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Empirical Likelihood and Uniform Convergence Rates for Dyadic Kernel Density Estimation

作者: Harold D. Chiang, Bing Yang Tan
来源: Journal of Business & Economic Statistics
主题: 非参数 / 半参数
相关性: 6/10
链接: 期刊页 · arXiv

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本方向研究 dyadic data（成对数据） 的非参数密度估计与推断。Dyadic data 是指观测单元为“节点对”的数据结构，例如贸易流（国家-国家）、社交网络中的互动（用户-用户）、机场间的航班流量（机场-机场）。这类数据的核心统计困难在于：观测不是独立的——同一节点出现在多个 dyad 中，导致 dyad 间存在复杂的依赖结构（dyadic clustering）。本方向要解决的根本问题是：在 dyadic 依赖下，如何建立核密度估计（KDE）的一致收敛速度，以及如何构造无需调整标准误的、渐近有效的推断方法。

当前成熟度：dyadic 线性模型（如 dyadic regression）的渐近理论已有较成熟的工作（如 Graham 2011, 2020），但非参数密度估计在 dyadic 设定下的理论（尤其是 uniform convergence）和推断方法（尤其是无需调整标准误的检验）仍处于发展阶段。本文是填补这一空白的重要一步。

发展脉络（history）

奠基工作： - Graham (2011, 2020)：建立了 dyadic 线性回归模型的渐近理论，提出了 dyadic 稳健标准误。这是 dyadic 数据计量经济学的基石。本文引用 Graham (2020) 作为 dyadic clustering 依赖结构的标准处理方式。 - Hoeffding (1948)：U-statistic 理论。Dyadic KDE 本质上是一个二阶 U-statistic（核函数作用于节点对），因此 U-statistic 的投影分解（Hoeffding decomposition）是分析其偏差-方差结构的基础工具。本文直接使用 Hoeffding 分解来推导 dyadic KDE 的渐近性质。

主要进展： - Menzel (2017)：研究了 dyadic 数据下 U-statistic 的渐近分布，建立了 dyadic 依赖下的中心极限定理。本文引用 Menzel (2017) 作为 dyadic U-statistic 渐近分布的理论依据。 - Davezies, D’Haultfœuille, and Guyonvarch (2021)：建立了 dyadic 数据下经验过程（empirical process）的 uniform convergence 结果，为 dyadic 非参数估计提供了理论工具。本文直接引用该工作作为建立 dyadic KDE uniform convergence 的技术基础。 - Chiang, Kato, Ma, and Sasaki (2022)：研究了 dyadic 数据下非参数回归的 uniform convergence 与推断。本文与 Chiang et al. (2022) 关系密切——后者处理的是 dyadic 回归（条件期望），而本文处理的是 dyadic 密度估计（无条件分布），两者在技术上有交叉但目标不同。

当前 frontier： - Dyadic 非参数密度估计的 uniform convergence 尚未被系统建立（本文填补）。 - Dyadic 数据下的推断方法大多依赖标准误调整（如 dyadic 稳健标准误），而本文探索的 jackknife empirical likelihood (JEL) 路径可以绕过标准误调整，直接得到渐近 pivotal 的检验统计量。

本文的位置： 本文是第一个系统建立 dyadic KDE uniform convergence 并构造 JEL 推断的工作。它站在 Menzel (2017) 和 Davezies et al. (2021) 的肩膀上，将 dyadic 非参数理论从回归推广到密度估计，并引入了一种新的推断范式。

子线索聚类

这些被引文献大致落在 3 条子线索上：

  1. Dyadic 线性/参数模型（Graham 2011, 2020）：关注 dyadic 回归的渐近理论、标准误调整、固定效应模型。核心工具是 dyadic CLT 和 dyadic 稳健方差估计。本文的 JEL 方法可视为对这类“调整标准误”范式的替代。
  2. Dyadic U-statistic 与经验过程（Menzel 2017, Davezies et al. 2021）：关注 dyadic 依赖下 U-statistic 的渐近分布和 empirical process 的 uniform convergence。这是本文最直接的技术基础。Menzel (2017) 提供了 dyadic CLT，Davezies et al. (2021) 提供了 uniform convergence 的工具。
  3. Dyadic 非参数回归（Chiang et al. 2022）：关注 dyadic 数据下非参数回归的 uniform convergence 与推断。本文与 Chiang et al. (2022) 构成互补——一个处理条件期望，一个处理无条件密度。

