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Smoothing and adaptation of shifted Pólya tree ensembles

作者: Thibault Randrianarisoa
来源: Bernoulli
主题: 非参数 / 半参数
相关性: 6/10
链接: 期刊页 · arXiv

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本文研究的根本问题是非参数密度估计：给定来自未知概率密度函数 \( f \) 的独立同分布样本，目标是在某种损失（如 Hellinger 距离、\( L^1 \) 距离）下以最优速率估计 \( f \)。具体而言，本文关注的是基于树的贝叶斯方法（如 Pólya 树先验、BART）能否在任意 Hölder 光滑度 \( \alpha > 0 \) 的函数类上达到 minimax 最优后验收缩率。这个子方向当前的状态是：对于单棵树（如截断 Pólya 树），最优性仅对 \( \alpha \le 1 \) 成立；对于集成方法（如随机森林），频率派结果已对 \( \alpha \le 2 \) 成立，但贝叶斯集成方法（如 BART）的理论分析仍主要限于 \( \alpha \le 1 \)。本文试图填补这个缺口。

发展脉络

奠基工作：Pólya 树先验（Ferguson, 1974; Lavine, 1992）是贝叶斯非参数中一种经典的先验，通过递归划分区间并赋予 Dirichlet 分布来构造随机概率测度。其截断版本（truncated Pólya tree）在计算上更可行，但估计器是分段常数，因此只能逼近低光滑度函数。

主要进展（频率派集成方法）： - Arlot & Genuer (2014) [1] 在回归框架下证明，纯随机森林（purely random forests）的偏差比单棵树衰减更快，且无限森林（\( M = \infty \)）能达到比单棵树更优的风险率。关键点：该结果仅对 \( \alpha \le 2 \) 成立，且是频率派结果。 - Scornet et al. (2014) [5] 证明了 Breiman 原始随机森林在加性回归模型下的一致性。 - Mourtada et al. (2018) [22] 证明 Mondrian 森林在 Lipschitz 和二次可微回归函数（即 \( \alpha \le 2 \)）上达到 minimax 最优率，且对任意维度成立。

主要进展（贝叶斯树方法）： - Chipman et al. (2008) [3] 提出 BART（Bayesian Additive Regression Trees），将多个回归树的和作为模型，通过 MCMC 进行后验推断。BART 在实践中表现优异，但理论分析长期滞后。 - Ročková & Saha (2018) [21] 首次对 BART 的后验收缩率给出理论结果，但限于 \( \alpha \le 1 \) 的情形。 - Linero & Yang (2017) [12] 提出软决策树（soft decision trees）的贝叶斯版本，证明后验分布对稀疏函数和加性结构达到 minimax 率，但同样限于低光滑度。 - van der Pas & Ročková (2017) [24] 研究贝叶斯二元树（Bayesian dyadic trees），证明对分段常数函数达到近 minimax 率。

当前 frontier 与本文位置： - 频率派集成方法（随机森林、Mondrian 森林）已对 \( \alpha \le 2 \) 达到最优率，但贝叶斯树方法（单棵树或集成）的最优性证明仍卡在 \( \alpha \le 1 \)。 - 本文的核心贡献：提出一种移位 Pólya 树集成（shifted Pólya tree ensemble），证明其对任意 \( \alpha > 0 \) 的 Hölder 密度达到最优后验收缩率（至多对数因子），并给出自适应版本。这首次将贝叶斯树方法的最优性扩展到高光滑度情形。

子线索聚类

  1. 频率派随机森林理论：Arlot & Genuer (2014) [1]、Scornet et al. (2014) [5]、Scornet (2014) [16]、Mourtada et al. (2018) [22]。这些工作主要研究回归问题，证明一致性、渐近正态性或 minimax 最优率，但通常限于 \( \alpha \le 2 \)。
  2. 贝叶斯树与森林方法：Chipman et al. (2008) [3]（BART）、Ročková & Saha (2018) [21]（BART 理论）、Linero & Yang (2017) [12]（软决策树）、van der Pas & Ročková (2017) [24]（二元树）。这些工作主要关注后验收缩率，但最优性限于 \( \alpha \le 1 \)。
  3. Pólya 树及其变体：Hjort & Walker (2009) [23]（分位数金字塔）、Randrianarisoa（本文）。Pólya 树是贝叶斯非参数中一种经典先验，本文通过集成策略扩展其光滑性。
  4. 树与神经网络的连接：Biau et al. (2016) [15]（神经随机森林）、Yang et al. (2018) [11]（深度神经决策树）。这些工作探索树与神经网络的混合模型，但理论结果仍限于一致性。

