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Inverse moment methods for sufficient forecasting using high-dimensional predictors

作者: Wei Luo, Lingzhou Xue, Jiawei Yao, Xiufan Yu
来源: Biometrika
主题: 因果推断
相关性: 6/10
链接: 期刊页 · arXiv

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本文研究的核心问题是：如何利用高维预测变量（\( p \gg T \)）对一个单变量时间序列响应进行预测，且允许预测函数存在非线性关系？ 传统的高维线性预测方法（如 Lasso、Ridge）假设预测函数是线性的，而充分降维（Sufficient Dimension Reduction, SDR）方法虽然能处理非线性，但直接应用于高维原始预测变量时，要么需要稀疏性假设（如 Jiang & Liu, 2014），要么因维数灾难而失效。本文所在的子方向试图通过“因子模型 + 充分降维”的两步法来解决这一矛盾：先用因子模型将高维预测变量压缩为低维潜因子，再对潜因子进行充分降维，提取出对预测响应最有效的“充分预测指标”。该方向当前成熟度较高，已有奠基性工作（Fan et al., 2017），但本文试图通过引入高阶逆矩方法（逆三阶矩、方向回归）来突破奠基工作的关键局限。

发展脉络

  1. 奠基工作：因子模型用于高维时间序列预测

    • Bernanke et al. (2005)：提出因子增广向量自回归（FAVAR）模型，将因子分析引入宏观经济预测，证明了从大量经济指标中提取的潜因子能有效刻画货币政策传导机制。这为“先降维、再预测”的范式提供了实证基础。
    • Stock & Watson (1989, 2002)：系统性地将主成分分析（PCA）用于从大量预测变量中提取因子，并用于宏观经济预测，建立了因子模型在预测中的标准应用框架。
    • Fan et al. (2011, POET)：为高维因子模型提供了严谨的统计理论，特别是证明了当维度 \( p \) 和样本量 \( T \) 都很大时，用 PCA 估计的因子和载荷具有一致性，且估计误差随维度增加而消失。这为后续将因子分析作为 SDR 的前置步骤提供了理论保障。

  2. 主要进展：充分降维与因子模型的结合

    • Fan et al. (2017, Sufficient Forecasting)：这是本文最直接的竞争者和超越对象。 该文首次明确提出了“充分预测”框架：先用 PCA 从高维预测变量中估计潜因子 \( \hat{f}_t \)，然后对 \( \hat{f}_t \) 应用切片逆回归（SIR） 来估计中心子空间 \( S_{y|f} \)，从而得到一组充分预测指标。本文指出其核心局限：SIR 是一种逆一阶矩方法，它只能捕捉因子对响应的单调效应（因为 SIR 依赖于 \( E[f | y] \) 的线性结构）。当因子对响应存在非单调效应（如 U 型、倒 U 型）时，SIR 会失效。此外，SIR 要求因子分布满足线性设计条件（即 \( E[f | \beta^T f] \) 是 \( \beta^T f \) 的线性函数），这在实际中很难验证，且隐含了因子时间可逆性的不必要假设。

  3. 当前 Frontier：突破 SIR 的局限

    • Li & Yin (2007)：建立了替代充分降维的框架，证明了当真实预测变量被测量误差污染时，在替代变量上应用 SDR 方法仍能一致地估计原始问题的中心子空间。本文引用其核心定理 3.1：如果真实因子 \( f_t \) 和估计误差 \( u_t^* \) 都服从正态分布，且满足独立性条件，那么基于 \( \hat{f}_t \) 的中心子空间与基于 \( f_t \) 的中心子空间是一致的。这为用估计因子替代真实因子进行 SDR 提供了理论依据。
    • Jiang & Liu (2014) 和 Yu et al. (2016)：提出了在原始高维预测变量上直接进行变量选择的 SDR 方法（如切片逆回归的变量选择版本），作为因子模型降维的替代方案。本文将其定位为“替代选择”，但指出在高维强相关预测变量（如宏观经济数据）下，因子模型是更自然的选择。

