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Targeted Highly Adaptive Lasso Minimum Loss Estimation of Target Functions

作者: Vanessa Rodriguez, Karla Diaz-Ordaz, Brieuc Lehmann, Mark J. van der Laan
主题: 因果推断
相关性: 8/10
链接: https://arxiv.org/abs/2607.03824

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本文处理的根本问题是：如何对一个非路径可微（non-pathwise differentiable） 的泛函参数（例如连续暴露下的剂量-反应曲线 DRC）进行估计和统计推断。这类参数的关键困难在于，其本身不是路径可微的，因此无法直接应用标准的半参数效率理论（如 TMLE）来构造渐近有效的估计量。当前的主流方法是先构造一个路径可微的近似（例如通过一个有限维的 sieve 或工作模型），然后在这个近似上应用标准方法，最后通过控制近似误差（bias）和估计方差（variance）之间的权衡来达到最优收敛速率。这个子方向正处于从“理论框架搭建”向“实用、数据自适应方法”过渡的阶段。

发展脉络（history）

  • 奠基工作：HAL 与 TMLE 框架。van der Laan 及其合作者系统地发展了 Highly Adaptive Lasso (HAL) [Benkeser and van der Laan, 2016] 和 Targeted Minimum Loss Estimation (TMLE) [van der Laan and Rose, 2011]。HAL 提供了一个在非常弱的全局光滑性假设（有界 sectional variation norm）下、能达到维度无关收敛速率的非参数回归估计量。TMLE 则为路径可微参数提供了一个两步估计框架：先用灵活方法得到初始估计，再通过一个“波动步骤”（fluctuation step）来解出有效影响曲线方程，从而得到渐近有效的 plug-in 估计量。
  • 主要进展：将 HAL 与 TMLE 结合，并处理非路径可微参数。一个自然的想法是：用 HAL 作为初始估计量，然后对其应用 TMLE。然而，标准的 TMLE 波动步骤是为解有限维得分方程设计的，不能直接推广到非路径可微参数。早期工作如 [Díaz and van der Laan, 2013] 提出了针对 DRC 的 targeted 估计量，但未建立点态渐近正态性。近期，[van der Laan, 2023] 建立了高阶样条 HAL 估计量的点态渐近正态性和一致收敛速率，为后续工作奠定了理论基础。[Shi et al., 2025] 则基于此提出了 HAL plug-in 估计量用于 DRC，并证明了其点态渐近正态性。与此同时，[Vansteelandt and Morzywołek, 2025] 和 [van der Laan et al., 2024] 分别提出了 i-learner 和 EP-learner，它们通过更新初始结果回归使得一个 plug-in 损失函数渐近 Neyman 正交，从而对光滑目标函数达到 minimax 收敛速率。这些方法都需要用户指定 sieve 的维度和增长速率。
  • 当前 frontier 与本文位置：当前的前沿是如何完全数据自适应地构造 sieve，并同时保证点态渐近正态性和维度无关的收敛速率。本文提出的 Targeted HAL-MLE (T-HAL-MLE) 正是针对这一目标。它通过一个 LASSO 步骤来数据自适应地从一个大初始工作模型中选择相关基函数，从而避免了显式构造 sieve 的困难。作者声称，这是第一个为这类非路径可微参数提供点态渐近正态性证明的、完全数据自适应的估计量，并且其收敛速率仅由目标函数的维度和光滑度决定，而非更高维的初始回归函数。

子线索聚类

这些被引文献大致落在以下几条子线索上： 1. HAL 的理论与计算：包括 HAL 的基本定义与收敛速率 [Benkeser and van der Laan, 2016]，高阶样条 HAL 的渐近理论 [van der Laan, 2023]，以及 HAL 在条件密度估计中的应用 [Hejazi et al., 2022]。这一簇为本文提供了核心的非参数估计工具。 2. 针对非路径可微参数的 TMLE 方法：包括早期针对 DRC 的 targeted 估计 [Díaz and van der Laan, 2013]，以及更近期的 i-learner [Vansteelandt and Morzywołek, 2025] 和 EP-learner [van der Laan et al., 2024]。本文的方法与后两者在目标上高度重合，但采用了不同的技术路线（LASSO 选择 vs. 预指定 sieve）。 3. HAL 在因果推断中的应用：包括 HAL plug-in 估计量用于 DRC [Shi et al., 2025]，以及 HAL 用于生存分析中的 TMLE [Rytgaard et al., 2021]。这一簇展示了 HAL 作为通用非参数工具在因果推断中的潜力，也暴露了其 plug-in 估计量在针对低维目标函数时的效率损失。 4. TMLE 的实用技巧与扩展：包括倾向性得分截断策略 [Gruber et al., 2022]，以及自适应 TMLE (A-TMLE) [van der Laan et al., 2025]。本文在模拟中引用了前者，并在讨论中提到了后者作为可能的稳定性改进。

