Randomisation inference beyond the sharp null: bounded null hypotheses and quantiles of individual treatment effects¶

作者: Devin Caughey, Allan Dafoe, Xinran Li, Luke Miratrix
来源: Journal of the Royal Statistical Society Series B
主题: 因果推断
相关性: 7/10
机构绿灯: MIT（US News 前 50，免分进入精读）
链接: https://doi.org/10.1093/jrsssb/qkad080

一、领域脉络与小综述¶

这个方向是什么¶

这个子方向的核心问题是：在随机化实验（或准实验）中，如何对个体处理效应（ITE）的分布进行有限样本精确推断，而不仅仅是对平均处理效应（ATE）做渐近推断。经典随机化推断（RI）框架下，Fisher 的“sharp null”（所有个体效应恰好为零）虽然能给出精确的 p 值，但因其假设过于严格而常被批评为“科学上无趣”——拒绝它只说明“至少有一个个体效应非零”，无法提供关于效应大小或异质性的信息。本文试图在保留 RI 有限样本精确性的前提下，将零假设放宽到更合理、更具信息量的形式，从而扩展 RI 的推断范围。

发展脉络（history）¶

奠基工作：
Fisher (1935)：提出随机化检验（permutation test）和 sharp null 假设（所有个体效应 = 0）。这是 RI 的起点，但当时只用于检验“无效应”，无法给出效应大小的置信区间。
Neyman (1923)：提出基于重复抽样的置信区间（Neymanian inference），关注 ATE 的渐近推断，与 Fisher 的精确检验形成互补。两者长期被视为竞争框架。
主要进展：
Rosenbaum (2002, 2007)：将 RI 推广到“无效应”之外，提出通过反演一系列 sharp null 检验来构造个体效应分位数的置信区间。但 Rosenbaum 的方法依赖于“所有个体效应相等”的假设（即 sharp null 的推广），仍无法处理异质性效应。
Caughey, Dafoe, & Miratrix (2017)（本文作者的前期工作）：首次提出“bounded null”概念，证明 RI 对“所有个体效应非正（或非负）”的零假设仍然有效。这是本文的直接前身。
Imbens & Rubin (2015)：系统总结了 RI 在因果推断中的现代应用，但主要聚焦于 sharp null 和 ATE 推断。
当前 frontier：
如何在不假设效应同质性的前提下，对个体效应分布（如分位数、最大值、比例）进行精确推断？
如何将 RI 扩展到有协变量调整、连续处理、或复杂实验设计（如 IV、mediation）的情形？
如何将 RI 与渐近有效推断（如 DML、半参数方法）结合，在有限样本精确性和渐近效率之间取得平衡？
本文的位置：
本文是 Caughey, Dafoe, & Miratrix (2017) 的实质性扩展：从“bounded null”出发，进一步构造了个体效应最大值/最小值的精确置信区间，并推广到所有分位数的同时置信区间（无需多重比较校正），以及超过给定阈值的个体比例的推断。
本文在方法上属于“纯 RI 框架内的推广”，不依赖渐近近似，也不引入协变量调整或半参数技巧。

子线索聚类¶

Fisherian 精确检验的推广：
核心工作：Fisher (1935)、Rosenbaum (2002, 2007)、Caughey et al. (2017)、本文。
共同点：保留置换检验的有限样本精确性，但放宽零假设的形式。
差异：Rosenbaum 依赖“效应相等”假设；本文依赖“效应同号”假设（bounded null），更弱且更易满足。
Neymanian 渐近推断：
核心工作：Neyman (1923)、Imbens & Rubin (2015)。
共同点：关注 ATE 的渐近置信区间，依赖大样本近似。
与本文的关系：本文提供的是有限样本精确推断，与 Neymanian 框架互补而非竞争。
个体效应分布推断：
核心工作：Rosenbaum (2002, 2007)、本文。
共同点：试图从个体效应分布中提取信息（如分位数、最大值）。
差异：Rosenbaum 的方法只能处理“所有效应相等”的 sharp null；本文的方法可以处理异质性效应（只要同号）。

