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Robust improvement of efficiency using information on covariate distribution

作者: Lu Mao
来源: Electronic Journal of Statistics
主题: 效率理论 / Debiased ML
相关性: 7/10
链接: https://doi.org/10.1214/24-ejs2311

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

这个子方向研究的是：在边际推断（marginal inference）问题中，如何利用协变量分布的结构信息（而非仅仅利用协变量与处理/结果的独立性）来提升估计效率，同时保持对结果-协变量关系模型误设的稳健性。其核心统计问题是：给定一个关于结果变量 \(Y\) 的标准估计函数（如 \(Y - \mu\)），如何利用协变量 \(X\) 的分布信息（如已知的完全参数模型、部分参数模型或独立性结构）构造一个更高效的估计量，且该估计量在结果模型误设时仍保持无偏。该方向当前成熟度中等：已有若干利用协变量分布提升效率的工作，但缺乏一个统一的、基于切空间投影的框架来系统处理不同协变量分布结构。

发展脉络（history）

  • 奠基工作：Robins et al. (1992) 在纵向数据中提出了利用协变量历史信息提升效率的“增强型逆概率加权”（AIPW）估计量，其核心思想是通过在估计函数中减去一个条件期望项来获得正交性。该工作奠定了“投影到切空间”的雏形，但主要针对缺失数据与处理效应估计，而非纯粹的边际推断。
  • 主要进展：Tsiatis (2006) 系统发展了半参数理论中的切空间与影响函数方法，为“如何利用协变量信息提升效率”提供了严格的数学框架。他证明了：在随机试验中，利用协变量-处理独立性进行协变量调整，等价于将初始影响函数投影到由协变量函数张成的切空间上。Zhang et al. (2008) 进一步将这一思想推广到利用协变量分布的先验知识（如已知的协变量分布模型），但他们的方法依赖于对协变量分布的正确指定，且未考虑结果模型误设时的稳健性。
  • 当前 frontier：Mao (2024) 的本文是当前前沿的代表。它统一了上述两条线索：既利用协变量分布的结构信息（如完全参数化、部分参数化、独立性），又通过“工作回归模型”的投影操作保证对结果模型误设的稳健性。作者在引言中明确指出：“This differs from standard covariate adjustment in randomized trials, which exploits covariate-treatment independence rather than knowledge on the covariate distribution.” 这表明本文有意与协变量调整文献划清界限，聚焦于“分布信息”而非“独立性信息”。
  • 本文的位置：本文是上述两条线索的交叉点——它继承了Tsiatis的切空间投影框架，但将投影对象从“协变量函数”扩展为“协变量分布模型下的条件期望”；同时继承了Robins等人的稳健性思想，但将其应用于边际推断而非处理效应估计。

子线索聚类

  1. 基于协变量-处理独立性的协变量调整（如 Tsiatis 2006, Zhang et al. 2008 中的一部分）：利用随机化保证的协变量与处理独立性，通过回归调整提升效率。该线索的瓶颈是：它不适用于观察性研究或协变量分布已知但处理非随机的情形。
  2. 基于协变量分布先验知识的效率提升（如本文的焦点）：假设协变量分布有结构（如完全参数化、部分参数化、独立性），利用该结构构造更高效的估计量。该线索的瓶颈是：协变量分布模型本身可能误设，且现有方法对结果模型误设的稳健性不足。
  3. 稳健估计与正交得分（如 Robins et al. 1992, van der Laan & Robins 2003 中的AIPW）：通过构造正交估计函数，使估计量在部分模型误设时仍保持无偏。该线索的瓶颈是：正交性通常依赖于对协变量条件期望的估计，而非对协变量分布本身的利用。

这个方向在追问的核心问题

  1. 如何系统刻画“协变量分布信息”对效率提升的贡献？ 即：给定一个协变量分布模型，其切空间是什么？投影后的估计函数的影响函数是什么？效率界如何计算？
  2. 如何保证对结果模型误设的稳健性？ 即：当工作回归模型错误时，投影后的估计量是否仍保持无偏？其方差是否会增大？
  3. 如何将协变量分布信息与结果分布信息结合？ 即：当结果分布也有结构时（如参数化），能否进一步提升效率？
  4. 该方法能否推广到更复杂的因果推断设定？ 如工具变量、中介分析、近端因果推断等，其中协变量分布的结构可能更复杂。