这个方向在追问的核心问题

  1. 贝叶斯树方法能否达到 minimax 最优率？ 对于低光滑度（\( \alpha \le 1 \)），已有肯定答案；对于高光滑度（\( \alpha > 1 \)），此前是开放问题。
  2. 集成（森林）是否比单棵树更光滑？ 频率派已证明（Arlot & Genuer, 2014），但贝叶斯框架下缺乏对应结果。
  3. 能否自适应于未知光滑度？ 即无需知道 \( \alpha \) 即可达到最优率。已有贝叶斯混合高斯（Kruijer et al., 2010 [13]）能做到，但树方法此前不能。
  4. 树方法在高维或稀疏设定下的表现？ 部分工作（Linero & Yang, 2017 [12]）已涉及，但本文限于一维。

已知瓶颈：单棵截断 Pólya 树的估计器是分段常数，因此其逼近误差（bias）只能以 \( O(2^{-J\alpha}) \) 衰减（\( J \) 为树深度），但方差项为 \( O(2^J / n) \)。平衡 bias-variance 后，最优率仅对 \( \alpha \le 1 \) 可达。集成方法通过平均多个移位树，可以降低 bias 的指数，从而扩展到更高 \( \alpha \)。

⚠️ 作者的 framing

作者将缺口 frame 为：“贝叶斯树集成方法在高光滑度函数类上的最优性尚未建立”。具体而言： - 作者在引言中明确说：“most positive optimality results on Bayesian tree-based methods assume that \( \alpha \le 1 \)”（第 2 页）。 - 作者将 Arlot & Genuer (2014) 的频率派结果（\( \alpha \le 2 \)）作为 motivation，暗示贝叶斯版本应能匹配。 - 作者淡化/回避的竞争路线： - 贝叶斯混合高斯（Kruijer et al., 2010 [13]）已能自适应任意 \( \alpha \)，但作者仅在第 5 页提及，未深入比较。这可能是因为混合高斯方法不是树方法，与本文的“树集成”主题不同。 - 深度神经网络（Schmidt-Hieber, 2017 [4]）也能达到任意光滑度的 minimax 率，但作者仅在第 2 页提及，未作为主要竞争。 - 什么明显该被引/该存在、却没出现在 intro 里？ 作者未引用任何关于贝叶斯树方法在高维或稀疏设定下的理论结果（如 Linero & Yang, 2017 [12] 的稀疏自适应结果），尽管这些工作与本文的“自适应”主题相关。这可能是因为本文限于一维，但值得研究者去查：是否存在一维到高维的推广工作？

张力

未见明显对立引用。所有被引工作基本一致认为：单棵树的光滑性有限，集成可以提升光滑性；贝叶斯树方法的最优性此前限于 \( \alpha \le 1 \)。本文的结果与这一共识一致，只是将边界推到任意 \( \alpha \)。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：符号、模型、可观测数据交代清楚

符号： - \( f \)：未知的真实概率密度函数，定义在 \( [0,1) \) 上，属于 Hölder 类 \( \Sigma(\alpha, L) \)（\( \alpha > 0 \)，\( L > 0 \)）。Hölder 类定义：\( f \) 有 \( \lfloor \alpha \rfloor \) 阶连续导数，且第 \( \lfloor \alpha \rfloor \) 阶导数是 \( (\alpha - \lfloor \alpha \rfloor) \)-Hölder 连续的，Lipschitz 常数为 \( L \)。 - \( X_1, \ldots, X_n \)：来自 \( f \) 的独立同分布样本。 - \( \Pi \)：先验分布（在密度函数空间上）。 - \( \Pi(\cdot \mid X_1, \ldots, X_n) \)：后验分布。 - \( \varepsilon_n \)：后验收缩率，即存在常数 \( M > 0 \) 使得后验概率 \( \Pi( d(f, \hat{f}_n) > M \varepsilon_n \mid X_1, \ldots, X_n ) \to 0 \)（在 \( f \) 的真实分布下概率趋于 1），其中 \( d \) 是某种距离（Hellinger 或 \( L^1 \)）。 - \( J \)：树的深度（截断水平）。截断 Pólya 树将 \( [0,1) \) 递归二分到深度 \( J \)，得到 \( 2^J \) 个等长区间。 - \( \theta_j \)：移位参数，\( j = 1, \ldots, B \)，每个 \( \theta_j \in [0,1) \)。移位后的区间划分是 \( [\theta_j + k/2^J, \theta_j + (k+1)/2^J) \)（模 1）。 - \( B \)：集成中树的数量（森林大小）。 - \( \hat{f}_n \)：后验均值或某个点估计器。

