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Robust Inference for Weighted Estimands

作者: Vod Vilfort
主题: 因果推断
相关性: 8/10
链接: https://arxiv.org/abs/2607.07524

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本方向研究加权估计量（weighted estimands）的稳健推断。在许多实证研究中，目标参数可以表示为组级参数（如队列级ATT、站点级ATE）的加权平均。当处理效应存在异质性时，不同的权重选择会导致不同的估计量，从而产生不同的实证和政策含义。这带来了两个核心问题：(i) 研究者模糊性——研究者自己难以确定最合适的权重；(ii) 读者分歧——不同读者基于不同的政策问题或先验偏好，可能偏好不同的权重。当前实践通常通过报告少数几种权重方案下的结果来评估稳健性，但这种方法只考虑有限个离散的权重选择，且缺乏形式化的推断保证。本文旨在开发一套统一的推断程序，直接处理权重选择带来的模糊性和分歧。

发展脉络（history）

  • 奠基工作：揭示负权重问题。De Chaisemartin and d’Haultfoeuille (2020) 和 Goodman-Bacon (2021) 指出，传统双向固定效应（TWFE）估计量在异质性处理效应下可能对某些组级效应赋予负权重，导致估计量难以解释。Sun and Abraham (2021) 和 Borusyak, Jaravel and Spiess (2024) 提出了避免负权重的替代估计量，但引入了新的自由度——研究者必须决定使用哪些正权重。
  • 主要进展：强调权重选择的主观性与政策相关性。Callaway and Sant’Anna (2021) 明确主张权重应服务于具体的实证或政策问题，不同读者可能偏好不同权重。Aronow and Samii (2016) 从“有效样本”角度解释了加权估计量的代表性。Mogstad and Torgovitsky (2024) 讨论了工具变量设定中目标参数的选择与估计精度的权衡。
  • 当前frontier：从“报告几种权重”到“形式化稳健推断”。Armstrong, Kline and Sun (2025) 展示了TWFE在方差效率上的优势，但未解决权重分歧下的推断问题。Kwon and Sun (2025) 研究了有界异质性下的最优聚合，但需要预先设定异质性上界。本文的位置：它不要求预设异质性上界，而是通过推断异质性本身来构造对一类权重一致有效的置信区间。
  • 本文的位置：作者将缺口frame为“现有稳健性检验只考虑有限个离散权重，缺乏形式化推断保证”，从而将本文定位为“直接处理权重模糊性与分歧的统一推断框架”。

子线索聚类

  1. 负权重与TWFE的替代方案：De Chaisemartin and d’Haultfoeuille (2020), Goodman-Bacon (2021), Sun and Abraham (2021), Borusyak, Jaravel and Spiess (2024), Callaway and Sant’Anna (2021), Gardner (2022), Wing, Freedman and Hollingsworth (2024)。这一簇关注如何定义和估计避免负权重的加权估计量。
  2. 加权估计量的解释与代表性：Yitzhaki (1996), Angrist (1998), Aronow and Samii (2016), Sloczyński (2022), Goldsmith-Pinkham, Hull and Kolesár (2024), Li, Morgan and Zaslavsky (2018)。这一簇关注加权估计量对应什么“有效样本”或“目标总体”。
  3. 有界异质性下的最优推断：Armstrong and Kolesár (2018, 2020, 2021a,b), Kwon and Sun (2025)。这一簇通过预设异质性上界来构造偏差感知置信区间，但需要研究者指定上界。
  4. 多站点实验的外部有效性：Allcott (2015), Hotz, Imbens and Mortimer (2005), Stuart et al. (2011)。这一簇关注如何将站点级ATE推广到目标总体，通常需要协变量偏移假设。

这个方向在追问的核心问题

  • 核心问题1：如何形式化地衡量不同加权估计量之间的差异？——本文用“异质性×权重距离”的乘积来界定。
  • 核心问题2：如何在不预设异质性上界的前提下，对一类加权估计量进行有效推断？——本文通过推断异质性（构造异质性UCB）来解决。
  • 核心问题3：如何选择“最优”的权重，使其对一类替代权重的偏差最小？——本文提出minimax-bias权重。
  • 已知瓶颈：现有方法要么只考虑离散的权重选择（缺乏形式化保证），要么需要预设异质性上界（可能被违反导致覆盖不足）。

