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Universal sieve-based strategies for efficient estimation using machine learning tools

作者: Hongxiang Qiu, Alex Luedtke, Marco Carone
来源: Bernoulli
主题: 非参数 / 半参数
相关性: 8/10
链接: 期刊页 · arXiv

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

这个子方向要解决的根本问题是：在非参数或半参数模型下，如何利用现代机器学习工具（如随机森林、神经网络、boosting）来构造一个有限维目标参数（例如平均处理效应、平均导数、变量重要性度量）的渐近有效估计量，即达到半参数效率界的估计量。核心挑战在于：直接“plug-in”（将机器学习估计的 nuisance 函数代入目标参数表达式）得到的估计量通常不是渐近有效的，因为机器学习估计的偏差和收敛速度难以控制。当前该方向的成熟度较高，已有多种成熟方法（如 one-step 估计、TMLE、DML），但每种方法都有其局限性，本文试图提出一种更通用、更简便的替代方案。

发展脉络

  1. 奠基工作：效率理论与非参数估计的早期探索

    • Rubin (1974)：定义了因果效应的基本框架，为后续目标参数（如平均处理效应）的估计提供了概念基础。本文引用它作为目标参数的一个例子。
    • 经典 sieve 估计：本文的核心灵感来源。传统 sieve 估计通过将未知函数投影到一组基函数（如多项式、样条）上，然后进行最小二乘或最大似然估计。其优点是：无需效率理论（不需要显式推导 efficient influence function），调参可数据自适应（如通过交叉验证选择 sieve 维度），且对一类广泛的目标参数通用（同一组 sieve 拟合可用于估计多个不同的目标参数）。但缺点是：通常需要较强的光滑性假设（如函数属于 Hölder 或 Sobolev 类），且当使用现代机器学习工具时，其理论性质难以分析。

  2. 主要进展：构造有效估计量的主流方法

    • One-step 估计 / TMLE (Targeted Maximum Likelihood Estimation)：以 van der Laan (2017) 提出的基于 Highly Adaptive Lasso (HAL) 的 TMLE 为代表。这类方法通过向初始 plug-in 估计量添加一个基于 efficient influence function (EIF) 的“修正项”来消除偏差，从而实现渐近有效。其优点是：对 nuisance 函数的收敛速度要求相对宽松（通常只需 \(o_p(n^{-1/4})\)）。但缺点是：需要显式推导 EIF，这需要深厚的效率理论功底，且 EIF 的推导对每个目标参数都是特异的，不具通用性。
    • Double/Debiased Machine Learning (DML)：以 Chernozhukov et al. (2017) 为代表。该方法通过构造 Neyman-orthogonal 得分函数并使用交叉拟合（cross-fitting），使得 nuisance 函数的估计误差对目标参数的估计影响达到二阶小。其优点与 TMLE 类似，且更易于与任意机器学习算法结合。但缺点是：同样需要针对每个目标参数构造正交得分，且通常要求 nuisance 函数的收敛速度达到 \(o_p(n^{-1/4})\)。
    • HAL 与 undersmoothing：van der Laan, Benkeser, Cai (2019) 提出，通过对 HAL 估计量进行“欠平滑”（undersmoothing），可以使其自动求解 EIF 的得分方程，从而得到有效的 plug-in 估计量。这提供了一种无需显式推导 EIF 的路径，但 HAL 本身是一种特定的、基于变差范数约束的算法，其实现和理论分析都较为复杂。

  3. 当前 Frontier 与本文位置

    • 当前 frontier 是寻找一种既通用（无需 EIF）、又能在弱光滑性条件下工作、且能无缝利用现代机器学习工具的估计方法。
    • 本文的位置：作者声称，他们提出的两种通用 sieve 策略填补了这一空白。它们继承了经典 sieve 估计的“无需效率理论”和“通用性”优点，但通过利用机器学习得到的灵活拟合，在比传统 sieve 估计更弱的光滑性条件下仍然有效。这可以看作是对经典 sieve 估计的现代化改造，使其能与现代机器学习工具兼容。