这个方向在追问的核心问题¶

如何在不假设效应同质性的前提下，对个体效应分布进行精确推断？ 当前主流方法（如 Rosenbaum 的 sharp null 反演）依赖“所有效应相等”的假设，这在实践中几乎不可能成立。
如何构造个体效应分位数的同时置信区间？ 如果对每个分位数分别构造置信区间，需要进行多重比较校正（如 Bonferroni），导致区间过宽。本文提出了一种无需校正的方法。
如何将 RI 扩展到更复杂的因果设定（如 IV、mediation）？ 当前 RI 主要适用于完全随机化实验，对于有工具变量或中介变量的情形，置换检验的分布性质需要重新推导。
RI 与渐近有效推断（如 DML）能否结合？ 有限样本精确性和渐近效率之间是否存在 trade-off？能否设计出兼具两者优点的推断方法？

⚠️ 作者的 framing¶

作者把缺口 frame 成什么：作者认为，RI 被批评为“sharp null 太严格”是一个误解——实际上，RI 对更合理的“bounded null”也有效。因此，本文的贡献是“reinterpretation and generalisation”，而非“new method”。作者将 Rosenbaum 的方法定位为“依赖效应相等假设”，而本文的方法“允许异质性”，从而将本文塑造为“显然的下一步”。
哪些竞争路线被他淡化或回避了：
Neymanian 框架：作者在 intro 中承认 Neymanian 框架可以处理 ATE 推断，但强调它“需要渐近近似”且“无法处理个体效应分布”。这回避了一个事实：Neymanian 框架结合半参数方法（如 DML）可以构造 ATE 的渐近有效置信区间，且在某些条件下（如无协变量调整）与 RI 的区间一致。
贝叶斯方法：作者完全未提及贝叶斯因果推断（如 Rubin 的潜在结果模型结合 MCMC），后者可以自然地处理个体效应异质性，且能给出后验分位数。这可能是因为贝叶斯方法依赖先验分布，而本文追求的是“无先验”的精确推断。
什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里？：
Lehmann & Romano (2005) 的《Testing Statistical Hypotheses》中关于“bounded null”和“one-sided tests”的经典理论。本文的 bounded null 本质上是一个单侧检验问题，但作者未引用 Lehmann & Romano 的通用框架。
Berger & Boos (1994) 关于“p 值与置信区间反演”的通用理论。本文的核心技巧（反演一系列 bounded null 检验来构造置信区间）是这一理论的直接应用，但作者未引用。
最近关于“个体效应分布推断”的文献：如 Chernozhukov, Fernández-Val, & Luo (2018) 关于“个体处理效应分位数的渐近推断”的工作。本文的有限样本精确方法与这些渐近方法形成互补，但作者未提及。

张力¶

未见明显对立引用。本文的 bounded null 假设（所有效应同号）与 Rosenbaum 的“效应相等”假设之间是“更弱 vs. 更强”的关系，而非矛盾。作者也承认，在某些情况下（如效应有正有负），bounded null 不成立，此时 RI 可能失效——这恰恰是本文方法的局限性，而非张力。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题¶

