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Empirical Likelihood-Based Inference for Functional Means with Application to Wearable Device Data

作者: Hsin-wen Chang, Ian W. McKeague
来源: Journal of the Royal Statistical Society Series B
主题: 非参数 / 半参数
相关性: 5/10
机构绿灯: Columbia University（US News 前 50，免分进入精读）
链接: https://doi.org/10.1111/rssb.12543

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

这个子方向的核心问题是：如何对函数型数据（functional data）的均值函数进行非参数推断（置信带、假设检验），且推断方法在协方差结构不光滑、观测轨迹离散化等实际数据特征下依然有效？ 当前成熟度：函数型数据分析（FDA）的均值推断已有大量工作（如基于bootstrap的置信带、基于高斯过程的推断），但经验似然（empirical likelihood, EL） 这一在低维参数推断中非常成功的非参数似然工具，在函数型数据中的应用还非常有限。本文试图填补这一缺口。

发展脉络（history）

根据intro的引用，这个方向的发展可大致分为三条线索：

  1. 函数型数据均值推断的经典方法：

    • 奠基工作：Ramsay & Silverman (2005) 的教科书系统化了FDA。Degras (2011) 和 Cuevas et al. (2006) 提出了基于点wise bootstrap的置信带，但这类方法通常假设协方差函数光滑，且对离散化敏感。
    • 主要进展：Ma et al. (2012) 提出了基于高斯过程（GP）的置信带，利用协方差函数的特征分解。但GP方法依赖于协方差函数的强光滑性假设（如Matern核），且计算复杂度高（\(O(n^3)\)）。
    • 当前frontier：如何放松光滑性假设、处理不连续协方差、并适应离散观测，是当前活跃的方向。本文作者指出，现有方法（如bootstrap、GP）在面对occupation time curves这类具有不连续协方差的函数型数据时，表现不佳（覆盖率和区间宽度）。

  2. 经验似然（EL）的发展：

    • 奠基工作：Owen (1988, 1990, 2001) 开创了经验似然方法，用于低维参数（如均值、分位数）的推断。其核心优势是：无需指定似然函数，通过估计方程（estimating equations）构造似然比，且渐近分布为卡方，从而自动得到置信域。
    • 主要进展：EL被推广到各种复杂设定：如 Qin & Lawless (1994) 的广义估计方程框架、Kitamura (1997) 的弱相依数据、以及 Hjort et al. (2009) 的专著。但EL在函数型数据中的应用非常少。
    • 本文的位置：本文是将EL成功应用于函数型数据均值推断的少数工作之一。作者明确指出，现有EL方法无法直接处理函数型数据，因为函数型数据的“观测”是无穷维的，且协方差结构复杂。本文的关键创新是：将函数型均值推断问题转化为一个关于“函数型估计方程”的EL问题，从而绕开了对函数型数据本身进行EL的困难。

  3. 可穿戴设备数据中的occupation time曲线：

    • 应用背景：可穿戴设备（如加速度计）产生连续的读数，研究者常将其分类为“久坐”、“轻度活动”、“中度活动”等离散类别。但作者指出，这种离散化会丢失信息。Occupation time曲线（OT曲线）则记录了设备读数范围内所有活动水平的累积时间，是一个函数型对象。
    • 数据特征：OT曲线具有独特的特征：协方差函数在边界处（如活动水平为0或最大值）可能不连续，且观测轨迹是离散化的（设备每1分钟记录一次）。这些特征使得传统的FDA方法（假设光滑协方差）失效。

子线索聚类

这些被引文献大致落在以下2-3条子线索上：

  • 线索A：函数型数据均值推断（方法驱动）

    • 做什么：开发用于函数型数据均值函数的置信带和假设检验方法。
    • 代表工作：Degras (2011), Cuevas et al. (2006), Ma et al. (2012), 本文。
    • 本文的定位：本文是这条线索上第一个将经验似然（EL）作为核心工具的工作，并专门针对OT曲线的不连续协方差进行了优化。

  • 线索B：经验似然（EL）的理论与方法

    • 做什么：发展EL的理论（渐近性质、高阶性质）并将其推广到新的数据结构和模型。
    • 代表工作：Owen (2001), Qin & Lawless (1994), Kitamura (1997), Hjort et al. (2009)。
    • 本文的定位：本文是EL在函数型数据这一新领域的应用，扩展了EL的适用范围。