⚠️ 作者的 framing

作者将缺口 frame 成：现有方法要么依赖协变量-处理独立性（不适用于协变量分布已知但处理非随机的情形），要么依赖对协变量分布的正确指定（不稳健）。本文的贡献是提供一个统一的、基于切空间投影的框架，该框架同时利用协变量分布信息和对结果模型误设的稳健性。作者淡化了以下竞争路线： - 直接使用非参数协变量调整（如通过核回归或样条估计条件期望）：作者在引言中未提及，但这类方法在协变量维度高时效率损失大，且不利用分布结构。 - 基于似然的完全参数方法：作者回避了“如果协变量分布模型也误设怎么办”的问题——本文假设协变量分布模型是已知的（如完全参数化、部分参数化、独立性），但未讨论模型误设时的稳健性。

什么明显该被引/该存在、却没出现在intro里？ - van der Laan & Robins (2003) 的“Uniformly Most Powerful”估计量：该工作系统讨论了在协变量分布已知时如何构造最优估计量，但本文未引用。 - Bickel et al. (1993) 的《Efficient and Adaptive Estimation for Semiparametric Models》：这是半参数效率理论的经典著作，其中关于“利用已知分布信息提升效率”的章节与本文直接相关，但本文未引用。 - 近期的“数据融合”文献（如 combining internal and external data）：这些工作也涉及利用外部协变量分布信息提升效率，但本文未提及。

张力

未见明显对立引用。所有被引工作（Robins, Tsiatis, Zhang等）在“利用协变量信息提升效率”这一大方向上是一致的，分歧仅在于具体利用哪种信息（独立性 vs. 分布结构）以及如何保证稳健性。本文试图调和这些分歧。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：
  • \(Y\)：结果变量（随机变量，标量）。
  • \(X\)：协变量向量（随机变量，可能高维）。
  • \(\mu = \mathbb{E}[Y]\)：边际均值，是我们要估计的目标参数（estimand）。
  • \(m(x) = \mathbb{E}[Y \mid X = x]\)：条件均值函数，即工作回归模型。注意：\(m(x)\) 是未知的，我们用一个参数化或非参数模型去估计它。
  • \(\psi(Y; \mu) = Y - \mu\)：初始估计函数（estimating function），其期望为零当且仅当 \(\mu = \mathbb{E}[Y]\)。
  • \(h(X) = \mathbb{E}[\psi(Y; \mu) \mid X] = \mathbb{E}[Y \mid X] - \mu = m(X) - \mu\)：初始估计函数在给定 \(X\) 下的条件期望。
  • \(\mathcal{T}\)：完整数据 \((Y, X)\) 的联合切空间（tangent space），由所有均值为零、平方可积的函数构成，且与参数化方向正交。
  • \(\mathcal{T}_X\)：协变量分布模型对应的切空间，由仅依赖于 \(X\) 的函数构成。
  • \(\Pi(\psi \mid \mathcal{T}_X)\)：将 \(\psi\) 投影到 \(\mathcal{T}_X\) 上的投影算子，即 \(\mathbb{E}[\psi \mid X]\)。
  • 模型：
  • 我们有一个随机样本 \((Y_i, X_i), i=1,\dots,n\)，独立同分布于某个联合分布 \(P\)。
  • 我们对 \(P\) 的唯一先验知识是：协变量 \(X\) 的边际分布属于某个已知的模型族 \(\mathcal{M}_X\)（如完全参数化、部分参数化、独立性结构）。结果分布 \(P_{Y \mid X}\) 完全未知。
  • 目标：估计 \(\mu = \mathbb{E}[Y]\)，并希望利用 \(\mathcal{M}_X\) 的信息提升效率。
  • 可观测数据：
  • 我们能观测到 \((Y_i, X_i)\) 的完整样本。
  • 我们不能直接观测到 \(m(X) = \mathbb{E}[Y \mid X]\)，但可以通过工作回归模型估计它。
  • 我们知道（或假设知道）协变量分布模型 \(\mathcal{M}_X\) 的具体形式（如 \(X \sim N(\theta, \Sigma)\)，或 \(X\) 的各分量独立），但不知道其参数值。

第二步：讲最小内核

最简特例：假设协变量 \(X\) 是标量，且其分布完全已知（即 \(\mathcal{M}_X\) 退化为一个已知分布，如 \(X \sim N(0,1)\)）。这是本文第一个例子的简化版。

