Measuring association with Wasserstein distances¶

作者: Johannes C.W. Wiesel
来源: Bernoulli
主题: 非参数 / 半参数
相关性: 7/10
链接: 期刊页 · arXiv

一、领域脉络与小综述¶

这个方向是什么¶

这个子方向要解决的根本问题是：如何定义并估计一个非参数、可解释的关联度量，使其能够捕捉两个随机变量（或随机向量）之间任意形式的依赖关系，而不仅仅是线性或单调关系？ 理想的度量应满足一组公理性质：0 当且仅当独立，1 当且仅当一个变量是另一个变量的可测函数，且存在简单、一致的估计量。当前该领域已从经典的 Pearson/Spearman 相关系数，发展到基于距离协方差、核方法、最优传输等框架的多种度量，但如何在一般 Polish 空间上同时满足上述性质并建立完整的统计推断理论，仍是一个活跃的前沿。

发展脉络（history）¶

奠基工作：从经典相关系数到公理化的需求
Linfoot (1957) 最早从信息论角度提出了“信息相关系数”，将 Pearson 相关系数推广到一般分布，但该度量基于 KL 散度，计算和推断困难。
Székely, Rizzo & Bakirov (2007) 提出了距离协方差 (distance covariance)，首次在欧氏空间上实现了“0 当且仅当独立”的度量，且具有简洁的样本矩表示。这是该领域的里程碑，但它要求变量取值于 Hilbert 空间，且“1 当且仅当函数关系”的性质不成立。
Chatterjee (2019) 提出了一个新相关系数，首次同时满足：(i) 简单如 Pearson/Spearman，(ii) 0 当且仅当独立，1 当且仅当函数关系，(iii) 独立假设下有简单渐近理论。该工作引发了大量后续研究，但其定义依赖于秩，仅适用于实值随机变量。
主要进展：向一般空间和更复杂依赖结构的推广
Shi, Drton & Han (2019) 将距离协方差与中心向外秩 (center-outward ranks) 结合，首次给出了分布自由且一致的独立性检验，适用于一般维度的随机向量。其技术核心是退化 U-统计量的组合非中心极限定理。
Deb, Ghosal & Sen (2020) 利用再生核 Hilbert 空间 (RKHS) 和几何图（k-NN、MST）在一般拓扑空间上定义了关联度量，并证明了其估计量的一致性和渐近正态性。但本文作者指出，该分析“局限于由 RKHS 导出的估计量，且对核有特定要求，因此不能应用于任意 Polish 空间 X, Y”。
Mordant & Segers (2021) 和 Nies, Staudt & Munk (2021) 分别独立地提出了基于 2-Wasserstein 距离的依赖度量。前者通过比较联合分布与独立乘积分布来定义，后者（Transport Dependency）则通过最优传输的“成本”来度量依赖，并定义了多种归一化相关系数。这些工作将最优传输引入关联度量，但本文作者指出，它们“要么不满足所有理想性质，要么估计量的统计理论不完整”。
当前 Frontier：adapted Wasserstein 距离与因果结构
Lassalle (2013) 和 Backhoff-Veraguas et al. (2019) 发展了因果最优传输 (causal optimal transport) 和adapted Wasserstein 距离，该距离考虑了随机过程的时序/信息结构，在随机优化和金融数学中具有 Lipschitz 稳定性。Backhoff, Bartl, Beiglböck & Wiesel (2020) 进一步证明了 adapted 经验测度的一致性和收敛速率。
本文 (Wiesel, 2023) 的位置：作者将 adapted Wasserstein 距离的思想引入关联度量，通过耦合的分解 (disintegration) 来定义 Wasserstein 相关系数。其核心创新在于：该度量适用于任意 Polish 空间，满足 0/1 性质，且其估计量的统计理论（强相合性、收敛速率）可以借助 adapted Wasserstein 距离的已有结果来建立。这填补了从“一般空间上的关联度量”到“具有完整统计理论的估计量”之间的缺口。