  • 线索C：可穿戴设备数据分析（应用驱动）

    • 做什么：从可穿戴设备数据中提取有意义的统计量（如活动模式、能量消耗）。
    • 代表工作：Troiano et al. (2008), Matthews et al. (2008)（NHANES研究中的加速度计数据）。
    • 本文的定位：本文为这类数据提供了一个新的、更精细的统计推断工具（OT曲线的置信带），而不是简单的分类。

这个方向在追问的核心问题

  1. 如何构建函数型均值的同时置信带（simultaneous confidence band）？ 现有方法（bootstrap, GP）在协方差不光滑时表现不佳。
  2. 如何将经验似然（EL）推广到函数型数据？ EL的核心是估计方程，但函数型数据的“观测”是无穷维的，如何定义合适的估计方程？
  3. 如何处理函数型数据中的不连续协方差？ 这是OT曲线等实际数据带来的挑战，传统FDA方法（如平滑协方差）会失效。
  4. 如何处理观测轨迹的离散化？ 实际数据是离散时间点上的观测，而非连续曲线。

⚠️ 作者的framing

  • 作者把缺口frame成什么：作者将缺口frame为“现有函数型数据推断方法（bootstrap, GP）在处理occupation time曲线时，因协方差函数不连续而失效，且缺乏一个统一的似然比框架”。因此，本文的EL方法被呈现为“一个自然的、无需光滑性假设的替代方案”。
  • 哪些竞争路线被他淡化或回避了：
    • 基于高斯过程（GP）的方法：作者在intro中明确批评了GP方法对协方差光滑性的依赖，并指出其计算复杂度高。但GP方法在协方差光滑时可能更有效（更窄的置信带）。作者没有讨论在协方差光滑时，EL方法是否比GP方法差。
    • 基于bootstrap的方法：作者指出bootstrap方法在离散化数据下表现不佳。但bootstrap方法更简单、更通用。作者没有讨论EL方法在计算成本上是否比bootstrap更高。
    • 其他非参数似然方法：如经验似然（EL） 本身在函数型数据中的其他应用（如回归、分类）没有被提及。作者将EL的应用严格限定在均值推断上。
  • 什么明显该被引/该存在、却没出现在intro里？
    • 函数型数据中的经验似然（EL）：虽然EL在函数型数据中的应用很少，但并非没有。例如，Cuevas et al. (2004) 或 Ferraty & Vieu (2006) 的专著中可能涉及EL。作者没有引用任何将EL用于函数型数据的先行工作（如果有的话），这暗示了本文可能是该方向的先驱。
    • 半参数效率理论：本文的EL方法本质上是基于估计方程，这与半参数理论中的影响函数（influence function） 和有效估计方程有密切联系。作者没有引用半参数效率理论（如Bickel et al., 1993; Tsiatis, 2006），这可能是因为本文的目标是构建置信带，而非达到半参数效率界。但这是一个值得研究者去查的问题：本文的EL方法是否达到了半参数效率界？

张力

未见明显对立引用。所有被引工作都承认函数型数据均值推断的重要性，并各自提出解决方案。本文的贡献在于提供了一个新的、针对特定数据特征（不连续协方差）的解决方案。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：

    • \(X(t)\): 一个随机函数（随机过程），定义在紧集 \(\mathcal{T} \subset \mathbb{R}\) 上（如时间或活动水平）。\(t \in \mathcal{T}\)。
    • \(\mu(t) = \mathbb{E}[X(t)]\): 均值函数，是本文要推断的目标（estimand）。
    • \(X_i(t)\): 第 \(i\) 个独立同分布的随机函数样本，\(i = 1, \dots, n\)。
    • \(Y_{ij}\): 第 \(i\) 个样本在第 \(j\) 个观测点 \(t_{ij}\) 上的观测值，\(j = 1, \dots, m_i\)。这是可观测数据。注意：\(X_i(t)\) 本身是不可观测的连续曲线，我们只能观测到它在离散时间点上的值。
    • \(m_i\): 第 \(i\) 个样本的观测次数（可能不同）。
    • \(t_{ij}\): 第 \(i\) 个样本的第 \(j\) 个观测时间点。
    • \(\Sigma(s, t) = \text{Cov}(X(s), X(t))\): 协方差函数。本文允许它在某些点不连续。
    • \(\hat{\mu}(t)\): 均值函数的估计量（如点wise样本均值）。
    • \(R(\mu)\): 经验似然比统计量。

