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Local minimax rates for closeness testing of discrete distributions

作者: Joseph Lam-Weil, Alexandra Carpentier, Bharath K. Sriperumbudur
来源: Bernoulli
主题: 数理统计 / 假设检验
相关性: 7/10
链接: 期刊页 · arXiv

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本文研究的子方向是离散分布的两样本检验（closeness testing），其根本的统计问题是：给定来自两个未知离散分布 \(p\) 和 \(q\) 的独立样本，能否以高概率判断 \(p = q\) 还是 \(\|p - q\|_1 \ge \varepsilon\)？该问题在性质检验（property testing）、高维分类数据分析、以及生物信息学中有广泛应用。当前该方向的成熟度较高：全局 minimax 样本复杂度已被精确刻画（Chan et al., 2014），但局部 minimax 速率——即速率如何适应于底层分布的形状（如稀疏性、光滑性）——在 closeness testing 中尚未被系统研究，这正是本文填补的缺口。

发展脉络（history）

  • 奠基工作：Neyman & Pearson (1933) 奠定了假设检验的经典框架。Valiant (2008) 引入“规范检验器”（Canonical Tester）概念，首次系统研究了对称分布性质的检验，并给出了 closeness testing 的 \(\Omega(n^{2/3})\) 下界。
  • 主要进展（全局 minimax 速率）：Chan et al. (2014) 给出了 closeness testing 在 \(L_1\) 距离下的信息论最优样本复杂度 \(\Theta(\max\{n^{2/3}/\varepsilon^{4/3}, n^{1/2}/\varepsilon^2\})\)，这是该领域的里程碑。Bhattacharya & Valiant (2015) 将结果推广至不等样本量情形。Diakonikolas et al. (2017) 研究了结构化分布（如 h-histograms）的 closeness testing，获得了近最优的样本复杂度。
  • 当前 frontier（局部 minimax 视角）：Balakrishnan & Wasserman (2017, 2018) 在单样本检验（identity testing）中系统发展了局部 minimax 框架，发现速率强烈依赖于零假设分布的形状，并构造了达到该速率的检验。他们明确指出：“closeness testing 的局部 minimax 定义比 identity testing 更复杂，是一个有趣的开放问题”（引自 [3] 的综述）。本文正是针对这个开放问题给出了第一个答案。
  • 本文的位置：本文在 Poisson vector 模型（与多项分布渐近等价）下，首次给出了 closeness testing 的局部 minimax 分离速率（至多对数因子），并构造了达到该速率的检验。结果表明，closeness testing 在广泛情形下比 identity testing 本质上更难。

子线索聚类

这些被引文献大致落在三条子线索上： 1. 全局 minimax 速率与最优算法（Chan et al., 2014; Bhattacharya & Valiant, 2015; Diakonikolas et al., 2017）：关注最坏情况下的样本复杂度，构造达到信息论下界的检验器。这一簇的结论是“无论分布形状如何，样本复杂度由 \(n\) 和 \(\varepsilon\) 决定”。 2. 局部 minimax 框架（Balakrishnan & Wasserman, 2017, 2018）：关注速率如何适应于底层分布的形状，在 identity testing 中取得了成功，但 closeness testing 的局部 minimax 定义和速率是开放问题。这一簇的结论是“速率强烈依赖于零假设分布，且 identity testing 的局部速率可以远低于全局速率”。 3. 结构化分布与特殊模型（Diakonikolas et al., 2015; Bhattacharyya & Chakraborty, 2017; Kamath & Tzamos, 2018）：在条件采样模型或结构化分布（如直方图、分段常数分布）下研究 closeness testing，获得更低的样本复杂度。这一簇与本文的局部 minimax 视角有交叉，但关注的是不同的采样模型或分布类。

这个方向在追问的核心问题

  1. closeness testing 的局部 minimax 速率是什么？ 即，给定一个特定的零假设分布 \(p\)（或一对分布 \((p,q)\)），达到可区分性所需的最小分离距离 \(\varepsilon\) 如何依赖于 \(p\) 的形状（如稀疏性、熵、支撑大小）？
  2. 该速率与 identity testing 的局部速率有何关系？ 直觉上，两样本检验比单样本检验更难，但差距有多大？在什么条件下差距最大？
  3. 能否构造达到局部 minimax 速率的检验？ 该检验应能自适应于未知的底层分布形状，而不需要事先知道 \(p\) 的结构。
  4. 局部 minimax 框架能否推广至其他距离度量（如 \(L_2\)、Hellinger）或其他检验问题（如独立性检验）？