子线索聚类¶

基于秩/经验分布函数的度量：Chatterjee (2019), Junker et al. (2021), Griessenberger et al. (2021), Shi et al. (2019)。这些方法通常计算简单，但往往局限于实值或低维情况。
基于核/距离的度量：Székely et al. (2007), Deb et al. (2020), Ke & Yin (2020)。这些方法适用于 Hilbert 空间或更一般的拓扑空间，但“函数关系”性质通常不成立或需要特定核。
基于最优传输的度量：Mordant & Segers (2021), Nies et al. (2021), Ozair et al. (2019), Móri & Székely (2020)。这些方法利用 Wasserstein 距离的几何性质，适用于 Polish 空间，但归一化、统计推断和计算复杂度是主要挑战。
adapted Wasserstein 距离与因果结构：Lassalle (2013), Backhoff-Veraguas et al. (2019), Backhoff et al. (2020)。这是本文的技术基础，主要关注随机过程/耦合的时序结构，而非直接的关联度量。

这个方向在追问的核心问题¶

公理完备性：一个理想的关联度量应满足哪些公理？Chatterjee (2019) 提出的三条（简单、0/1 性质、简单渐近理论）是否足够？是否需要额外的性质（如尺度不变性、对单调变换的鲁棒性）？
一般空间上的可定义性：能否在任意 Polish 空间（不仅仅是欧氏空间或 Hilbert 空间）上定义一个满足所有理想性质的度量？
统计推断的可行性：对于给定的度量，能否构造出强相合的估计量？其收敛速率是多少？能否进行假设检验（如独立性检验）？
计算与统计的权衡：估计量的计算复杂度如何？是否存在计算上可行但统计上最优的估计量？

⚠️ 作者的 framing¶

作者把缺口 frame 成什么：作者在引言中明确指出，现有基于 Wasserstein 距离的关联度量（如 Mordant & Segers 2021, Nies et al. 2021）要么“不满足所有理想性质”，要么“其估计量的统计理论不完整”。作者将自己的工作定位为：首次提出一个基于 Wasserstein 距离、适用于任意 Polish 空间、满足 0/1 性质、且具有完整统计理论（强相合性 + 收敛速率）的关联度量。作者特别强调，其技术核心——adapted Wasserstein 距离——是建立估计量理论的关键，这暗示了该框架的“自然性”和“必然性”。
哪些竞争路线被他淡化或回避了：
Chatterjee (2019) 及其后续工作：作者承认 Chatterjee 的系数满足所有理想性质，但将其限制在实值随机变量上，并指出其“不能直接推广到一般 Polish 空间”。作者没有深入讨论 Chatterjee 系数的变体（如 Cao & Bickel 2020 的 shape-restricted 版本）是否也能推广。
基于 RKHS 的方法 (Deb et al. 2020)：作者仅用一句话指出其“局限于 RKHS 且对核有特定要求”，但没有讨论是否可以通过选择通用核（如高斯核）来近似任意 Polish 空间上的度量。
计算复杂度：作者完全没有讨论其估计量的计算复杂度。对于一般 Polish 空间，计算 Wasserstein 距离本身是计算密集的（通常为 O(n³ log n)），而 adapted Wasserstein 距离的计算可能更复杂。这是一个明显的回避。
什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里？
Móri & Székely (2020) 的 Earth Mover's Correlation：该文同样在一般度量空间上定义了基于 Wasserstein 距离的关联度量，并讨论了公理性质。作者引用了该文（参考文献 [25]），但在 intro 中没有将其作为主要竞争路线来讨论，而是将其归入“近期研究活动激增”的泛泛引用中。这可能是因为 Earth Mover's Correlation 的归一化方式不同，且其统计理论（如收敛速率）不如本文完整。
Geenens & Lafaye De Micheaux (2018) 的 Hellinger Correlation：该文提出了一个满足所有理想性质的度量，但作者仅在比较实验（Section 5）中将其作为对比基准，没有在 intro 中讨论其与 Wasserstein 相关系数的关系。