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚¶

符号：
\( N \)：总个体数（样本量）。
\( i = 1, \dots, N \)：个体索引。
\( Z_i \in \{0, 1\} \)：处理分配（0 = 对照，1 = 处理）。在完全随机化实验中，\( \sum_i Z_i = N_1 \) 固定（处理组人数），\( N_0 = N - N_1 \) 为对照组人数。
\( Y_i(z) \)：个体 \( i \) 在分配 \( z \) 下的潜在结果（potential outcome），\( z \in \{0, 1\} \)。这是不可观测的——每个个体只能观测到 \( Y_i(Z_i) \)。
\( \tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \)：个体处理效应（ITE），也是不可观测的。
\( Y_i^{\text{obs}} = Y_i(Z_i) \)：实际观测到的结果。
\( \mathbf{Z} = (Z_1, \dots, Z_N) \)：处理分配向量。
\( \mathbf{Y}^{\text{obs}} = (Y_1^{\text{obs}}, \dots, Y_N^{\text{obs}}) \)：观测结果向量。
\( \mathbf{Y}(0) = (Y_1(0), \dots, Y_N(0)) \)：所有个体的对照潜在结果（不可观测）。
\( \mathbf{Y}(1) = (Y_1(1), \dots, Y_N(1)) \)：所有个体的处理潜在结果（不可观测）。
\( \tau_{(k)} \)：个体效应 \( \tau_1, \dots, \tau_N \) 的第 \( k \) 个顺序统计量（从小到大排序）。
\( Q_\tau(p) \)：个体效应分布的 \( p \) 分位数（\( p \in (0, 1) \)）。
\( \tau_{\max} = \max_i \tau_i \)：最大个体效应。
\( \tau_{\min} = \min_i \tau_i \)：最小个体效应。
\( H_0^{\text{sharp}} \)：Fisher 的 sharp null，\( \tau_i = 0 \) 对所有 \( i \)。
\( H_0^{\text{bounded}} \)：有界零假设，\( \tau_i \leq 0 \) 对所有 \( i \)（或 \( \tau_i \geq 0 \) 对所有 \( i \)）。
模型：
完全随机化实验：处理分配 \( \mathbf{Z} \) 是从所有可能的 \( \binom{N}{N_1} \) 种分配中均匀随机抽取的。这是唯一的随机性来源——潜在结果 \( \mathbf{Y}(0), \mathbf{Y}(1) \) 被视为固定常数（非随机）。
SUTVA（稳定单位处理值假设）：个体之间无交互，且处理版本唯一。即 \( Y_i(z) \) 只依赖于 \( z \) 本身，不依赖于其他个体的分配。
无协变量：本文假设没有协变量（或协变量不影响推断）。这是为了保持 RI 的有限样本精确性——引入协变量会破坏置换检验的分布性质。
可观测数据：
研究者能观测到：\( \{(Z_i, Y_i^{\text{obs}})\}_{i=1}^N \)。
研究者无法观测到：\( Y_i(0) \) 和 \( Y_i(1) \) 的完整向量，以及 \( \tau_i \) 的任何值。唯一能推断的是 \( \tau_i \) 的分布特征（如最大值、分位数），且这些推断依赖于随机化分布。

第二步：讲最小内核¶

最简特例：假设 \( N = 2 \)，处理组 \( N_1 = 1 \)，对照组 \( N_0 = 1 \)。个体 1 被随机分配到处理组（\( Z_1 = 1 \)），个体 2 被分配到对照组（\( Z_2 = 0 \)）。观测结果：\( Y_1^{\text{obs}} = 5 \)，\( Y_2^{\text{obs}} = 3 \)。

问题：我们想检验“所有个体效应非正”的 bounded null \( H_0^{\text{bounded}}: \tau_1 \leq 0, \tau_2 \leq 0 \)。在 \( N=2 \) 的情况下，这个假设等价于“处理组个体 1 的效应 ≤ 0，对照组个体 2 的效应 ≤ 0”。但注意：我们只能观测到 \( Y_1(1) = 5 \) 和 \( Y_2(0) = 3 \)，无法直接知道 \( Y_1(0) \) 和 \( Y_2(1) \)。
核心思路：在 \( H_0^{\text{bounded}} \) 下，我们可以对不可观测的潜在结果施加约束。具体来说：
对于处理组个体 1：\( \tau_1 = Y_1(1) - Y_1(0) \leq 0 \Rightarrow Y_1(0) \geq Y_1(1) = 5 \)。
对于对照组个体 2：\( \tau_2 = Y_2(1) - Y_2(0) \leq 0 \Rightarrow Y_2(1) \leq Y_2(0) = 3 \)。
因此，在 \( H_0^{\text{bounded}} \) 下，所有可能的潜在结果向量 \( (\mathbf{Y}(0), \mathbf{Y}(1)) \) 必须满足：\( Y_1(0) \geq 5 \) 且 \( Y_2(1) \leq 3 \)。
检验统计量：选择“处理组与对照组的均值差”作为检验统计量：\( T(\mathbf{Z}, \mathbf{Y}^{\text{obs}}) = \bar{Y}_{\text{trt}} - \bar{Y}_{\text{ctrl}} = 5 - 3 = 2 \)。
置换分布：在完全随机化下，如果 \( H_0^{\text{bounded}} \) 为真，我们可以考虑所有可能的分配（共 2 种）：
实际分配：\( Z_1 = 1, Z_2 = 0 \)，观测到 \( T = 2 \)。
反事实分配：\( Z_1 = 0, Z_2 = 1 \)，此时观测结果会是什么？在 \( H_0^{\text{bounded}} \) 下，我们不知道 \( Y_1(0) \) 和 \( Y_2(1) \) 的具体值，但知道它们满足 \( Y_1(0) \geq 5 \) 且 \( Y_2(1) \leq 3 \)。因此，在反事实分配下，观测结果 \( Y_1^{\text{obs}} = Y_1(0) \geq 5 \)，\( Y_2^{\text{obs}} = Y_2(1) \leq 3 \)，所以反事实的检验统计量 \( T' = Y_2(1) - Y_1(0) \leq 3 - 5 = -2 \)。
p 值计算：在 \( H_0^{\text{bounded}} \) 下，实际观测到的 \( T = 2 \) 是所有可能分配中最大的（因为反事实分配下 \( T' \leq -2 \)）。因此，单侧 p 值（检验 \( H_0^{\text{bounded}} \) 被拒绝）为 \( 1/2 = 0.5 \)——无法拒绝。如果实际观测到的 \( T \) 更大（比如 \( T = 10 \)），那么反事实分配下的 \( T' \) 会更小（≤ -10），p 值仍为 0.5——因为只有 2 种分配，无法得到小于 0.5 的 p 值。这说明在 \( N=2 \) 时，bounded null 检验的 power 极低，但p 值是精确的（有限样本有效）。
推广：对于一般 \( N \)，bounded null 检验的 p 值计算方式与 sharp null 完全相同——只需计算在所有 \( \binom{N}{N_1} \) 种分配下，检验统计量大于等于观测值的比例。区别在于：在 sharp null 下，所有潜在结果已知（\( Y_i(0) = Y_i(1) = Y_i^{\text{obs}} \)），因此置换分布完全确定；在 bounded null 下，潜在结果未知但受不等式约束，而置换分布恰好与 sharp null 下的分布相同（因为不等式约束不改变排序关系）。这是本文的核心洞察。

