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Proximal causal inference for complex longitudinal studies

作者: Andrew Ying, Wang Miao, Xu Shi, Eric J Tchetgen Tchetgen
来源: Journal of the Royal Statistical Society Series B
主题: 因果推断
相关性: 9/10
链接: 期刊页 · arXiv

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

这个子方向要解决的根本问题是：在纵向（longitudinal）研究中，当存在时变未测量混杂因子（time-varying unmeasured confounders）时，如何识别和估计时变处理（time-varying treatment）的联合因果效应。其核心挑战在于，传统的“序贯随机化假设”（SRA）要求研究者测量了所有时变混杂因子，这在现实中几乎不可能满足。Proximal Causal Inference (PCI) 框架通过引入负控制变量（negative control variables）——一组与未测量混杂因子相关但不直接受处理影响（或不影响结局）的代理变量——来绕过这一假设。本文将该框架从单期（point exposure）扩展到纵向设定，是 PCI 领域的一个关键进展。该方向的成熟度：识别理论已基本建立（在桥函数存在且可识别的条件下），但估计方法仍在快速发展，尤其是如何将非参数/机器学习方法与半参数效率理论结合。

发展脉络（history）

奠基工作：负控制与代理变量的早期使用 - Lipsitch et al. (2010) 系统阐述了负控制变量在流行病学中用于检测混杂偏倚的两种类型（暴露控制与结局控制），奠定了概念基础。 - Flanders et al. (2011, 2015) 和 Sofer et al. (2016) 在时间序列和面板数据中利用负控制变量进行偏倚检测和部分校正，但依赖线性模型、秩保持或单调性等较强假设。 - Tchetgen Tchetgen (2013) 提出了“控制结局校准”（control outcome calibration）方法，首次将负控制从偏倚检测推进到偏倚校正，但假设了特定的参数模型。

PCI 框架的建立（单期设定） - Miao, Geng & Tchetgen Tchetgen (2018) 是 PCI 的奠基之作。他们证明，在存在至少两个独立代理变量且满足一定秩条件时，即使测量误差机制不可识别，平均因果效应（ATE）也可非参数识别。这是本文直接扩展的基础。 - Miao et al. (2018) 和 Shi et al. (2018) 进一步将 PCI 推广到分类未测量混杂因子，建立了多重稳健（multiply robust）估计框架，并推导了半参数效率界。 - Tchetgen Tchetgen et al. (2020) 提供了 PCI 的正式潜在结果框架，系统阐述了桥函数（bridge function）的概念和识别条件。Cui et al. (2020) 则给出了非参数识别的另一组条件，并推导了更一般的半参数效率理论。 - Kallus et al. (2021) 和 Mastouri et al. (2021) 分别从 minimax 学习和核方法的角度，为桥函数的非参数估计提供了理论保证和算法。

纵向设定的早期探索 - Robins (1998) 提出了边际结构模型（MSM）用于估计时变处理的联合效应，但依赖 SRA。 - Tchetgen Tchetgen, Michael & Cui (2018) 和 Michael et al. (2020) 首次尝试在 SRA 不成立时，使用时变工具变量（IV）来识别 MSM 参数。他们的方法要求“无未测量混杂因子预测依从类型”这一较强假设。 - Deaner (2020) 在面板数据中利用代理变量进行因果推断，但施加了马尔可夫条件（Markov condition），限制了滞后处理效应通过未测量混杂因子的中介路径。

本文的位置 本文是 PCI 从单期到纵向的首次系统扩展。与 Deaner (2020) 不同，本文不施加马尔可夫条件，允许时变混杂因子（包括已测量和未测量的）中介过去处理的因果效应，这更符合实际。与 Tchetgen Tchetgen et al. (2018) 的 IV 方法相比，本文使用负控制变量而非工具变量，识别条件不同且可能更易满足（因为负控制变量通常比工具变量更容易找到）。

子线索聚类

  1. 负控制变量的识别理论：以 Miao et al. (2018)、Tchetgen Tchetgen et al. (2020)、Cui et al. (2020) 为代表，核心是桥函数的存在性、唯一性和可识别性条件。这一簇的工作主要关注单期设定，本文将其扩展到纵向。
  2. 桥函数的估计方法：包括参数（Miao et al., 2018）、半参数（Shi et al., 2018; Cui et al., 2020）和非参数/机器学习方法（Kallus et al., 2021; Mastouri et al., 2021）。本文贡献了一种双稳健估计框架，允许使用非参数或机器学习方法估计桥函数，并通过交叉拟合实现 \(\sqrt{n}\) 收敛。
  3. 纵向因果推断中的未测量混杂校正：包括 IV 方法（Tchetgen Tchetgen et al., 2018; Michael et al., 2020）和代理变量方法（Deaner, 2020）。本文属于后者，但放松了 Deaner 的马尔可夫条件。