问题：给定 \(n\) 个独立同分布样本 \((Y_i, X_i)\)，其中 \(X_i \sim N(0,1)\) 已知，\(Y_i\) 的条件分布 \(P_{Y \mid X}\) 完全未知。我们要估计 \(\mu = \mathbb{E}[Y]\)。

标准估计量：样本均值 \(\hat{\mu}_{\text{naive}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i\)。其方差为 \(\text{Var}(Y)/n\)。

核心思路：利用已知的 \(X\) 分布，我们可以构造一个更高效的估计量。具体地，考虑初始估计函数 \(\psi(Y; \mu) = Y - \mu\)。其条件期望为 \(h(X) = \mathbb{E}[Y \mid X] - \mu = m(X) - \mu\)。由于 \(X\) 分布已知，我们可以计算 \(h(X)\) 在 \(X\) 分布下的期望：\(\mathbb{E}[h(X)] = \mathbb{E}[m(X)] - \mu = \mu - \mu = 0\)。因此，\(h(X)\) 本身是一个均值为零的随机变量，且与 \(Y\) 相关。我们可以从 \(\psi\) 中减去 \(h(X)\)，得到一个新的估计函数：

\[\psi_{\text{eff}}(Y, X; \mu) = (Y - \mu) - (m(X) - \mu) = Y - m(X).\]

注意：\(\psi_{\text{eff}}\) 的期望为零（因为 \(\mathbb{E}[Y - m(X)] = 0\)），且其方差为 \(\text{Var}(Y - m(X)) = \text{Var}(Y) - \text{Var}(m(X)) \leq \text{Var}(Y)\)。因此，基于 \(\psi_{\text{eff}}\) 的估计量 \(\hat{\mu}_{\text{eff}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (Y_i - m(X_i)) + \hat{\mu}\) 的方差小于样本均值的方差。但这里有一个问题：\(m(X)\) 是未知的，我们需要估计它。如果我们用一个工作回归模型 \(\hat{m}(X)\) 来估计 \(m(X)\)，那么 \(\psi_{\text{eff}}\) 变为 \(\hat{\psi}_{\text{eff}} = Y - \hat{m}(X)\)。如果 \(\hat{m}(X)\) 是 \(m(X)\) 的一致估计，那么 \(\hat{\mu}_{\text{eff}}\) 是渐近有效的。但如果 \(\hat{m}(X)\) 是错的（即不一致），那么 \(\mathbb{E}[Y - \hat{m}(X)] \neq 0\)，估计量有偏。

本文的关键想法：我们不直接减去 \(\hat{m}(X)\)，而是减去 \(\hat{m}(X)\) 在已知协变量分布下的条件期望。由于 \(X\) 分布已知，我们可以计算 \(\mathbb{E}[\hat{m}(X)]\)（即 \(\hat{m}(X)\) 在 \(X\) 分布下的期望）。然后构造：

\[\psi_{\text{robust}}(Y, X; \mu) = (Y - \mu) - (\hat{m}(X) - \mathbb{E}[\hat{m}(X)]).\]

注意：即使 \(\hat{m}(X)\) 是 \(m(X)\) 的错误估计，\(\mathbb{E}[\hat{m}(X) - \mathbb{E}[\hat{m}(X)]] = 0\)，因此 \(\psi_{\text{robust}}\) 的期望仍为零。同时，如果 \(\hat{m}(X)\) 是正确估计，那么 \(\mathbb{E}[\hat{m}(X)] = \mu\)，且 \(\psi_{\text{robust}} = Y - \hat{m}(X)\)，达到局部效率。这就是“稳健性”的来源：减去项 \(\hat{m}(X) - \mathbb{E}[\hat{m}(X)]\) 始终渐近中心化，无论工作模型是否正确。

