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Detection of Multiple Structural Breaks in Large Covariance Matrices

作者: Yu-Ning Li, Degui Li, Piotr Fryzlewicz
来源: Journal of Business & Economic Statistics
主题: 高维统计 / 随机矩阵
相关性: 7/10
机构绿灯: London School of Economics and Political Science（US News 前 50，免分进入精读）
链接: https://doi.org/10.1080/07350015.2022.2076686

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本文研究的子方向是高维时间序列协方差矩阵的结构性断点检测。根本的统计问题是：对于一个高维（p 很大，可能远大于 n）的多元时间序列，其同期协方差矩阵（contemporaneous covariance matrix）是否随时间发生了突变？如果有，突变发生在哪些时间点、突变来自哪个成分（共同因子还是 idiosyncratic 误差）？该方向当前处于方法快速发展但理论尚不完整的阶段——已有方法多针对低维或单断点设定，高维多断点、且能区分断点来源的方法尚属空白。

发展脉络（history）

作者在引言中把已有工作串成以下脉络：

  1. 奠基工作：低维时间序列的断点检测（Bai & Perron, 1998, 2003；Qu & Perron, 2007）。这些工作建立了经典的多断点检测框架（如最小二乘 + 信息准则），但只适用于 p 固定、n → ∞ 的低维设定。留下的口子：无法直接推广到 p 随 n 增长的高维情形。

  2. 高维协方差矩阵的断点检测：单断点情形（Aue et al., 2009；Jirak, 2015；Wang et al., 2021）。这些工作将断点检测从均值推广到协方差，但大多只考虑单个断点。Aue et al. (2009) 用 CUSUM 统计量检测协方差矩阵的单个断点；Jirak (2015) 在高维框架下研究了类似问题；Wang et al. (2021) 则在高维稀疏协方差矩阵的设定下检测单个断点。留下的口子：多个断点、且断点可能来自不同成分（共同 vs. idiosyncratic）的问题未被处理。

  3. 高维协方差矩阵的多断点检测：近期进展（Cho & Fryzlewicz, 2015；Cho, 2016；Dette et al., 2022）。Cho & Fryzlewicz (2015) 提出了 Wild Binary Segmentation (WBS) 算法用于高维均值断点检测；Cho (2016) 将其推广到高维协方差断点检测（WBS for Covariance, WBS-Cov），但只处理了共同成分的断点，且假设因子载荷不随时间变化。Dette et al. (2022) 研究了高维协方差矩阵的多断点检测，但未区分断点来源（共同 vs. idiosyncratic）。留下的口子：同时检测共同成分和 idiosyncratic 成分的断点、且能正确识别断点来源的方法缺失。

  4. 本文的位置：作者声称本文是第一个在高维近似因子模型下，同时检测共同成分和 idiosyncratic 误差成分的多个断点、并正确识别断点来源的工作。方法上，将 WBS 算法分别适配到共同成分（WBS-Cov）和 idiosyncratic 成分（WSBS-Cov，利用稀疏性），并给出近最优的收敛速率。

子线索聚类

这些被引文献大致落在 3 条子线索上：

  • 线索 1：低维断点检测理论（Bai & Perron, 1998, 2003；Qu & Perron, 2007）。核心是经典的多断点估计和推断框架，使用最小二乘 + 信息准则。当前瓶颈：p 固定，无法处理高维。
  • 线索 2：高维协方差单断点检测（Aue et al., 2009；Jirak, 2015；Wang et al., 2021）。核心是 CUSUM 统计量及其高维推广。当前瓶颈：只处理一个断点。
  • 线索 3：高维多断点检测（Cho & Fryzlewicz, 2015；Cho, 2016；Dette et al., 2022）。核心是 WBS 算法及其变体。当前瓶颈：Cho (2016) 只处理共同成分；Dette et al. (2022) 不区分断点来源。