张力¶

未见明显对立引用。各主要工作（Chatterjee, Székely, Deb, Mordant & Segers, Nies et al.）在公理选择和适用空间上存在差异，但并未在相同设定下得出矛盾结论。主要的张力在于“公理完备性”的定义本身——不同作者对“理想度量”应满足哪些性质有不同看法，但这更多是设计选择而非数学矛盾。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题¶

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚¶

符号：
\( \mathcal{X}, \mathcal{Y} \)：两个 Polish 空间（完备可分度量空间），分别作为随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 的取值空间。
\( \mu \in \text{Prob}(\mathcal{X}) \)：\(X\) 的边缘分布。
\( \nu \in \text{Prob}(\mathcal{Y}) \)：\(Y\) 的边缘分布。
\( \pi \in \Pi(\mu, \nu) \)：一个耦合 (coupling)，即 \( \mathcal{X} \times \mathcal{Y} \) 上的概率测度，其边缘分布为 \(\mu\) 和 \(\nu\)。它描述了 \(X\) 和 \(Y\) 的联合分布。
\( \pi_{x_1} \)：耦合 \(\pi\) 关于第一坐标 \(x_1 \in \mathcal{X}\) 的分解 (disintegration)。直观上，给定 \(X = x_1\) 时 \(Y\) 的条件分布。这是一个从 \(\mathcal{X}\) 到 \(\text{Prob}(\mathcal{Y})\) 的（几乎处处定义的）映射。
\( W_p(\cdot, \cdot) \)：\(p\) 阶 Wasserstein 距离（\(p \ge 1\)）。对于 \(\text{Prob}(\mathcal{Y})\) 上的两个测度 \(\alpha, \beta\)，\( W_p^p(\alpha, \beta) = \inf_{\gamma \in \Pi(\alpha, \beta)} \int d^p(y, y') \, d\gamma(y, y') \)，其中 \(d\) 是 \(\mathcal{Y}\) 上的度量。
\( \overrightarrow{W}_p(\pi) \)：本文定义的Wasserstein 相关系数（方向性，从 \(X\) 到 \(Y\)）。其定义为：
\[\overrightarrow{W}_p(\pi) = \left( \int W_p^p(\pi_{x_1}, \nu) \, d\mu(x_1) \right)^{1/p}\]
即，条件分布 \(\pi_{x_1}\) 与边缘分布 \(\nu\) 之间的 Wasserstein 距离的 \(p\) 次幂的期望，再开 \(p\) 次方。
\( \overleftarrow{W}_p(\pi) \)：反向的 Wasserstein 相关系数（从 \(Y\) 到 \(X\)），定义类似，交换 \(X\) 和 \(Y\) 的角色。
\( \hat{\pi}_n \)：基于 \(n\) 个独立同分布样本 \((X_i, Y_i)_{i=1}^n\) 的经验耦合，即 \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \delta_{(X_i, Y_i)}\)。
\( \hat{\mu}_n, \hat{\nu}_n \)：相应的经验边缘分布。
\( \hat{\pi}_{n, x_1} \)：经验耦合 \(\hat{\pi}_n\) 关于第一坐标的分解。由于经验耦合是离散的，其分解也是离散的：给定 \(X = x_1\)，\(Y\) 的条件分布是点质量在观测到的 \(Y_i\) 上（如果 \(X_i = x_1\)），否则未定义。
模型：无参数模型。我们观测到来自某个未知联合分布 \(\pi \in \Pi(\mu, \nu)\) 的独立同分布样本。\(\mu\) 和 \(\nu\) 是未知的，但被假定为 Polish 空间上的概率测度。没有对 \(\pi\) 的结构施加任何参数或半参数假设（如线性、可加性、单调性等）。这是一个完全非参数的设定。
可观测数据：研究者实际能观测到的是 \(n\) 个独立同分布的对 \((X_i, Y_i) \in \mathcal{X} \times \mathcal{Y}\)。想要但观测不到的是：
真实的联合分布 \(\pi\)（只能通过经验分布 \(\hat{\pi}_n\) 近似）。
真实的分解 \(\pi_{x_1}\)（给定 \(X=x_1\) 时 \(Y\) 的条件分布）。由于 \(X\) 是连续的，对于大多数 \(x_1\) 值，我们可能没有或只有很少的观测值，因此 \(\pi_{x_1}\) 的估计是困难的。
真实的边缘分布 \(\mu\) 和 \(\nu\)（只能通过经验分布 \(\hat{\mu}_n\) 和 \(\hat{\nu}_n\) 近似）。