⚠️ 作者的framing

  • 作者把缺口frame成：现有稳健性检验只考虑有限个离散权重，且缺乏形式化推断保证。因此，本文是“显然的下一步”——提供一个统一的、有形式化保证的框架。
  • 被淡化或回避的竞争路线：Armstrong and Kolesár (2018, 2020, 2021a,b) 的偏差感知CI被明确讨论（Section 4.2），但作者强调其需要预设异质性上界，而本文通过推断异质性来避免这一要求。作者未深入讨论Kwon and Sun (2025) 的最优聚合方法。
  • 什么明显该被引/该存在、却没出现在intro里：作者未引用关于高维U统计量计算复杂度（如treewidth/tensor contraction）的文献，也未引用关于统计-计算权衡（如低度多项式障碍）的文献。这可能是由于本文聚焦于低维（K固定）设定，且计算问题（GLS回归）是平凡的。但若考虑K增长的情况，计算复杂度可能成为瓶颈——这是一个值得研究者去查的问题。

张力

未见明显对立引用。各被引工作基本在互补的设定下推进，未发现彼此矛盾或在不同条件下得相反结论的情况。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：符号、模型、可观测数据交代清楚

符号： - \( \theta = (\theta_1, \ldots, \theta_K)' \in \mathbb{R}^K \)：组级参数向量（如队列级ATT、站点级ATE）。这是要估计的未知量。 - \( \tau_w(\theta) = w'\theta = \sum_{k=1}^K w_k \theta_k \)：加权估计量，其中 \( w \in \mathcal{W} = \{ w \in \mathbb{R}^K : 1'w = 1 \} \) 是权重向量。这是目标参数。 - \( \hat{\theta} \in \mathbb{R}^K \)：组级参数的估计量。这是可观测的。 - \( \Sigma \in \mathbb{R}^{K \times K} \)：\( \hat{\theta} \) 的协方差矩阵（已知或可一致估计）。这是已知或可估计的。 - \( \Lambda \subseteq \mathcal{W} \)：替代权重类（非空、紧、凸）。这是研究者指定的。 - \( H(\theta) = \sqrt{ \min_{\gamma \in \mathbb{R}} (\theta - 1\gamma)' \Sigma^{-1} (\theta - 1\gamma) } \)：参数异质性（GLS残差平方和的平方根）。这是要推断的未知量。 - \( \| \lambda - w \|_\Sigma = \sqrt{ (\lambda - w)' \Sigma (\lambda - w) } \)：权重距离（标准偏差范数）。这是已知或可估计的（给定\(\Sigma\)和\(\lambda, w\)）。

模型： - 正态模型（Section 2-4的基础）：\( \hat{\theta} \sim N(\theta, \Sigma) \)，其中\(\Sigma\)已知正定。这是为了推导精确有限样本性质而做的理想化假设。 - 渐近模型（Section 5）：\( \sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta(P_n)) \xrightarrow{d} N(0, \Sigma(P_n)) \)，且存在一致协方差估计量\( \hat{\Sigma}_n \)。这是实际应用中的工作模型。

可观测数据： - 可观测：\( \hat{\theta} \)（组级参数估计量）、\( \hat{\Sigma} \)（协方差矩阵估计量）、基线权重\( w \)（研究者指定）、替代权重类\( \Lambda \)（研究者指定，可能依赖数据如\( \hat{\Sigma}, \hat{w}, \hat{X} \)）。 - 不可观测/潜在：真实参数\( \theta \)、异质性\( H(\theta) \)、替代权重\( \lambda \in \Lambda \)对应的真实估计量\( \tau_\lambda(\theta) \)。

第二步：最小内核——最简特例

最简特例：\( K = 2 \)个组，\( \Sigma = \sigma^2 I \)（同方差且独立），基线权重\( w = (1, 0)' \)（只关注组1），替代权重类\( \Lambda = \{ \lambda \in \mathcal{W} : \lambda \geq 0 \} \)（单纯形，即所有凸组合）。