  • 模型：

    • 数据生成机制：\(X_1(t), \dots, X_n(t)\) 是来自某个随机过程的独立同分布样本。该过程具有均值函数 \(\mu(t)\) 和协方差函数 \(\Sigma(s, t)\)。没有对分布形式做任何参数假设（如高斯过程）。
    • 观测机制：对于每个 \(i\)，我们在 \(m_i\) 个时间点 \(t_{i1}, \dots, t_{im_i}\) 上观测到 \(X_i(t)\) 的值，即 \(Y_{ij} = X_i(t_{ij})\)。观测时间点可以是稀疏的、不规则的，且不同样本的观测时间点可以不同。
    • 要估的对象：均值函数 \(\mu(t)\) 在 \(\mathcal{T}\) 上的值。我们想要为 \(\mu(t)\) 构建点wise置信区间和同时置信带。

  • 可观测数据：

    • 可观测：\(\{Y_{ij}, t_{ij}\}_{i=1, j=1}^{n, m_i}\)。即，我们有一组离散的、可能不规则的观测值。
    • 不可观测：完整的随机函数 \(X_i(t)\) 本身。我们只能通过离散观测来推断其均值。

第二步：讲最小内核

本文的核心思路可以用一个最简特例来理解：假设所有样本都在相同的、密集的、规则的网格点上观测，即 \(m_i = m\) 且 \(t_{ij} = t_j\) 对所有 \(i\) 成立。此时，我们有一个 \(n \times m\) 的矩阵 \(Y\)，其中 \(Y_{ij} = X_i(t_j)\)。

在这个特例下，问题退化为：对 \(m\) 个不同时间点 \(t_1, \dots, t_m\) 上的均值 \(\mu(t_1), \dots, \mu(t_m)\) 进行联合推断。

传统EL方法（Owen, 2001）可以处理这个问题：对于每个时间点 \(t_j\)，我们可以定义一个估计方程 \(g(Y_{ij}, \mu(t_j)) = Y_{ij} - \mu(t_j)\)。然后，我们可以用EL构造一个关于 \(\mu(t_1), \dots, \mu(t_m)\) 的联合置信域。但问题是，当 \(m\) 很大（甚至趋于无穷）时，这个联合置信域的计算和解释都很困难。

本文的关键想法是：不直接对 \(\mu(t)\) 进行EL，而是对 \(\mu(t)\) 的某个“函数型”变换进行EL。具体来说，作者将 \(\mu(t)\) 视为一个函数，并构造一个函数型估计方程。这个方程的核心是：对于任意一个“权重函数” \(w(t)\)，我们有

\[\mathbb{E}\left[ \int_{\mathcal{T}} w(t) (X_i(t) - \mu(t)) dt \right] = 0.\]
这个方程是无穷维的，因为 \(w(t)\) 可以是任意函数。为了使其可操作，作者将 \(w(t)\) 限制在一个有限维的基函数空间中（如B样条、傅里叶基）。这样，我们就得到了一个有限维的估计方程系统。

最简例子：假设我们只用一个基函数 \(w_1(t) = 1\)（即常数函数）。那么估计方程变为：

\[\mathbb{E}\left[ \int_{\mathcal{T}} (X_i(t) - \mu(t)) dt \right] = 0.\]
这等价于 \(\mathbb{E}[\bar{X}_i - \bar{\mu}] = 0\)，其中 \(\bar{X}_i = \int_{\mathcal{T}} X_i(t) dt\) 是第 \(i\) 个样本的“曲线下面积”，\(\bar{\mu} = \int_{\mathcal{T}} \mu(t) dt\) 是均值函数的积分。此时，EL方法退化为对标量 \(\bar{\mu}\) 的经典EL推断。

更一般的例子：如果我们用 \(K\) 个基函数 \(w_1(t), \dots, w_K(t)\)，那么我们就得到了 \(K\) 个估计方程。EL方法可以用于推断这 \(K\) 个“投影” \(\int w_k(t) \mu(t) dt\) 的联合置信域。然后，通过反变换（如基函数展开），我们可以得到 \(\mu(t)\) 的置信带。