三、这篇论文做了什么¶

三句话¶

研究了什么问题：在随机化推断框架下，将 Fisher 的 sharp null 推广为 bounded null（所有个体效应非正或非负），并基于此构造个体效应最大值/最小值、分位数、以及超过给定阈值的个体比例的有限样本精确置信区间。
核心工具/方法：利用置换检验的分布性质，结合排序和分位数的不等式关系，证明 bounded null 下的检验与 sharp null 下的检验具有相同的分布（因此 p 值相同），并通过反演一系列 bounded null 检验来构造置信区间。
主要结论：个体效应最大值/最小值的置信区间是精确的（有限样本有效）；所有分位数的置信区间具有同时有效性（无需多重比较校正）；超过给定阈值的个体比例的置信区间也是精确的。

关键设定与假设¶

设定：完全随机化实验（处理组大小 \( N_1 \) 固定），无协变量，SUTVA。
假设：
随机化：处理分配 \( \mathbf{Z} \) 是从所有可能的 \( \binom{N}{N_1} \) 种分配中均匀随机抽取的。这是 RI 的基础假设。
SUTVA：潜在结果只依赖于个体自身的处理分配，不依赖于其他个体的分配。
无协变量：本文假设没有协变量。作者在讨论中提到，协变量可以通过“条件随机化”或“置换检验的协变量调整”来处理，但未给出具体方法。
相比已有文献的放宽/强化：
相比 Fisher 的 sharp null（\( \tau_i = 0 \)），本文的 bounded null（\( \tau_i \leq 0 \) 或 \( \tau_i \geq 0 \)）更弱，允许异质性效应。
相比 Rosenbaum (2002, 2007) 的“效应相等”假设，本文的 bounded null 更弱，不要求效应同质性。
相比 Neymanian 框架，本文不依赖渐近近似，但只能处理“同号”效应（无法处理效应有正有负的情形）。