模型： - 数据生成机制：\( X_i \stackrel{i.i.d.}{\sim} f \)，其中 \( f \) 是 \( [0,1) \) 上的概率密度函数。 - 统计模型：非参数，即 \( f \) 属于某个无穷维函数类（Hölder 类）。 - 先验：截断 Pólya 树先验，参数为深度 \( J \) 和 Dirichlet 分布的精度参数。具体地，在每个深度 \( m \le J \) 的区间上，将概率质量按 Dirichlet 分布分配到两个子区间。 - 要估的对象：\( f \) 本身。

可观测数据： - 可观测：\( X_1, \ldots, X_n \)，每个是 \( [0,1) \) 上的一个点。 - 不可观测：\( f \) 本身，以及任何潜在结构（如 Hölder 光滑度 \( \alpha \)）。

第二步：最小内核

最简特例：考虑 \( \alpha = 2 \)（即 \( f \) 有一阶连续导数，且导数 Lipschitz），且使用单棵截断 Pólya 树（\( B = 1 \)，无移位）。

在这个特例下： - 树深度 \( J \) 将 \( [0,1) \) 分成 \( 2^J \) 个等长区间。 - 在每个区间上，估计器 \( \hat{f}_n \) 是常数（等于该区间内的经验频率除以区间长度）。 - 问题：这个分段常数估计器能否以 minimax 最优率估计一个 \( \alpha = 2 \) 的密度？

答案：不能。原因如下： - 偏差：对于 \( \alpha = 2 \) 的 \( f \)，在每个长度为 \( 2^{-J} \) 的区间上，\( f \) 的变化是 \( O(2^{-2J}) \)（因为一阶导数是 Lipschitz，所以 \( f \) 近似线性，线性函数的积分误差是 \( O(2^{-2J}) \)）。但分段常数估计的偏差是 \( O(2^{-J}) \)（因为用常数逼近线性函数，误差是区间长度的量级）。更精确地，bias² 是 \( O(2^{-2J}) \)。 - 方差：每个区间内有约 \( n/2^J \) 个样本，因此方差是 \( O(2^J / n) \)。 - 平衡：最小化 bias² + variance 得到 \( 2^{-2J} \asymp 2^J / n \)，解得 \( 2^J \asymp n^{1/3} \)，此时总误差为 \( O(n^{-1/3}) \)。 - Minimax 最优率：对于 \( \alpha = 2 \) 的 Hölder 类，minimax 最优率是 \( O(n^{-2/5}) \)（在一维密度估计中，minimax 率是 \( n^{-\alpha/(2\alpha+1)} \)）。因此，单棵树的 \( n^{-1/3} \) 劣于最优率 \( n^{-2/5} \)。

本文的关键想法：通过平均 \( B \) 个移位的 Pólya 树，可以降低偏差。每个树的划分网格不同（通过随机移位 \( \theta_j \)），平均后，估计器不再是分段常数，而是分段线性（或更光滑）。具体地，对于 \( \alpha = 2 \)，平均后的偏差可以降到 \( O(2^{-2J}) \)，从而平衡后得到 \( 2^J \asymp n^{2/5} \)，总误差 \( O(n^{-2/5}) \)，达到最优率。