在这个特例下： - 参数：\( \theta = (\theta_1, \theta_2)' \)。 - 基线估计量：\( \tau_w(\theta) = \theta_1 \)，估计量\( \hat{\tau}_w = \hat{\theta}_1 \)，方差\( \sigma^2 \)。 - 替代估计量：\( \tau_\lambda(\theta) = \lambda_1 \theta_1 + \lambda_2 \theta_2 \)，其中\( \lambda_1 + \lambda_2 = 1, \lambda_1, \lambda_2 \geq 0 \)。 - 异质性：\( H(\theta) = \sqrt{ \frac{(\theta_1 - \theta_2)^2}{2\sigma^2} } = \frac{|\theta_1 - \theta_2|}{\sqrt{2}\sigma} \)。当\( \theta_1 = \theta_2 \)时，\( H(\theta) = 0 \)。 - 权重距离：\( \| \lambda - w \|_\Sigma = \sigma |\lambda_1 - 1| = \sigma |\lambda_2| \)。最大距离在\( \lambda = (0, 1)' \)时取得：\( \max_{\lambda \in \Lambda} \| \lambda - w \|_\Sigma = \sigma \)。

核心命题（Proposition 1的特例）：

\[|\tau_\lambda(\theta) - \tau_w(\theta)| = |\lambda_2 (\theta_2 - \theta_1)| \leq H(\theta) \cdot \| \lambda - w \|_\Sigma = \frac{|\theta_1 - \theta_2|}{\sqrt{2}\sigma} \cdot \sigma |\lambda_2| = \frac{|\theta_1 - \theta_2|}{\sqrt{2}} |\lambda_2|.\]
这个界是紧的：当\( \theta_1 - \theta_2 \)与\( \lambda_2 \)同号时取等。

核心思路： 1. 偏差控制：基线估计量\( \hat{\theta}_1 \)对替代估计量\( \lambda_1 \theta_1 + \lambda_2 \theta_2 \)的偏差为\( |\lambda_2 (\theta_2 - \theta_1)| \)。这个偏差被异质性\( |\theta_1 - \theta_2| \)和权重偏离\( |\lambda_2| \)的乘积所控制。 2. 稳健估计量：minimax-bias权重是\( w^* = \arg\min_{\bar{w} \in \Lambda} \max_{\lambda \in \Lambda} \| \lambda - \bar{w} \|_\Sigma \)。在单纯形下，\( w^* = (1/2, 1/2)' \)（等权重），对应的稳健估计量是\( \hat{\tau}^* = (\hat{\theta}_1 + \hat{\theta}_2)/2 \)。 3. 稳健CI：先构造异质性的UCB \( \hat{\eta}_{1-\beta} \)（基于\( \hat{\theta}_1 - \hat{\theta}_2 \)的卡方分布），然后构造CI：\( \hat{\tau}^* \pm cv_{1-\alpha}(\hat{\eta}_{1-\beta} \max_{\lambda \in \Lambda} \| \lambda - w^* \|_\Sigma / \sigma^*) \sigma^* \)。这个CI对\( \Lambda \)中所有\( \lambda \)的覆盖概率至少为\( 1 - (\alpha + \beta) \)。

为什么这个特例抓住了核心：论文的一般情形（任意K、任意Σ、任意凸紧Λ）只是这个特例的“加壳”——核心数学困难（Cauchy-Schwarz不等式界、非中心卡方分布的分位数反演、凸优化求minimax权重）在K=2时已经全部出现。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究问题：在组级参数存在异质性时，如何对一类加权估计量（而非单一基线估计量）进行稳健推断，包括构造最小化最坏情况偏差的估计量和一致有效的置信区间。
  2. 核心工具/方法：利用GLS回归的几何结构，将不同加权估计量之间的差异分解为参数异质性（GLS残差平方和）与权重距离（标准偏差范数）的乘积；基于非中心卡方分布构造异质性的最优分位数无偏UCB；通过凸优化求解minimax-bias权重。
  3. 主要结论：提出了一个统一的推断框架，包含三类具体的替代权重类（有界方差类、截断单纯形类、协变量平衡类），并在两个实证应用中展示了方法：Lakdawala, Nakasone and Kho (2023) 的事件研究（结果对权重选择稳健）和Project STAR实验（结果对基线权重的微小偏离敏感）。