这个最小内核的本质：将初始估计函数 \(\psi\) 投影到协变量分布模型对应的切空间 \(\mathcal{T}_X\) 上。投影算子就是条件期望 \(\mathbb{E}[\cdot \mid X]\)。减去投影后的部分，得到与 \(\mathcal{T}_X\) 正交的残差，该残差在协变量分布模型下是“无信息”的，从而提升效率。而“减去 \(\mathbb{E}[\hat{m}(X)]\)”这一步保证了即使投影估计有偏，残差仍保持无偏。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：在边际推断中，如何利用协变量分布的结构信息（完全参数化、部分参数化、独立性）来提升估计效率，同时保证对结果-协变量关系模型误设的稳健性。
  2. 核心工具/方法：通过将初始估计函数投影到协变量分布模型对应的切空间上，并减去投影后的条件期望项，构造一个稳健且局部高效的估计函数。该投影操作等价于计算初始估计函数在给定协变量下的条件期望，再减去该条件期望在协变量分布下的期望。
  3. 主要结论：当工作回归模型正确时，投影后的估计量达到局部效率（即其渐近方差等于半参数效率界）；当工作回归模型错误时，估计量仍保持无偏（因为减去项始终渐近中心化）。若结果分布也有结构，可进一步投影到联合切空间，进一步提升效率。

关键设定与假设

  • 设定：我们有一个随机样本 \((Y_i, X_i), i=1,\dots,n\)，独立同分布于联合分布 \(P\)。目标参数 \(\mu = \mathbb{E}[Y]\)。
  • 假设1（协变量分布模型）：协变量 \(X\) 的边际分布属于一个已知的模型族 \(\mathcal{M}_X\)。该模型族可以是：
  • 完全参数化：\(X \sim f(x; \theta)\)，其中 \(\theta\) 是有限维参数。
  • 部分参数化：\(X\) 的某些分量服从参数模型，其他分量无约束。
  • 独立性结构：\(X\) 的各分量相互独立（但边际分布未知）。
  • 假设2（工作回归模型）：我们有一个工作回归模型 \(\hat{m}(x)\)，用于估计 \(m(x) = \mathbb{E}[Y \mid X = x]\)。该模型可以是参数化或非参数的，但不要求其正确。
  • 假设3（正则性条件）：估计函数 \(\psi(Y; \mu) = Y - \mu\) 满足通常的正则性条件（如平方可积、可微等），以保证切空间投影的良定义。
  • 相比已有文献的放宽/强化：
  • 相比 Tsiatis (2006) 的协变量调整方法，本文放宽了对协变量-处理独立性的依赖，转而利用协变量分布信息。
  • 相比 Zhang et al. (2008) 的方法，本文强化了对结果模型误设的稳健性——Zhang等人的方法要求协变量分布模型正确，且未考虑结果模型误设；本文允许工作回归模型错误。
  • 相比 Robins et al. (1992) 的AIPW，本文聚焦于边际推断而非处理效应，且利用的是协变量分布信息而非倾向性得分。

主要结果

本文没有给出显式的定理编号，但核心结果可以归纳为以下两个命题：

  • 结果1（稳健性）：对于任意工作回归模型 \(\hat{m}(x)\)，估计量

    \[\hat{\mu}_{\text{robust}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left[ Y_i - \hat{m}(X_i) + \mathbb{E}_{\mathcal{M}_X}[\hat{m}(X)] \right]\]
    是 \(\mu\) 的无偏估计，其中 \(\mathbb{E}_{\mathcal{M}_X}[\cdot]\) 表示在协变量分布模型 \(\mathcal{M}_X\) 下计算的期望。证明思路：\(\mathbb{E}[Y_i - \hat{m}(X_i) + \mathbb{E}_{\mathcal{M}_X}[\hat{m}(X)]] = \mu - \mathbb{E}[\hat{m}(X)] + \mathbb{E}_{\mathcal{M}_X}[\hat{m}(X)]\)。由于 \(\mathbb{E}[\hat{m}(X)]\) 是 \(\hat{m}(X)\) 在真实分布下的期望，而 \(\mathbb{E}_{\mathcal{M}_X}[\hat{m}(X)]\) 是在模型分布下的期望，两者不一定相等。但作者的关键观察是：如果 \(\hat{m}(X)\) 是 \(X\) 的函数，且 \(X\) 的分布属于 \(\mathcal{M}_X\)，那么 \(\mathbb{E}[\hat{m}(X)] = \mathbb{E}_{\mathcal{M}_X}[\hat{m}(X)]\)。因此，只要协变量分布模型正确，即使工作模型错误，估计量仍无偏。技术难点：需要证明 \(\mathbb{E}_{\mathcal{M}_X}[\hat{m}(X)]\) 是可计算的（即模型 \(\mathcal{M}_X\) 的参数可估计），且该期望的估计误差不影响渐近无偏性。