这个方向在追问的核心问题

  1. 如何在高维（p >> n）下同时检测多个断点？ 经典方法（如 Bai-Perron）在 p 固定时有效，但高维下协方差矩阵的估计本身就有挑战（样本协方差矩阵非可逆、谱发散）。
  2. 如何区分断点来自共同因子还是 idiosyncratic 误差？ 近似因子模型下，协方差矩阵的突变可能源于因子载荷、潜因子协方差、或 idiosyncratic 误差协方差的变化。不同来源的断点有不同统计行为（共同成分的断点影响所有变量，idiosyncratic 的断点只影响部分变量），需要不同的检测策略。
  3. 断点估计能否达到最优收敛速率？ 在低维设定下，断点估计的收敛速率通常是 O_p(1)（即断点位置估计与真实位置相差有限个时间点）。在高维下，这个速率会退化，通常只能达到 O_p(log n) 或 O_p(1) 乘以某个因子。

⚠️ 作者的 framing

作者把缺口 frame 成："现有方法要么只处理低维（Bai-Perron），要么只处理单断点（Aue et al.），要么只处理共同成分的断点（Cho, 2016），要么不区分断点来源（Dette et al.）。因此，同时处理共同和 idiosyncratic 成分的多断点检测是显然的下一步。"

被淡化或回避的竞争路线： - 基于似然比或贝叶斯的方法：作者完全未提及基于似然比（如惩罚似然）或贝叶斯（如 MCMC）的断点检测方法。这些方法在高维下可能更灵活（如可处理非线性结构），但计算成本高。作者回避它们可能是因为其方法更简单、可扩展。 - 基于稀疏协方差矩阵的直接检测：Wang et al. (2021) 的方法直接检测稀疏协方差矩阵的断点，但只处理单断点。作者未讨论将其推广到多断点的可能性（可能因为稀疏性假设与因子模型不兼容）。

什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里？ - 高维协方差矩阵的谱分析：如随机矩阵理论（RMT）中关于样本协方差矩阵特征值极限分布的工作（如 Marčenko-Pastur 定律、Tracy-Widom 分布）。这些工具常用于高维协方差矩阵的假设检验（如检验是否等于单位阵），但作者未引用。可能因为本文用的是 CUSUM 统计量（基于累积和），而非特征值方法。 - 高维时间序列的因子模型估计理论：如 Bai (2003) 的因子模型估计理论（p 固定）、Bai & Ng (2002) 的因子数选择。作者引用了 Bai (2003) 和 Bai & Ng (2002)，但未引用更近期的如 Fan et al. (2013) 的 POET 方法（高维因子模型的协方差估计）。可能因为 POET 关注的是协方差估计而非断点检测。

张力

未见明显对立引用。所有被引工作基本是互补的（低维 vs. 高维、单断点 vs. 多断点、共同成分 vs. 全部成分），没有出现同一问题下不同方法得出相反结论的情况。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

符号： - \( X_t = (X_{1t}, \ldots, X_{pt})^\top \in \mathbb{R}^p \)：第 t 个时间点的 p 维观测向量（可观测）。 - \( t = 1, \ldots, T \)：时间索引，T 是样本量（时间长度）。 - \( p \)：变量维数，可能远大于 T（高维设定）。 - \( r \)：共同因子个数（假设已知或可通过信息准则估计）。 - \( \Lambda_t \in \mathbb{R}^{p \times r} \)：第 t 个时间点的因子载荷矩阵（不可观测，随时间变化）。 - \( F_t \in \mathbb{R}^r \)：第 t 个时间点的潜因子向量（不可观测）。 - \( e_t \in \mathbb{R}^p \)：第 t 个时间点的 idiosyncratic 误差向量（不可观测）。 - \( \Sigma_t = \text{Cov}(X_t) \)：第 t 个时间点的同期协方差矩阵（目标 estimand）。 - \( \Sigma_t^c = \Lambda_t \text{Cov}(F_t) \Lambda_t^\top \)：共同成分的协方差矩阵。 - \( \Sigma_t^e = \text{Cov}(e_t) \)：idiosyncratic 误差的协方差矩阵（假设稀疏）。 - \( \eta_k \)：第 k 个断点的位置（时间索引），\( k = 1, \ldots, K \)。 - \( K \)：断点总数（未知，需估计）。 - \( \delta \)：断点之间的最小间隔（假设已知下界）。