第二步：讲最小内核¶

最简特例：假设 \(\mathcal{X} = \mathcal{Y} = \mathbb{R}\)（实直线），且 \(p=2\)（2-Wasserstein 距离）。进一步假设 \(X\) 和 \(Y\) 都是连续型随机变量，且 \(Y\) 是 \(X\) 的一个确定性函数，即 \(Y = f(X)\)，其中 \(f\) 是某个可测函数。

在这个特例下，我们来理解 Wasserstein 相关系数 \(\overrightarrow{W}_2(\pi)\) 的含义和性质。

耦合 \(\pi\)：由于 \(Y = f(X)\)，联合分布 \(\pi\) 是退化的：所有概率质量集中在曲线 \((x, f(x))\) 上。给定 \(X = x_1\)，条件分布 \(\pi_{x_1}\) 是一个点质量在 \(f(x_1)\) 上，即 \(\pi_{x_1} = \delta_{f(x_1)}\)。
Wasserstein 距离：对于任意 \(x_1\)，条件分布 \(\pi_{x_1} = \delta_{f(x_1)}\) 与边缘分布 \(\nu\) 之间的 2-Wasserstein 距离为：
\[W_2^2(\delta_{f(x_1)}, \nu) = \int (y - f(x_1))^2 \, d\nu(y) = \mathbb{E}_Y[(Y - f(x_1))^2]\]
这是 \(f(x_1)\) 与 \(Y\) 的分布之间的“距离”。注意，这里 \(W_2^2\) 的计算不依赖于任何耦合，因为 \(\delta_{f(x_1)}\) 是点质量。
Wasserstein 相关系数：
\[\overrightarrow{W}_2^2(\pi) = \int W_2^2(\pi_{x_1}, \nu) \, d\mu(x_1) = \int \mathbb{E}_Y[(Y - f(x_1))^2] \, d\mu(x_1) = \mathbb{E}_X[\mathbb{E}_Y[(Y - f(X))^2 | X]]\]
由于 \(Y = f(X)\)，条件期望 \(\mathbb{E}_Y[(Y - f(X))^2 | X] = 0\) 几乎必然成立。因此，\(\overrightarrow{W}_2(\pi) = 0\)。
反向相关系数：现在考虑反向 \(\overleftarrow{W}_2(\pi)\)。给定 \(Y = y_1\)，条件分布 \(\pi_{y_1}\) 是 \(X\) 在集合 \(\{x: f(x) = y_1\}\) 上的分布。如果 \(f\) 不是单射，这个集合可能包含多个点，因此 \(\pi_{y_1}\) 可能不是点质量。那么 \(W_2^2(\pi_{y_1}, \mu)\) 通常不为 0。因此，\(\overleftarrow{W}_2(\pi) > 0\)。这体现了该度量的方向性：它度量了“从 \(X\) 预测 \(Y\) 的难度”，而不是对称的依赖关系。
独立情形：如果 \(X\) 和 \(Y\) 独立，则 \(\pi = \mu \otimes \nu\)，且 \(\pi_{x_1} = \nu\) 对几乎所有 \(x_1\) 成立。因此，\(W_2(\pi_{x_1}, \nu) = 0\)，从而 \(\overrightarrow{W}_2(\pi) = 0\)。
一般情形：对于一般的依赖关系，\(\overrightarrow{W}_p(\pi)\) 度量了“给定 \(X\) 后，\(Y\) 的条件分布与 \(Y\) 的无条件分布之间的平均 Wasserstein 距离”。这个值越大，说明 \(X\) 对 \(Y\) 的分布影响越大，即关联越强。当 \(Y\) 是 \(X\) 的确定性函数时，该值为 0（因为条件分布退化为点质量，与边缘分布的距离被解释为“预测误差”，而确定性函数下预测误差为 0）。注意：这里“0 对应函数关系”与直觉相反（通常我们期望 1 对应函数关系）。作者通过归一化来处理这个问题，但最小内核的核心是理解这个未归一化的量。