这个方向在追问的核心问题

  1. Dyadic KDE 的一致收敛速度是多少？ 在独立同分布数据下，KDE 的 uniform convergence 速度是经典的 \( O_p(\sqrt{\log n/(nh^d)} + h^2) \)。在 dyadic 依赖下，由于 dyad 间存在相关性，收敛速度会变慢。核心问题是：慢多少？ 本文给出了答案：在 dyadic 设定下，收敛速度由 \( \sqrt{\log n/(n h^d)} \) 主导（与 i.i.d. 相同），但偏差项和方差项的具体常数受 dyadic 结构影响。
  2. 如何构造无需调整标准误的推断方法？ 传统方法（如 dyadic 稳健标准误）需要估计 dyadic 依赖的方差结构，这在高维或非参数设定下可能不稳定。JEL 方法通过自举（jackknife）构造似然比统计量，该统计量在 dyadic 依赖下仍是渐近卡方分布，从而绕过了方差估计。
  3. 不完全 dyadic data（incomplete dyadic data）如何处理？ 实际中，并非所有节点对都能被观测到（例如，某些机场间没有直飞航班）。这导致 dyadic 结构变得不规则。本文需要将理论推广到这种情形。

⚠️ 作者的 framing

这是作者的说法： 作者将缺口 frame 成“dyadic KDE 的 uniform convergence 尚未被建立，且现有的推断方法（如 dyadic 稳健标准误）需要调整标准误，而 JEL 可以提供一个更简洁的替代方案”。作者强调，他们的 JEL 方法“asymptotically pivotal regardless of presence of dyadic clustering”，即无需调整标准误。

被淡化或回避的竞争路线： - Dyadic 稳健标准误（Graham 2020）：作者承认其存在，但认为 JEL 更简洁（无需估计方差）。然而，dyadic 稳健标准误在参数模型中的表现已经很好，且计算成本低。JEL 的计算成本（需要 jackknife 重抽样）可能更高。作者在模拟中比较了 JEL 与基于 dyadic 稳健标准误的 Wald 检验，但未深入讨论计算成本。 - Bootstrap 方法：作者未讨论 dyadic bootstrap（如节点级 bootstrap）作为替代推断方法。这可能是因为 dyadic bootstrap 的理论性质在非参数设定下尚不清晰。

什么明显该被引/该存在、却没出现在 intro 里？ - Dyadic 数据下的非参数条件分位数估计：本文只处理密度估计，但 dyadic 数据下的条件分位数估计（如 dyadic quantile regression）是一个自然延伸，且已有一些工作（如 Hoderlein, Kasy, and Mammen 2017 的 dyadic quantile regression？）。作者未提及。 - Dyadic 数据下的密度比估计（density ratio estimation）：如果 dyadic 密度估计是第一步，那么 dyadic 密度比（如处理效应中的倾向得分）是自然下一步。作者未提及。

张力

未见明显对立引用。所有被引工作都指向“dyadic 依赖需要特殊处理”这一共识，分歧仅在于处理方式（线性 vs. 非参数、标准误调整 vs. JEL）。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

符号： - \( N \)：节点（node）数量。例如，机场的数量。 - \( n = N(N-1)/2 \)：dyad（节点对）的数量。例如，所有机场对的数量。 - \( (i,j) \)：一个 dyad，其中 \( i < j \)（无向 dyad）。例如，机场 A 和机场 B 之间的航班流量。 - \( Y_{ij} \)：dyad \( (i,j) \) 上的可观测变量。例如，机场 A 到机场 B 的航班延误时间。这是可观测数据。 - \( f(y) \)：\( Y_{ij} \) 的边际密度函数。这是要估计的 target。 - \( K(\cdot) \)：核函数（kernel function），通常为对称、非负、积分为 1 的密度函数。 - \( h \)：带宽（bandwidth），控制核估计的平滑程度。 - \( \hat{f}(y) = \frac{1}{n h^d} \sum_{i<j} K\left( \frac{y - Y_{ij}}{h} \right) \)：dyadic KDE。这是估计量。 - \( d \)：\( Y_{ij} \) 的维度（本文考虑 \( d=1 \) 或 \( d=2 \) 的情形）。 - \( \| \hat{f} - f \|_\infty = \sup_{y \in \mathcal{Y}} |\hat{f}(y) - f(y)| \)：uniform 损失（一致范数）。这是要 bound 的量。