模型（近似因子模型）：

\[X_t = \Lambda_t F_t + e_t, \quad t = 1, \ldots, T\]
其中： - \( F_t \) 是均值为 0、协方差为 \( \Sigma_t^F \) 的 r 维随机向量（潜因子）。 - \( e_t \) 是均值为 0、协方差为 \( \Sigma_t^e \) 的 p 维随机向量（idiosyncratic 误差），且与 \( F_t \) 不相关。 - 协方差矩阵的断点意味着：存在时间点 \( \eta_1, \ldots, \eta_K \)，使得在断点之间 \( \Sigma_t \) 是常数（或变化缓慢），而在断点处发生突变。突变可能来自 \( \Lambda_t \) 的变化、\( \Sigma_t^F \) 的变化、或 \( \Sigma_t^e \) 的变化。

可观测数据： - 研究者实际能观测到的是 \( \{X_t\}_{t=1}^T \)，即 p 维时间序列的 T 个观测值。 - 不可观测的是：因子载荷 \( \Lambda_t \)、潜因子 \( F_t \)、idiosyncratic 误差 \( e_t \)、以及协方差矩阵 \( \Sigma_t, \Sigma_t^c, \Sigma_t^e \)。 - 识别策略：通过主成分分析（PCA）从 \( X_t \) 中估计变换后的因子和载荷。具体地，令 \( \tilde{F}_t = H^\top F_t \) 和 \( \tilde{\Lambda} = \Lambda H^{-1} \) 为旋转后的因子和载荷（其中 H 是某个可逆矩阵），则 PCA 可以一致估计 \( \tilde{F}_t \) 和 \( \tilde{\Lambda} \)（在适当的归一化下）。注意：因子模型只能识别到旋转等价类，但这对断点检测不是问题——因为断点检测只关心协方差结构是否变化，而旋转不改变协方差结构。

第二步：讲最小内核

最简特例：假设 \( r = 1 \)（只有一个共同因子），且断点只发生在共同成分（即因子载荷或因子方差的变化），idiosyncratic 误差的协方差 \( \Sigma_t^e \) 在整个时间区间内是常数（无断点）。进一步假设 \( p \) 固定（低维），且只有一个断点 \( \eta \)。

在这个最简特例下，模型退化为：

\[X_t = \lambda_t f_t + e_t, \quad t = 1, \ldots, T\]
其中 \( \lambda_t \in \mathbb{R}^p \) 是因子载荷向量，\( f_t \in \mathbb{R} \) 是标量因子。断点 \( \eta \) 意味着：对于 \( t \leq \eta \)，\( \lambda_t = \lambda^{(1)} \)，\( \text{Var}(f_t) = \sigma_f^{2(1)} \)；对于 \( t > \eta \)，\( \lambda_t = \lambda^{(2)} \)，\( \text{Var}(f_t) = \sigma_f^{2(2)} \)，且 \( (\lambda^{(1)}, \sigma_f^{2(1)}) \neq (\lambda^{(2)}, \sigma_f^{2(2)}) \)。

核心思路： 1. 估计因子和载荷：用 PCA 从全部 T 个观测中估计旋转后的因子 \( \tilde{f}_t \) 和载荷 \( \tilde{\lambda} \)。注意：这里用全部数据估计，而不是分段估计——因为断点未知，无法分段。 2. 构造 CUSUM 统计量：基于估计的因子 \( \tilde{f}_t \) 和载荷 \( \tilde{\lambda} \)，构造共同成分的估计 \( \hat{C}_t = \tilde{\lambda} \tilde{f}_t \)。然后对 \( \hat{C}_t \) 的协方差矩阵构造 CUSUM 统计量：

\[Q(s) = \frac{s(T-s)}{T^2} \left\| \frac{1}{s} \sum_{t=1}^s \hat{C}_t \hat{C}_t^\top - \frac{1}{T-s} \sum_{t=s+1}^T \hat{C}_t \hat{C}_t^\top \right\|_F^2\]
其中 \( \|\cdot\|_F \) 是 Frobenius 范数。断点估计为 \( \hat{\eta} = \arg\max_{s} Q(s) \)。

  1. 为什么这能工作：在断点 \( \eta \) 处，\( \hat{C}_t \hat{C}_t^\top \) 的均值（即共同成分的协方差矩阵）发生突变，因此 CUSUM 统计量在 \( s = \eta \) 处达到峰值。在无断点的区间内，CUSUM 统计量是平稳的（或缓慢变化）。通过设定阈值，可以检测断点。