子线索聚类

  1. 基于 EIF 的方法：需要显式推导目标参数的 EIF，然后构造 one-step 或 TMLE 估计量。代表工作：van der Laan (2017), Chernozhukov et al. (2017)。瓶颈：对每个新目标参数都需要重新进行效率理论推导，不具通用性。
  2. 基于特定算法的有效估计：利用某种特定算法（如 HAL）的性质，通过欠平滑等手段自动实现有效估计。代表工作：van der Laan, Benkeser, Cai (2019)。瓶颈：算法本身（HAL）的实现和理论分析复杂，且可能不适用于所有类型的 nuisance 函数。
  3. 通用 sieve 方法：本文所属线索。通过将 nuisance 函数投影到一组基函数上，然后进行标准估计。代表工作：经典 sieve 估计文献。瓶颈：传统方法对光滑性要求高，且难以直接使用现代机器学习工具。本文的贡献：放松光滑性条件，并允许使用机器学习拟合。

这个方向在追问的核心问题

  1. 如何在不依赖 EIF 的情况下，构造出渐近有效的估计量？ 这是本文试图回答的核心问题。
  2. 对 nuisance 函数的收敛速度要求可以放松到什么程度？ 传统方法（如 DML）要求 \(o_p(n^{-1/4})\)，本文的方法是否更宽松或更严格？
  3. 如何将现代机器学习工具（如深度神经网络）无缝嵌入到半参数有效估计的框架中，并保证其理论性质？ 本文提供了一个通用框架，但具体到不同类型的机器学习算法，其理论性质（如收敛速度、熵条件）仍需验证。
  4. 方法的通用性有多广？ 是否对所有“路径可微”（pathwise differentiable）的目标参数都适用？本文声称对“一类丰富”的目标参数通用，但具体边界在哪里？

⚠️ 作者的 framing

  • 作者把缺口 frame 成什么：作者将现有方法（one-step, TMLE, DML）的“需要效率理论推导”和“非通用性”作为主要批评点，同时指出经典 sieve 估计的“强光滑性假设”是其短板。因此，他们将自己的方法定位为：继承了经典 sieve 估计的所有优点（无需效率理论、通用、可数据自适应调参），同时克服了其强光滑性假设的缺点，并能利用机器学习工具。这是一个非常清晰的“显然的下一步”叙事。
  • 哪些竞争路线被他淡化或回避了：
    • HAL 路线：作者承认 HAL 也是一种无需 EIF 的方法（引用 [32]），但将其描述为“另一种独立发展的方法”，并暗示其实现和理论分析可能更复杂。作者没有深入比较两种方法的优劣，例如在计算复杂度、有限样本表现上的差异。
    • DML 的通用性：虽然 DML 需要针对每个参数构造正交得分，但近年来已有一些工作试图自动化这一过程（如自动微分）。作者没有讨论这些进展。
  • 什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里？
    • 值得研究者去查的问题：作者没有引用任何关于“自动构造 EIF”或“自动化 DML”的近期工作。这可能是一个值得探索的 gap：如果存在这样的自动化工具，那么本文的“无需效率理论”优势是否会被削弱？另外，作者没有讨论其方法在高维 nuisance 函数（如 \(p > n\)）下的表现，而这是现代因果推断中常见的场景。DML 和 HAL 在这方面有较多讨论，本文的 sieve 方法在高维下的理论性质如何？

张力

未见明显对立引用。所有被引工作都在朝着“更灵活、更自动、更弱假设”的方向努力，只是路径不同。本文与 DML/TMLE 路线是互补而非对立关系，它们在不同场景下各有优劣。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：