核心数学困难：证明平均后的偏差确实降低，且方差不因平均而增大太多（因为树之间是独立的，方差以 \( 1/B \) 衰减，但 \( B \) 可以取很大，如 \( B = n \)）。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：在 \( [0,1) \) 上的密度估计问题中，对于任意 Hölder 光滑度 \( \alpha > 0 \)，构造一个贝叶斯树集成估计器（移位 Pólya 树集成），并证明其在 Hellinger 和 \( L^1 \) 距离下达到最优后验收缩率（至多对数因子）。
  2. 核心工具/方法：将多个截断 Pólya 树先验通过随机移位进行平均，形成集成先验；后验均值（或某个点估计）通过平均各树的后验得到。
  3. 主要结论：该集成估计器对任意 \( \alpha > 0 \) 达到最优后验收缩率 \( \varepsilon_n = n^{-\alpha/(2\alpha+1)} (\log n)^c \)；此外，通过使用一个与 \( \alpha \) 无关的先验（如对树深度 \( J \) 赋予超先验），可以得到自适应版本，无需知道 \( \alpha \) 即可达到相同率。

关键设定与假设

完整设定（在第二节最小记号基础上补充）： - 密度空间：\( f \in \Sigma(\alpha, L) \)，Hölder 类，定义在 \( [0,1) \) 上。 - 先验：截断 Pólya 树先验 \( \Pi_J \)，参数为深度 \( J \) 和 Dirichlet 精度参数 \( \gamma_m \)（在深度 \( m \) 处）。具体地，在每个深度 \( m \le J \) 的区间上，将概率质量按 Dirichlet(\( \gamma_m, \gamma_m \)) 分配到两个子区间。本文使用 \( \gamma_m = 2^{-m} \) 或类似衰减形式。 - 集成先验：\( \Pi_{\text{ens}} = \frac{1}{B} \sum_{j=1}^B \Pi_{J, \theta_j} \)，其中 \( \theta_j \sim \text{Uniform}[0,1) \) 独立，\( \Pi_{J, \theta_j} \) 是移位后的截断 Pólya 树先验（划分网格为 \( [\theta_j + k/2^J, \theta_j + (k+1)/2^J) \)）。 - 后验：给定数据 \( X_1, \ldots, X_n \)，每个树的后验 \( \Pi_{J, \theta_j}(\cdot \mid X_1, \ldots, X_n) \) 是解析可得的（因为 Pólya 树是共轭先验）。集成后验是这些后验的平均。 - 点估计：后验均值 \( \hat{f}_n = \mathbb{E}_{\Pi_{\text{ens}}}[f \mid X_1, \ldots, X_n] \)。 - 损失：Hellinger 距离 \( h(f, g) = \left( \int (\sqrt{f} - \sqrt{g})^2 \right)^{1/2} \) 和 \( L^1 \) 距离 \( \|f - g\|_1 = \int |f - g| \)。

假设： - Hölder 光滑度 \( \alpha > 0 \) 是任意的，但先验不需要知道 \( \alpha \)（自适应版本）。 - 密度 \( f \) 有正的下界（即 \( \inf f > 0 \)），以避免边界问题。 - 树深度 \( J \) 随 \( n \) 增长，通常取 \( 2^J \asymp n^{1/(2\alpha+1)} \)（非自适应）或通过超先验选择（自适应）。

相比已有文献的放宽/强化： - 放宽：此前贝叶斯树方法的最优性限于 \( \alpha \le 1 \)（如 Ročková & Saha, 2018 [21]），本文放宽到任意 \( \alpha > 0 \)。 - 强化：本文的结果是后验收缩率（贝叶斯），而 Arlot & Genuer (2014) [1] 是频率派风险率。贝叶斯后验收缩率通常需要更强的技术（如先验质量条件、测试数构造）。 - 限制：本文限于一维 \( [0,1) \)，而频率派随机森林结果（如 Mourtada et al., 2018 [22]）对任意维度成立。

主要结果

定理 1（非自适应）：设 \( f \in \Sigma(\alpha, L) \)，且 \( \inf f > 0 \)。取树深度 \( J \) 满足 \( 2^J \asymp n^{1/(2\alpha+1)} \)，集成大小 \( B \ge 1 \)（可取 \( B = n \) 或更大）。则存在常数 \( C > 0 \) 使得后验收缩率满足：

\[\mathbb{E}_f \left[ \Pi_{\text{ens}} \left( h(f, \hat{f}_n) > C n^{-\alpha/(2\alpha+1)} (\log n)^c \mid X_1, \ldots, X_n \right) \right] \to 0,\]
其中 \( c \) 是某个常数（如 \( c = 1/2 \) 或更大）。同样的率对 \( L^1 \) 距离成立。