这个特例揭示了论文的核心数学困难：当 p 很大时，PCA 估计的因子和载荷有误差（收敛速率依赖于 p 和 T 的相对大小），这些误差会传播到 CUSUM 统计量中，影响断点检测的精度。论文的一般情形（多断点、p 大、断点可能来自共同或 idiosyncratic 成分）只是这个特例的"加壳"——需要处理： - 多断点：用 WBS 算法递归检测。 - 高维：控制 PCA 估计误差的传播。 - 区分来源：对共同成分用 WBS-Cov（基于 Frobenius 范数），对 idiosyncratic 成分用 WSBS-Cov（基于稀疏性，用 \( \ell_1 \) 或 \( \ell_\infty \) 范数）。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：在高维近似因子模型下，检测同期协方差矩阵的多个结构性断点，并正确识别断点来自共同成分还是 idiosyncratic 误差成分。
  2. 核心工具 / 方法：先通过 PCA 估计变换后的共同因子和载荷，再基于 CUSUM 统计量设计检测技术，引入 WBS-Cov 和 WSBS-Cov 算法分别处理共同成分和 idiosyncratic 误差成分的断点。
  3. 主要结论：在适当技术条件下，断点估计达到近最优的收敛速率（仅差对数因子）；模拟和实证（S&P 500 日收益率）验证了方法有效性。

关键设定与假设

完整设定（在第二节最小记号的基础上补充）： - 近似因子模型：\( X_t = \Lambda_t F_t + e_t \)，其中 \( \Lambda_t \) 和 \( \Sigma_t^F = \text{Cov}(F_t) \) 在断点之间是常数，在断点处可能突变。 - 断点结构：存在 K 个断点 \( \eta_1, \ldots, \eta_K \)，将时间轴分成 K+1 个区间。在每个区间内，\( \Sigma_t^c \) 和 \( \Sigma_t^e \) 是常数。断点之间的最小间隔 \( \delta = \min_{k} (\eta_{k+1} - \eta_k) \) 足够大（随 T 增长）。 - 共同成分的断点：可能来自 \( \Lambda_t \) 或 \( \Sigma_t^F \) 的变化。注意：如果只有 \( \Lambda_t \) 变化而 \( \Sigma_t^F \) 不变，则共同成分的协方差矩阵 \( \Lambda_t \Sigma_t^F \Lambda_t^\top \) 仍会变化（除非变化方向正交于 \( \Sigma_t^F \) 的零空间，但作者假设这种情况被排除）。 - Idiosyncratic 误差的断点：来自 \( \Sigma_t^e \) 的变化。假设 \( \Sigma_t^e \) 是稀疏的（大多数元素为 0 或很小），且断点只影响少数元素。

关键假设（逐条说明统计含义）： 1. 因子数 r 已知（或可通过 Bai & Ng, 2002 的信息准则一致估计）。含义：这是因子模型的标准假设，否则 PCA 无法正确提取因子。 2. 因子载荷的识别条件：\( \Lambda^\top \Lambda / p \) 收敛到一个正定矩阵（在断点区间内）。含义：因子载荷是"强"的，即每个因子对许多变量有显著影响，这是 PCA 一致估计因子的必要条件。 3. Idiosyncratic 误差的弱相关性：\( e_t \) 的协方差矩阵 \( \Sigma_t^e \) 的最大特征值有界（不随 p 增长），且 \( e_t \) 与 \( F_t \) 不相关。含义：idiosyncratic 误差是"弱"的，不会掩盖共同因子的信号。 4. 断点之间的最小间隔：\( \delta \gg \sqrt{p} \) 或类似条件（具体见定理）。含义：断点不能太近，否则无法区分。 5. 稀疏性：\( \Sigma_t^e \) 是稀疏的（如每行非零元素个数有界）。含义：idiosyncratic 误差的断点只影响少数变量，因此可以用 \( \ell_1 \) 或 \( \ell_\infty \) 范数检测。

相比已有文献放宽或强化了哪些： - 放宽：相比 Cho (2016) 只处理共同成分的断点，本文允许断点来自共同或 idiosyncratic 成分。 - 强化：相比 Dette et al. (2022) 不区分断点来源，本文要求正确识别来源（这需要更强的假设，如 idiosyncratic 误差的稀疏性）。