当前主流方法与已知瓶颈：主流方法包括基于 \(\chi^2\) 统计量的检验、基于经验 \(L_1\) 距离的检验、以及基于 Poisson 化技巧的检验。瓶颈在于：全局 minimax 速率对稀疏分布过于保守（因为最坏情况分布是均匀分布），而局部 minimax 速率在 closeness testing 中尚未被刻画，因为其定义比 identity testing 更复杂（需要同时考虑两个分布的形状）。

⚠️ 作者的 framing（必须明确标注成“这是作者的说法”）

  • 作者把缺口 frame 成什么：作者声称，Balakrishnan & Wasserman (2017, 2018) 在 identity testing 中发展的局部 minimax 框架“不能直接推广到 closeness testing，因为 closeness testing 的局部 minimax 定义更复杂”（引自 [3] 的综述）。本文的贡献是“首次给出了 closeness testing 的局部 minimax 速率（至多对数因子），并构造了达到该速率的检验”。作者将本文定位为“填补了局部 minimax 框架从 identity testing 到 closeness testing 的空白”。
  • 哪些竞争路线被他淡化或回避了：作者淡化了全局 minimax 框架（Chan et al., 2014）的实用性，认为其“不能保证在所有情况下都是最优的”（引自原文）。作者也回避了结构化分布（Diakonikolas et al., 2017）的路线，没有讨论本文的局部速率与结构化分布假设下的速率之间的关系。
  • 什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里？ 作者没有引用高维多项式的局部 minimax 检验的后续工作（如 Kim, Balakrishnan & Wasserman, 2018 关于投影追踪的鲁棒两样本检验），这些工作虽然针对连续分布，但其局部 minimax 分析思路可能对离散情形有启发。此外，作者没有引用计算-统计权衡（computational-statistical tradeoff）方面的文献——虽然本文是纯信息论分析，但 closeness testing 的计算复杂度（如能否在多项式时间内达到局部 minimax 速率）是一个自然延伸，值得研究者去查。

张力

未见明显对立引用。所有被引工作基本一致地认为：全局 minimax 速率已被精确刻画，局部 minimax 框架在 identity testing 中成功，但在 closeness testing 中是开放问题。唯一的微妙张力在于：Balakrishnan & Wasserman (2017) 指出 identity testing 的局部速率可以远低于全局速率，而本文发现 closeness testing 的局部速率在广泛情形下与全局速率接近（即“closeness testing 比 identity testing 本质上更难”），这暗示了局部 minimax 框架在两种检验问题中的行为有本质差异。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

符号： - \(n\)：离散分布的支撑大小（类别数），即分布定义在 \([n] = \{1, \dots, n\}\) 上。 - \(p, q\)：两个未知的离散分布，即概率向量 \(p = (p_1, \dots, p_n)\)，\(q = (q_1, \dots, q_n)\)，满足 \(\sum_{i=1}^n p_i = \sum_{i=1}^n q_i = 1\)。 - \(X_1, \dots, X_m\)：来自 \(p\) 的独立同分布样本，每个 \(X_j \in [n]\)。 - \(Y_1, \dots, Y_m\)：来自 \(q\) 的独立同分布样本，每个 \(Y_j \in [n]\)。注意：两样本量相等，均为 \(m\)。 - \(\varepsilon\)：分离距离参数，即当 \(p \neq q\) 时，要求 \(\|p - q\|_1 \ge \varepsilon\)。 - \(\delta\)：检验的置信参数，即要求检验以概率至少 \(1 - \delta\) 正确（通常取 \(\delta = 1/3\)）。 - Poisson vector 模型：将多项计数向量 \(N_p = (N_{p,1}, \dots, N_{p,n})\) 和 \(N_q = (N_{q,1}, \dots, N_{q,n})\) 建模为独立 Poisson 随机变量，其中 \(N_{p,i} \sim \text{Pois}(m p_i)\)，\(N_{q,i} \sim \text{Pois}(m q_i)\)。该模型与多项分布模型渐近等价（在总变差距离下），且数学上更易处理。 - 可观测数据：研究者实际能观测到的是计数向量 \(N_p\) 和 \(N_q\)（或等价地，原始样本 \(X_1, \dots, X_m\) 和 \(Y_1, \dots, Y_m\)）。想要但观测不到的是分布 \(p\) 和 \(q\) 本身，以及它们是否相等。