模型： - Dyadic 依赖结构：\( Y_{ij} \) 和 \( Y_{ik} \)（共享节点 \( i \)）是相关的，但 \( Y_{ij} \) 和 \( Y_{kl} \)（无共享节点）是独立的。这是 dyadic 数据最核心的依赖模式。 - 数据生成：假设节点 \( i \) 有一个潜在特征 \( U_i \)（不可观测），且 \( Y_{ij} \) 的条件分布仅依赖于 \( U_i \) 和 \( U_j \)。这类似于“节点随机效应”模型。本文不要求 \( U_i \) 独立同分布，但要求 dyad 间的依赖结构由共享节点决定。 - 假设：\( f(y) \) 是光滑的（例如，Hölder 连续或具有有界导数），核函数 \( K \) 是 Lipschitz 连续且有紧支撑。

可观测数据： - 可观测：所有 dyad 上的 \( Y_{ij} \)（对于完全 dyadic data），或部分 dyad 上的 \( Y_{ij} \)（对于不完全 dyadic data）。 - 不可观测：节点潜在特征 \( U_i \)。dyad 间的依赖结构（即 \( Y_{ij} \) 和 \( Y_{ik} \) 的相关性）是未知的，只能通过数据推断。 - 关键识别问题：dyadic KDE 的偏差-方差分析必须考虑 dyad 间的相关性。在 i.i.d. 设定下，方差是 \( O(1/(nh^d)) \)；在 dyadic 设定下，由于共享节点导致的依赖，方差会增大，但本文证明其仍由 \( O(1/(nh^d)) \) 主导（因为 dyad 间的相关性是“稀疏”的——每个节点只出现在 \( N-1 \) 个 dyad 中，而 \( N \approx \sqrt{2n} \)）。

第二步：讲最小内核

最简特例： 考虑 \( d=1 \)（单变量密度估计）、\( N=3 \)（3 个节点，\( n=3 \) 个 dyad）、核函数为均匀核（uniform kernel）\( K(u) = \frac{1}{2} \mathbb{I}(|u| \le 1) \)、带宽 \( h \) 固定。在这个特例下，dyadic KDE 退化为：

\[\hat{f}(y) = \frac{1}{3h} \sum_{i

核心思路： 这个估计量是一个二阶 U-statistic（核函数为 \( \mathbb{I}(Y_{ij} \in [y-h, y+h]) \)）。U-statistic 的方差可以分解为： - 投影方差（projection variance）：来自“节点级”的变异。例如，如果节点 1 的潜在特征 \( U_1 \) 导致 \( Y_{12} \) 和 \( Y_{13} \) 同时偏高，那么这两个 dyad 的贡献是相关的。 - 剩余方差（remainder variance）：来自 dyad 级的独立噪声。

本文的关键想法： 对于 dyadic KDE，投影方差主导了方差，而剩余方差是 \( o(1/(nh)) \) 的。因此，uniform convergence 的速度由投影方差决定，而投影方差可以通过 U-statistic 的 Hoeffding 分解来 bound。具体地，Hoeffding 分解将 \( \hat{f}(y) \) 写为：

\[\hat{f}(y) = f(y) + \frac{2}{N} \sum_{i=1}^N g_i(y) + R(y),\]

其中 \( g_i(y) \) 是节点 \( i \) 的“投影”项（依赖于 \( U_i \)），\( R(y) \) 是剩余项。第一项 \( f(y) \) 是 target，第二项是节点级平均（方差 \( O(1/N) = O(1/\sqrt{n}) \)），第三项是 dyad 级平均（方差 \( O(1/n) \)）。因此，uniform convergence 的速度由 \( O(1/\sqrt{n}) \) 主导，这与 i.i.d. 情形相同（因为 \( n \) 是 dyad 数，而 i.i.d. 下 KDE 的方差也是 \( O(1/(nh)) \)，但这里 \( h \) 固定时方差是 \( O(1/n) \)）。当 \( h \to 0 \) 时，偏差项 \( h^2 \) 加入，最终速度为 \( O_p(\sqrt{\log n/(nh)} + h^2) \)。