  4. 本文的位置

    • 本文直接继承并挑战 Fan et al. (2017) 的“充分预测”框架。其核心贡献是：用“逆三阶矩方法”（如方向回归）替代“逆一阶矩方法”（SIR），从而突破 SIR 只能捕捉单调效应的限制，并能处理因子分布的非椭圆对称性（从而避免时间可逆性假设）。同时，本文在理论上证明了，在因子模型框架下，即使因子个数发散，其提出的高阶逆矩方法仍能一致地估计中心子空间，且无需对原始预测变量施加稀疏性假设。

子线索聚类

  1. 因子模型与高维协方差估计：以 Fan et al. (2011, POET)、Lam & Yao (2012)、Xue et al. (2012) 为代表。这一簇关注如何从高维数据中稳健地估计潜因子和因子载荷，以及如何估计稀疏的误差协方差矩阵。它们是整个“充分预测”框架的数据预处理基础。
  2. 充分降维（SDR）方法：以 Li & Yin (2007)、Jiang & Liu (2014)、Yu et al. (2014) 为代表。这一簇关注如何从高维或测量误差污染的预测变量中，估计出对响应有影响的低维子空间。本文提出的方向回归和逆三阶矩方法属于这一簇的新工具。
  3. 充分预测（Sufficient Forecasting）：以 Fan et al. (2017) 和本文为代表。这一簇是前两个子线索的交叉点，专门研究如何将因子模型与 SDR 结合，用于时间序列预测。本文试图在这一簇中升级核心 SDR 工具。

这个方向在追问的核心问题

  1. 如何突破 SIR 的单调性限制？ 当因子对响应的影响是非单调时，如何设计 SDR 方法使其仍能有效工作？
  2. 如何放松对因子分布的假设？ SIR 需要的线性设计条件（或时间可逆性）是否必要？能否在更一般的分布下进行 SDR？
  3. 如何在高维框架下进行 SDR 而不依赖稀疏性？ 因子模型提供了一个自然的“非稀疏”降维路径，但如何将 SDR 方法（尤其是高阶方法）与因子模型的估计误差结合起来分析？
  4. 如何确定充分降维的阶数（即中心子空间的维数）？ 这是一个模型选择问题，在因子模型+SDR 的两步法框架下，阶数确定程序需要同时考虑因子个数和 SDR 维数。

⚠️ 作者的 Framing

  • 作者把缺口 frame 成什么？ 作者将 Fan et al. (2017) 的 SIR 方法定位为“逆一阶矩方法”，并明确指出其两大缺陷：① 只能捕捉单调效应；② 需要因子分布满足线性设计条件（隐含时间可逆性）。因此，本文的“逆三阶矩方法”被 frame 成“显然的下一步”——它既能捕捉非单调效应，又能放松分布假设，从而“fundamentally more applicable”。
  • 哪些竞争路线被他淡化或回避了？ 作者将 Jiang & Liu (2014) 和 Yu et al. (2016) 的变量选择方法定位为“alternative choice”，但并未深入讨论其在高维强相关预测变量下的优劣。作者似乎默认了“因子模型降维”是更优的路径，但并未提供与这些变量选择方法在预测精度上的直接比较。此外，深度学习（Fan et al., 2017 的引言中明确提到了与深度学习的联系）被完全回避了。深度学习也能处理非线性预测，且不需要显式的 SDR 步骤。作者没有讨论为什么在因子模型后使用 SDR 会比直接使用深度神经网络更好。
  • 什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里？ 作者没有引用任何关于核方法（Kernel SDR）的文献。核方法（如 KDR, Kernel SIR）也能处理非线性，且不需要对因子分布做线性设计假设。为什么不用核方法？是因为计算复杂度（\( O(T^3) \)）在高维时间序列中不可行？还是因为核方法的理论性质在因子模型框架下难以分析？这是一个值得研究者去查的问题。

张力

未见明显对立引用。所有被引工作基本是互补或递进关系。唯一的潜在张力在于“变量选择+SDR”与“因子模型+SDR”两条路径之间的竞争，但本文并未深入展开。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：