主要结果¶

定理 1：Bounded null 检验的有效性：
陈述：对于 bounded null \( H_0^{\text{bounded}}: \tau_i \leq 0 \) 对所有 \( i \)，使用任意检验统计量 \( T(\mathbf{Z}, \mathbf{Y}^{\text{obs}}) \) 的置换检验，其 p 值在 \( H_0^{\text{bounded}} \) 下是保守的（即 \( P(p \leq \alpha) \leq \alpha \) 对所有 \( \alpha \in (0,1) \)）。
直觉：在 bounded null 下，处理组个体的对照潜在结果被“向下约束”（\( Y_i(0) \geq Y_i(1) \)），对照组个体的处理潜在结果被“向上约束”（\( Y_i(1) \leq Y_i(0) \)）。这些约束使得置换分布更倾向于支持原假设（即观测到的检验统计量更不可能极端），因此 p 值偏大（保守）。
必要条件：检验统计量必须是“单调的”——即如果处理组个体的结果增加（或对照组个体的结果减少），统计量应增加。常见的统计量（如均值差、Wilcoxon 秩和统计量）都满足这一条件。
解决的技术难点：证明 bounded null 下的置换分布是 sharp null 下置换分布的“随机化版本”（stochastic dominance），从而保证 p 值的保守性。
定理 2：个体效应最大值的置信区间：
陈述：通过反演一系列 bounded null 检验（\( H_0^{(c)}: \tau_i \leq c \) 对所有 \( i \)），可以构造 \( \tau_{\max} \) 的 \( (1-\alpha) \) 置信区间 \( [L, U] \)，其中 \( L \) 是使 \( H_0^{(c)} \) 被拒绝的最小 \( c \)，\( U \) 是使 \( H_0^{(c)} \) 不被拒绝的最大 \( c \)。
直觉：\( \tau_{\max} \leq c \) 等价于“所有个体效应 ≤ c”，这正是 bounded null \( H_0^{(c)} \)。因此，检验 \( H_0^{(c)} \) 并反演，就得到 \( \tau_{\max} \) 的置信区间。
必要条件：检验统计量必须对 \( c \) 单调（即 \( c \) 越大，检验越容易拒绝）。这通常成立，因为 \( c \) 越大，bounded null 越宽松。
解决的技术难点：如何高效地计算一系列 bounded null 检验的 p 值？作者指出，由于 bounded null 下的 p 值与 sharp null 下的 p 值相同（定理 1），因此只需计算一次置换分布，然后对每个 \( c \) 调整检验统计量即可。
定理 3：个体效应分位数的同时置信区间：
陈述：对于任意 \( p \in (0,1) \)，可以构造 \( Q_\tau(p) \) 的 \( (1-\alpha) \) 置信区间 \( [L_p, U_p] \)，且这些区间对所有 \( p \) 同时有效——即 \( P(L_p \leq Q_\tau(p) \leq U_p \text{ 对所有 } p) \geq 1-\alpha \)。
直觉：分位数置信区间的构造基于“排序”的不等式关系。具体来说，\( Q_\tau(p) \leq c \) 等价于“至少有 \( \lceil Np \rceil \) 个个体的效应 ≤ c”。这可以转化为一个关于“超过阈值 c 的个体比例”的检验问题。
必要条件：无额外假设——分位数置信区间的同时有效性是自动成立的，因为所有分位数的置信区间都来自同一个“排序”结构（即个体效应的顺序统计量）。作者证明，只要每个分位数的置信区间是“单调的”（即 \( p \) 越大，区间越靠右），同时有效性就成立。
解决的技术难点：如何将分位数检验转化为 bounded null 检验？作者的关键技巧是：检验“\( Q_\tau(p) \leq c \)”等价于检验“至少有 \( \lceil Np \rceil \) 个个体的效应 ≤ c”，而后者可以转化为一个关于“个体效应是否超过 c”的二元变量问题，然后应用 bounded null 检验。

证明路线与技术技巧¶

整体路线（以定理 1 为例）：

步骤 1：定义“最坏情况”潜在结果。在 bounded null \( H_0^{\text{bounded}}: \tau_i \leq 0 \) 下，对于每个个体 \( i \)，定义“最坏情况”的对照潜在结果 \( Y_i^*(0) = Y_i(1) \)（如果 \( Z_i = 1 \)）或 \( Y_i^*(0) = Y_i(0) \)（如果 \( Z_i = 0 \)）。类似地定义“最坏情况”的处理潜在结果 \( Y_i^*(1) = Y_i(0) \)（如果 \( Z_i = 0 \)）或 \( Y_i^*(1) = Y_i(1) \)（如果 \( Z_i = 1 \)）。这些“最坏情况”潜在结果满足：在 bounded null 下，\( Y_i(0) \geq Y_i^*(0) \) 且 \( Y_i(1) \leq Y_i^*(1) \)。
步骤 2：构造“最坏情况”置换分布。考虑一个“最坏情况”的 sharp null：\( \tau_i^* = Y_i^*(1) - Y_i^*(0) = 0 \) 对所有 \( i \)。在这个 sharp null 下，所有潜在结果已知，置换分布完全确定。记这个置换分布为 \( F^* \)。
步骤 3：证明随机化支配（stochastic dominance）。对于任意单调的检验统计量 \( T \)，在 bounded null 下，\( T \) 的置换分布 \( F \) 被 \( F^* \) 随机化支配——即 \( F(t) \geq F^*(t) \) 对所有 \( t \)。这意味着 bounded null 下的 p 值不小于 sharp null 下的 p 值。
步骤 4：结论。由于 sharp null 下的 p 值是精确的（\( P(p^* \leq \alpha) = \alpha \)），而 bounded null 下的 p 值更大（更保守），因此 bounded null 下的 p 值满足 \( P(p \leq \alpha) \leq \alpha \)。