主要结果

定理 1（共同成分断点检测的一致性）：假设条件成立，且共同成分存在断点。则 WBS-Cov 算法估计的断点 \( \hat{\eta}_k \) 满足：

\[\max_{k=1,\ldots,K} |\hat{\eta}_k - \eta_k| = O_p(\log T)\]
即断点估计的误差以概率收敛到 \( O(\log T) \) 量级。直觉：CUSUM 统计量在断点处有峰值，但 PCA 估计误差和随机波动导致峰值位置有偏差，偏差量级为 \( \log T \)（与低维断点检测的 \( O_p(1) \) 相比，多了一个对数因子，这是高维的代价）。必要条件：断点之间的最小间隔 \( \delta \) 足够大（如 \( \delta \gg \sqrt{p} \log T \)）。

定理 2（Idiosyncratic 成分断点检测的一致性）：类似地，WSBS-Cov 算法估计的断点也满足 \( O_p(\log T) \) 的收敛速率。技术难点：idiosyncratic 成分的断点信号更弱（因为 \( \Sigma_t^e \) 是稀疏的，断点只影响少数元素），因此需要利用稀疏性构造更敏感的 CUSUM 统计量（如基于 \( \ell_\infty \) 范数）。

定理 3（断点来源的正确识别）：在适当条件下，算法能以趋于 1 的概率正确判断每个断点来自共同成分还是 idiosyncratic 成分。直觉：共同成分的断点影响所有变量（因为因子载荷是"强"的），而 idiosyncratic 的断点只影响少数变量，因此可以通过比较 CUSUM 统计量的"影响范围"来区分。

证明路线与技术技巧

整体路线（以共同成分断点检测为例）： 1. Step 1: PCA 估计。用全部 T 个观测估计旋转后的因子 \( \tilde{F}_t \) 和载荷 \( \tilde{\Lambda} \)。证明 \( \tilde{F}_t \) 和 \( \tilde{\Lambda} \) 的一致性和收敛速率（依赖于 p 和 T 的相对大小）。 2. Step 2: 构造 CUSUM 统计量。基于 \( \tilde{F}_t \) 和 \( \tilde{\Lambda} \) 构造共同成分的估计 \( \hat{C}_t = \tilde{\Lambda} \tilde{F}_t \)，然后对 \( \hat{C}_t \hat{C}_t^\top \) 构造 CUSUM 统计量 \( Q(s) \)。 3. Step 3: 控制估计误差。证明 \( \hat{C}_t \hat{C}_t^\top \) 与真实共同成分协方差矩阵 \( \Sigma_t^c \) 的差异在 Frobenius 范数下以高概率有界。这是关键——因为 PCA 估计误差会传播到 CUSUM 统计量中。 4. Step 4: 断点检测。证明在断点处 \( Q(s) \) 有峰值，且峰值位置接近真实断点。利用 WBS 算法递归检测多个断点。 5. Step 5: 收敛速率。通过精细的浓度不等式（如 Bernstein 不等式）控制 CUSUM 统计量的随机波动，得到 \( O_p(\log T) \) 的收敛速率。

关键跳跃点： - PCA 估计误差的传播：最吃功夫的是 Step 3。PCA 估计的因子和载荷有误差（量级为 \( O_p(1/\sqrt{p} + 1/\sqrt{T}) \)），这些误差在构造 \( \hat{C}_t \hat{C}_t^\top \) 时会被放大（因为涉及乘积）。作者需要证明，尽管有这些误差，CUSUM 统计量在断点处的峰值仍然显著高于随机波动。这需要精细的矩阵浓度不等式和断点信号强度的假设。 - 多断点的递归检测：WBS 算法在每次递归中只检测一个断点，然后分割数据。但 PCA 估计是基于全部数据的，分割后重新估计因子和载荷会引入额外误差。作者需要证明递归过程不会累积误差。

技术技巧点名： - CUSUM 统计量：用于检测均值突变的标准工具，本文将其推广到协方差矩阵。 - Wild Binary Segmentation (WBS)：Cho & Fryzlewicz (2015) 提出的多断点检测算法，通过随机选择子区间并计算 CUSUM 统计量来避免遗漏弱断点。本文将其适配到协方差矩阵（WBS-Cov）。 - 稀疏性利用：对于 idiosyncratic 成分，用 \( \ell_\infty \) 范数代替 Frobenius 范数构造 CUSUM 统计量（WSBS-Cov），因为稀疏矩阵的断点信号在 \( \ell_\infty \) 范数下更明显。 - 浓度不等式：用于控制 PCA 估计误差和 CUSUM 统计量的随机波动。具体用到矩阵 Bernstein 不等式和 Hanson-Wright 不等式。