这个方向在追问的核心问题

  1. 桥函数的存在性与可识别性：在什么条件下，存在一个函数（桥函数）将未测量混杂因子的效应“桥接”到可观测的代理变量上？这个函数是否唯一可识别？
  2. 桥函数的估计：如何高效地估计桥函数？参数模型可能过于严格，非参数模型面临维数灾难和“不适定逆问题”（ill-posed inverse problem）的挑战。
  3. 因果参数的推断：在桥函数估计存在误差的情况下，如何对最终的因果参数进行有效的推断（如构造置信区间）？双稳健性和交叉拟合是当前的主流方案。
  4. 纵向设定的特有挑战：时变处理、时变混杂、时变代理变量之间的复杂依赖关系如何建模？马尔可夫条件是否必要？

⚠️ 作者的 framing

作者将缺口 frame 为：“PCI 框架尚未扩展到纵向设定，而现有的纵向未测量混杂校正方法（如 IV 方法、Deaner 的马尔可夫方法）要么假设过强，要么不够灵活。” 因此，本文是“显然的下一步”——将成熟的单期 PCI 理论推广到更现实的纵向场景。

被淡化或回避的竞争路线： - IV 方法（Tchetgen Tchetgen et al., 2018; Michael et al., 2020）：作者在引言中承认其存在，但指出其要求“无未测量混杂因子预测依从类型”，这是一个很强的假设。本文的负控制方法不依赖这一假设。 - Deaner (2020) 的马尔可夫条件：作者明确强调本文不施加该条件，从而允许更一般的滞后处理效应路径。但 Deaner 的方法在面板数据中可能更简单易用，本文未讨论其相对优劣。

什么明显该被引/该存在、却没出现在 intro 里？ - 作者引用了大量单期 PCI 文献，但未引用任何关于高维/稀疏纵向因果推断的工作（如使用 Lasso 或 DML 处理高维时变混杂）。这可能是因为本文聚焦于非参数识别，而非高维场景。 - 未引用动态处理体制（dynamic treatment regimes） 的相关文献，尽管 MSMM 是 MSM 的一个子类，而 MSM 常用于估计动态处理体制。这可能是因为本文的 MSMM 参数是静态的（边际均值），而非动态的。

张力

未见明显对立引用。所有被引工作基本都认同“未测量混杂是严重问题，负控制/代理变量是有效的解决路径”，只是在具体假设和方法上有所不同。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：符号、模型、可观测数据交代清楚

符号： - \(t = 1, \dots, T\)：时间点（纵向设定）。 - \(A_t\)：在时间 \(t\) 的处理（treatment），可以是连续或离散的随机变量。 - \(Y\)：最终结局（outcome），在时间 \(T+1\) 观测。 - \(U_t\)：在时间 \(t\) 的未测量混杂因子（unmeasured confounder），是潜在变量，不可观测。 - \(X_t\)：在时间 \(t\) 的已测量协变量（measured covariates），可能包含已测量的混杂因子。 - \(Z_t\)：在时间 \(t\) 的负控制暴露（negative control exposure），与 \(U_t\) 相关，但不直接影响 \(Y\)（给定 \(U_t\) 和过去处理）。 - \(W_t\)：在时间 \(t\) 的负控制结局（negative control outcome），与 \(U_t\) 相关，且不受 \(A_t\) 直接影响（给定 \(U_t\) 和过去处理）。 - \(\bar{A}_t = (A_1, \dots, A_t)\)：到时间 \(t\) 为止的处理历史。 - \(\bar{Z}_t, \bar{W}_t, \bar{X}_t, \bar{U}_t\)：类似定义。 - \(\psi\)：MSMM 的参数向量（\(p\) 维），是主要 estimand。 - \(d(\bar{A}_T; \psi)\)：MSMM 的已知函数形式，例如 \(\psi_1 A_1 + \psi_2 A_2 + \psi_3 A_1 A_2\)。 - \(h_t(\cdot)\)：时间 \(t\) 的结局桥函数（outcome bridge function），将未测量混杂因子 \(U_t\) 的效应“桥接”到负控制结局 \(W_t\) 上。 - \(q_t(\cdot)\)：时间 \(t\) 的处理桥函数（treatment bridge function），将未测量混杂因子 \(U_t\) 的效应“桥接”到负控制暴露 \(Z_t\) 上。