核心思路：本文的核心思路是用条件分布与边缘分布之间的 Wasserstein 距离来量化关联。这个想法本身不新（类似于 ANOVA 中的“组间平方和”），但本文的创新在于： - 将其推广到一般 Polish 空间，利用 Wasserstein 距离的几何性质。 - 利用 adapted Wasserstein 距离 的理论来建立估计量的统计性质。具体来说，估计 \(\overrightarrow{W}_p(\pi)\) 需要估计分解 \(\pi_{x_1}\)，而 adapted Wasserstein 距离提供了一种将“估计耦合”和“估计条件分布”统一起来的框架，使得强相合性和收敛速率的证明成为可能。

三、这篇论文做了什么¶

三句话¶

研究了什么问题：在一般 Polish 空间上，定义了一类新的非参数关联度量——Wasserstein 相关系数 \(\overrightarrow{W}_p(\pi)\)，该度量通过耦合的分解来量化条件分布与边缘分布之间的 Wasserstein 距离。
核心工具/方法：利用 adapted/bicausal Wasserstein 距离 的理论框架，将 Wasserstein 相关系数的估计问题转化为 adapted 经验测度的收敛问题，从而建立估计量的统计性质。
主要结论：证明了基于经验耦合的估计量 \(\overrightarrow{W}_p(\hat{\pi}_n)\) 是强相合的；在 \(\mu\) 和 \(\nu\) 具有紧支撑的条件下，给出了收敛速率 \(O_p(n^{-1/(2d)})\)（其中 \(d\) 是 \(\mathcal{Y}\) 的维数）；并推导了独立原假设下检验统计量的渐近分布。

关键设定与假设¶

设定：\((\mathcal{X}, d_{\mathcal{X}})\) 和 \((\mathcal{Y}, d_{\mathcal{Y}})\) 是 Polish 空间。\(\mu \in \text{Prob}(\mathcal{X})\)，\(\nu \in \text{Prob}(\mathcal{Y})\)。\(\pi \in \Pi(\mu, \nu)\) 是未知的联合分布。观测到来自 \(\pi\) 的 \(n\) 个独立同分布样本 \((X_i, Y_i)\)。
假设：
A1 (Polish 空间)：\(\mathcal{X}, \mathcal{Y}\) 是 Polish 空间。这是为了确保 Wasserstein 距离的良好性质（如完备性、紧致性）和分解的存在性。
A2 (有限 \(p\) 阶矩)：\(\int d_{\mathcal{Y}}^p(y, y_0) \, d\nu(y) < \infty\) 对某个（从而任意）\(y_0 \in \mathcal{Y}\) 成立。这是 Wasserstein 距离 \(W_p\) 有限的前提。
A3 (紧支撑，用于收敛速率)：\(\mu\) 和 \(\nu\) 具有紧支撑。这是为了获得非渐近的收敛速率。如果去掉这个假设，强相合性仍然成立，但收敛速率可能更慢或需要额外条件。
相比已有文献：与 Deb et al. (2020) 相比，本文不要求 \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}\) 是 Hilbert 空间或 RKHS；与 Mordant & Segers (2021) 相比，本文的度量是方向性的，且统计理论更完整；与 Chatterjee (2019) 相比，本文适用于一般 Polish 空间。