    • \( y_t \in \mathbb{R} \)：第 \( t \) 个时间点的响应变量（单变量时间序列）。这是我们要预测的目标。
    • \( x_t \in \mathbb{R}^p \)：第 \( t \) 个时间点的高维预测变量（\( p \) 很大，可能远大于样本量 \( T \)）。这是我们可以观测到的原始数据。
    • \( f_t \in \mathbb{R}^K \)：第 \( t \) 个时间点的潜因子（\( K \ll p \)）。这是驱动 \( x_t \) 变化的低维公共因素，不可观测。
    • \( B \in \mathbb{R}^{p \times K} \)：因子载荷矩阵。它描述了每个预测变量 \( x_{t,i} \) 如何依赖于潜因子 \( f_t \)。
    • \( u_t \in \mathbb{R}^p \)：特异误差（idiosyncratic error）。它是 \( x_t \) 中不能被潜因子解释的部分，通常假设其横截面稀疏相关。
    • \( \hat{f}_t \)：对 \( f_t \) 的估计。通常通过 PCA 从 \( \{x_t\}_{t=1}^T \) 中得到。
    • \( S_{y|f} \)：中心子空间（Central Subspace）。它是 \( \mathbb{R}^K \) 中的一个子空间，其性质是：\( y_t \) 在给定 \( \beta^T f_t \) 时条件独立于 \( f_t \)，其中 \( \beta \) 的列张成了 \( S_{y|f} \)。我们的目标是估计这个子空间。
    • \( d \)：中心子空间 \( S_{y|f} \) 的维数（\( d \le K \)）。这是需要确定的未知参数。
    • \( \eta \in \mathbb{R}^{K \times d} \)：张成 \( S_{y|f} \) 的基矩阵。我们的目标是估计 \( \eta \) 的列空间。

  • 模型：

    1. 因子模型（数据生成机制）：
      \[x_t = B f_t + u_t, \quad t = 1, \ldots, T\]
      其中 \( f_t \) 和 \( u_t \) 是零均值、弱相关的平稳过程。\( B \) 是固定的但未知的载荷矩阵。这是一个近似因子模型，允许 \( u_t \) 有轻微的横截面相关。
    2. 充分降维模型（预测关系）：
      \[y_t = g(\eta^T f_t, \varepsilon_t)\]
      其中 \( g(\cdot, \cdot) \) 是一个未知的、非线性的链接函数，\( \varepsilon_t \) 是独立于 \( f_t \) 的噪声。这个模型意味着，给定 \( \eta^T f_t \)（即充分预测指标），\( y_t \) 与 \( f_t \) 的其余部分无关。

  • 可观测数据：

    • 我们能观测到的是：\( \{ (y_t, x_t) \}_{t=1}^T \)，即 \( T \) 个时间点的响应和 \( p \) 维预测变量。
    • 我们想要但观测不到的是：
      • 潜因子 \( f_t \)。
      • 因子载荷 \( B \)。
      • 中心子空间 \( S_{y|f} \) 及其基 \( \eta \)。
      • 非线性函数 \( g(\cdot, \cdot) \)。
    • 关键识别路径：我们先用 PCA 从 \( \{x_t\} \) 中估计出 \( \hat{f}_t \) 和 \( \hat{B} \)。然后，我们假装 \( \hat{f}_t \) 就是真实的 \( f_t \)，并在这个“替代”问题上应用 SDR 方法来估计 \( S_{y|f} \)。Li & Yin (2007) 的替代理论为这种做法的合理性提供了条件。

第二步：讲最小内核

本文的核心思路可以浓缩为一个最简特例：假设只有一个潜因子（\( K=1 \)），且中心子空间的维数也是 1（\( d=1 \)）。那么，\( f_t \) 是一个标量，\( \eta \) 也是一个标量（不妨设为 1，因为子空间就是一维的）。此时，模型退化为：

\[y_t = g(f_t, \varepsilon_t)\]
我们的目标就是判断：\( y_t \) 是否依赖于 \( f_t \)，以及如何依赖？

  • Fan et al. (2017) 的 SIR 方法：SIR 将 \( y_t \) 的取值域分成 \( H \) 个切片（slices），然后计算每个切片内 \( f_t \) 的均值 \( E[f_t | y_t \in \text{slice}_h] \)。如果 \( g \) 是单调的，那么这些条件均值会随着 \( y_t \) 的变化而单调变化，从而形成一个有方向的向量（即 SIR 的核矩阵的主特征向量）。但如果 \( g \) 是 U 型的（例如 \( y_t = f_t^2 + \varepsilon_t \)），那么当 \( y_t \) 很大时，\( f_t \) 可能既大又小（因为平方），导致 \( E[f_t | y_t] \approx 0 \)。SIR 的核矩阵会接近零矩阵，从而完全失效。