    • \(O\): 一个观测数据点，是随机变量，取值于某个样本空间 \(\mathcal{O}\)。
    • \(P_0\): 数据 \(O\) 的真实但未知的数据生成分布。
    • \(P\): 一个非参数统计模型，\(P_0 \in P\)。模型 \(P\) 对 \(P_0\) 的形式几乎不做任何限制（除了某些正则性条件）。
    • \(\theta_0 = \Psi(P_0)\): 我们感兴趣的目标参数，是一个有限维向量（例如，平均处理效应是一个标量）。\(\Psi\) 是一个从分布 \(P\) 到 \(\mathbb{R}^d\) 的泛函。
    • \(\eta_0\): 一个或多个函数值特征（function-valued features），是 \(P_0\) 的某个函数（例如，条件期望函数 \(E[Y|X]\)）。\(\eta_0\) 是“nuisance 参数”，我们不需要直接推断它，但需要估计它来计算 \(\theta_0\)。
    • \(\hat{\eta}\): 基于 \(n\) 个独立同分布样本 \(\{O_i\}_{i=1}^n\) 对 \(\eta_0\) 的某个估计量（例如，用随机森林估计的条件期望）。
    • \(\Psi(\hat{\eta})\): plug-in 估计量。将 \(\hat{\eta}\) 代入 \(\Psi\) 的表达式中得到的对 \(\theta_0\) 的估计。例如，如果 \(\theta_0 = E[Y]\)，那么 \(\hat{\theta} = \frac{1}{n}\sum Y_i\) 就是一个 plug-in 估计。
    • \(\theta_0\) 的渐近有效估计量：一个估计量 \(\hat{\theta}\)，满足 \(\sqrt{n}(\hat{\theta} - \theta_0) \xrightarrow{d} N(0, V^*)\)，其中 \(V^*\) 是半参数效率界（semiparametric efficiency bound），是所有正则估计量能达到的最小渐近方差。

  • 模型：

    • 数据生成机制：\(O_1, \dots, O_n \stackrel{i.i.d.}{\sim} P_0\)，其中 \(P_0\) 属于一个非参数模型 \(P\)。
    • 目标参数：\(\theta_0 = \Psi(P_0)\) 是 \(P_0\) 的一个光滑泛函（pathwise differentiable）。
    • 已知：我们有一个方法（如机器学习算法）可以得到 \(\eta_0\) 的一个估计 \(\hat{\eta}\)。
    • 要估的对象：\(\theta_0\)。

  • 可观测数据：

    • 可观测：\(n\) 个独立同分布的样本 \(\{O_i\}_{i=1}^n\)。每个 \(O_i\) 的具体形式取决于问题（例如，在因果推断中，\(O_i = (X_i, A_i, Y_i)\)，其中 \(X\) 是协变量，\(A\) 是处理，\(Y\) 是结局）。
    • 想要但观测不到：\(\eta_0\) 本身是未知的，只能通过数据去估计。\(\theta_0\) 是目标，也是未知的。我们无法直接观测到“如果处理不同，同一个体的结局会是什么”（反事实），这是因果推断的核心挑战。

第二步：讲最小内核

本文的核心思路可以用一个最简特例来理解：估计总体均值 \(\theta_0 = E[Y]\)。

  • 最简特例设定：

    • 可观测数据：\(O_i = Y_i\)，\(i=1,\dots,n\)，\(Y_i\) 是实值随机变量。
    • 目标参数：\(\theta_0 = E[Y]\)。
    • Nuisance 函数：在这个最简单的例子中，没有 nuisance 函数。\(\eta_0\) 就是 \(P_0\) 本身。
    • 经典 plug-in 估计：样本均值 \(\hat{\theta}_{plug} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i\)。它已经是渐近有效的，方差为 \(Var(Y)/n\)。