这个方向在追问的核心问题

  1. 如何为连续暴露的剂量-反应曲线（DRC）构造一个完全数据自适应的、且能进行有效推断的估计量？ 这是本文直接回答的问题。当前主流方法（如 i-learner, EP-learner）需要预指定 sieve，这在目标函数维度较高时变得困难。
  2. 对于非路径可微参数，能否达到仅由目标函数光滑度决定的 minimax 收敛速率？ 本文的 T-HAL-MLE 声称能达到这个速率，而传统的 HAL plug-in 估计量的速率则受限于更高维的初始回归函数的光滑度。
  3. 如何为这类估计量构造有效的方差估计和置信区间？ 本文通过将目标函数投影到一个路径可微的近似上，使得可以应用标准的影响曲线（influence curve）理论进行推断。

⚠️ 作者的 framing

  • 作者的缺口 frame：作者将缺口 frame 成“现有的针对非路径可微参数的估计方法（如 i-learner, EP-learner）需要用户预指定 sieve 维度，这在目标函数维度较高时是困难的，且它们没有提供点态渐近正态性的正式证明”。因此，本文的 T-HAL-MLE 通过 LASSO 数据自适应地选择 sieve，并提供了点态渐近正态性的证明，从而成为“显然的下一步”。
  • 被淡化或回避的竞争路线：作者明确提到了 i-learner 和 EP-learner，并指出它们“需要用户指定 sieve 维度及其随样本量的增长速率”，且“没有建立点态渐近正态性的正式证明”。这暗示了本文方法在这两方面的优势。然而，作者没有深入讨论 i-learner/EP-learner 在哪些场景下可能比 T-HAL-MLE 更简单或更稳定（例如，当目标函数是单变量时，预指定 sieve 可能并不困难，且计算上可能更直接）。
  • 什么明显该被引/该存在、却没出现在 intro 里？ 这是一个值得研究者去查的问题。例如，是否有其他基于核方法或高斯过程的、针对非路径可微参数的估计方法？这些方法在理论保证或计算效率上与本文方法相比如何？此外，关于“统计-计算权衡”的文献（如低度多项式障碍）是否与本文的 LASSO 选择步骤有潜在联系？本文没有提及。

张力

未见明显对立引用。所有被引工作都在 van der Laan 学派及其合作者的框架内，彼此之间是互补和递进的关系，而非矛盾。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：
  • O = (W, A, Y)：一个观测单元。W 是 (d-1) 维协变量向量，A 是单维连续处理变量（如药物剂量），Y 是结果变量（连续或二值）。
  • P0：真实的数据生成分布。Pn：经验分布。
  • Ψ(P0)(a) = ψ0(a)：目标参数，即剂量-反应函数（DRC）。定义为 ψ0(a) = E_{P0}[ E_{P0}[Y | A=a, W] ]。这是一个从 a 到实数的函数。
  • Q̄P(a, w) = E_P[Y | A=a, W=w]：结果回归函数，是 (a, w) 的函数。
  • g0(a|w)：处理机制的（条件）密度。
  • QW：W 的边际分布。
  • D_M^{(k)}([0,1]^d)：k 阶光滑函数类，其 k 阶 sectional variation norm 有界于 M。这是 HAL 假设的函数空间。
  • ϕ_j：k 阶样条基函数。R_λ：一个基函数子集的索引集，其大小为 n(λ)。
  • α_λ(P)：L2 投影系数向量，使得 Ψ_λ(P)(a) = α_λ(P)^T ϕ_λ(a) 是 Ψ(P) 在由 ϕ_λ 张成的工作模型上的投影。

