiv.org/abs/2607.12855

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

这个子方向是网络因果推断中的干扰（interference）问题，核心是放宽SUTVA的“无干扰”假设，允许一个单元的结果受其他单元处理状态的影响。当干扰通过可观测的网络连接传播时，研究者需要定义和估计“溢出效应”（spillover effects）。当前成熟度：已有大量工作处理“部分干扰”（partial interference，组内干扰、组间无干扰）和“邻域干扰”（neighborhood interference，仅来自直接邻居），但高阶干扰（higher-order interference，来自网络距离>1的单元）的识别与估计仍是一个开放口子。

发展脉络（history）

  • 奠基工作：Rubin [1980b] 的SUTVA（含无干扰假设）是起点。Rosenbaum [2007] 提出部分干扰假设（partial interference），允许组内干扰但假设组间无干扰，为后续工作提供了可操作的框架。Hudgens and Halloran [2008] 在此基础上定义了因果估计量并提出了两阶段随机实验下的Horvitz-Thompson型估计量——这是该子领域的核心奠基论文，被本文反复引用。
  • 主要进展：Tchetgen and VanderWeele [2012] 和 Liu et al. [2016] 将部分干扰框架扩展到逆概率加权（IPW）估计量，并引入暴露映射函数（exposure mapping function） 来进一步降低潜在结果空间的维度。Aronow and Samii [2017] 系统化了暴露映射框架，给出了一般干扰下的平均因果效应估计量。这些工作构成了当前主流方法的基础。
  • 当前frontier：近年来，研究者开始放松“邻域干扰假设”（neighborhood interference assumption，即干扰仅来自直接邻居）。Leung [2022] 定义了K-邻域干扰假设，但推断在更弱的近似邻域干扰（ANI）假设下进行——干扰效应随网络距离衰减。Sävje [2024] 做出了一个重要贡献：他证明暴露映射函数不需要正确指定，因为它在定义估计量时起的是“定义目标量”而非“描述真实因果结构”的作用；在错误指定下，标准估计量仍对某个广义估计量一致。Weinstein and Nevo [2023] 推导了网络错误指定导致的偏差，并提出了多网络下的无偏估计量。
  • 本文的位置：本文填补了“高阶干扰下溢出效应的因果估计量”这一空白。作者认为现有方法要么依赖过于严格的邻域干扰假设（如Forastiere et al. [2021], Leung [2022]），要么虽然处理了网络错误指定但仍然依赖正确的暴露映射函数（如Weinstein and Nevo [2023], Hardy et al. [2019]）。本文提出不依赖暴露映射函数的估计量，在保守的干扰集假设下定义和估计h阶溢出效应。

子线索聚类

  1. 部分干扰框架（Partial Interference）：Hudgens and Halloran [2008], Liu and Hudgens [2014], Tchetgen and VanderWeele [2012], Liu et al. [2016], Papadogeorgou et al. [2019]。这一簇处理组内干扰、组间无干扰，通常假设干扰集是整个组（如村庄、学校）。核心工具：Horvitz-Thompson / Hajek / IPW估计量，两阶段随机实验。
  2. 网络干扰与暴露映射（Network Interference & Exposure Mapping）：Aronow and Samii [2017], Forastiere et al. [2021], Leung [2022, 2020], Sussman and Airoldi [2017], Ogburn and VanderWeele [2014]。这一簇利用网络结构定义干扰集（通常是直接邻居），并使用暴露映射函数（如处理邻居的比例）来降低维度。核心工具：基于倾向得分的估计量、OLS回归。
  3. 错误指定与网络不确定性（Misspecification & Network Uncertainty）：Weinstein and Nevo [2023], Sävje [2024], Bhattacharya et al. [2020], Chao et al. [2025], Egami [2021]。这一簇处理干扰集或暴露映射函数错误指定的后果，包括偏差推导、敏感性分析、网络恢复。核心工具：偏差公式、多网络估计量。