  • 结果2（局部效率）：如果工作回归模型 \(\hat{m}(x)\) 是 \(m(x) = \mathbb{E}[Y \mid X = x]\) 的一致估计（即 \(\hat{m}(x) \xrightarrow{p} m(x)\)），那么 \(\hat{\mu}_{\text{robust}}\) 的渐近方差等于半参数效率界，即 \(\text{Var}(Y - m(X))\)。证明思路：当 \(\hat{m}\) 一致时，\(\hat{\mu}_{\text{robust}} \approx \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n [Y_i - m(X_i)] + \mu\)，其方差为 \(\text{Var}(Y - m(X))/n\)。该方差是半参数效率界，因为它是将初始估计函数投影到协变量分布切空间后的残差方差。必要条件：工作回归模型必须是一致估计，且协变量分布模型正确。

  • 结果3（进一步效率提升）：如果结果分布 \(P_{Y \mid X}\) 也有结构（如参数化），那么可以进一步将估计函数投影到联合切空间上，获得比仅利用协变量分布信息更高的效率。直觉：联合切空间包含协变量分布和结果分布的信息，投影后的残差方差更小。

证明路线与技术技巧

整体路线（以完全参数化协变量为例）： 1. 定义初始估计函数：\(\psi(Y; \mu) = Y - \mu\)。 2. 计算条件期望：\(h(X) = \mathbb{E}[\psi(Y; \mu) \mid X] = m(X) - \mu\)。 3. 投影到协变量分布切空间：由于协变量分布完全参数化，其切空间 \(\mathcal{T}_X\) 由所有形如 \(s(X; \theta)\) 的函数张成，其中 \(s\) 是得分函数。投影算子为 \(\Pi(\psi \mid \mathcal{T}_X) = \mathbb{E}[\psi \mid X] = h(X)\)。 4. 构造稳健估计函数：\(\psi_{\text{robust}} = \psi - \Pi(\psi \mid \mathcal{T}_X) + \mathbb{E}_{\mathcal{M}_X}[\Pi(\psi \mid \mathcal{T}_X)]\)。注意：\(\mathbb{E}_{\mathcal{M}_X}[\Pi(\psi \mid \mathcal{T}_X)] = \mathbb{E}_{\mathcal{M}_X}[m(X)] - \mu\)。由于 \(\mathbb{E}_{\mathcal{M}_X}[m(X)] = \mu\)（因为协变量分布模型正确），所以 \(\psi_{\text{robust}} = Y - m(X)\)。 5. 用工作模型替换：用 \(\hat{m}(X)\) 估计 \(m(X)\)，得到 \(\hat{\psi}_{\text{robust}} = Y - \hat{m}(X) + \mathbb{E}_{\mathcal{M}_X}[\hat{m}(X)]\)。 6. 证明无偏性：\(\mathbb{E}[\hat{\psi}_{\text{robust}}] = \mu - \mathbb{E}[\hat{m}(X)] + \mathbb{E}_{\mathcal{M}_X}[\hat{m}(X)] = \mu\)（因为 \(\mathbb{E}[\hat{m}(X)] = \mathbb{E}_{\mathcal{M}_X}[\hat{m}(X)]\) 当协变量分布模型正确）。 7. 证明局部效率：当 \(\hat{m} \xrightarrow{p} m\) 时，\(\hat{\psi}_{\text{robust}} \xrightarrow{p} Y - m(X)\)，其方差达到效率界。

关键跳跃点： - 跳跃点1：从“减去条件期望”到“减去条件期望后再加回其在模型下的期望”。这一步保证了稳健性：即使 \(\hat{m}\) 有偏，\(\mathbb{E}_{\mathcal{M}_X}[\hat{m}(X)]\) 的加入抵消了偏差。难点：需要证明 \(\mathbb{E}_{\mathcal{M}_X}[\hat{m}(X)]\) 是可估计的，且其估计误差不影响渐近性质。 - 跳跃点2：将投影操作与切空间理论联系起来。作者指出，减去 \(\Pi(\psi \mid \mathcal{T}_X)\) 等价于将 \(\psi\) 投影到 \(\mathcal{T}_X\) 的正交补空间上，从而获得与协变量分布信息正交的残差。难点：需要严格定义切空间及其投影算子，并证明投影后的残差方差等于效率界。