  • D^*_{Ψ_λ(), a, P}：投影参数 Ψ_λ 在点 a 处的有效影响曲线（canonical gradient）。

  • 模型：

  • 数据生成机制：(W_i, A_i, Y_i) ~ i.i.d. P0。
  • 统计模型 M 是非参数或半参数的，除了对 g0 可能有一些假设。关键假设是：
    1. 光滑性：目标函数 ψ0 属于 k 阶光滑类 D^{(k)}([0,1])。结果回归 Q̄0 属于 k̄ 阶光滑类 D^{(k̄)}([0,1]^d)，其中 k ≥ k̄（目标函数通常比 Q̄0 更光滑）。
    2. 正性：g0(a|w) > δ > 0 对所有 a, w 成立。

  • 要估计的对象：ψ0(a) 在整个 a 上的函数值。

  • 可观测数据：

  • 可观测：n 个 i.i.d. 样本 (W_i, A_i, Y_i)。我们可以计算经验分布 Pn，以及 Q̄0 和 g0 的估计量。
  • 想要但观测不到：对于任意给定的 a，我们无法直接观测到 E[Y|A=a, W]，因为对于每个 W_i，我们只有一个观测到的 A_i。ψ0(a) 是一个反事实量，需要通过 Q̄0 和 QW 来识别。

第二步：讲最小内核

本文的核心思路可以归结为以下最简特例：假设目标函数 ψ0(a) 是定义在 [0,1] 上的一个一维、光滑函数，且我们已知它属于一阶光滑类（k=1）。我们想估计它。

最简特例下的核心问题：我们有一个初始估计量 Q̄n(a, w)（例如，用 HAL 拟合的 E[Y|A, W]）。直接计算 ψ̂_n(a) = (1/n) Σ_i Q̄n(a, W_i) 作为 ψ0(a) 的估计量。这个 ψ̂_n(a) 是非路径可微的，因此无法直接应用 TMLE 来改进它。怎么办？

本文的关键想法： 1. 构造一个路径可微的近似：我们选择一个有限维的工作模型来近似 ψ0。例如，我们选择 n(λ) 个一阶样条基函数 ϕ_1(a), ..., ϕ_{n(λ)}(a)，并假设 ψ0(a) 可以被它们的线性组合很好地近似。那么，ψ0 在这个工作模型上的 L2 投影 ψ_λ(a) = Σ_j α_j ϕ_j(a) 就是一个路径可微的参数（因为它的系数 α_j 是路径可微的）。 2. 对路径可微的近似应用 TMLE：现在，我们的目标变成了估计 ψ_λ(a) 的系数 α。这是一个标准的路径可微参数估计问题。我们可以： - 用初始 Q̄n 计算 ψ_λ 的初始估计 ψ̂_λ,n(a) = Σ_j α̂_j,n ϕ_j(a)。 - 构造一个“聪明协变量”（clever covariate），对 Q̄n 进行一个波动步骤（fluctuation step），得到更新后的 Q̄n*。 - 这个更新步骤会使得 Q̄n* 解出 α 的有效影响曲线方程，从而得到 α 的 TMLE 估计量 α̂*。 - 最终的估计量是 ψ̂_λ,TMLE(a) = Σ_j α̂*_j ϕ_j(a)。 3. 数据自适应地选择工作模型：上述步骤需要预指定工作模型（即选择哪些基函数）。本文的 T-HAL-MLE 用一个 LASSO 步骤来替代这个选择：从一个非常大的初始基函数集合出发，在波动步骤中，用 LASSO 来拟合波动参数 ε。LASSO 的 L1 惩罚会自动选择出一组稀疏的、对减少 ψ_λ 的偏差最重要的基函数，从而数据自适应地定义了工作模型。

一句话总结：本文的核心数学操作是将非路径可微的目标函数投影到一个由样条基张成的有限维工作模型上，从而得到一个路径可微的近似参数，然后对这个近似参数应用标准的 TMLE，并用 LASSO 来自动选择这个工作模型的维度。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：针对非路径可微的泛函参数（以连续暴露下的剂量-反应曲线 DRC 为例），提出了一种完全数据自适应的估计和推断方法。
  2. 核心工具/方法：将目标函数投影到一个由高阶样条基张成的大维工作模型上，构造一个路径可微的近似；然后应用 TMLE，但用 LASSO 步骤替代标准的 MLE 波动步骤，以数据自适应地选择相关基函数，从而得到 Targeted HAL-MLE (T-HAL-MLE)。
  3. 主要结论：证明了 T-HAL-MLE 是点态渐近正态的，并且达到了仅由目标函数维度和光滑度决定的、维度无关的收敛速率（忽略 log n 因子）。模拟实验表明，在偏差和均方误差上，T-HAL-MLE 优于 HAL plug-in 估计量。