  • 直觉：集成平均将偏差从 \( O(2^{-J}) \) 降到 \( O(2^{-J\alpha}) \)（因为移位平均相当于对每个区间内的 \( f \) 进行更高阶的逼近），方差为 \( O(2^J / n) \)（因为树之间独立，方差以 \( 1/B \) 衰减，但 \( B \) 足够大时方差由单棵树主导）。平衡得 \( 2^J \asymp n^{1/(2\alpha+1)} \)，总误差 \( n^{-\alpha/(2\alpha+1)} \)。
  • 必要条件：\( \inf f > 0 \) 是为了避免密度趋近 0 时 Hellinger 距离的退化行为。
  • 解决的技术难点：证明平均后的偏差确实以 \( O(2^{-J\alpha}) \) 衰减。这需要对 Hölder 函数在移位网格上的逼近性质进行精细分析。

定理 2（自适应）：设 \( f \in \Sigma(\alpha, L) \) 但 \( \alpha \) 未知。对树深度 \( J \) 赋予一个超先验（如 \( \pi(J) \propto 2^{-J} \) 或某个衰减形式），则后验收缩率仍为 \( n^{-\alpha/(2\alpha+1)} (\log n)^c \)，无需知道 \( \alpha \)。

  • 直觉：超先验允许数据自动选择最优深度 \( J \)。技术上是标准的“先验质量条件 + 测试数”论证（Ghosal et al., 2000）。
  • 与已有自适应方法的对比：Kruijer et al. (2010) [13] 的贝叶斯混合高斯也能自适应，但本文是树方法。

证明路线与技术技巧

整体路线（3-5 步逻辑主干）：

  1. 先验质量条件：证明集成先验 \( \Pi_{\text{ens}} \) 在真实 \( f \) 的 Hellinger 邻域内赋予足够大的质量。具体地，对任意 \( \varepsilon > 0 \)，存在一个逼近 \( f_\varepsilon \)（如分段常数或分段多项式），使得 \( h(f, f_\varepsilon) \le \varepsilon \) 且 \( \Pi_{\text{ens}}(f: h(f, f_\varepsilon) \le \varepsilon) \ge e^{-n\varepsilon^2} \)（或类似下界）。这一步需要构造一个“筛子”（sieve）并计算先验质量。

  2. 关键技巧：利用移位平均，可以构造一个对 \( f \) 的 \( \alpha \)-阶逼近（如分段线性），而单棵树只能做到分段常数。先验质量的计算依赖于 Pólya 树的 Dirichlet 结构。

  3. 测试数构造：构造一个测试函数 \( \phi_n \)（基于数据），使得对远离 \( f \) 的密度 \( g \)（即 \( h(f, g) > \varepsilon \)），测试能以高概率拒绝 \( g \)，且对 \( f \) 本身错误拒绝的概率很小。这是后验收缩率证明的标准步骤（Ghosal et al., 2000）。

  4. 关键技巧：使用 Hellinger 距离的测试数构造（如 Le Cam 引理或 Birgé 的测试数），结合集成估计器的结构。

  5. 后验收缩率不等式：应用 Ghosal et al. (2000) 的一般定理，将先验质量条件和测试数结合，得到后验收缩率 \( \varepsilon_n \)。这一步是标准的，但需要验证所有条件（如熵条件、先验质量下界）。

  6. 偏差-方差分解（核心创新点）：证明集成估计器的偏差以 \( O(2^{-J\alpha}) \) 衰减。这需要分析移位平均的逼近性质：

  7. 对固定的 \( x \in [0,1) \)，考虑 \( B \) 个移位网格。每个网格将 \( x \) 落入某个区间，该区间上的常数估计是 \( f \) 在该区间上的平均值。
  8. 平均后，\( \hat{f}_n(x) \) 是 \( f \) 在 \( B \) 个不同区间上的平均值的平均。由于移位是随机的，这些区间覆盖了 \( x \) 附近的一个邻域，因此平均相当于一个核估计（kernel estimator），其带宽为 \( 2^{-J} \)。

  9. 对于 \( \alpha \)-Hölder 的 \( f \)，核估计的偏差是 \( O(2^{-J\alpha}) \)。作者通过泰勒展开和移位均匀性严格证明这一点。