主要结果¶

定理 3.1 (强相合性)：设 \(\hat{\pi}_n\) 是经验耦合。那么，在假设 A1 和 A2 下，有
\[\overrightarrow{W}_p(\hat{\pi}_n) \xrightarrow{a.s.} \overrightarrow{W}_p(\pi)\]
即，基于经验耦合的 Wasserstein 相关系数几乎必然收敛到总体值。
直觉：这依赖于两个事实：(i) 经验耦合 \(\hat{\pi}_n\) 在 Wasserstein 距离下几乎必然收敛到 \(\pi\)（这是经典结果）；(ii) 映射 \(\pi \mapsto \overrightarrow{W}_p(\pi)\) 在 Wasserstein 距离下是连续的。作者通过 adapted Wasserstein 距离来证明连续性，因为 \(\overrightarrow{W}_p(\pi)\) 可以表示为某个 adapted Wasserstein 距离的极限。
必要条件：Polish 空间和有限 \(p\) 阶矩。
解决的技术难点：直接证明 \(\overrightarrow{W}_p(\pi)\) 关于 \(\pi\) 的连续性并不显然，因为其定义涉及分解 \(\pi_{x_1}\)，而分解对 \(\pi\) 的扰动可能不连续。作者通过将问题嵌入到 adapted Wasserstein 距离的框架中，利用该距离的连续性来绕过这个难点。
定理 3.2 (收敛速率)：在假设 A1-A3 下（\(\mu, \nu\) 紧支撑），设 \(\mathcal{Y}\) 的覆盖维数为 \(d\)（对于 \(\mathbb{R}^d\)，\(d\) 就是欧氏维数）。那么存在一个常数 \(C\)，使得
\[\mathbb{E}[|\overrightarrow{W}_p(\hat{\pi}_n) - \overrightarrow{W}_p(\pi)|] \leq C n^{-1/(2d)}\]
即，估计量的均方误差以速率 \(n^{-1/(2d)}\) 收敛到 0。
直觉：这个速率与经验测度在 Wasserstein 距离下的收敛速率（Weed & Bach 2019, Fournier & Guillin 2015）一致。这是因为 \(\overrightarrow{W}_p(\pi)\) 的估计误差本质上由 \(\hat{\pi}_n\) 与 \(\pi\) 之间的 adapted Wasserstein 距离控制，而后者又由普通的 Wasserstein 距离控制。
必要条件：紧支撑。这是为了应用 Weed & Bach (2019) 的有限样本界。
解决的技术难点：将 \(\overrightarrow{W}_p(\hat{\pi}_n) - \overrightarrow{W}_p(\pi)\) 的误差分解为两部分：一部分来自用 \(\hat{\pi}_n\) 近似 \(\pi\) 的误差，另一部分来自用经验分解 \(\hat{\pi}_{n, x_1}\) 近似 \(\pi_{x_1}\) 的误差。作者利用 adapted Wasserstein 距离的三角不等式和 Lipschitz 性质来统一控制这两部分。
推论 5.2 (独立性检验)：在原假设 \(H_0: \pi = \mu \otimes \nu\)（即 \(X\) 与 \(Y\) 独立）下，检验统计量 \(n \overrightarrow{W}_2^2(\hat{\pi}_n)\) 依分布收敛到一个非退化的极限分布（具体形式依赖于 \(\mu\) 和 \(\nu\)）。
直觉：在独立原假设下，\(\overrightarrow{W}_2(\pi) = 0\)，但经验估计量 \(\overrightarrow{W}_2(\hat{\pi}_n)\) 不为 0。其波动性由样本量 \(n\) 和 \(\mu, \nu\) 的几何性质决定。该推论给出了这个波动性的渐近分布，从而可以构造独立性检验。
必要条件：\(\mu\) 和 \(\nu\) 是连续的（无原子）。这是为了确保极限分布的非退化性。
解决的技术难点：推导极限分布需要处理退化 U-统计量。作者通过将 \(\overrightarrow{W}_2^2(\hat{\pi}_n)\) 表示为经验过程的泛函，并利用 adapted Wasserstein 距离的已有结果来得到极限分布。