关键设定与假设

完整设定（在第二节最小记号基础上补充）： - Assumption 1（正态模型）：\( \hat{\theta} \sim N(\theta, \Sigma) \)，Σ已知正定。这是Section 2-4的基础，用于推导精确有限样本性质。 - Assumption 2（替代权重类结构）：\( \Lambda \subseteq \mathcal{W} \)非空、紧、凸。确保minimax权重存在唯一，且最大距离可达。 - 三类具体Λ： - 有界方差类\( \Lambda_\sigma(r) = \{ \lambda \in \mathcal{W} : \sigma_\lambda \leq r \sigma_w \} \)：限制替代估计量的标准差不超过基线标准差的r倍。r=1时，只考虑比基线更精确的估计量。 - 截断单纯形类\( \Lambda_+(\epsilon) = \{ \lambda \in \mathcal{W}_+ : \lambda \geq (1-\epsilon) w \} \)：限制替代权重偏离基线权重的程度不超过ϵ。ϵ=0时退化为单点{w}，ϵ=1时退化为整个单纯形。 - 协变量平衡类\( \Lambda_X(\bar{c}) = \{ \lambda \in \mathcal{W}_+ : \max_m |(\lambda - w)' X_m| / \text{sd}(X_m) \leq \bar{c} \} \)：限制替代总体的协变量均值与基线总体的差异不超过\(\bar{c}\)个标准差。 - 渐近假设（Section 5）： - U1（均匀渐近正态性）：\( \sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta(P_n)) \)在BL度量下均匀收敛到\( N(0, \Sigma(P_n)) \)。 - U2（一致协方差估计）：\( \hat{\Sigma}_n \)是\( \Sigma(P_n) \)的一致估计，且特征值一致有界。 - U3（一致权重估计）：\( \hat{w}_n \)是\( w(P_n) \)的一致估计。 - U4（一致类估计）：\( \hat{S}_n \)是\( S(P_n) \)的一致估计，用于构造\( \hat{\Lambda}_n = \Lambda(\hat{S}_n) \)。 - U5（类结构）：\( \Lambda(S) \)可由连续凸函数\( g(\lambda, S) \leq 0 \)表示，且满足Slater条件（确保非退化）。

相比已有文献的放宽/强化： - 放宽：不要求预设异质性上界（对比Armstrong and Kolesár 2018, 2020, 2021a,b; Kwon and Sun 2025），而是通过推断异质性来构造CI。 - 强化：要求替代权重类Λ是凸紧的（对比只考虑有限个离散权重），且满足Slater条件（确保最大距离非零）。

主要结果

理论型结果（挑3个最关键）：

  1. Proposition 1（差异界）：\( |\tau_\lambda(\theta) - \tau_w(\theta)| \leq H(\theta) \| \lambda - w \|_\Sigma \)，且界是紧的。
  2. 直觉：Cauchy-Schwarz不等式在GLS内积下的直接应用。
  3. 必要条件：无（对任意θ, λ, w成立）。

  4. 解决的技术难点：将看似复杂的加权估计量差异问题，转化为一个简单的几何问题。

  5. Proposition 2（异质性UCB的最优性）：构造的\( \hat{\eta}_{1-\beta} \)是分位数无偏的（当H(θ)>0时，覆盖概率精确为1-β），且在分位数无偏估计量类中是minimax最精确的（Proposition 3）。

  6. 直觉：基于非中心卡方分布的概率积分变换，构造精确的置信上界。
  7. 必要条件：正态模型（Assumption 1）。

  8. 解决的技术难点：非中心卡方分布的分位数反演计算，以及最优性证明（利用不变性+ Neyman-Pearson引理）。

  9. Proposition 6（稳健CI的均匀覆盖）：\( CI^*_w \)对\( \Lambda \)中所有λ的覆盖概率至少为\( 1 - (\alpha + \beta) \)。

  10. 直觉：Bonferroni校正——先用β控制异质性UCB的覆盖，再用α控制给定异质性上界后的条件覆盖。
  11. 必要条件：正态模型（Assumption 1），Λ紧凸（Assumption 2）。
  12. 解决的技术难点：将异质性UCB与权重最大距离结合，构造一个对一类目标参数同时有效的CI。