模型： - 数据生成机制：\(N_{p,i} \sim \text{Pois}(m p_i)\)，\(N_{q,i} \sim \text{Pois}(m q_i)\)，所有 \(2n\) 个 Poisson 变量独立。 - 零假设 \(H_0: p = q\)（即对所有 \(i\)，\(p_i = q_i\)）。 - 备择假设 \(H_1: \|p - q\|_1 \ge \varepsilon\)。 - 检验的目标：构造一个检验函数 \(\phi(N_p, N_q) \in \{0, 1\}\)，使得： - 当 \(H_0\) 成立时，\(\mathbb{P}(\phi = 1) \le \delta\)（第一类错误控制）； - 当 \(H_1\) 成立时，\(\mathbb{P}(\phi = 0) \le \delta\)（第二类错误控制）。

可观测数据：计数向量 \(N_p, N_q \in \mathbb{N}^n\)。潜在 / 不可观测：分布 \(p, q\) 本身，以及它们是否相等。识别依赖于假设：样本是独立同分布的，且 Poisson 模型是多项模型的近似。

第二步：讲最小内核

最简特例：考虑 \(n=2\)（二元分布），且 \(p = (1/2, 1/2)\)（均匀分布）。此时 closeness testing 退化为：给定来自 \(p\) 和 \(q\) 的样本，判断 \(q\) 是否等于均匀分布，还是与均匀分布在 \(L_1\) 距离下至少 \(\varepsilon\) 远。注意：这实际上是一个单样本检验（identity testing）问题，因为 \(p\) 已知。但本文处理的是 \(p\) 未知的一般情形，所以即使在这个特例中，\(p\) 也是未知的。

更简单的特例：考虑 \(n=2\)，且 \(p\) 和 \(q\) 都是稀疏的，即 \(p_1 = 1 - \alpha\)，\(p_2 = \alpha\)，\(q_1 = 1 - \beta\)，\(q_2 = \beta\)，其中 \(\alpha, \beta\) 很小（例如 \(\alpha = 1/n\)，\(\beta = 2/n\)）。此时 \(L_1\) 距离为 \(|\alpha - \beta| + |(1-\alpha) - (1-\beta)| = 2|\alpha - \beta|\)。问题简化为：给定来自两个 Bernoulli 分布的样本，判断它们的成功概率是否相等。

最小内核的数学困难：即使在这个二元稀疏特例中，closeness testing 也比 identity testing 更难。原因在于：在 identity testing 中，零假设分布 \(p\) 已知，因此可以构造一个“理想”的检验统计量（如 \(\chi^2\) 统计量），其零分布完全已知。但在 closeness testing 中，零假设 \(p = q\) 下的分布是复合的（因为 \(p\) 未知），检验统计量的零分布依赖于未知的 \(p\)，因此需要更复杂的校准方法（如自归一化、经验零分布）。

本文的关键想法：利用 Poisson 化技巧将问题转化为独立 Poisson 变量的检验，然后构造一个基于经验 \(L_1\) 距离的检验，并通过局部 minimax 分析刻画其分离速率。具体地，检验统计量为：

\[T = \sum_{i=1}^n \left| \frac{N_{p,i}}{m} - \frac{N_{q,i}}{m} \right|.\]
在零假设下，\(T\) 的期望为 0（但方差依赖于 \(p\)）。作者证明，当 \(m\) 足够大时，\(T\) 的分布近似于一个均值为 0、方差为 \(2\sum_i p_i (1-p_i)/m\) 的正态分布。通过精确的偏差分析，作者给出了 \(T\) 在零假设下的尾概率界，并据此构造了拒绝域。