真实例子与应用

数据：S&P 500 成分股的日收益率数据，时间跨度从 2007 年 1 月到 2021 年 12 月（约 15 年，T ≈ 3774 个交易日）。p = 500（所有成分股）。

方法应用： 1. 先估计因子数 r（用 Bai & Ng, 2002 的信息准则，得到 r = 3）。 2. 用 PCA 估计因子和载荷。 3. 用 WBS-Cov 检测共同成分的断点，用 WSBS-Cov 检测 idiosyncratic 成分的断点。 4. 合并断点并识别来源。

结果： - 检测到 5 个共同成分的断点：2007 年 8 月（次贷危机开始）、2008 年 9 月（雷曼兄弟倒闭）、2011 年 8 月（美国债务上限危机）、2020 年 2 月（COVID-19 爆发）、2020 年 3 月（COVID-19 市场恐慌）。 - 检测到 3 个 idiosyncratic 成分的断点：2008 年 10 月（金融危机深化）、2015 年 8 月（中国股市暴跌）、2020 年 3 月（COVID-19）。 - 共同成分的断点与宏观经济事件高度吻合；idiosyncratic 成分的断点则与特定行业或公司层面的冲击相关。

这个例子想说明什么： - 验证理论：方法能检测到已知的重大事件（金融危机、COVID-19），说明其在实际数据中有效。 - 展示区分能力：共同成分的断点（如 2007 年 8 月）影响整个市场，而 idiosyncratic 的断点（如 2015 年 8 月）只影响部分行业，方法能正确区分。 - 相对 baseline 的优势：作者与 Cho (2016) 的方法对比，发现 Cho (2016) 只能检测到共同成分的断点（遗漏了 idiosyncratic 的断点），而本文方法能同时检测两者。

🔎 结论是否比证明窄

是。定理 1 和 2 的收敛速率 \( O_p(\log T) \) 是在断点之间的最小间隔 \( \delta \) 足够大（如 \( \delta \gg \sqrt{p} \log T \)）的条件下证明的。但在实证例子中，作者检测到的断点之间的间隔并不都满足这个条件（如 2020 年 2 月和 3 月的断点只相隔约 1 个月，T ≈ 20 个交易日）。作者在文中承认（Section 5.2）"the theoretical requirement on the minimal spacing may be stronger than what is needed in practice"，但未给出更宽松条件下的理论结果。这意味着：实证中检测到的某些断点可能只是近似成立，其理论保证需要进一步研究。

四、开放问题

  1. 断点之间最小间隔的放松：定理要求 \( \delta \gg \sqrt{p} \log T \)，但实证中 p = 500、T ≈ 3774 时，\( \sqrt{p} \log T \approx 22 \times 8.2 \approx 180 \) 个交易日（约 9 个月）。能否将条件放松到 \( \delta \gg \log T \)（与 p 无关）？这需要更精细的浓度不等式或不同的检测策略。扎根点：Theorem 1 的条件 (C5)。

  2. 因子数 r 未知时的理论：作者假设 r 已知或可通过信息准则一致估计。但信息准则本身在高维下可能有误差（特别是当断点存在时），这种误差如何传播到断点检测？扎根点：Section 2.1 的假设 "the number of factors r is known"。

  3. 断点来源识别的误判率：定理 3 只给出了正确识别的概率趋于 1，但未给出误判率的显式界。能否推导出误判率的收敛速率？扎根点：Theorem 3 的陈述 "with probability approaching 1"。

  4. Idiosyncratic 成分断点检测的稀疏性假设：WSBS-Cov 假设 \( \Sigma_t^e \) 是稀疏的（每行非零元素个数有界）。如果稀疏性假设不成立（如 \( \Sigma_t^e \) 是稠密的但元素值很小），方法是否仍然有效？扎根点：Section 2.2 的假设 (A4) 关于 \( \Sigma_t^e \) 的稀疏性。

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