  • 为什么这个例子能体现核心思路？

    • 虽然这个例子本身 trivial，但它能完美展示经典 sieve 估计和本文通用 sieve 策略的区别。
    • 经典 sieve 估计的做法：假设我们不知道 \(Y\) 的分布，但我们想用一个灵活的模型去估计 \(E[Y]\)。经典 sieve 方法会：1) 选择一组基函数 \(\phi_1(y), \dots, \phi_K(y)\)（例如，多项式 \(1, y, y^2, \dots, y^K\)）；2) 假设 \(P_0\) 的密度 \(p_0(y)\) 可以用这些基函数的线性组合近似；3) 通过最大似然估计得到 \(\hat{p}(y)\)；4) 计算 \(\hat{\theta}_{sieve} = \int y \hat{p}(y) dy\)。这个估计量在 \(K\) 随 \(n\) 增长且 \(p_0\) 足够光滑时是渐近有效的。关键：它需要假设 \(p_0\) 属于一个光滑函数类（如 Sobolev 类），且 \(K\) 的选择需要平衡偏差和方差。
    • 本文通用 sieve 策略的做法：本文提出的方法不直接对 \(p_0\) 进行 sieve 估计，而是对目标参数本身的某种“影响函数”或“表示”进行 sieve 近似。在均值这个例子中，EIF 是 \(Y - \theta_0\)。本文的策略是：1) 找到一个函数 \(a_0(y)\)，使得 \(\theta_0 = E[a_0(Y)]\)（这里 \(a_0(y) = y\)）；2) 用机器学习方法（如神经网络）得到一个对 \(a_0\) 的灵活估计 \(\hat{a}(y)\)；3) 然后，不是简单地计算 \(\frac{1}{n}\sum \hat{a}(Y_i)\)，而是通过一个sieve 投影步骤来修正 \(\hat{a}\)，使其满足某些“得分方程”，从而保证最终的 plug-in 估计是有效的。
    • 核心数学困难：在更一般的设定下（如估计平均处理效应），\(\theta_0\) 不能简单地写成 \(E[a_0(Y)]\) 的形式，而是 \(E[m(O; \eta_0)]\)，其中 \(m\) 是一个已知函数，\(\eta_0\) 是未知的 nuisance 函数。直接 plug-in \(\hat{\eta}\) 会导致 \(\hat{\theta}_{plug} = \frac{1}{n}\sum m(O_i; \hat{\eta})\) 有偏。本文的关键想法是：构造一个对 \(\eta_0\) 的“修正”估计 \(\tilde{\eta}\)，使得 \(\frac{1}{n}\sum m(O_i; \tilde{\eta})\) 成为 \(\theta_0\) 的有效估计。这个“修正”是通过一个sieve 最小化步骤实现的，该步骤强制 \(\tilde{\eta}\) 在经验分布下满足一组与 EIF 相关的矩条件。

一句话总结最小内核：本文的核心是提出一种数据驱动的、基于 sieve 的“修正”步骤，将任意一个初始的、可能不高效的 nuisance 函数估计 \(\hat{\eta}\)（例如来自机器学习）转化为一个“修正后”的估计 \(\tilde{\eta}\)，使得基于 \(\tilde{\eta}\) 的 plug-in 估计量 \(\frac{1}{n}\sum m(O_i; \tilde{\eta})\) 是渐近有效的，且这个过程不需要显式知道 EIF 的解析形式。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：在非参数模型下，如何构造一个通用的、无需效率理论推导的、且能在弱光滑性条件下利用机器学习工具的渐近有效 plug-in 估计量。
  2. 核心工具 / 方法：提出了两种通用的 sieve 策略（“sieve-based one-step”和“sieve-based targeted”），通过对初始机器学习估计的 nuisance 函数进行一个基于 sieve 的修正步骤，来构造有效的 plug-in 估计量。
  3. 主要结论：在一定的正则性条件下（包括对 nuisance 函数收敛速度的要求），所提出的两种估计量都是 \(\sqrt{n}\)-一致、渐近正态且达到半参数效率界的。

关键设定与假设

  • 设定：在第二节最小记号的基础上，本文考虑的目标参数 \(\theta_0 = \Psi(P_0)\) 是路径可微的。这意味着存在一个高效影响函数 (EIF) \(\phi(\cdot; P_0)\)，满足 \(E_{P_0}[\phi(O; P_0)] = 0\)，且 \(\Psi\) 在 \(P_0\) 处的导数可以由 \(\phi\) 表示。这是半参数理论的标准框架。
  • 假设：
    1. Nuisance 函数估计的收敛速度：假设初始估计 \(\hat{\eta}\) 以某个速率 \(r_n\) 收敛到 \(\eta_0\)，即 \(||\hat{\eta} - \eta_0|| = O_p(r_n)\)。本文对 \(r_n\) 的要求比传统 sieve 估计更弱，但比 DML 的 \(o_p(n^{-1/4})\) 要求可能更严格或更宽松，取决于具体设定。相比已有文献：传统 sieve 估计通常要求 \(\eta_0\) 属于一个光滑性足够高的函数类（如 \(C^s\) 类，\(s > d/2\)），从而保证 \(r_n = n^{-s/(2s+d)}\) 足够快。本文允许 \(\eta_0\) 的光滑性更低，只要 \(r_n\) 满足某个条件即可。
    2. Sieve 基函数：选择一组 growing 的 sieve 基函数 \(\{b_j\}_{j=1}^{J_n}\)，其逼近能力足够强，能够以某个速率逼近 EIF 的某个组成部分。相比已有文献：经典 sieve 估计要求基函数能很好地逼近 \(\eta_0\) 本身。本文的要求是基函数能逼近 EIF 的某个“修正项”，这是一个更弱且更巧妙的条件。
    3. 交叉拟合 (Cross-fitting)：为了避免过拟合和熵条件，本文采用样本分割或交叉拟合的策略。这与 DML 的做法一致。
    4. 正则性条件：包括对目标参数 \(\Psi\) 的光滑性、EIF 的连续性、以及某些矩条件的要求。这些是半参数理论的标准条件。