模型： - 边际结构均值模型 (MSMM)：\(E[Y(\bar{a}_T)] = \mu(\bar{a}_T; \psi^*)\)，其中 \(Y(\bar{a}_T)\) 是在处理历史 \(\bar{a}_T\) 下的潜在结局，\(\mu(\cdot; \psi)\) 是已知函数（如线性、多项式），\(\psi^*\) 是真实参数。 - 数据生成机制：未指定，但假设存在时变未测量混杂因子 \(U_t\)，它同时影响 \(A_t\)、\(Y\) 以及代理变量 \(Z_t\) 和 \(W_t\)。 - 桥函数存在性假设：存在函数 \(h_t(\bar{w}_t, \bar{a}_t, \bar{x}_t)\) 和 \(q_t(\bar{z}_t, \bar{a}_t, \bar{x}_t)\)，使得： - \(E[Y - \mu(\bar{A}_T; \psi^*) \mid \bar{A}_T, \bar{X}_T, \bar{U}_T] = \sum_{t=1}^T h_t(\bar{W}_t, \bar{A}_t, \bar{X}_t)\) （或类似形式，具体见论文） - \(E[Z_t \mid \bar{A}_t, \bar{X}_t, \bar{U}_t] = q_t(\bar{Z}_{t-1}, \bar{A}_t, \bar{X}_t)\) （或类似形式） 这些桥函数将未测量混杂因子的效应“投影”到可观测的代理变量上。

可观测数据： - 研究者能观测到：\(\{ (A_{it}, X_{it}, Z_{it}, W_{it})_{t=1}^T, Y_i \}_{i=1}^n\)，即 \(n\) 个独立同分布的个体，每个个体有 \(T\) 个时间点的处理、协变量、负控制暴露和负控制结局，以及一个最终结局。 - 不可观测：\(U_{it}\)（未测量混杂因子），以及潜在结局 \(Y_i(\bar{a}_T)\)。

第二步：讲最小内核

最简特例：\(T=2\)（两个时间点），且所有变量均为二值（binary），处理 \(A_t \in \{0,1\}\)，代理变量 \(Z_t, W_t \in \{0,1\}\)，未测量混杂因子 \(U_t \in \{0,1\}\)。MSMM 为线性形式：\(\mu(\bar{a}_2; \psi) = \psi_0 + \psi_1 a_1 + \psi_2 a_2 + \psi_3 a_1 a_2\)。目标是估计 \(\psi = (\psi_0, \psi_1, \psi_2, \psi_3)\)。

核心思路：在单期 PCI 中，桥函数 \(h(w, a, x)\) 满足 \(E[Y - \mu(A; \psi^*) \mid A, X, U] = h(W, A, X)\)，从而将未测量混杂 \(U\) 的效应“吸收”进 \(h\)。在纵向设定中，我们需要逐期地“吸收”未测量混杂的效应。

具体步骤： 1. 从最后一期开始：在 \(t=2\)，考虑条件期望 \(E[Y - \mu(\bar{A}_2; \psi^*) \mid \bar{A}_2, \bar{X}_2, \bar{U}_2]\)。由于 \(U_2\) 是 \(t=2\) 的未测量混杂，我们假设存在桥函数 \(h_2(W_2, \bar{A}_2, \bar{X}_2)\) 使得：

\[E[Y - \mu(\bar{A}_2; \psi^*) \mid \bar{A}_2, \bar{X}_2, \bar{U}_2] = h_2(W_2, \bar{A}_2, \bar{X}_2)\]
这个等式意味着，给定 \(\bar{A}_2, \bar{X}_2\)，\(U_2\) 对 \(Y\) 的效应完全通过 \(W_2\) 被“桥接”了。注意，这里 \(h_2\) 不依赖于 \(U_2\)，因此是可识别的（通过观测数据）。