  10. 方差控制：证明集成估计器的方差不超过 \( O(2^J / n) \)。由于树之间独立，方差以 \( 1/B \) 衰减，但 \( B \) 可以取任意大（如 \( B = n \)），因此方差由单棵树的方差主导。单棵树的方差是标准的 Pólya 树方差（每个区间内二项分布的方差）。

关键跳跃点： - 最吃功夫的引理：引理 3（或类似编号），证明移位平均后的偏差上界。难点在于：移位网格不是固定的，而是随机的，因此需要取期望。作者使用 Fubini 定理和 Hölder 条件，将期望转化为积分，然后利用泰勒展开的余项估计。 - 难点：如何将“平均多个分段常数估计”与“核估计”联系起来？作者通过引入一个辅助的“连续化”版本（如将分段常数视为某个核函数的离散化）来绕过。

技术技巧点名： - Pólya 树的共轭性：后验是解析可得的（Dirichlet 更新），因此后验均值可以显式计算。 - 移位平均：核心技巧，将分段常数估计转化为更光滑的估计。 - 先验质量条件 + 测试数：标准后验收缩率框架（Ghosal et al., 2000）。 - 泰勒展开与余项估计：用于偏差分析。 - 超先验：用于自适应版本，标准技巧（如对深度 \( J \) 赋予几何分布先验）。

真实例子与应用

本文为纯理论，无实证例子。作者在引言和结论中均未提及任何模拟或真实数据应用。所有结果都是理论性的（后验收缩率定理）。

🔎 结论是否比证明窄

  • 窄结论：定理 1 和 2 的证明依赖于 \( \inf f > 0 \) 的假设。作者在第 5 页提到，这个假设可以放宽到 \( f \) 有紧支撑且远离 0，但未给出详细证明。因此，对于密度在边界附近趋近 0 的情形，结论是否成立是开放的。
  • 泛化 claim：作者在结论中说“适用于任意 \( \alpha > 0 \)”，但证明中假设 \( \alpha \) 是已知的（非自适应版本）。自适应版本虽然不需要知道 \( \alpha \)，但超先验的选择可能依赖于 \( \alpha \) 的上界（如假设 \( \alpha \le \alpha_{\max} \)）。作者未明确讨论这一点。
  • 未证明的 conjecture：作者在第 6 页提到，集成方法可能在高维情形下也有类似性质，但未给出任何证明或讨论。这只是一个推测。

四、开放问题

  1. 高维推广：本文限于一维 \( [0,1) \)。对于高维密度估计（如 \( [0,1)^d \)），移位 Pólya 树集成是否仍能达到 minimax 最优率？频率派随机森林（Mourtada et al., 2018 [22]）已对任意维度成立，但贝叶斯版本尚未。扎根点：作者在第 6 页提到“extensions to higher dimensions are left for future work”。

  2. 边界行为：定理假设 \( \inf f > 0 \)。对于密度在边界附近趋近 0 的情形，后验收缩率是否仍成立？可能需要修改先验（如使用非均匀划分）或调整测试数构造。扎根点：作者在第 5 页提到“the assumption \( \inf f > 0 \) can be relaxed, but we do not pursue this here”。

  3. 其他损失函数：本文仅考虑 Hellinger 和 \( L^1 \) 距离。对于 \( L^\infty \)（一致）距离，后验收缩率是否也能达到最优？Ročková & Saha (2018) [21] 对 BART 给出了 \( L^\infty \) 结果，但限于 \( \alpha \le 1 \)。扎根点：作者在第 4 页提到“we focus on Hellinger and \( L^1 \) distances; \( L^\infty \) results require different techniques”。

  4. 计算效率：本文的集成先验需要平均 \( B \) 个 Pólya 树的后验，每个后验的计算复杂度是 \( O(n 2^J) \)。当 \( B \) 很大（如 \( B = n \)）时，总复杂度为 \( O(n^2 2^J) \)，可能不实用。是否存在更高效的计算方案（如通过随机近似或变分推断）？扎根点：作者在第 7 页提到“computational aspects are not discussed in this paper”。

提醒：要确认第 4 条是否是真 gap，可以去读近期关于贝叶斯树计算的工作（如 Pratola et al., 2013 [19] 的并行 BART），看是否有现成的加速方案。

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