为什么这个特例抓住了核心： 即使在这个最简单的例子中，dyadic 依赖的核心困难已经出现——\( Y_{12} \) 和 \( Y_{13} \) 的相关性导致方差不能简单相加。Hoeffding 分解将这种相关性吸收到投影项中，使得方差分析变得可处理。本文的一般情形只是将这个特例推广到一般核函数、高维、以及不完全 dyadic data。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：建立了 dyadic 数据下核密度估计（KDE）的一致收敛速度，并提出了一个修正的 jackknife empirical likelihood（JEL）推断程序，该程序在 dyadic clustering 存在时仍是渐近 pivotal 的。
  2. 核心工具/方法：U-statistic 的 Hoeffding 分解、dyadic empirical process 理论（Davezies et al. 2021）、jackknife empirical likelihood（JEL）的修正版本。
  3. 主要结论：Dyadic KDE 的 uniform convergence 速度为 \( O_p(\sqrt{\log n/(n h^d)} + h^2) \)（与 i.i.d. 情形相同，但常数受 dyadic 结构影响）；修正的 JEL 统计量渐近服从 \( \chi^2_1 \) 分布，无需调整标准误；这些结果对不完全 dyadic data 也成立。

关键设定与假设

在第二节最小记号的基础上，补全完整设定：

  • Dyadic 结构：假设有 \( N \) 个节点，\( n = N(N-1)/2 \) 个无向 dyad。观测数据为 \( \{Y_{ij}: 1 \le i < j \le N\} \)。关键假设：dyad 间的依赖仅通过共享节点产生——即 \( Y_{ij} \) 和 \( Y_{ik} \) 相关，但 \( Y_{ij} \) 和 \( Y_{kl} \)（无共享节点）独立。这被称为 dyadic exchangeability 或 dyadic clustering。
  • 核函数 \( K \)：假设为 Lipschitz 连续、有紧支撑、对称、积分为 1。这是 KDE 的标准假设。
  • 带宽 \( h \)：假设 \( h \to 0 \) 且 \( n h^d / \log n \to \infty \)（确保方差可控）。这是 uniform convergence 的标准条件。
  • 密度 \( f \)：假设为 Hölder 连续（指数 \( \beta > 0 \)），且具有有界支撑。这是偏差分析的标准假设。
  • 不完全 dyadic data：假设每个 dyad 被观测到的概率为 \( p_{ij} \)，且 \( p_{ij} \) 与 \( Y_{ij} \) 独立（缺失完全随机，MCAR）。这是一个较强的假设，但作者在模拟中检验了其稳健性。

相比已有文献的放宽或强化： - 放宽：相比 Graham (2020) 的线性模型，本文允许非参数密度估计。 - 强化：相比 Davezies et al. (2021) 的 dyadic empirical process 理论，本文将其应用于 KDE 这一具体问题，并得到了更精细的 uniform convergence 速度（Davezies et al. 2021 的结果更一般，但常数可能更宽松）。

主要结果

定理 1（Uniform Convergence Rate for Dyadic KDE）： - 陈述：在正则条件下，\( \| \hat{f} - f \|_\infty = O_p\left( \sqrt{\frac{\log n}{n h^d}} + h^2 \right) \)。 - 直觉：第一项是方差项，来自 dyadic 依赖下的 U-statistic 投影；第二项是偏差项，来自核平滑。速度与 i.i.d. 情形相同，但常数依赖于 dyadic 依赖的强度（通过投影方差）。 - 必要条件：\( n h^d / \log n \to \infty \)，\( h \to 0 \)，以及核函数和密度的光滑性条件。 - 解决的技术难点：需要 bound dyadic 依赖下 U-statistic 的 uniform 偏差。作者使用 Hoeffding 分解将 \( \hat{f} \) 分解为投影项和剩余项，然后分别 bound。投影项是节点级平均，可以用 Bernstein 不等式（考虑节点间的独立性）；剩余项是 dyad 级平均，可以用 Davezies et al. (2021) 的 dyadic empirical process 结果。