应用型结果： - Lakdawala, Nakasone and Kho (2023) 事件研究：使用有界方差单纯形类\( \Lambda_{\sigma,+}(r) \)，r=1。结果表明，对于数学成绩，稳健CI在所有事件时间（除ℓ=0外）均排除零，且breakdown值r较大（如ℓ=5时r=1.60），说明结论对权重选择稳健。对于阅读成绩，稳健CI在ℓ=5时刚好包含零（r=1.00），说明结论对权重选择敏感。 - Project STAR实验*：使用截断单纯形类\( \Lambda_+(\epsilon) \)和截断协变量平衡类\( \Lambda_X^\epsilon(\bar{c}) \)。结果表明，即使ϵ很小（如0.0261），稳健CI也包含零，说明基线结论（中等大小的正效应）对权重选择敏感。加入协变量平衡约束后，稳健CI有所缩短，但仍无法排除零效应。

证明路线与技术技巧

整体路线（以Proposition 6为例）： 1. Step 1（偏差控制）：利用Proposition 1，将\( |\tau_\lambda(\theta) - \tau_w(\theta)| \)控制在\( H(\theta) \| \lambda - w \|_\Sigma \)内。 2. Step 2（异质性推断）：构造\( \hat{\eta}_{1-\beta} \)作为H(θ)的UCB（Proposition 2），使得\( P_\theta\{ H(\theta) \leq \hat{\eta}_{1-\beta} \} \geq 1-\beta \)。 3. Step 3（偏差UCB）：定义\( \hat{B}^\beta_w(\Lambda) = \hat{\eta}_{1-\beta} \max_{\lambda \in \Lambda} \| \lambda - w \|_\Sigma \)，则\( P_\theta\{ \max_{\lambda \in \Lambda} |\tau_\lambda(\theta) - \tau_w(\theta)| \leq \hat{B}^\beta_w(\Lambda) \} \geq 1-\beta \)（Proposition 4）。 4. Step 4（条件覆盖）：在事件\( E_\theta = \{ \max_{\lambda \in \Lambda} |\tau_\lambda(\theta) - \tau_w(\theta)| \leq \hat{B}^\beta_w(\Lambda) \} \)上，稳健CI的覆盖问题退化为一个带已知偏差上界的正态均值推断问题。利用折叠正态分布的分位数\( cv_{1-\alpha}(b) \)，可以证明条件覆盖概率至少为\( 1-\alpha \)。 5. Step 5（总覆盖）：由全概率公式，总覆盖概率至少为\( 1 - (\alpha + \beta) \)。

关键跳跃点： - 从“差异界”到“偏差UCB”：需要将未知的H(θ)替换为可估计的\( \hat{\eta}_{1-\beta} \)，并控制替换带来的误差。这通过Proposition 2的覆盖性质实现。 - 从“条件覆盖”到“均匀覆盖”：需要证明条件覆盖概率对Λ中所有λ一致成立。这通过\( cv_{1-\alpha}(b) \)关于|b|的单调性实现——在事件E_θ上，\( \hat{B}^\beta_w(\Lambda) \)是\( \max_{\lambda} |\tau_\lambda(\theta) - \tau_w(\theta)| \)的上界，因此对每个λ，\( |\tau_\lambda(\theta) - \tau_w(\theta)| \leq \hat{B}^\beta_w(\Lambda) \)，从而条件覆盖成立。

技术技巧点名： - Cauchy-Schwarz不等式：用于Proposition 1，将差异界转化为内积形式。 - 非中心卡方分布的分位数反演：用于构造异质性UCB（Proposition 2）。 - 不变性+ Neyman-Pearson引理：用于证明异质性UCB的最优性（Proposition 3）。 - 凸优化（强凸函数的最小化）：用于求解minimax-bias权重（Proposition 5）。 - 折叠正态分布的分位数：用于构造稳健CI（Proposition 6）。 - Bonferroni校正：用于组合异质性UCB和条件CI的覆盖概率。 - Hausdorff度量与Lipschitz连续性：用于建立替代权重类的一致估计（Lemma 1, Proposition U1）。 - 非中心卡方分布的渐近正态性：用于证明异质性UCB的均匀渐近有效性（Proposition U6，引用Seri 2015）。