这个方向在追问的核心问题

  1. 如何定义和估计高阶（h>1）溢出效应？ 现有方法要么假设干扰仅来自直接邻居（邻域干扰假设），要么假设干扰在组内但忽略网络结构（部分干扰）。当干扰通过长路径传播时（如疾病传播、信息扩散），如何定义“来自h阶邻居的溢出效应”？
  2. 如何避免暴露映射函数的错误指定？ 暴露映射函数（如处理邻居的比例）是当前主流方法的核心，但它的选择通常是任意的，且错误指定会导致偏差。能否设计不依赖暴露映射函数的估计量？
  3. 如何平衡保守的干扰集假设与估计效率？ 使用更大的干扰集（如整个cluster）更稳健但效率低，使用更小的干扰集（如直接邻居）效率高但可能偏差大。如何在这两者之间做出选择？
  4. 已知瓶颈：高阶干扰的估计量目前不存在（本文声称填补了这一空白）；暴露映射函数的错误指定偏差尚未被系统处理（本文的Proposition 2和Corollary 1/2是贡献）；现有处理网络错误指定的方法（如Weinstein and Nevo [2023]）仍然依赖正确的暴露映射函数。

⚠️ 作者的framing

  • 作者把缺口frame成：“现有方法不能估计高阶溢出效应，且依赖正确的暴露映射函数。我们提出不依赖暴露映射函数的估计量，在保守的干扰集假设下定义和估计h阶溢出效应。” 具体来说，作者在1.2节说：“no causal inference methods to disentangle the spillover effects from higher-order neighbors have been proposed”（第4页），以及“we address the misspecification of both [interference set and exposure mapping] and rely on more conservative assumptions”（第4页）。
  • 被淡化或回避的竞争路线：Sävje [2024] 的观点（错误指定下的估计量仍有意义）被作者明确区分——作者说“we are interested in estimating the true extent of interference”（第4页），而Sävje认为错误指定下的估计量可以解释为“干预一个相关但可能不是真实的暴露的效果”。作者把这种差异定位为“目标不同”而非“方法优劣”，从而回避了直接比较。
  • 什么明显该被引/该存在、却没出现在intro里？ 作者没有引用Basse and Airoldi [2018]（“Model-assisted design of experiments in the presence of interference”）或Basse et al. [2019]（“Randomization tests of causal effects under interference”），这些工作处理了设计-based推断下的干扰问题，与本文的super-population视角形成对比。值得研究者去查：这些工作是否提供了另一种处理高阶干扰的框架？作者为什么没有引用它们？

张力

未见明显对立引用。作者与Sävje [2024] 在“错误指定下的估计量是否有意义”上存在观点差异，但作者将其定位为“目标不同”而非“方法矛盾”，因此不构成直接张力。其他被引工作之间在技术假设上互补而非对立。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：
  • \(i = 1, \dots, I\)：cluster索引。\(j = 1, \dots, n_i\)：cluster i内的个体索引。
  • \(A_{ij} \in \{0, 1\}\)：个体ij的处理分配（二元）。
  • \(Y_{ij}\)：个体ij的观测结果。
  • \(d_{ij, ik}\)：个体ij与ik之间的最短网络距离。
  • \(N^h_{ij} = \{ik: d_{ij, ik} = h\}\)：个体ij的h阶邻居集。
  • \(I_{ij} \subseteq N_i \setminus \{ij\}\)：个体ij的干扰集（interference set），即其潜在结果可能依赖的处理分配所在的单元集合。
  • \(C^h_{ij} = N^h_{ij} \cap I_{ij}\)：干扰集内的h阶邻居。
  • \(C_{i \setminus (j, C^h_{ij})} = I_{ij} \setminus C^h_{ij}\)：干扰集内除h阶邻居外的其余单元。
  • \(Y_{ij}(a, a_{I_{ij}})\)：在Assumption 4（广义部分干扰）下的潜在结果，依赖个体自身处理a和干扰集内的处理向量\(a_{I_{ij}}\)。
  • \(\bar{Y}^h(a, \alpha, \alpha_h)\)：人口平均潜在结果，当个体处理固定为a，干扰集内h阶邻居以概率\(\alpha_h\)接受处理、其余单元以概率\(\alpha\)接受处理时的平均结果。
  • \(SE^h(\alpha_h, \alpha'_h; a, \alpha) = \bar{Y}^h(a, \alpha, \alpha_h) - \bar{Y}^h(a, \alpha, \alpha'_h)\)：h阶溢出效应，改变h阶邻居的处理分配概率从\(\alpha'_h\)到\(\alpha_h\)时的平均因果效应。
  • 模型：
  • 数据生成机制：两阶段随机实验。第一阶段：每个cluster被分配一个处理概率\(\delta_m\)（完全随机，\(I/M\)个cluster分配到每个\(\delta_m\)）。第二阶段：给定cluster的分配概率，个体以Bernoulli设计独立接受处理（\(P(A_{ij}=1 | S_i=\delta_m) = \delta_m\)）。注意：本文假设完美依从（perfect compliance）。
  • 干扰结构：Assumption 4（广义部分干扰）——个体ij的潜在结果只依赖其自身处理和干扰集\(I_{ij}\)内的处理向量，不依赖干扰集外的处理。干扰集\(I_{ij}\)是cluster i内的一个子集（可以是整个cluster、直接邻居、h阶邻居、或通过社区检测得到的社区）。
  • 要估的对象：\(\bar{Y}^h(a, \alpha, \alpha_h)\)和\(SE^h(\alpha_h, \alpha'_h; a, \alpha)\)。
  • 可观测数据：
  • 可观测：处理分配\(A_{ij}\)、观测结果\(Y_{ij}\)、网络结构（边集\(E_i\)，从而可计算距离\(d_{ij, ik}\)和邻居集\(N^h_{ij}\)）、cluster分配概率\(\delta_m\)。
  • 不可观测/潜在：潜在结果\(Y_{ij}(a, a_{I_{ij}})\)（对于未观测到的处理分配组合）、真实的干扰集\(I_{ij}\)（研究者必须指定，但可能错误）、真实的干扰机制（暴露映射函数\(g(\cdot)\)，本文避免使用）。