核心命题（最简形式）：在 Poisson 模型下，对于任意分布 \(p\)，存在一个检验 \(\phi\)，使得： - 当 \(p = q\) 时，\(\mathbb{P}(\phi = 1) \le \delta\)； - 当 \(\|p - q\|_1 \ge \varepsilon\) 时，\(\mathbb{P}(\phi = 0) \le \delta\)， 其中 \(\varepsilon\) 满足：

\[\varepsilon \ge C \cdot \max\left\{ \frac{\|p\|_{2/3}^{3/2}}{m^{1/2}}, \frac{\|p\|_{1/2}}{m^{1/2}}, \frac{1}{m^{1/2}} \right\},\]
这里 \(\|p\|_\alpha = (\sum_i p_i^\alpha)^{1/\alpha}\) 是 \(p\) 的 \(\alpha\)-范数，\(C\) 是常数。这个速率是局部 minimax 最优的（至多对数因子）。注意：当 \(p\) 是均匀分布时，\(\|p\|_{2/3}^{3/2} = n^{1/2}\)，\(\|p\|_{1/2} = n\)，速率退化为 \(\varepsilon \ge C \cdot n^{1/2}/m^{1/2}\)，这与全局 minimax 速率一致。但当 \(p\) 稀疏时（如 \(p_1 = 1 - o(1)\)），\(\|p\|_{2/3}^{3/2}\) 和 \(\|p\|_{1/2}\) 都远小于 \(n^{1/2}\)，因此速率可以更快。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：在 Poisson vector 模型下，研究离散分布 closeness testing 的局部 minimax 分离速率，即速率如何适应于底层分布 \(p\) 的形状。
  2. 核心工具 / 方法：利用 Poisson 化技巧、经验过程理论、以及针对 \(L_1\) 距离的精确偏差分析，构造了一个基于经验 \(L_1\) 距离的检验，并给出了其分离速率的上下界。
  3. 主要结论：首次给出了 closeness testing 的局部 minimax 分离速率（至多对数因子），并构造了达到该速率的检验。该速率表明，closeness testing 在广泛情形下比 identity testing 本质上更难。

关键设定与假设

  • Poisson vector 模型：\(N_{p,i} \sim \text{Pois}(m p_i)\)，\(N_{q,i} \sim \text{Pois}(m q_i)\)，所有变量独立。该模型与多项分布模型渐近等价（在总变差距离下），且数学上更易处理。相比已有文献：Chan et al. (2014) 在多项分布模型下工作，本文的 Poisson 化技巧是标准做法。
  • 样本量相等：两样本量均为 \(m\)。相比已有文献：Bhattacharya & Valiant (2015) 处理了不等样本量情形，本文为简化分析假设相等。
  • 检验的置信参数：\(\delta = 1/3\)（固定常数）。相比已有文献：Diakonikolas et al. (2017) 处理了高概率情形（\(\delta = o(1)\)），本文未涉及。
  • 局部 minimax 定义：对于给定的零假设分布 \(p\)，定义分离距离 \(\varepsilon^*(p, m, \delta)\) 为最小的 \(\varepsilon\)，使得存在一个检验 \(\phi\) 满足：
  • 当 \(p = q\) 时，\(\mathbb{P}(\phi = 1) \le \delta\)；
  • 当 \(\|p - q\|_1 \ge \varepsilon\) 时，\(\mathbb{P}(\phi = 0) \le \delta\)。 局部 minimax 速率是 \(\varepsilon^*(p, m, \delta)\) 作为 \(p\) 的函数。相比已有文献：Balakrishnan & Wasserman (2017) 在 identity testing 中使用了类似定义，但 closeness testing 的定义更复杂，因为需要同时考虑 \(p\) 和 \(q\) 的形状。

主要结果

定理 1（上界）：在 Poisson 模型下，对于任意分布 \(p\) 和任意 \(m \ge 1\)，存在一个检验 \(\phi\)，使得： - 当 \(p = q\) 时，\(\mathbb{P}(\phi = 1) \le 1/3\)； - 当 \(\|p - q\|_1 \ge \varepsilon\) 时，\(\mathbb{P}(\phi = 0) \le 1/3\)， 其中

\[\varepsilon \le C \cdot \max\left\{ \frac{\|p\|_{2/3}^{3/2}}{m^{1/2}}, \frac{\|p\|_{1/2}}{m^{1/2}}, \frac{1}{m^{1/2}} \right\} \cdot \log^{1/2}(n),\]
\(C\) 是绝对常数。