真实例子与应用

例子1：Lakdawala, Nakasone and Kho (2023) 事件研究 - 数据/场景：秘鲁公立小学互联网接入的 staggered adoption 事件研究，2007-2016年数据，结果变量为二年级数学和阅读标准化考试成绩。 - 方法应用：将每个事件时间ℓ的队列级ATT作为组级参数θ_k，使用Sun and Abraham (2021) 的权重作为基线权重w，构造有界方差单纯形类\( \Lambda_{\sigma,+}(r) \)（r=1）。计算稳健估计量和稳健CI。 - 结果：数学成绩的稳健CI在所有事件时间（除ℓ=0外）排除零，且breakdown值r较大（如ℓ=5时r=1.60）。阅读成绩的稳健CI在ℓ=5时刚好包含零（r=1.00）。 - 想说明什么*：验证了方法的实用性，并展示了稳健性可以是上下文相关的——数学结论对权重选择稳健，阅读结论敏感。

例子2：Project STAR实验 - 数据/场景：田纳西州79所公立小学的班级规模随机实验，结果变量为幼儿园学生的标准化考试成绩（数学和阅读平均）。 - 方法应用：将学校级ATE作为组级参数θ_k，使用等权重作为基线权重w，构造截断单纯形类\( \Lambda_+(\epsilon) \)和截断协变量平衡类\( \Lambda_X^\epsilon(\bar{c}) \)。计算稳健估计量和稳健CI。 - 结果：基线CI（等权重）显示中等大小的正效应（0.188，95% CI [0.133, 0.242]）。但稳健CI在ϵ=0.0261时已包含零，说明结论对基线权重的微小偏离敏感。加入协变量平衡约束后，稳健CI有所缩短，但仍无法排除零效应。 - 想说明什么：展示了方法如何揭示基线结论的脆弱性，并说明了协变量信息可以部分缓解但无法完全解决权重分歧问题。

🔎 结论是否比证明窄

  • 窄结论1：Proposition 6的覆盖概率\( 1-(\alpha+\beta) \)是Bonferroni校正的结果，可能比实际覆盖概率更保守。作者在Appendix B.1中讨论了同时覆盖（simultaneous coverage）的情况，但未给出更紧的界。
  • 窄结论2：Proposition U7（均匀渐近有效性）要求替代权重类Λ满足Slater条件（Assumption U5(iii)）。对于边界情况（如r=1的有界方差类），作者建议使用r=1+δ的微小放大（Remark 8），但未严格证明δ→0时的渐近性质。
  • 窄结论3：所有理论结果假设K固定。作者在Section 5.1明确提到“I leave the case of growing K to future work”，说明K增长时的渐近性质是开放问题。
  • 泛化claim：作者在Section 1声称“my framework applies broadly to settings where group-level parameters are averaged using weights that sum to one”，但理论证明依赖于Λ的凸紧性和Slater条件，并非所有实际设定都满足。

四、开放问题（点到为止，扎根具体语句）

  1. K增长时的渐近性质：本文所有理论结果假设K固定。当K随样本量n增长时，异质性UCB的构造（基于非中心卡方分布）和minimax权重的计算（凸优化）的渐近性质如何？——扎根于Section 5.1：“I leave the case of growing K to future work.”

  2. 连续索引组的扩展：Proposition 1的脚注12提到“It also has a natural analogue for continuously indexed groups, where one may define the weighted estimands as \( \tau_w(\theta) = \int w(k) \theta(k) d\nu(k) \) and apply the same Cauchy-Schwarz argument in an \( L^2(\nu) \) inner product.” 但全文未给出具体构造或推断程序。如何将本文框架扩展到连续组（如空间位置、连续时间）？

  3. 替代权重类的自适应选择：本文要求研究者指定替代权重类Λ。当研究者对Λ的选择存在模糊性时，如何自适应地选择Λ（如通过数据驱动的方法）？——扎根于Section 6.1对κ（如r, ϵ, \bar{c}）的讨论，但未提供自适应选择方法。

  4. 与偏差感知CI的深度比较：作者在Section 4.2讨论了与Armstrong and Kolesár (2018, 2020, 2021a,b) 偏差感知CI的关系，但未给出两者在有限样本下的效率比较。在什么条件下，本文的稳健CI比偏差感知CI更短（或更长）？——扎根于Section 4.2：“A downside of bounding heterogeneity is the potential for undercoverage when the bound is incorrect, while a downside of inferring heterogeneity is the additional error level β in the uniform coverage statement (20).”

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