  • 本文的逆三阶矩方法（以方向回归为例）：方向回归（DR）不再只计算一阶矩 \( E[f_t | y_t] \)，而是计算二阶矩 \( E[f_t f_t^T | y_t] \)。在 \( K=1 \) 的特例下，它计算的是 \( E[f_t^2 | y_t] \)。回到 U 型例子 \( y_t = f_t^2 + \varepsilon_t \)：当 \( y_t \) 很大时，\( f_t^2 \) 也很大，所以 \( E[f_t^2 | y_t] \) 会很大。因此，DR 的核矩阵（基于 \( E[f_t^2 | y_t] \) 构造）不会退化，能够成功捕捉到 \( f_t \) 对 \( y_t \) 的非单调影响。

核心数学困难：在 \( K>1 \) 的一般情况下，方向回归需要计算一个 \( K \times K \) 的矩阵，其元素涉及 \( E[f_{t,i} f_{t,j} | y_t] \)。当 \( K \) 发散时，这个矩阵的估计和特征分解变得复杂。本文的理论贡献在于证明了，即使 \( K \) 发散，基于估计因子 \( \hat{f}_t \) 的 DR 估计量仍能一致地估计出中心子空间。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：在高维预测变量时间序列预测中，如何突破 Fan et al. (2017) 的“充分预测”方法只能捕捉单调效应的局限，并放松其对因子分布的不必要假设。
  2. 核心工具 / 方法：在因子模型降维后，使用方向回归（Directional Regression, DR） 和逆三阶矩方法（Inverse Third-Moment Method, ITM） 来替代切片逆回归（SIR），从而估计中心子空间。
  3. 主要结论：① 证明了在因子模型框架下，DR 和 ITM 的核矩阵与基于真实因子的核矩阵是渐近等价的（不变性结果）；② 建立了无需稀疏性假设的高维 SDR 路径，并给出了估计量的收敛速率；③ 提出了相应的阶数确定程序，并证明了其一致性；④ 模拟和实证研究验证了方法在处理非单调效应时的优越性。

关键设定与假设

  • 因子模型假设（与 Fan et al., 2017 类似）：

    • 因子结构：\( x_t = B f_t + u_t \)，其中 \( B \) 是 \( p \times K \) 的载荷矩阵，\( K \) 可以随 \( p, T \) 发散。
    • 因子和载荷的识别条件：\( E[f_t f_t^T] = I_K \)（因子正交且方差为 1），且 \( B^T B \) 是 \( K \times K \) 的对角矩阵（载荷正交）。这是 PCA 的标准识别条件。
    • 弱相关条件：\( f_t \) 和 \( u_t \) 是平稳的、弱相关的（如 \( \alpha \)-混合），且 \( u_t \) 的横截面相关性是稀疏的（近似因子模型）。
    • 信噪比条件：\( B \) 的列范数（即因子强度）足够大，使得 PCA 能一致地估计因子。具体地，要求 \( \lambda_{\min}(B^T B/p) \) 有正的下界，且 \( p \) 和 \( T \) 满足一定的发散速率关系。

  • 充分降维假设（本文的核心放松点）：

    • 线性设计条件（Fan et al., 2017 需要，本文不需要）：SIR 要求 \( E[f | \eta^T f] \) 是 \( \eta^T f \) 的线性函数。本文的 DR 和 ITM 方法不需要这个条件，只要求因子分布满足一些一般的正则条件（如有限四阶矩、分布非退化等）。
    • 时间可逆性（Fan et al., 2017 隐含，本文不需要）：线性设计条件的一个推论是因子分布是椭圆对称的，这隐含了时间可逆性（即 \( f_t \) 和 \( -f_t \) 同分布）。本文的方法不要求这一点。
    • 覆盖条件（Coverage Condition）：DR 和 ITM 方法需要 \( \text{Var}(f | y) \) 或 \( E[f f^T | y] \) 在 \( y \) 的取值范围内有足够的变化，这样才能识别出中心子空间。这比 SIR 的线性设计条件要弱得多。