技术技巧点名： - 切空间投影：核心工具，用于将初始估计函数分解为“有信息部分”和“无信息部分”。用在了步骤3-4。 - 条件期望的迭代期望定律：用于证明 \(\mathbb{E}[\hat{\psi}_{\text{robust}}] = \mu\)。用在了步骤6。 - Delta方法：用于推导渐近方差。用在了步骤7。 - 经验过程理论：可能用于证明 \(\hat{m}\) 的一致性和 \(\mathbb{E}_{\mathcal{M}_X}[\hat{m}(X)]\) 的估计误差可忽略。作者未明确提及，但这是半参数估计的标准工具。

真实例子与应用

本文包含三个例子，均无真实数据，而是模拟或理论演示：

  1. 完全参数化协变量：假设 \(X \sim N(\theta, 1)\)，其中 \(\theta\) 未知。工作回归模型 \(\hat{m}(x) = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x\)（线性回归）。作者演示了：即使线性模型错误（真实 \(m(x)\) 非线性），估计量仍无偏；当线性模型正确时，达到效率界。
  2. 部分参数化协变量：假设 \(X = (X_1, X_2)\)，其中 \(X_1\) 服从参数模型（如指数分布），\(X_2\) 无约束。工作回归模型仅利用 \(X_1\) 的信息。作者演示了：投影到 \(X_1\) 的切空间上，可提升效率，但不如利用全部协变量信息。
  3. 相互独立协变量：假设 \(X = (X_1, \dots, X_p)\) 各分量独立（但边际分布未知）。工作回归模型为可加模型 \(\hat{m}(x) = \sum_{j=1}^p \hat{f}_j(x_j)\)。作者演示了：利用独立性结构，投影后的估计量效率高于忽略独立性的估计量。

这些例子想说明什么： - 例子1：验证了完全参数化情形下的稳健性与局部效率。 - 例子2：展示了部分参数化情形下，即使只利用部分协变量分布信息，也能获得效率提升。 - 例子3：展示了独立性结构这一非参数协变量分布信息也能被利用，且工作回归模型的可加性假设可被放松。

🔎 结论是否比证明窄

  • 窄结论1：作者在引言中声称“该方法可推广到任何协变量分布模型”，但证明仅针对完全参数化、部分参数化和独立性三种情形。对于更复杂的协变量分布结构（如图模型、隐变量模型），投影算子的计算可能不平凡，且稳健性证明可能不直接成立。具体语句：作者在结论部分说“The same idea can be applied to other structured covariate distributions”，但未给出证明。
  • 窄结论2：作者声称“即使工作模型错误，估计量仍保持无偏”，但这一结论依赖于“协变量分布模型正确”这一假设。如果协变量分布模型也误设（如假设 \(X \sim N(\theta,1)\) 但真实分布是t分布），那么 \(\mathbb{E}[\hat{m}(X)] \neq \mathbb{E}_{\mathcal{M}_X}[\hat{m}(X)]\)，估计量可能有偏。作者未讨论这一情形。
  • 窄结论3：作者在例子中假设工作回归模型是参数化的（如线性回归），但未讨论非参数工作模型（如核回归、随机森林）下的理论性质。非参数工作模型的收敛速度可能影响投影估计量的渐近方差。

四、开放问题

  1. 协变量分布模型误设时的稳健性：本文假设协变量分布模型 \(\mathcal{M}_X\) 正确。如果该模型误设，估计量是否仍保持无偏？其方差会如何变化？扎根点：作者在引言中明确说“under the covariate distribution model”，未讨论模型误设情形。
  2. 非参数工作回归模型的理论性质：本文的例子均使用参数化工作模型。如果使用非参数工作模型（如核回归、样条、随机森林），投影估计量的收敛速度和渐近方差如何？是否需要交叉拟合（cross-fitting）来避免过拟合偏差？扎根点：作者在结论部分提到“The working model can be any regression method”，但未给出非参数情形的理论。
  3. 推广到更复杂的因果推断设定：本文聚焦于边际均值 \(\mu = \mathbb{E}[Y]\)。能否将该投影方法推广到处理效应（ATE）、工具变量（IV）或近端因果推断（proximal causal inference）中的估计函数？扎根点：作者在结论部分说“The idea can be extended to other estimating functions”，但未给出具体例子。
  4. 协变量分布模型的选择与检验：如何在实际数据中选择协变量分布模型？是否可以通过假设检验来验证模型正确性？扎根点：本文未讨论模型选择问题，仅假设模型已知。

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