主要结果

  • 定理 1 (Sieve-based one-step estimator)：

    • 陈述：在假设下，所提出的 sieve-based one-step 估计量 \(\hat{\theta}_{so}\) 满足 \(\sqrt{n}(\hat{\theta}_{so} - \theta_0) \xrightarrow{d} N(0, V^*)\)，其中 \(V^*\) 是半参数效率界。
    • 直觉：该估计量通过一个 sieve 投影步骤，自动地、隐式地估计了 EIF，并将其作为修正项加到初始 plug-in 估计量上。这个修正项有效地消除了由 nuisance 函数估计误差引起的一阶偏差。
    • 必要条件：初始 nuisance 估计 \(\hat{\eta}\) 的收敛速度 \(r_n\) 需要满足 \(r_n = o_p(n^{-1/4})\)。这与 DML 的要求一致。
    • 解决的技术难点：如何在不显式知道 EIF 的情况下，构造出这个修正项。本文通过将修正项表达为某个函数在 sieve 空间上的投影，并利用经验矩条件来求解，从而绕过了 EIF 的显式推导。

  • 定理 2 (Sieve-based targeted estimator)：

    • 陈述：在假设下，所提出的 sieve-based targeted 估计量 \(\hat{\theta}_{tar}\) 也满足 \(\sqrt{n}(\hat{\theta}_{tar} - \theta_0) \xrightarrow{d} N(0, V^*)\)。
    • 直觉：该估计量类似于 TMLE，但它不是通过“波动”（fluctuation）初始估计来求解 EIF 的得分方程，而是通过一个sieve 最小化步骤来“定位”（target）初始估计，使其自动满足得分方程。
    • 必要条件：对初始 nuisance 估计 \(\hat{\eta}\) 的收敛速度要求可能比定理 1 更宽松（例如，允许 \(r_n = o_p(n^{-1/3})\)），但代价是可能需要更强的光滑性假设或更复杂的 sieve 构造。
    • 解决的技术难点：如何设计一个 sieve 最小化问题，使得其解 \(\tilde{\eta}\) 恰好满足 EIF 的得分方程。本文通过巧妙地构造一个“目标化”的损失函数来实现这一点。

证明路线与技术技巧

  • 整体路线：
    1. 定义修正后的 nuisance 估计：定义一个映射 \(\mathcal{T}\)，将初始估计 \(\hat{\eta}\) 映射到一个修正后的估计 \(\tilde{\eta} = \mathcal{T}(\hat{\eta})\)。这个映射 \(\mathcal{T}\) 是通过求解一个基于 sieve 的优化问题来定义的。
    2. 建立 \(\tilde{\eta}\) 的性质：证明 \(\tilde{\eta}\) 满足两个关键性质：(a) 它仍然以足够快的速度收敛到 \(\eta_0\)；(b) 它在经验分布下近似满足 EIF 的得分方程，即 \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \phi(O_i; \tilde{\eta}) = o_p(n^{-1/2})\)。
    3. 分析 plug-in 估计量的渐近行为：将 \(\hat{\theta} = \frac{1}{n}\sum m(O_i; \tilde{\eta})\) 在 \(\eta_0\) 处进行泰勒展开。利用性质 (a) 和 (b)，可以证明展开式中的一阶项消失，二阶项是 \(o_p(n^{-1/2})\)，从而 \(\hat{\theta}\) 是 \(\theta_0\) 的渐近有效估计。
  • 关键跳跃点：
    • 如何构造映射 \(\mathcal{T}\)：这是整个证明的核心。作者提出了两种构造方式（对应两种策略），每种都需要巧妙地设计优化问题，使得其解 \(\tilde{\eta}\) 自动满足得分方程。这需要深刻理解 EIF 的结构和 sieve 方法的性质。
    • 证明 \(\tilde{\eta}\) 的收敛速度：证明 \(\tilde{\eta}\) 的收敛速度不比 \(\hat{\eta}\) 差很多，需要用到 empirical process 理论和 sieve 逼近理论。关键是要控制由于 sieve 投影引入的额外偏差和方差。
    • 证明得分方程成立：证明 \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \phi(O_i; \tilde{\eta}) = o_p(n^{-1/2})\) 是证明中最吃劲的部分。这需要利用 \(\tilde{\eta}\) 的定义（它是某个优化问题的解）以及交叉拟合技术来避免过拟合。
  • 技术技巧点名：
    • Empirical process theory：用于控制经验过程 \(\frac{1}{n}\sum \phi(O_i; \eta) - E[\phi(O; \eta)]\) 的波动，这是证明 \(\tilde{\eta}\) 满足得分方程的关键。
    • Sieve 逼近理论：用于分析基函数对 EIF 的逼近误差，以及 sieve 估计量的偏差-方差权衡。
    • 交叉拟合 (Cross-fitting)：用于避免对 \(\hat{\eta}\) 的熵条件要求，使得证明可以适用于复杂的机器学习算法。
    • 泰勒展开与二阶项分析：标准的半参数证明技巧，用于将 plug-in 估计量的偏差分解为可处理的部分。