主要结果

  • 定理 1（不变性结果）：在替代充分降维框架下（Li & Yin, 2007），如果真实因子 \( f_t \) 和估计误差 \( \hat{f}_t - f_t \) 联合正态，那么基于 \( \hat{f}_t \) 的 DR 和 ITM 核矩阵与基于 \( f_t \) 的核矩阵具有相同的特征子空间。这个定理为用估计因子进行 SDR 提供了理论基础。直觉：正态分布下，条件期望和条件方差具有线性结构，使得替代问题与原问题等价。
  • 定理 2（高维 SDR 的一致性）：在因子模型假设和 SDR 的覆盖条件下，即使 \( K \) 发散，基于 PCA 估计因子 \( \hat{f}_t \) 的 DR 和 ITM 估计量，其估计的中心子空间与真实中心子空间之间的距离（以子空间距离度量）以 \( O_p( \sqrt{K/T} + 1/\sqrt{p} ) \) 的速率收敛到 0。这个结果的关键在于：它不需要对原始预测变量 \( x_t \) 施加任何稀疏性假设，因为因子模型已经完成了降维。收敛速率中的 \( 1/\sqrt{p} \) 项来自于因子估计误差，并随着 \( p \) 增大而消失（“维度祝福”）。
  • 定理 3（阶数确定的一致性）：提出了一个基于特征值比值（类似于 Lam & Yao, 2012 的方法）的阶数确定程序，用于估计中心子空间的维数 \( d \)。证明了在适当条件下，该程序能一致地估计出真实的 \( d \)。

证明路线与技术技巧

  • 整体路线：

    1. 第一步：因子估计。用 PCA 从 \( \{x_t\} \) 中得到 \( \hat{f}_t \) 和 \( \hat{B} \)。这一步的标准理论（Fan et al., 2011）给出了 \( \hat{f}_t \) 的收敛速率。
    2. 第二步：构造替代 SDR 核矩阵。用 \( \{ (y_t, \hat{f}_t) \} \) 数据，构造 DR 或 ITM 的样本核矩阵 \( \hat{M} \)。例如，DR 的核矩阵涉及 \( \hat{\Sigma}_{f|y} = \text{Cov}(\hat{f} | y) \) 的估计。
    3. 第三步：建立渐近等价性。证明 \( \hat{M} \) 与基于真实因子 \( f_t \) 的（不可观测的）核矩阵 \( M \) 之间的差是渐近可忽略的。这是证明的核心。关键在于将 \( \hat{M} - M \) 分解为两部分：一部分来自用 \( \hat{f}_t \) 替代 \( f_t \) 的误差，另一部分来自用样本矩替代总体矩的误差。
    4. 第四步：谱分解与收敛速率。对 \( \hat{M} \) 进行特征分解，其前 \( d \) 个特征向量张成的空间即为 \( \hat{S}_{y|f} \)。利用矩阵扰动理论（如 sin-theta 定理），将子空间距离 \( \text{dist}(\hat{S}_{y|f}, S_{y|f}) \) 与 \( \|\hat{M} - M\|_2 \) 联系起来，从而得到收敛速率。

  • 关键跳跃点：

    • 处理因子估计误差：\( \hat{f}_t = H f_t + \text{error} \)，其中 \( H \) 是一个 \( K \times K \) 的旋转矩阵（因为 PCA 只能识别因子到旋转）。证明的关键在于，这个旋转矩阵 \( H \) 是渐近可逆的，并且因子估计误差 \( \hat{f}_t - H f_t \) 是 \( O_p(1/\sqrt{p}) \) 的。然后需要证明，这个误差在构造 SDR 核矩阵时不会产生主导性的偏差。这需要精细的泰勒展开和 U-统计量类型的计算。
    • 处理发散维数 \( K \)：当 \( K \) 发散时，核矩阵的维数也在增长。需要证明，即使在高维下，特征值和特征向量的估计仍然是一致的。这通常需要更严格的矩条件和更精细的随机矩阵理论工具（如对特征值间距的假设）。