第二步：讲最小内核

最简特例：考虑一个cluster（\(I=1\)），\(n=10\)个个体，网络是2-正则图（每个节点恰好有两个直接邻居）。假设真实干扰来自二阶邻居（Assumption 4.C with \(k=2\)），即\(I_{ij} = N^1_{ij} \cup N^2_{ij}\)。研究者想估计一阶溢出效应（\(h=1\)），即改变一阶邻居的处理分配概率对结果的影响。

在这个特例下，论文的核心思路是什么？

  1. 定义目标量：研究者定义\(\bar{Y}^1(a, \alpha, \alpha_1)\)——当个体处理固定为a，一阶邻居以概率\(\alpha_1\)接受处理、二阶邻居（干扰集内其余单元）以概率\(\alpha\)接受处理时的平均结果。一阶溢出效应是\(SE^1(\alpha_1, \alpha'_1; a, \alpha) = \bar{Y}^1(a, \alpha, \alpha_1) - \bar{Y}^1(a, \alpha, \alpha'_1)\)。

  2. 传统方法（错误指定）：如果研究者错误地假设干扰只来自一阶邻居（邻域干扰假设，Assumption 4.B），即\(I^*_{ij} = N^1_{ij}\)，并使用暴露映射函数\(G^*_{ij,1} =\)一阶邻居中处理的比例，那么他会用OLS回归\(Y_{ij} \sim A_{ij} + G^*_{ij,1}\)来估计一阶溢出效应。Corollary 1告诉我们，这个OLS估计量实际上估计的是：

    \[E[Y_{ij} | A_{ij}=a, G^*_{ij,1}=g_1] = \sum_{g_2} E[Y_{ij}(a, G_{ij,1}=g_1, G_{ij,2}=g_2)] \cdot P(G_{ij,2}=g_2 | A_{ij}=a, G_{ij,1}=g_1)\]
    这是一个加权平均，权重是二阶邻居处理比例的条件分布。如果\(G_{ij,1}\)和\(G_{ij,2}\)相关（如本文模拟所示，两阶段设计会诱导这种相关），这个估计量就是有偏的——它把二阶邻居的溢出效应部分吸收到了一阶邻居的系数中。