关键设定与假设

在第二节最小记号的基础上，补全完整设定： - 统计模型：M(R(d̄)) = {P: Q̄_P ∈ D^{(k̄)}(R(d̄)), Ψ(P) ∈ D^{(k)}([0,1]^d)}。即，结果回归 Q̄ 属于一个由 k̄ 阶样条基张成的子空间，目标函数 Ψ(P) 属于 k 阶光滑类。k ≥ k̄ 是关键，因为目标函数通常更光滑。 - 光滑性假设：ψ0 ∈ D^{(k)}([0,1])，Q̄0 ∈ D^{(k̄)}([0,1]^{d̄})，g0 ∈ D^{(m)}([0,1]^{d̄})，其中 k, k̄, m ≥ 1。这些假设保证了 HAL 估计量的收敛速率。 - 正性假设：min_{a∈[0,1]} g0(a|W) > δ > 0 P0-a.e.。这是为了保证逆概率权重的稳定性。 - 光滑度条件：n^{-k̄*/(2k̄*+1)} n^{-m*/(2m*+1)} = o(n^{-(k*+1)/(2k*+1)})。这是一个技术性条件，用于保证二阶余项和 empirical process 项相对于主项是可忽略的。它要求 Q̄ 和 g 的估计速率足够快。 - 相比已有文献的放宽/强化：相比 HAL plug-in 估计量 [Shi et al., 2025]，本文的 T-HAL-MLE 的偏差控制仅依赖于目标函数 ψ0 的光滑度 k，而非 Q̄0 的光滑度 k̄。这是放宽了对 Q̄0 的要求。相比 i-learner/EP-learner [Vansteelandt and Morzywołek, 2025, van der Laan et al., 2024]，本文强化了理论保证，提供了点态渐近正态性的正式证明，并且放宽了对用户预指定 sieve 的要求。

主要结果

  • 定理 3.4（固定 sieve TMLE 的渐近正态性）：
  • 陈述：对于预指定的固定 sieve D^{(k)}(R_λ)，其 TMLE 估计量 Ψ_λ(P*_{n,λ}) 是渐近线性的。具体地，(n/n(λ))^{1/2} (Ψ_λ(P*_{n,λ}) - Ψ_λ(P0))(a) = (n/n(λ))^{1/2} (P_n - P_0) D^*_{Ψ_λ(), a, P0} + o_P(1)。
  • 直觉：这个定理表明，经过 TMLE 步骤后，估计量的误差可以近似为一个经验过程项，其方差为 O(n(λ)/n)。通过选择合适的 n(λ) 来平衡偏差 O(n(λ)^{-k*}) 和标准差 (n(λ)/n)^{1/2}，可以得到最优收敛速率 n^{-k*/(2k*+1)}。
  • 必要条件：需要满足一系列关于 sieve 近似误差、二阶余项和 empirical process 项的可忽略性假设（Assumption 6.2）。

  • 解决的技术难点：如何证明 TMLE 的余项 R_{Ψ_λ, a}(P*_{n,λ}, P0) 是 o_P((n(λ)/n)^{1/2})。这依赖于对 Q̄ 和 g 的收敛速率的控制，以及它们与 n(λ) 的关系。

  • 定理 4.2（数据自适应 sieve TMLE 的渐近正态性）：

  • 陈述：在 Lemma 4.1 的条件下，数据自适应 sieve TMLE 的渐近正态性结论与固定 sieve 的相同。
  • 直觉：这个定理的关键在于 Lemma 4.1，它证明了数据自适应 sieve TMLE 虽然是为自己的工作模型设计的，但它也近似地解出了固定 companion sieve 的得分方程，其误差是可忽略的。因此，固定 sieve 的渐近理论可以“移植”过来。