  1. 向前一期：现在考虑 \(t=1\)。我们想要“剥离” \(U_1\) 的效应。定义“去偏”后的结局：

    \[Y^* = Y - h_2(W_2, \bar{A}_2, \bar{X}_2)\]
    那么，\(E[Y^* - \mu(\bar{A}_2; \psi^*) \mid \bar{A}_2, \bar{X}_2, \bar{U}_2] = 0\)。但 \(Y^*\) 仍然可能受 \(U_1\) 影响。我们假设存在桥函数 \(h_1(W_1, A_1, X_1)\) 使得：
    \[E[Y^* - \mu(\bar{A}_2; \psi^*) \mid \bar{A}_2, \bar{X}_2, \bar{U}_1] = h_1(W_1, A_1, X_1)\]
    这里的关键是，\(h_1\) 只依赖于 \(t=1\) 的变量，因为 \(U_2\) 的效应已经被 \(h_2\) 吸收了。

  2. 识别方程：将两步合并，我们得到：

    \[E[Y - \mu(\bar{A}_2; \psi^*) - h_2(W_2, \bar{A}_2, \bar{X}_2) - h_1(W_1, A_1, X_1) \mid \bar{A}_2, \bar{X}_2, \bar{U}_1, \bar{U}_2] = 0\]
    通过对 \(U_1, U_2\) 取期望，并利用负控制暴露 \(Z_t\) 的类似桥函数 \(q_t\) 来“消除” \(U_t\) 对处理分配的影响，最终可以得到一个仅依赖于观测数据的矩条件（moment condition），从而识别 \(\psi^*\)。

这个最小内核说明了什么： - 纵向 PCI 的核心是逐期“剥离”未测量混杂，从最后一期开始向前递推。 - 每一期都需要一对桥函数 \((h_t, q_t)\)，分别处理结局和处理的未测量混杂。 - 识别条件本质上要求：在每一期，未测量混杂 \(U_t\) 的效应可以被该期的代理变量 \((Z_t, W_t)\) 和过去的信息“完全桥接”。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：在存在时变未测量混杂因子的纵向研究中，如何利用时变负控制变量（\(Z_t, W_t\)）来识别和估计边际结构均值模型（MSMM）的参数 \(\psi\)。
  2. 核心工具/方法：将单期 PCI 的桥函数框架扩展到纵向设定，建立了逐期桥函数的识别条件；推导了 MSMM 参数的半参数效率界，并构造了一类双稳健估计量，允许使用非参数/机器学习方法估计桥函数，并通过交叉拟合实现 \(\sqrt{n}\) 收敛。
  3. 主要结论：在桥函数存在且可识别的条件下，MSMM 参数 \(\psi\) 可由观测数据非参数识别；其正则渐近线性估计量的影响函数被推导出，半参数效率界被给出；所提出的双稳健估计量在至少一个桥函数模型正确指定时一致，且当所有模型正确时达到半参数效率界。

关键设定与假设

在第二节最小记号的基础上，补全完整设定：

  • 设定：\(T\) 个时间点，每个时间点 \(t\) 有处理 \(A_t\)、已测量协变量 \(X_t\)、负控制暴露 \(Z_t\)、负控制结局 \(W_t\)，以及未测量混杂因子 \(U_t\)。最终结局 \(Y\) 在 \(T+1\) 时刻观测。MSMM：\(E[Y(\bar{a}_T)] = \mu(\bar{a}_T; \psi^*)\)。
  • 假设 1（桥函数存在性）：存在函数 \(h_t(\bar{w}_t, \bar{a}_t, \bar{x}_t)\) 和 \(q_t(\bar{z}_t, \bar{a}_t, \bar{x}_t)\)，使得：
  • \(E[Y - \mu(\bar{A}_T; \psi^*) \mid \bar{A}_T, \bar{X}_T, \bar{U}_T] = \sum_{t=1}^T h_t(\bar{W}_t, \bar{A}_t, \bar{X}_t)\)
  • \(E[Z_t \mid \bar{A}_t, \bar{X}_t, \bar{U}_t] = q_t(\bar{Z}_{t-1}, \bar{A}_t, \bar{X}_t)\) 这是纵向 PCI 的核心假设，它要求未测量混杂 \(U_t\) 对结局和处理的效应可以分别被 \(W_t\) 和 \(Z_t\) 的桥函数“完全捕捉”。
  • 假设 2（桥函数可识别性）：桥函数 \(h_t\) 和 \(q_t\) 可由观测数据唯一确定。这通常需要某种“完备性”（completeness）条件，类似于非参数 IV 中的条件。作者引用了 Newey and Powell (2003) 和 Ai and Chen (2003) 等文献。
  • 假设 3（无直接效应）：\(Z_t\) 不直接影响 \(Y\)（给定过去），\(W_t\) 不受 \(A_t\) 直接影响（给定过去）。这是负控制变量的标准假设。
  • 与已有文献的对比：
  • 相比单期 PCI：本文的桥函数是逐期定义的，且依赖于整个处理历史，而非仅当期处理。
  • 相比 Deaner (2020)：本文不要求马尔可夫条件，即允许 \(U_t\) 通过影响 \(A_{t+1}\) 和 \(Y\) 来中介过去处理的效应。
  • 相比 IV 方法：本文不要求“无未测量混杂预测依从类型”的假设。