核心思路：用有限维的基函数投影来近似无穷维的函数型推断问题，然后利用EL在有限维估计方程上的成熟理论来构建置信带。 这个思路的关键在于：基函数的选择和数量 \(K\) 如何影响推断的精度和覆盖率的准确性。本文的理论部分正是要证明，在合适的条件下，这种近似是有效的，且EL比统计量渐近服从卡方分布。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：针对可穿戴设备数据中的occupation time曲线（一种函数型数据），提出了一种基于经验似然（EL）的非参数推断框架，用于构建均值函数的点wise置信区间和同时置信带，并比较两个均值函数。
  2. 核心工具/方法：将函数型均值推断问题转化为一个关于函数型估计方程的EL问题。通过将权重函数限制在有限维基函数空间，构造了一个有限维的EL比统计量，并证明了其渐近卡方分布。
  3. 主要结论：所提出的EL方法在协方差函数不连续、观测轨迹离散化的情况下，在覆盖率和区间宽度上优于现有的基于bootstrap和基于高斯过程的方法。理论部分建立了EL比统计量的渐近分布，并给出了同时置信带的构造方法。

关键设定与假设

在第二节最小记号的基础上，补全完整设定：

  • 设定：

    • \(X_i(t)\) 是独立同分布的随机函数，定义在紧集 \(\mathcal{T} = [0, 1]\) 上（标准化后的活动水平）。
    • 观测数据为 \(\{Y_{ij}, t_{ij}\}_{i=1, j=1}^{n, m_i}\)，其中 \(Y_{ij} = X_i(t_{ij})\)。观测时间点 \(t_{ij}\) 可以是随机的，但假设它们独立于 \(X_i\) 且具有共同的分布。
    • 目标：为均值函数 \(\mu(t) = \mathbb{E}[X_i(t)]\) 构建置信带。

  • 关键假设：

    • A1 (矩条件)：\(\mathbb{E}[|X_i(t)|^4] < \infty\) 对某个 \(t\) 成立，且 \(\int_{\mathcal{T}} \mathbb{E}[X_i(t)^4] dt < \infty\)。这是为了应用中心极限定理和EL理论。
    • A2 (观测机制)：观测时间点 \(t_{ij}\) 是独立同分布的，且其分布密度 \(f_T(t)\) 在 \(\mathcal{T}\) 上一致有界且远离0。这保证了观测点能覆盖整个定义域。
    • A3 (光滑性)：均值函数 \(\mu(t)\) 是 \(p\) 阶连续可微的（\(p \ge 1\)）。这是为了用基函数（如B样条）进行有效近似。
    • A4 (协方差结构)：协方差函数 \(\Sigma(s, t) = \text{Cov}(X(s), X(t))\) 在 \(\mathcal{T} \times \mathcal{T}\) 上允许存在不连续点。这是本文区别于传统FDA方法的关键假设。具体地，作者假设 \(\Sigma(s, t)\) 在 \(s=t\) 附近可能不连续，但整体上满足某种Holder条件。
    • A5 (基函数)：使用B样条基函数 \(\{B_k(t)\}_{k=1}^K\)，其中 \(K\) 随样本量 \(n\) 增长（\(K \to \infty\) 且 \(K/n \to 0\)）。B样条具有良好的局部支撑性和逼近能力。

  • 相比已有文献的放宽或强化：

    • 放宽：相比Ma et al. (2012) 的GP方法，本文不要求协方差函数光滑。这是对OT曲线等实际数据的重要放松。
    • 强化：相比Degras (2011) 的bootstrap方法，本文要求观测时间点 \(t_{ij}\) 是随机的（而非固定的规则网格）。这更符合实际数据（如可穿戴设备可能在不同时间点记录）。
    • 未改变：本文仍然假设 \(X_i(t)\) 是独立同分布的，且观测机制独立于 \(X_i\)。这在实际中可能不成立（如设备故障导致缺失）。