定理 2（下界）：对于任意分布 \(p\) 和任意 \(m \ge 1\)，存在一个常数 \(c > 0\)，使得任何检验 \(\phi\) 满足： - 当 \(p = q\) 时，\(\mathbb{P}(\phi = 1) \le 1/3\)； - 当 \(\|p - q\|_1 \ge \varepsilon\) 时，\(\mathbb{P}(\phi = 0) \le 1/3\)， 则必有

\[\varepsilon \ge c \cdot \max\left\{ \frac{\|p\|_{2/3}^{3/2}}{m^{1/2}}, \frac{\|p\|_{1/2}}{m^{1/2}}, \frac{1}{m^{1/2}} \right\}.\]

直觉：上界和下界匹配至多对数因子 \(\log^{1/2}(n)\)，因此局部 minimax 速率由 \(\max\{\|p\|_{2/3}^{3/2}/m^{1/2}, \|p\|_{1/2}/m^{1/2}, 1/m^{1/2}\}\) 刻画。当 \(p\) 是均匀分布时，\(\|p\|_{2/3}^{3/2} = n^{1/2}\)，\(\|p\|_{1/2} = n\)，速率退化为 \(n^{1/2}/m^{1/2}\)，与全局 minimax 速率一致。当 \(p\) 稀疏时（如 \(p_1 = 1 - o(1)\)），\(\|p\|_{2/3}^{3/2} \approx 1\)，\(\|p\|_{1/2} \approx 1\)，速率退化为 \(1/m^{1/2}\)，远快于全局速率。

与 identity testing 的对比：Balakrishnan & Wasserman (2017) 给出 identity testing 的局部 minimax 速率为 \(\max\{\|p\|_{2/3}^{3/2}/m^{1/2}, 1/m^{1/2}\}\)（至多对数因子）。本文的 closeness testing 速率多了一项 \(\|p\|_{1/2}/m^{1/2}\)，且该项在 \(p\) 稀疏时占主导（因为 \(\|p\|_{1/2} \ge \|p\|_{2/3}^{3/2}\)）。因此，closeness testing 比 identity testing 本质上更难，差距最大时可达 \(\sqrt{n}\) 因子。

证明路线与技术技巧

整体路线（3-5 步逻辑主干）： 1. Poisson 化与统计量构造：将多项计数向量 Poisson 化，构造检验统计量 \(T = \sum_i |N_{p,i}/m - N_{q,i}/m|\)。在零假设下，\(T\) 的期望为 0；在备择假设下，\(T\) 的期望至少为 \(\varepsilon\)。 2. 零假设下的尾概率界：利用 Poisson 变量的集中不等式（如 Bernstein 不等式）和 union bound，给出 \(T\) 在零假设下的尾概率界。关键难点在于：\(T\) 是绝对值的和，其分布依赖于未知的 \(p\)。作者通过将 \(T\) 分解为“大偏差项”和“小偏差项”，分别处理。 3. 备择假设下的尾概率界：当 \(\|p - q\|_1 \ge \varepsilon\) 时，需要证明 \(T\) 以高概率大于某个阈值。这需要精确的偏差分析，利用 Poisson 变量的矩生成函数和 Berry-Esseen 型定理。 4. 局部 minimax 下界：通过构造两个难以区分的分布对 \((p, q)\)，使得 \(\|p - q\|_1 \approx \varepsilon\) 但任何检验都无法以高概率区分。构造基于 Le Cam 的 two-point 方法，利用 Poisson 模型下的总变差距离上界。 5. 匹配上下界：证明上界和下界中的 \(\|p\|_{2/3}^{3/2}\) 和 \(\|p\|_{1/2}\) 项是紧的，即存在分布 \(p\) 使得这些项主导速率。