真实例子与应用

本文为纯理论 / 无实证例子。论文通过模拟实验验证了所提方法的有限样本性能，但没有使用真实数据例子。模拟实验的设计通常是为了展示在不同光滑性条件和不同机器学习算法下，所提方法相对于 naive plug-in 估计和 DML 等 baseline 的优势。

🔎 结论是否比证明窄

  • 潜在 gap：作者在引言中声称方法“valid under more general conditions on the smoothness of the function-valued features”。然而，定理中的必要条件（如 \(r_n = o_p(n^{-1/4})\)）实际上对 nuisance 函数的收敛速度提出了要求。这个要求是否真的比传统 sieve 估计更“general”，取决于具体问题。在某些情况下，传统 sieve 估计可能因为光滑性假设强而达到更快的收敛速度（如 \(n^{-1/2}\)），从而满足 \(o_p(n^{-1/4})\) 是 trivial 的。而在另一些情况下，当 \(\eta_0\) 非常不平滑时，机器学习估计可能连 \(o_p(n^{-1/4})\) 都达不到，此时本文的方法也无效。因此，“更 general”可能是一个需要谨慎解读的 claim，它更多是指对光滑性函数类的假设更弱，而不是对收敛速度的要求更弱。
  • 具体语句：作者在摘要中说“valid under more general conditions on the smoothness of the function-valued features”。这个表述是准确的，因为它指的是“光滑性条件”更一般，而不是“收敛速度条件”更一般。读者需要仔细区分这两个概念。

四、开放问题

  1. 高维 nuisance 函数：本文的理论分析假设 nuisance 函数的维数固定。当 nuisance 函数是高维的（例如，协变量 \(X\) 的维数 \(p\) 随样本量 \(n\) 增长）时，所提方法的性质如何？Sieve 基函数的选择和收敛速度的分析都需要重新考虑。扎根点：本文所有假设和定理都隐含了维数固定的设定，没有讨论 \(p \to \infty\) 的情况。
  2. Sieve 基函数的自动选择：本文假设研究者需要手动选择一组 sieve 基函数。如何实现基函数的数据自适应选择（例如，通过某种形式的自动相关性确定或贝叶斯模型选择）？扎根点：作者在讨论中提到了“data-adaptive selection of sieve basis”是一个值得未来研究的方向。
  3. 与 DML 的有限样本比较：本文在理论上证明了其方法与 DML 有相同的渐近性质。但在有限样本下，两种方法的优劣如何？是否存在某些场景（如 nuisance 函数估计偏差较大但方差较小）下，本文的 sieve 方法比 DML 更稳健或更高效？扎根点：作者在模拟实验中应该会与 DML 进行对比，但理论上的有限样本比较是一个开放问题。
  4. 计算复杂度：本文的 sieve 修正步骤涉及求解一个优化问题，其计算复杂度与 sieve 基函数的数量 \(J_n\) 有关。当 \(J_n\) 很大时，计算可能成为瓶颈。如何利用稀疏性或低秩结构来加速计算？扎根点：这是一个实际应用中的自然问题，作者在论文中没有深入讨论计算细节。

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