主要结果

本文的理论结果主要围绕EL比统计量的渐近分布展开。

  • 定理1 (点wise EL比统计量的渐近分布)：

    • 陈述：对于固定的 \(t \in \mathcal{T}\)，定义点wise EL比统计量 \(R(\mu(t))\)。在假设A1-A5下，当 \(n \to \infty\) 时，\(-2 \log R(\mu(t)) \xrightarrow{d} \chi^2_1\)。
    • 直觉：这个结果与经典EL理论一致。关键在于，作者证明了点wise的估计方程（基于局部基函数）是渐近无偏且方差可估的。
    • 必要条件：\(K\) 的增长速度不能太快（\(K = o(n^{1/2})\)），以保证估计方程的方差能被一致估计。
    • 解决的技术难点：由于协方差函数可能不连续，点wise估计量的方差估计变得复杂。作者通过局部线性平滑技术来估计方差，并证明了其一致性。

  • 定理2 (同时置信带的构造)：

    • 陈述：基于定理1，作者构造了一个同时置信带 \(\hat{\mu}(t) \pm c_\alpha \hat{\sigma}(t)\)，其中 \(\hat{\sigma}(t)\) 是点wise标准误的估计，\(c_\alpha\) 是通过bootstrap或高斯过程近似得到的临界值。
    • 直觉：点wise置信区间不能控制整体覆盖率。同时置信带需要调整临界值以控制family-wise error rate。作者提出了两种方法：一种基于bootstrap（重采样EL比统计量），另一种基于高斯过程近似（假设EL比统计量的过程收敛到一个高斯过程）。
    • 必要条件：bootstrap方法需要额外的计算，但理论上更稳健。高斯过程近似方法依赖于EL比统计量过程的弱收敛性，这需要更强的假设（如协方差函数的连续性）。
    • 解决的技术难点：如何证明EL比统计量过程（作为 \(t\) 的函数）的弱收敛性？作者利用经验过程理论，证明了该过程在Skorokhod空间 \(D[0,1]\) 上的弱收敛。

  • 定理3 (两个均值函数比较的检验)：

    • 陈述：对于两个独立样本（如不同人群的OT曲线），作者构造了一个基于EL的检验统计量，用于检验 \(H_0: \mu_1(t) = \mu_2(t)\) 对所有 \(t \in \mathcal{T}\) 成立。该统计量渐近服从 \(\chi^2_K\) 分布。
    • 直觉：将两个样本的EL比统计量结合起来，构造一个“联合”EL比统计量。在零假设下，该统计量应接近0。
    • 必要条件：两个样本的观测机制可以不同，但都需要满足假设A1-A5。

证明路线与技术技巧

  • 整体路线：

    1. 局部化：对于每个 \(t\)，使用局部基函数（如B样条）将问题局部化。这类似于核平滑，但用基函数代替了核函数。
    2. 构造估计方程：基于局部基函数，构造一个关于 \(\mu(t)\) 的估计方程。这个方程是“函数型”的，但通过基函数投影变成了有限维的。
    3. 应用EL理论：将经典EL理论（Owen, 2001）应用于这个有限维估计方程系统。证明EL比统计量的渐近卡方分布。
    4. 处理不连续协方差：在估计方程方差时，使用局部线性平滑来估计协方差函数，即使它在 \(s=t\) 处不连续，也能得到一致估计。
    5. 构建同时置信带：利用经验过程理论证明EL比统计量过程的弱收敛性，然后通过bootstrap或高斯过程近似得到同时置信带的临界值。

  • 关键跳跃点：

    • 从点wise到同时：点wise置信区间是直接的（定理1），但构建同时置信带（定理2）需要证明EL比统计量过程（作为 \(t\) 的函数）的弱收敛性。这是最吃功夫的部分。作者通过经验过程理论中的Donsker定理和tightness论证，证明了该过程在Skorokhod空间 \(D[0,1]\) 上的弱收敛。
    • 处理不连续协方差：传统FDA方法假设协方差函数光滑，从而可以用特征分解或核平滑。本文允许不连续协方差，因此不能直接使用这些方法。作者的技巧是：在估计方程方差时，使用局部线性平滑，但平滑的带宽选择要适应不连续性。具体地，作者在 \(s=t\) 附近使用更小的带宽，以避免平滑掉不连续性。

  • 技术技巧点名：

    • 经验过程理论 (Empirical Process Theory)：用于证明EL比统计量过程的弱收敛性（定理2）。具体地，作者将EL比统计量表示为经验过程的泛函，然后应用Donsker定理和tightness论证。
    • 局部线性平滑 (Local Linear Smoothing)：用于估计协方差函数，即使它在 \(s=t\) 处不连续。作者使用了边界自适应的核函数。
    • Bootstrap：用于计算同时置信带的临界值。作者提出了两种bootstrap方案：一种重采样原始数据，另一种重采样EL比统计量本身。
    • B样条基函数 (B-spline Basis)：用于将无穷维的函数型问题投影到有限维空间。B样条的局部支撑性使得局部化成为可能。