关键跳跃点： - 最吃功夫的引理：引理 4（零假设下的尾概率界）和引理 7（备择假设下的尾概率界）。难点在于：\(T\) 是 \(n\) 个独立 Poisson 变量差的绝对值之和，其分布没有封闭形式。作者通过将 \(T\) 的矩生成函数与 \(\|p\|_\alpha\) 范数联系起来，得到了精确的指数界。 - 作者用什么办法绕过去：作者没有直接处理 \(T\) 的分布，而是构造了一个“去偏”版本 \(T' = \sum_i (|N_{p,i}/m - N_{q,i}/m| - \mathbb{E}|N_{p,i}/m - N_{q,i}/m|)\)，然后利用经验过程理论（empirical process）中的 chaining 技巧控制 \(T'\) 的波动。具体地，作者将 \(T'\) 表示为 \(n\) 个独立随机变量的和，并利用 Bernstein 不等式和 union bound 得到尾概率界。

技术技巧点名： - Poisson 化技巧：将多项分布转化为独立 Poisson 变量，简化了分析（标准技巧，但本文用得巧妙）。 - 经验过程 / chaining：用于控制 \(T'\) 的波动，特别是处理 \(\|p\|_{2/3}^{3/2}\) 项（本文的核心技术贡献之一）。 - Berry-Esseen 型定理：用于备择假设下的尾概率界，给出 \(T\) 的渐近正态性。 - Le Cam 的 two-point 方法：用于局部 minimax 下界，构造难以区分的分布对。 - \(\ell_\alpha\) 范数不等式：用于将 \(\|p\|_{2/3}^{3/2}\) 和 \(\|p\|_{1/2}\) 与 \(T\) 的方差联系起来。

真实例子与应用

本文为纯理论 / 无实证例子。论文没有使用任何真实数据或模拟实验来验证理论结果。所有结论都是理论性的，包括上下界的证明和速率刻画。作者在结论部分提到，构造一个“实际可用的、达到局部 minimax 速率的检验”是未来工作，暗示本文的检验可能不是最实用的（例如，阈值依赖于未知的 \(\|p\|_\alpha\) 范数，需要自适应估计）。

🔎 结论是否比证明窄

  • 窄结论 1：定理 1 的上界包含对数因子 \(\log^{1/2}(n)\)，但定理 2 的下界没有对数因子。作者声称“至多对数因子”，但并未证明对数因子是否可以去掉。这是一个明显的 gap，值得研究者去查：是否可以通过更精细的 chaining 或不同的统计量去掉对数因子？
  • 窄结论 2：本文假设两样本量相等（均为 \(m\)）。作者在结论部分提到，不等样本量情形是未来工作，但未给出任何结果。因此，本文的结论不能直接推广到不等样本量情形。
  • 窄结论 3：本文的检验依赖于未知的 \(\|p\|_\alpha\) 范数（因为阈值需要知道这些范数）。作者没有构造一个完全自适应的检验（即不需要知道 \(p\) 的范数）。因此，本文的检验是“存在性”结果，而非“可实施”的算法。作者在结论部分提到，可以通过“plug-in”方法估计这些范数，但未给出理论保证。

四、开放问题（点到为止，扎根具体语句）

  1. 去掉对数因子：定理 1 的上界包含 \(\log^{1/2}(n)\) 因子，但定理 2 的下界没有。能否通过更精细的 chaining 或不同的统计量（如基于 \(\chi^2\) 的统计量）去掉这个因子？扎根：定理 1 的陈述中明确包含 \(\log^{1/2}(n)\)，而定理 2 没有。
  2. 不等样本量情形：本文假设两样本量相等。能否将局部 minimax 框架推广至不等样本量情形？扎根：结论部分提到“不等样本量情形是未来工作”。
  3. 自适应检验：本文的检验依赖于未知的 \(\|p\|_\alpha\) 范数。能否构造一个完全自适应的检验（即不需要知道 \(p\) 的范数），同时达到局部 minimax 速率？扎根：结论部分提到“可以通过 plug-in 方法估计这些范数”，但未给出理论保证。
  4. 推广至其他距离度量：本文只考虑了 \(L_1\) 距离。能否将局部 minimax 框架推广至 \(L_2\)、Hellinger 或其他距离度量？扎根：引言部分提到“本文的方法可以推广至其他距离度量”，但未给出具体结果。
  5. 计算-统计权衡：本文是纯信息论分析。closeness testing 的局部 minimax 速率是否可以在多项式时间内达到？是否存在计算-统计 gap？扎根：本文未讨论计算复杂度，但这是自然延伸。建议研究者去查近期关于“计算-统计权衡”的文献（如低度多项式障碍、SQ 下界），看是否有相关结果。

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