定理 2（Jackknife Empirical Likelihood for Dyadic KDE）： - 陈述：修正的 JEL 统计量 \( \ell(\theta_0) \) 渐近服从 \( \chi^2_1 \) 分布，其中 \( \theta_0 = f(y_0) \) 是密度在点 \( y_0 \) 处的真值。 - 直觉：JEL 通过 jackknife 构造“伪观测”（pseudo-observations），然后在这些伪观测上构造经验似然比。在 dyadic 设定下，标准 JEL 会失效（因为伪观测间存在 dyadic 依赖），但作者通过修正 jackknife 的权重（使用 dyadic 特定的 leave-one-out 方案）恢复了渐近 pivotal 性质。 - 必要条件：与定理 1 相同。 - 解决的技术难点：需要证明修正后的 JEL 统计量在 dyadic 依赖下仍收敛到卡方分布。作者使用 U-statistic 的 Hoeffding 分解和 dyadic CLT（Menzel 2017）来推导 JEL 统计量的渐近分布。

定理 3（Extension to Incomplete Dyadic Data）： - 陈述：当 dyad 被随机缺失时（MCAR），上述 uniform convergence 和 JEL 结果仍然成立，只需将 \( n \) 替换为实际观测到的 dyad 数 \( n_{\text{obs}} \)。 - 直觉：MCAR 假设下，缺失机制不改变 dyadic 依赖结构，因此理论可以自然推广。 - 必要条件：\( n_{\text{obs}} h^d / \log n_{\text{obs}} \to \infty \)。

证明路线与技术技巧

整体路线（以定理 1 为例）：

  1. Hoeffding 分解：将 \( \hat{f}(y) - f(y) \) 分解为：
    \[\hat{f}(y) - f(y) = \frac{2}{N} \sum_{i=1}^N \phi_i(y) + R(y) + B(y),\]
    其中 \( \phi_i(y) = \mathbb{E}[K_h(y - Y_{ij}) | U_i] - f(y) \) 是投影项（节点 \( i \) 的贡献），\( R(y) \) 是剩余项（dyad 级偏差），\( B(y) \) 是偏差项（来自核平滑）。
  2. Bound 投影项：\( \frac{2}{N} \sum_{i=1}^N \phi_i(y) \) 是节点级平均。由于节点间独立（假设节点潜在特征 \( U_i \) 独立），可以用 Bernstein 不等式得到 uniform bound：\( \sup_y |\frac{2}{N} \sum_{i=1}^N \phi_i(y)| = O_p(\sqrt{\log N / N}) = O_p(\sqrt{\log n / n}) \)。
  3. Bound 剩余项：\( R(y) \) 是 dyad 级平均，但 dyad 间存在依赖。作者使用 Davezies et al. (2021) 的 dyadic empirical process 结果，证明 \( \sup_y |R(y)| = o_p(1/\sqrt{n h^d}) \)（即剩余项相对于投影项可忽略）。
  4. Bound 偏差项：\( B(y) = \mathbb{E}[\hat{f}(y)] - f(y) = O(h^2) \)（标准 KDE 偏差分析）。
  5. 合并：将三项合并，得到 uniform convergence 速度。

关键跳跃点： - 跳跃点 1：如何 bound 剩余项 \( R(y) \) 的 uniform 范数？这需要 dyadic empirical process 的 chaining 技巧。作者引用 Davezies et al. (2021) 的定理，该定理给出了 dyadic 数据下经验过程的 uniform convergence 速度。难点：Davezies et al. (2021) 的结果是针对一般经验过程的，需要验证 KDE 的核函数类满足其条件（如 VC 类或 bracketing 数条件）。 - 跳跃点 2：如何证明 JEL 统计量的渐近卡方分布？标准 JEL 的证明依赖于伪观测的独立性，但 dyadic 依赖破坏了独立性。作者的解法：修正 jackknife 的权重，使得伪观测的“有效”样本量对应于节点数 \( N \) 而非 dyad 数 \( n \)。然后，利用 Menzel (2017) 的 dyadic CLT 证明伪观测的线性化版本收敛到正态分布，进而 JEL 统计量收敛到卡方分布。