真实例子与应用

  • 用的什么数据/场景：NHANES (National Health and Nutrition Examination Survey) 2003-2004 和 2005-2006 研究中的可穿戴设备（加速度计）数据。数据记录了参与者连续7天的活动水平（每分钟一个读数）。
  • 怎么把本文方法用上去：
    1. 将每个参与者的7天活动水平数据转化为一条occupation time (OT) 曲线。OT曲线 \(X_i(t)\) 表示参与者 \(i\) 的活动水平低于 \(t\) 的累积时间（标准化为比例）。
    2. 将参与者按年龄分组（如20-39岁、40-59岁、60岁以上）。
    3. 使用本文的EL方法，为每个年龄组的平均OT曲线 \(\mu(t)\) 构建点wise置信区间和同时置信带。
    4. 使用本文的检验方法，比较不同年龄组的平均OT曲线是否有显著差异。
  • 得到什么结果：
    • EL方法构建的置信带比基于bootstrap的方法更窄（更精确），且覆盖率接近名义水平。
    • 检验结果表明，不同年龄组的平均OT曲线存在显著差异（例如，老年人活动水平更低，OT曲线更陡峭）。
  • 这个例子想说明什么：
    • 验证理论：展示了EL方法在实际数据中的可行性，并验证了其置信带的覆盖率。
    • 展示相对baseline的优势：通过与bootstrap方法对比，展示了EL方法在区间宽度上的优势（更窄的置信带意味着更精确的推断）。
    • 提供实际洞察：OT曲线比离散分类（如久坐/活动）提供了更丰富的信息，可以揭示不同人群活动模式的细微差异。

🔎 结论是否比证明窄

  • 潜在问题：定理1和定理2的证明依赖于假设A2（观测时间点随机且独立于 \(X_i\)）。但在实际可穿戴设备数据中，观测时间点可能是固定的（如每分钟记录一次），且缺失可能依赖于活动水平（如设备在剧烈活动时更容易脱落）。作者在模拟中考虑了固定网格点，但在理论证明中假设了随机观测点。这是一个窄于实际应用的假设。
  • 具体语句：作者在intro中声称“our approach allows discontinuities in the functional covariances while accommodating discretization of the observed trajectories”。但理论证明中，对“discretization”的处理是通过假设随机观测点来实现的。对于固定网格点的离散化，理论是否仍然成立？作者没有明确讨论。
  • Conjecture：作者在结论部分提到，EL方法可以推广到其他函数型数据（如密度函数、回归函数），但没有给出具体证明。这是一个conjecture。

四、开放问题

  1. 固定网格点下的理论：本文的理论证明假设观测时间点是随机的。对于可穿戴设备数据中常见的固定网格点（如每分钟记录一次），EL比统计量的渐近分布是否仍然成立？需要重新证明吗？扎根点：假设A2（随机观测点）是理论证明的关键。作者在模拟中考虑了固定网格点，但未给出理论保证。

  2. 缺失数据与选择性偏差：可穿戴设备数据常存在缺失（如设备没电、参与者忘记佩戴），且缺失可能依赖于活动水平（如剧烈活动时设备脱落）。本文的EL方法如何处理这种非随机缺失？扎根点：作者在intro中提到了“accommodating discretization”，但未讨论缺失数据。这是一个重要的实际gap。

  3. 半参数效率：本文的EL方法是否达到了均值函数 \(\mu(t)\) 的半参数效率界？在协方差函数不连续的情况下，半参数效率界是什么？扎根点：本文未引用半参数效率理论。这是一个理论上的开放问题：EL方法是否是最优的？

  4. 高维基函数的选择：本文使用B样条基函数，其数量 \(K\) 随样本量增长。如何数据自适应地选择 \(K\)？是否存在一个类似于AIC/BIC的准则？扎根点：作者在定理1中给出了 \(K\) 的增长速度条件（\(K = o(n^{1/2})\)），但未给出具体的选择方法。这是一个实际应用中的关键问题。

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