  • 解决的技术难点：Lemma 4.1 的证明。它需要将数据自适应 sieve 的得分方程分解，并证明 empirical process 项和偏差项都是可忽略的。这依赖于数据自适应 sieve 对固定 sieve 的近似误差（O_P(n(λ)^{-k*})）以及 Q̄ 和 g 的收敛速率。

  • 定理 6.3 和 6.5（一般框架）：将上述结果推广到一般的非路径可微目标函数，建立了统一的渐近正态性理论框架。

证明路线与技术技巧

  • 整体路线：
  • 定义投影参数：将非路径可微的目标函数 Ψ(P) 投影到一个有限维工作模型上，得到路径可微的近似 Ψ_λ(P)。
  • 推导有效影响曲线：计算 Ψ_λ(P) 的系数 α_λ(P) 的有效影响曲线 D^*_{α_λ(), P}，进而得到 Ψ_λ(P)(a) 的有效影响曲线 D^*_{Ψ_λ(), a, P}。
  • 构造 TMLE：用初始估计 Q̄n 和 gn，通过一个包含聪明协变量的波动步骤，得到更新后的 Q̄*_{n,λ}，使得 P_n D^*_{α_λ(), P*_{n,λ}} = 0。
  • 进行精确展开：对 Ψ_λ(P*_{n,λ})(a) - Ψ_λ(P0)(a) 进行精确的一阶展开，得到 (P_n - P_0) D^*_{Ψ_λ(), a, P*_{n,λ}} - P_n D^*_{Ψ_λ(), a, P*_{n,λ}} + R_{Ψ_λ, a}(P*_{n,λ}, P0)。
  • 控制余项：证明 P_n D^*_{Ψ_λ(), a, P*_{n,λ}} = 0（由 TMLE 构造保证），R_{Ψ_λ, a}(P*_{n,λ}, P0) = o_P((n(λ)/n)^{1/2})（通过二阶余项分析），以及 (P_n - P_0)(D^*_{Ψ_λ(), a, P*_{n,λ}} - D^*_{Ψ_λ(), a, P0}) = o_P((n(λ)/n)^{1/2})（通过 empirical process 理论）。

  • 应用 CLT：得到渐近线性表示，进而由中心极限定理得到点态渐近正态性。

  • 关键跳跃点：

  • Lemma 4.1 的证明：这是从固定 sieve 到数据自适应 sieve 的关键跳跃。它需要证明数据自适应 TMLE 近似地解出了固定 sieve 的得分方程。证明的核心是将得分方程分解，并利用数据自适应 sieve 对固定 sieve 的近似误差来 bound 各项。
  • 二阶余项的控制：R_{Ψ_λ, a}(P, P0) = O(||g - g0||_∞ ||Q̄_P - Q̄0||_∞ n(λ))。这个 bound 是双稳健的（doubly robust），即只要 g 或 Q̄ 中有一个估计得足够好，余项就会很小。证明需要利用 HAL 的收敛速率和光滑度条件。

  • Empirical process 项的控制：需要证明 (P_n - P_0)(D^*_{Ψ_λ(), a, P*_{n,λ}} - D^*_{Ψ_λ(), a, P0}) 是可忽略的。这依赖于 D^*_{Ψ_λ(), a, P} 作为 P 的函数属于一个 Donsker 类，并且 P*_{n,λ} 以足够快的速率收敛到 P0。作者通过将影响曲线除以 n(λ) 来使其落入由 HAL 函数类决定的 Donsker 类中。

  • 技术技巧点名：

  • Empirical process theory / Donsker class：用于控制 empirical process 项。
  • 二阶余项分析：用于 bound TMLE 的精确展开中的余项。
  • 有效影响曲线 (Efficient Influence Curve)：用于构造 TMLE 的波动步骤和进行方差估计。
  • LASSO / L1 正则化：用于在 TMLE 的波动步骤中数据自适应地选择基函数，控制模型复杂度。
  • Delta 方法：用于从 α_λ 的影响曲线推导 Ψ_λ(a) 的影响曲线。
  • 正交基：用于简化影响曲线的方差表示，使其成为独立随机变量的和。