证明路线与技术技巧¶

整体路线：
嵌入 adapted Wasserstein 距离：定义 \(\mathcal{X} \times \mathcal{Y}\) 上的一个特殊度量，使得 \(\overrightarrow{W}_p(\pi)\) 可以表示为某个 adapted Wasserstein 距离 \(AW_p(\pi, \mu \otimes \nu)\) 的极限。具体来说，作者构造了一个“滤波”结构，将 \(\pi\) 视为一个两阶段随机过程（先抽 \(X\)，再抽 \(Y|X\)），然后定义该过程与独立过程之间的 adapted Wasserstein 距离。
连续性：证明映射 \(\pi \mapsto AW_p(\pi, \mu \otimes \nu)\) 在 Wasserstein 距离下是连续的（实际上是 Lipschitz 的）。这依赖于 adapted Wasserstein 距离的已知性质（Backhoff et al. 2020）。
经验过程的收敛：利用经典结果，经验耦合 \(\hat{\pi}_n\) 在 Wasserstein 距离下几乎必然收敛到 \(\pi\)，且在紧支撑假设下具有速率 \(n^{-1/(2d)}\)。
组合：由步骤 2 和 3，通过连续映射定理，得到 \(\overrightarrow{W}_p(\hat{\pi}_n)\) 的强相合性和收敛速率。
关键跳跃点：
从 \(\overrightarrow{W}_p(\pi)\) 到 \(AW_p(\pi, \mu \otimes \nu)\) 的等价性：这是整个证明的基石。作者需要证明，对于任意耦合 \(\pi\)，\(\overrightarrow{W}_p(\pi)\) 恰好等于 \(\pi\) 与独立耦合 \(\mu \otimes \nu\) 之间的某个 adapted Wasserstein 距离。这个等价性不是平凡的，它依赖于 adapted Wasserstein 距离的定义和耦合分解的性质。作者在引理 2.1 中建立了这个等价性。
控制分解的误差：直接估计 \(\overrightarrow{W}_p(\hat{\pi}_n)\) 需要估计条件分布 \(\pi_{x_1}\)，这在连续情况下是困难的。通过 adapted Wasserstein 距离的框架，作者将问题转化为估计整个联合分布 \(\pi\)，从而避免了直接估计条件分布。这是该技术路线的核心优势。
技术技巧点名：
Adapted/Bicausal Wasserstein 距离：这是本文最核心的技术工具。它被用来建立 \(\overrightarrow{W}_p(\pi)\) 的连续性，并作为连接“估计耦合”和“估计关联度量”的桥梁。
耦合分解 (Disintegration)：这是定义 Wasserstein 相关系数的数学基础。作者利用 Polish 空间上分解的存在性和唯一性来严格定义 \(\pi_{x_1}\)。
经验过程理论：用于证明强相合性。虽然作者没有显式使用复杂的经验过程工具，但收敛性的证明本质上依赖于 Glivenko-Cantelli 类的结果。
Weed & Bach (2019) 的有限样本界：用于推导紧支撑假设下的收敛速率。这个界给出了经验测度在 Wasserstein 距离下的收敛速率 \(O_p(n^{-1/(2d)})\)。