  3. 本文方法（正确指定）：研究者采用保守的干扰集\(I_{ij} = N^1_{ij} \cup N^2_{ij}\)（即真实干扰集），并不使用暴露映射函数。他直接使用Horvitz-Thompson估计量：

    \[\hat{Y}^1_{HT}(a, \alpha, \alpha_1) = \frac{1}{n^1} \sum_{j: |C^1_{ij}| \geq 1} w^1_{ij}(\alpha, \alpha_1) \cdot \mathbf{1}(A_{ij}=a) \cdot Y_{ij}\]
    其中权重\(w^1_{ij}(\alpha, \alpha_1) = \frac{P_{\alpha_1}(A_{C^1_{ij}}) \cdot P_{\alpha}(A_{C_{i \setminus (j, C^1_{ij})}})}{P_{\Delta}(A_{ij, I_{ij}})}\)。分子是假设的Bernoulli分配概率（一阶邻居以\(\alpha_1\)、二阶邻居以\(\alpha\)），分母是实际的分配概率（由两阶段设计决定）。这个估计量是无偏的（Proposition 3的证明），因为它通过重新加权把观测数据“调整”到了假设的分配机制下。

这个特例揭示了论文的核心数学困难：当干扰集很大时（如整个cluster），权重\(w^h_{ij}\)的分母\(P_{\Delta}(A_{ij, I_{ij}})\)涉及大量个体的联合概率，计算上可能复杂（但本文假设两阶段Bernoulli设计，因此是乘积形式）。更根本的困难是：如何在不使用暴露映射函数的情况下，定义和估计来自特定网络距离的溢出效应？ 本文的答案是通过两个不同的Bernoulli概率（一个用于h阶邻居，一个用于干扰集内其余单元）来“隔离”h阶邻居的贡献。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：在网络干扰下，如何定义和估计来自不同网络距离（h阶邻居）的溢出效应，同时避免暴露映射函数的错误指定。
  2. 核心工具/方法：在广义部分干扰假设（Assumption 4）下，定义基于两个Bernoulli概率（\(\alpha_h\)用于h阶邻居，\(\alpha\)用于干扰集内其余单元）的h阶溢出效应估计量，并提出了Horvitz-Thompson、Hajek和加权最小二乘（WLS）三种估计量。
  3. 主要结论：所提估计量在正确指定的干扰集下无偏/一致；错误指定干扰集或暴露映射函数会导致偏差（Proposition 2, Corollary 1/2）；模拟和实证验证了方法的有效性。

关键设定与假设

  • Assumption 1 (Positivity)：每个可能的处理向量在实验中都有正概率。这是Horvitz-Thompson型权重定义的基础。
  • Assumption 2 (Treatment Unconfoundedness)：由随机实验保证，潜在结果与处理分配独立。
  • Assumption 3 (Consistency)：观测结果等于对应处理分配下的潜在结果。
  • Assumption 4 (Generalized Partial Interference)：核心假设。个体ij的潜在结果只依赖其自身处理和干扰集\(I_{ij} \subseteq N_i \setminus \{ij\}\)内的处理向量。相比已有文献：它统一了部分干扰（\(I_{ij}=N_i\)）、邻域干扰（\(I_{ij}=N^1_{ij}\)）和k阶邻域干扰（\(I_{ij}=\cup_{h=1}^k N^h_{ij}\)）作为特例。放宽了邻域干扰假设（允许干扰来自更广区域），强化了部分干扰假设（要求干扰集是cluster的子集，即组间无干扰）。
  • Assumption 5 (Exposure Mapping)：进一步假设潜在结果只依赖暴露映射函数\(g(A_{I_{ij}})\)。本文不使用这个假设（除了在偏差分析中），这是与主流方法的关键区别。
  • Assumption 6 (Unconfoundedness of Exposure Mapping)：暴露映射函数\(g(\cdot)\)必须与潜在结果独立。本文不使用这个假设（除了在偏差分析中）。