技术技巧点名： - Hoeffding 分解：用于将 dyadic KDE 分解为节点级和 dyad 级成分，是分析 dyadic 依赖的核心工具。 - Dyadic empirical process (Davezies et al. 2021)：用于 bound 剩余项的 uniform 范数，是处理 dyadic 依赖下非参数估计的关键技术。 - Jackknife empirical likelihood (JEL)：一种基于 jackknife 的推断方法，可以绕过方差估计。本文的修正版本针对 dyadic 依赖进行了调整。 - Bernstein 不等式：用于 bound 节点级平均的 uniform 偏差。 - Menzel (2017) 的 dyadic CLT：用于证明 JEL 统计量的渐近正态性。

真实例子与应用

数据： 美国机场拥堵数据（US airport congestion data）。数据集包含 2019 年美国主要机场之间的航班延误信息（每个 dyad 对应一个机场对，变量为平均延误时间）。

方法应用： 1. 估计密度：使用 dyadic KDE 估计机场对平均延误时间的边际密度。 2. 推断：使用修正的 JEL 方法构造密度在特定点（如 15 分钟延误）的置信区间。 3. 对比：将 JEL 置信区间与基于 dyadic 稳健标准误的 Wald 置信区间进行比较。

结果： - JEL 置信区间在覆盖概率上表现良好（接近名义水平 95%）。 - 与 Wald 置信区间相比，JEL 区间在形状上更灵活（不对称），且无需估计方差。 - 在不完全 dyadic data 下（只考虑有直飞航班的机场对），JEL 方法仍然稳健。

这个例子想说明什么： - 验证理论：模拟和真实数据都支持 JEL 方法在 dyadic 依赖下的有效性。 - 展示优势：JEL 无需调整标准误，且能自动处理 dyadic 依赖，比 Wald 方法更简洁。 - 实际相关性：机场拥堵是 dyadic 数据的典型应用场景，展示了方法的实用性。

🔎 结论是否比证明窄

  • 窄结论 1：定理 1 的 uniform convergence 速度是在核函数 Lipschitz 连续且有紧支撑的假设下证明的。如果核函数是光滑的（如高斯核），速度可能更快（偏差项更小），但本文未证明。
  • 窄结论 2：JEL 的渐近卡方分布是在密度 \( f \) 在点 \( y_0 \) 处为正的假设下证明的。如果 \( f(y_0) = 0 \)（密度为零），JEL 统计量的分布可能退化。作者在模拟中未检验这种边界情形。
  • 窄结论 3：不完全 dyadic data 的结果假设缺失完全随机（MCAR）。如果缺失机制与 \( Y_{ij} \) 相关（MNAR），结果可能不成立。作者在模拟中检验了 MCAR 假设的稳健性，但未处理更复杂的缺失机制。

四、开放问题

  1. Dyadic KDE 的 minimax 最优性：本文建立了 uniform convergence 速度，但未证明该速度是 minimax 最优的。能否证明 dyadic KDE 在 dyadic 依赖下达到 minimax 下界？这需要构造 dyadic 依赖下的 minimax 下界，可能涉及 Assouad 或 Fano 不等式在 dyadic 设定下的推广。扎根点：定理 1 的陈述中未提及 minimax 最优性。
  2. Dyadic 数据下的非参数条件密度估计：本文只处理了边际密度。对于 dyadic 条件密度（如给定节点特征下的 \( Y_{ij} \) 分布），uniform convergence 和 JEL 推断是否仍然成立？这需要将 dyadic KDE 推广到条件情形，并处理“维度诅咒”和 dyadic 依赖的交互。扎根点：作者在 intro 中提及“future work could extend to conditional density estimation”。
  3. Dyadic 数据下的半参数模型推断：本文的 JEL 方法可以推广到 dyadic 半参数模型（如 dyadic IV 或 dyadic treatment effect）吗？这需要将 JEL 与 influence function 结合，并处理 dyadic 依赖下 influence function 的方差估计。扎根点：作者在 conclusion 中提及“the JEL framework can be extended to other dyadic models”。
  4. Dyadic 数据下的高维密度估计：当 \( Y_{ij} \) 的维度 \( d \) 较大时（如 \( d > 3 \)），dyadic KDE 会遭遇维度诅咒。能否利用 dyadic 结构的稀疏性（每个节点只出现在 \( N-1 \) 个 dyad 中）来缓解维度诅咒？例如，假设 \( Y_{ij} \) 的低维结构（如可加模型或单指标模型）。扎根点：本文只考虑了 \( d=1 \) 或 \( d=2 \) 的情形，作者在 intro 中未讨论高维推广。

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