真实例子与应用¶

本文包含一个模拟实验（Section 5）和一个真实数据例子（Section 6）。

模拟实验：
数据/场景：作者在 \(\mathcal{X} = \mathcal{Y} = \mathbb{R}\) 上，比较了四种独立性检验的势函数（power function）：本文的 Wasserstein 相关系数检验、Chatterjee (2019) 的检验、距离协方差检验 (Székely et al. 2007) 和基于中心向外秩的检验 (Shi et al. 2019)。数据生成自一个具有参数 \(\rho \in [0, 1]\) 的二元正态分布（相关性从 0 到 1 变化）。
如何应用：对于每种方法，计算检验统计量，并通过与渐近临界值比较来判断是否拒绝独立原假设。重复多次，记录拒绝频率作为势函数。
结果：所有四种方法的势函数都随着 \(\rho\) 的增加而增加，且在大样本下都趋于 1。本文的方法（Wasserstein 相关系数）在中等样本量下表现与距离协方差相当，略优于 Chatterjee 的方法。
想说明什么：验证了本文提出的检验统计量在简单（线性）依赖结构下是有效的，且与现有方法相比具有竞争力。
真实数据例子：
数据/场景：使用了 UCI 机器学习库中的“Airfoil Self-Noise”数据集。该数据集包含 1503 个观测，目标是预测机翼的噪声水平（\(Y\)），预测变量包括频率、攻角、弦长等（\(X\) 是 5 维向量）。
如何应用：作者计算了每个预测变量 \(X_j\) 与响应变量 \(Y\) 之间的 Wasserstein 相关系数 \(\overrightarrow{W}_2(\pi_j)\)（其中 \(\pi_j\) 是 \(X_j\) 和 \(Y\) 的联合分布），并与 Chatterjee 的相关系数、距离协方差和 Pearson 相关系数进行比较。
结果：Wasserstein 相关系数识别出的最强预测变量与距离协方差一致，但与 Pearson 相关系数不同（因为依赖关系可能是非线性的）。作者还计算了方向性：\(\overrightarrow{W}_2\)（从 \(X\) 到 \(Y\)）和 \(\overleftarrow{W}_2\)（从 \(Y\) 到 \(X\)）的值不同，表明依赖关系是不对称的。
想说明什么：展示了 Wasserstein 相关系数在多变量、非线性依赖场景下的实用性，以及其方向性在揭示依赖结构不对称性方面的价值。

🔎 结论是否比证明窄¶

定理 3.1 (强相合性) 的证明依赖于 adapted Wasserstein 距离的连续性，而该连续性的证明在原文中引用了 Backhoff et al. (2020) 的结果。如果 Backhoff et al. (2020) 的证明有隐藏假设（如空间必须是紧致的），那么本文的强相合性可能只在更窄的条件下成立。作者在文中明确假设了 Polish 空间，但没有进一步讨论 Backhoff et al. (2020) 的假设是否完全被覆盖。
定理 3.2 (收敛速率) 的证明明确假设了 \(\mu\) 和 \(\nu\) 具有紧支撑。作者在定理陈述后提到，这个假设“可能可以放宽”，但没有给出具体的放宽方案或证明。因此，该收敛速率结论目前严格限于紧支撑情形。
推论 5.2 (独立性检验) 的极限分布依赖于 \(\mu\) 和 \(\nu\) 是连续的（无原子）。作者在推论陈述中明确提到了这个条件。如果 \(\mu\) 或 \(\nu\) 有原子，极限分布可能不同，甚至可能退化。这是一个重要的限制，因为许多实际数据（如离散数据）不满足这个条件。

四、开放问题¶

收敛速率的紧性：定理 3.2 给出的收敛速率 \(n^{-1/(2d)}\) 是否是最优的？对于一般的 Polish 空间，这个速率是否可以达到 minimax 下界？这扎根于定理 3.2 的陈述和作者在文末的讨论（“确定最优收敛速率是一个有趣的问题”）。
非紧支撑情形下的收敛速率：当 \(\mu\) 和 \(\nu\) 不具有紧支撑时，收敛速率会如何变化？是否依赖于矩条件或尾部分布的衰减速度？这扎根于定理 3.2 的假设 A3，以及作者在证明中引用的 Weed & Bach (2019) 的有限样本界，该界在非紧支撑下会退化。
计算复杂度与统计效率的权衡：本文没有讨论估计量的计算复杂度。对于高维 \(\mathcal{Y}\)（如 \(d\) 很大），计算 Wasserstein 距离的代价是巨大的。是否存在计算上更高效的替代估计量（如基于 Sinkhorn 散度或 sliced Wasserstein 距离）？这扎根于作者在引言中回避的计算问题，以及 Nies et al. (2021) 中提出的“计算成本显著降低的替代估计量”。
与因果推断的联系：Wasserstein 相关系数的方向性使其天然适用于度量“因果效应”或“预测能力”。能否将其与因果推断中的工具变量、前门准则等概念结合，用于定义和估计因果 Wasserstein 相关系数？这扎根于作者在文末的展望（“将我们的框架扩展到因果设定是一个有前景的方向”），以及该度量与 adapted Wasserstein 距离的紧密联系（后者在因果最优传输中已有应用）。

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