主要结果

  • Proposition 1 (正确指定下的识别)：如果干扰集和暴露映射函数都正确指定（Assumptions 5 & 6成立），则\(E[Y_{ij}(a,g)] = E[Y_{ij} | A_{ij}=a, G_{ij}=g]\)。这是标准结果，用于对比。
  • Proposition 2 (错误指定下的识别)：核心理论贡献。如果使用错误的干扰集\(I^*_{ij} \subseteq I_{ij}\)和错误的暴露映射函数\(g^*(\cdot)\)，则\(E[Y_{ij} | A_{ij}=a, G^*_{ij}=g]\)识别的是真实潜在结果的加权平均，权重是真实干扰集内处理向量的条件分布。直觉：错误指定下的估计量不是估计“真实”的溢出效应，而是估计一个“混合”效应。
  • Corollary 1 (错误干扰集)：当暴露映射函数正确但干扰集过小时（如只考虑一阶邻居而真实干扰包括二阶邻居），估计量存在遗漏变量偏差（omitted variable bias）。模拟验证：在Scenario 3中，OLS(G1)（只包含一阶邻居比例）表现出显著偏差，且偏差随两阶段概率差异增大而增大（图1）。
  • Corollary 2 (错误暴露映射)：当干扰集正确但暴露映射函数错误时（如使用二元化的一阶邻居比例代替连续比例），估计量是真实潜在结果的加权平均。模拟验证：在Scenario 3中，OLS(G*_1, G2)（使用二元化的一阶邻居比例）表现出显著偏差（图1）。
  • Proposition 3 (渐近性质)：HT、Hajek和WLS估计量都是\(\sqrt{I}\)-一致且渐近正态的，方差可由sandwich公式估计。模拟验证：解析方差与bootstrap和Monte Carlo方差一致（附录B.2.1）。

证明路线与技术技巧

  • 整体路线：
  • 定义估计量：对每个h，定义HT、Hajek、WLS三种估计量，均基于权重\(w^h_{ij}(\alpha, \alpha_h)\)。
  • 证明无偏性（HT）：通过迭代期望，先对处理分配A取条件，利用权重的定义将观测结果“调整”到假设的Bernoulli分配下，得到\(E[\hat{Y}^h_{HT}] = \bar{Y}^h\)。关键：权重的分子是假设分配概率，分母是实际分配概率，它们的比值恰好“抵消”了实际分配与假设分配的差异。
  • 证明渐近正态性：使用M-estimation框架。对每个估计量，写出估计方程\(\sum_i \psi_{\ell,i}(O_i; \theta_\ell) = 0\)。在标准正则条件下（cluster独立同分布、估计方程可微等），\(\sqrt{I}(\hat{\theta}_\ell - \theta_\ell) \xrightarrow{d} N(0, \Sigma_\ell)\)，其中\(\Sigma_\ell = A_\ell^{-1} B_\ell (A_\ell^{-1})^T\)。
  • 方差估计：用经验期望替换总体期望，得到sandwich方差估计量。
  • 关键跳跃点：
  • Hajek估计量的渐近性：Hajek估计量是比率形式（分子是加权和，分母是权重和），其估计方程不是线性的。作者通过将分子和分母分别作为两个参数，写出联合估计方程，然后用delta method得到比率的渐近方差。难点：分母的期望\(E[\hat{N}^h_i]\)不等于\(N^h_i\)（因为权重和是随机变量），但作者证明在cluster水平上，解估计方程得到的\(\hat{\theta}\)收敛到\(\bar{Y}^h\)（附录A.5）。
  • WLS估计量的数据扩展：为了估计MSM（边际结构模型）\(E[Y^h_{ij}(a, \alpha, \alpha_h)] = \gamma_0 + \gamma_1 a + \gamma_2 \alpha_h + \gamma_3 a \cdot \alpha_h\)，作者将每个观测复制K次（对应K个不同的\(\alpha_h\)值），并赋予每个复制不同的权重。技巧：这相当于在扩展数据集上运行加权最小二乘，其估计方程是标准的，渐近性质可直接由M-estimation得到。
  • 技术技巧点名：
  • Horvitz-Thompson权重：用于处理非均匀处理分配概率，是因果推断中的标准工具。
  • M-estimation / sandwich variance：用于推导渐近方差，是半参数推断的标准框架。
  • Delta method：用于从联合渐近分布得到溢出效应（差值）的方差。
  • 数据扩展（data expansion）：用于将MSM的估计转化为标准加权回归问题，是处理“连续”处理变量的常见技巧（如Lange et al. [2012]）。