真实例子与应用

  • 用的什么数据/场景：模拟研究。数据生成过程（DGP）包括三种：单间断点、多间断点、高频振荡。每种 DGP 下有两种处理分布：均匀分布和正态分布。样本量 n ∈ {500, 1000, 2000}。
  • 怎么把本文方法用上去：对于每个模拟数据集，作者：
  • 用 HAL 拟合初始结果回归 Q̄n。
  • 用 haldensify 估计条件处理密度 gn。
  • 构造一个大的初始基函数集合，并计算聪明协变量。
  • 用 LASSO 进行波动步骤，得到 Q̄*_{n,λ}，并记录选中的基函数。
  • 通过交叉验证和速率最优准则选择 LASSO 惩罚参数 λ。
  • 计算最终的 T-HAL-MLE 估计量 ψ̂_T-HAL(a)。
  • 得到什么结果：
  • 偏差和 RMSE：T-HAL-MLE 在所有场景下都优于 HAL plug-in 估计量，偏差更小，RMSE 更低。
  • 置信区间覆盖：当使用蒙特卡洛标准差（MC-SE）构造区间时，T-HAL-MLE 的覆盖接近名义水平（95%）。当使用基于影响曲线的 Wald 区间时，T-HAL-MLE 的覆盖在均匀处理分布下接近名义水平，但在正态处理分布下（尤其是多间断点 DGP）存在欠覆盖。
  • 区间宽度：T-HAL-MLE 的区间宽度最窄，HAL-MLE 最宽，T-HAL-MLE (Plugin) 居中。
  • 这个例子想说明什么：
  • 验证理论：模拟结果支持了 T-HAL-MLE 在偏差和 RMSE 上的优势，验证了其理论上的维度无关收敛速率。
  • 展示相对 baseline 的优势：清晰地展示了 T-HAL-MLE 相对于 HAL plug-in 估计量的改进，尤其是在偏差方面。
  • 揭示实际挑战：模拟也揭示了 T-HAL-MLE 在实际应用中的挑战，例如在稀疏数据区域（处理分布尾部）的偏差问题，以及基于影响曲线的方差估计在复杂设置下的不稳定性。

🔎 结论是否比证明窄

  • 窄的 claim：定理 3.4 和 4.2 的渐近正态性结论是针对投影参数 Ψ_λ(P0) 的。对于真实目标函数 Ψ(P0)，结论成立需要额外的“欠光滑”（undersmoothing）条件，即选择 n(λ) 使得近似偏差 O(n(λ)^{-k*}) 相对于标准差 (n(λ)/n)^{1/2} 是可忽略的。作者在定理陈述中明确指出了这一点。
  • 泛化的 claim：作者在 Section 6 中声称，T-HAL-MLE 的框架可以推广到任意非路径可微目标函数。虽然他们给出了一个一般性的定理（Theorem 6.5），但这个定理的证明依赖于一系列假设（Assumption 6.2），这些假设在具体问题中是否成立需要逐一验证。例如，对于更复杂的目标函数（如条件平均处理效应 CATE），其有效影响曲线的形式可能更复杂，二阶余项的分析也可能更困难。因此，这个“一般性”的 claim 可能比实际证明所覆盖的范围要宽。

四、开放问题

  1. 投影方式的选择：本文使用了 L2 投影来定义 Ψ_λ。作者在讨论中提到，未来工作将探索“在模型空间中投影”（projecting in model space），并声称这可能会产生更稳定的 TMLE，尤其是在存在实际正性违反的情况下。这是一个具体的、扎根于论文 Section 8 的开放问题。
  2. 方差估计的改进：模拟结果显示，基于影响曲线的 Wald 置信区间在复杂设置下存在欠覆盖。作者在 Section 8 中提到了“targeted bootstrap”作为替代方案。这是一个具体的、扎根于论文 Section 7.5 和 Section 8 的开放问题。
  3. 与 A-TMLE 的结合：作者在 Section 8 中提到，可以使用 A-TMLE [van der Laan et al., 2025] 来进一步稳定 T-HAL-MLE，以限制极端权重的影响。这是一个具体的、扎根于论文 Section 8 的开放问题。
  4. 理论保证的进一步验证：本文的渐近理论依赖于一系列技术性假设（如光滑度条件 n^{-k̄*/(2k̄*+1)} n^{-m*/(2m*+1)} = o(n^{-(k*+1)/(2k*+1)})）。这些假设在有限样本下是否必要？是否可以放松？这是一个更理论性的、扎根于论文 Theorem 3.4 和 4.2 的开放问题。

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