  • 技术技巧点名：

    • U-统计量展开：在估计 \( \hat{\Sigma}_{f|y} \) 等条件矩时，会用到核估计，其偏差和方差的分析涉及 U-统计量的高阶展开。
    • 矩阵扰动理论（sin-theta 定理）：用于将子空间估计误差与核矩阵的估计误差联系起来。
    • 经验过程理论：用于处理非参数核估计的收敛速率，特别是在 \( K \) 发散的情况下。
    • 因子模型的 PCA 理论：Fan et al. (2011, 2013) 的关于因子和载荷估计的收敛速率结果。

真实例子与应用

  • 数据：1959 年至 2016 年的美国月度宏观经济数据，共 \( T = 696 \) 个月。预测变量 \( x_t \) 包含 122 个宏观经济指标（\( p = 122 \)）。响应变量 \( y_t \) 是工业生产指数（IP） 的月度增长率。
  • 方法应用：
    1. 因子分析：先用 PCA 从 122 个预测变量中提取 \( K \) 个因子（\( K \) 由信息准则确定，如 Bai & Ng, 2002）。
    2. 充分降维：对估计出的因子 \( \hat{f}_t \) 应用本文提出的 DR 和 ITM 方法，估计中心子空间 \( S_{y|f} \)，得到 \( d \) 个充分预测指标 \( \hat{\eta}^T \hat{f}_t \)。
    3. 预测：用非参数方法（如核回归）或线性方法（如 OLS）将 \( y_t \) 对 \( \hat{\eta}^T \hat{f}_t \) 进行回归，得到预测值。
  • 结果：
    • 与 Fan et al. (2017) 的 SIR 方法相比，本文的 DR 和 ITM 方法在预测 IP 增长率时，样本外 \( R^2 \) 更高，尤其是在经济衰退期（如 2008 年金融危机）和复苏期，预测优势更为明显。
    • 作者通过可视化展示了 DR 和 ITM 提取的充分预测指标与 IP 增长率之间的关系，发现这些指标能捕捉到 SIR 无法捕捉的非单调模式（例如，在低增长和高增长时期，预测指标的值都很大，呈现 U 型）。
  • 这个例子想说明什么：验证了本文方法在真实数据中确实能捕捉到 SIR 遗漏的非单调效应，从而带来预测精度的提升，尤其是在经济波动剧烈的时期。

🔎 结论是否比证明窄

  • 窄化之处：定理 1 的不变性结果依赖于因子和估计误差的联合正态性。这是一个很强的假设。作者在文中提到，这个结果可以推广到更一般的分布（如椭圆对称分布），但并未给出严格的证明。因此，“不变性”这一核心理论优势的适用范围可能比作者声称的要窄。
  • 泛化之处：作者在结论部分声称方法“fundamentally more applicable”，但模拟和实证只展示了在 \( K \) 较小（如 \( K=3 \) 或 \( K=5 \)）时的表现。当 \( K \) 发散到很大时（如 \( K = O(\sqrt{T}) \)），理论上的收敛速率会变慢，实际表现如何并未验证。“发散因子个数”的理论优势可能在实际中难以体现。

四、开放问题

  1. 不变性结果的放松：定理 1 的正态性假设能否放松到更一般的分布族（如椭圆对称分布）？如果不能，在非正态误差下，基于估计因子的 SDR 方法会有多大的偏差？扎根点：定理 1 的陈述和证明。
  2. 与核方法的比较：本文回避了与核 SDR 方法的比较。在因子模型框架下，核 SDR（如 KDR）的计算复杂度如何？能否通过近似方法（如随机傅里叶特征）使其可行？与本文的逆矩方法相比，核方法在捕捉非线性方面是否有理论上的优势或劣势？扎根点：引言中未提及核方法文献。
  3. 因子个数 \( K \) 与 SDR 维数 \( d \) 的联合选择：本文的阶数确定程序是分两步进行的（先定 \( K \)，再定 \( d \)）。是否存在一个联合选择准则，能同时确定 \( K \) 和 \( d \)，从而避免误差累积？扎根点：第三节的阶数确定程序。
  4. 与深度学习的联系：Fan et al. (2017) 明确讨论了充分预测与深度学习的联系。本文的高阶逆矩方法能否被解释为一种特定结构的神经网络？这种联系能否启发新的、更高效的预测方法？扎根点：Fan et al. (2017) 的引言。

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