真实例子与应用

  • 数据/场景：洪都拉斯一项两阶段随机实验（Shakya et al. [2017], Airoldi and Christakis [2024]），评估母婴健康干预的溢出效应。176个村庄，第一阶段村庄被分配到不同的处理比例（0%到100%）和定位策略（随机或基于友谊提名），第二阶段家庭级分配。分析聚焦110个村庄，8330名个体。
  • 方法应用：
  • 定义干扰集为“通过有限路径可达的所有个体”（即整个连通分量）。
  • 估计一阶（\(h=1\)）和二阶（\(h=2\)）溢出效应，使用Hajek和WLS估计量。
  • 改变\(\alpha\)（干扰集内除h阶邻居外的处理概率）和\(\alpha_h\)（h阶邻居的处理概率），观察溢出效应的变化。
  • 结果：
  • 一阶溢出效应：对未处理个体（\(a=0\)），效应小且不显著。对处理个体（\(a=1\)），效应呈倒U型，在\(\alpha=0.5\)时最大（约2.7个百分点，显著）。作者解释：处理个体有更好的“吸收能力”，但信息饱和时边际效应递减。
  • 二阶溢出效应：对处理个体，效应在低\(\alpha\)时最大（约2.7个百分点），随\(\alpha\)增加而递减。作者解释：当直接邻居中处理者少时，二阶邻居填补信息空白；当直接邻居中处理者多时，二阶信息变得冗余。
  • WLS vs Hajek：WLS估计量（假设线性关系）与Hajek估计量的模式一致，验证了稳健性。
  • 这个例子想说明什么：①所提方法可以在真实数据中应用，并揭示有意义的模式（如倒U型、替代效应）；②高阶溢出效应确实存在且与一阶效应不同，验证了“需要专门估计高阶效应”的动机；③结果对干扰集定义（有限路径 vs 距离-3 vs 社区检测）相对稳健（附录C.3）。

🔎 结论是否比证明窄

  • 是。论文的主要理论结果（无偏性、渐近正态性）是在正确指定的干扰集下证明的。但在实证部分，作者使用了“有限路径可达”作为干扰集——这本身就是一个假设，可能不是真正的干扰集。作者在讨论中承认了这一点（第28页）：“our proposed estimators are designed to operate under relatively conservative assumptions on the interference set”。因此，实证结果的有效性依赖于“有限路径可达”是真实干扰集的超集这一未经检验的假设。
  • 具体语句：第4页“we address the misspecification of both [interference set and exposure mapping] and rely on more conservative assumptions”——这里的“保守”是指使用更大的干扰集，但没有证明更大的干扰集一定包含真实干扰集。如果真实干扰集比“有限路径可达”更大（如跨cluster干扰），则估计量仍有偏差。
  • 另一个窄化：Proposition 2只处理了\(I^*_{ij} \subseteq I_{ij}\)的情况（错误干扰集是真实干扰集的子集）。附录A.2的Proposition 4扩展到一般情况（\(I^*_{ij} \cap I_{ij} \neq \emptyset\)），但没有给出当错误干扰集与真实干扰集部分重叠时的偏差方向或大小——这在实际中可能更常见。

四、开放问题

  1. 如何选择干扰集？ 论文建议使用“保守的”干扰集（如整个连通分量），但没有提供数据驱动的方法来验证或选择干扰集。扎根：第28页“identifying optimal strategies for selecting or learning interference sets, especially in large-scale or partially observed networks, remains an open challenge”。可做：将干扰集选择视为模型选择问题，使用交叉验证或信息准则。

  2. 如何扩展到连续处理或多值处理？ 论文只处理了二元处理。对于连续处理（如剂量），定义“h阶溢出效应”需要更复杂的假设分配机制。扎根：第28页“extending the approach to accommodate ... multivariate or continuous treatments would substantially broaden its relevance”。可做：使用广义倾向得分或核权重。

  3. 如何结合半参数效率理论？ 论文的HT/Hajek估计量不是半参数有效的。能否推导出h阶溢出效应的高效影响函数（EIF），并构造DML估计量？扎根：第28页“Advances in semi-parametric and machine-learning–assisted estimation may also offer opportunities to improve efficiency”。可做：在moderately_familiar的semiparametric theory上长肌肉后，推导EIF并构造cross-fitting估计量。

  4. 当干扰集错误指定时，偏差的方向和大小能否刻画？ Proposition 2给出了偏差的表达式，但它是加权平均形式，难以直接量化。能否在特定模型（如线性模型）下给出偏差的显式公式？扎根：Corollary 1的线性模型例子（第10页）只给出了定性描述（“omitted variable bias”），没有给出偏差的解析表达式。可做：在潜在结果满足线性模型且处理分配独立（如Bernoulli）的假设下，推导偏差的闭式表达式。

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