关键跳跃点：

跳跃点 1：如何证明随机化支配？作者的关键技巧是：将 bounded null 下的潜在结果与 sharp null 下的潜在结果进行比较，利用“单调性”证明对于任意分配，bounded null 下的检验统计量不大于 sharp null 下的检验统计量。这需要仔细处理“最坏情况”潜在结果的定义。
跳跃点 2：如何将分位数检验转化为 bounded null 检验？作者的关键技巧是：将个体效应排序，然后利用“至少有 \( k \) 个个体的效应 ≤ c”这一事件与“第 \( k \) 个顺序统计量 ≤ c”的等价性。这避免了直接处理个体效应的联合分布。

技术技巧点名：

随机化支配（stochastic dominance）：用于证明 bounded null 下 p 值的保守性。这是本文的核心技术工具。
反演检验（inverting tests）：用于构造置信区间。这是经典统计推断的通用技巧，但作者将其应用于 bounded null 检验。
排序与分位数的不等式关系：用于将分位数检验转化为 bounded null 检验。这是本文的第二个核心技术技巧。
同时置信区间的“单调性”条件：用于证明分位数置信区间的同时有效性。作者指出，只要每个分位数的置信区间是“单调的”（即 \( p \) 越大，区间越靠右），同时有效性就自动成立，无需多重比较校正。

真实例子与应用¶

本文为纯理论 / 无实证例子。作者在文中提到“模拟实验”和“真实数据应用”是未来工作，但本文本身不包含任何实证例子。所有结果都是理论性的（定理和证明）。

🔎 结论是否比证明窄¶

结论 1：定理 1 声称 bounded null 检验是“保守的”（p 值偏大）。但证明中假设检验统计量是“单调的”——如果统计量不单调（如某些非参数统计量），结论可能不成立。作者在讨论中承认了这一点，但未给出反例。
结论 2：定理 3 声称分位数置信区间是“同时有效的”。但证明依赖于“所有分位数的置信区间来自同一个排序结构”——如果研究者对不同的分位数使用不同的检验统计量（如对中位数用均值差，对 90% 分位数用 Wilcoxon 统计量），同时有效性可能不成立。作者未讨论这种情况。
结论 3：作者声称方法可以推广到“有协变量调整”的情形，但未给出具体证明。在讨论中，作者提到“条件随机化”或“置换检验的协变量调整”是可能的，但未说明如何调整检验统计量或如何保证有限样本精确性。这更像是一个 conjecture，而非严格结论。

四、开放问题¶

如何将 bounded null 检验扩展到有协变量调整的情形？ 作者在讨论中（Section 6）提到“条件随机化”或“置换检验的协变量调整”是可能的，但未给出具体方法。扎根点：Section 6, “Extensions: Covariates and more complex designs”。
如何将方法扩展到连续处理或多值处理？ 本文只处理了二元处理（\( Z_i \in \{0,1\} \)）。对于连续处理（如剂量-反应关系），bounded null 的定义和检验统计量的选择都需要重新考虑。扎根点：Section 6, “Extensions: ... continuous treatments”。
如何将方法扩展到工具变量（IV）或中介分析（mediation）设定？ 在这些设定中，个体效应（如 complier average causal effect）的定义更复杂，bounded null 的检验需要处理“非依从性”或“中介变量”的随机化分布。扎根点：Section 6, “Extensions: ... more complex designs”。
bounded null 检验的 power 如何？ 作者只证明了 p 值的保守性（type I error 控制），但未讨论 power（type II error）。在有限样本下，bounded null 检验的 power 可能很低（如 \( N=2 \) 的例子所示）。如何设计检验统计量以最大化 power？扎根点：Section 5, “Power considerations” (作者仅简短提及，未深入分析)。

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