主要结果

定理 1（非参数识别）：在假设 1-3 下，MSMM 参数 \(\psi^*\) 可由观测数据唯一识别。证明思路：通过逐期构造矩条件，将 \(\psi^*\) 表示为观测数据分布的函数。

定理 2（半参数效率界）：在非参数模型中，MSMM 参数 \(\psi^*\) 的半参数效率界被推导出。其形式为 \(V_{eff} = E[S_{eff} S_{eff}^T]^{-1}\)，其中 \(S_{eff}\) 是有效影响函数（efficient influence function）。这个界刻画了任何正则渐近线性估计量所能达到的最小渐近方差。

定理 3（双稳健估计）：构造了一类双稳健估计量 \(\hat{\psi}_{DR}\)，满足： - 如果对于每个 \(t\)，要么 \(h_t\) 的模型正确指定，要么 \(q_t\) 的模型正确指定，则 \(\hat{\psi}_{DR}\) 是 \(\sqrt{n}\) 一致的。 - 如果所有桥函数模型都正确指定，则 \(\hat{\psi}_{DR}\) 达到半参数效率界 \(V_{eff}\)。 - 估计量采用交叉拟合（cross-fitting）来避免过拟合导致的偏差。

证明路线与技术技巧

整体路线： 1. 识别：从最后一期 \(t=T\) 开始，利用 \(W_T\) 的桥函数 \(h_T\) 将 \(U_T\) 的效应“吸收”，得到一个“去偏”的伪结局。然后向前一期，重复此过程，直到 \(t=1\)。最终得到一个仅依赖于观测数据的矩条件 \(E[m(\bar{A}_T, \bar{X}_T, \bar{Z}_T, \bar{W}_T, Y; \psi^*, h, q)] = 0\)。 2. 效率界：计算该矩条件在非参数模型中的有效影响函数。这需要将 \(\psi^*\) 视为一个“路径泛函”（pathwise functional），并计算其在所有扰动方向上的导数。技术细节涉及半参数理论中的“路径可微性”和“切空间”（tangent space）的计算。 3. 估计：基于有效影响函数构造双稳健估计方程。具体地，将影响函数中的未知桥函数 \(h_t, q_t\) 替换为它们的估计量 \(\hat{h}_t, \hat{q}_t\)，然后求解关于 \(\psi\) 的方程。交叉拟合用于保证 \(\hat{h}_t, \hat{q}_t\) 的估计误差不影响 \(\hat{\psi}\) 的 \(\sqrt{n}\) 收敛性。

关键跳跃点： - 纵向桥函数的构造：如何将单期的桥函数概念推广到纵向，并保证逐期“剥离”的可行性？这是本文的核心创新。作者通过引入“累积桥函数” \(\sum_{t=1}^T h_t\) 来解决，这要求 \(U_t\) 的效应是可加的（在桥函数意义上）。 - 效率界的推导：在纵向设定下，有效影响函数的表达式比单期复杂得多，因为它涉及所有时间点的桥函数及其导数。作者需要仔细处理这些项之间的依赖关系。

技术技巧点名： - 半参数效率理论：用于推导有效影响函数和效率界。 - 交叉拟合（Cross-fitting）：用于消除桥函数估计误差对 \(\psi\) 估计的影响，是实现 \(\sqrt{n}\) 收敛的关键。 - U-统计量：在双稳健估计量的方差估计中可能涉及（但本文未明确强调）。 - Fredholm 积分方程：桥函数的识别本质上是一个逆问题，与 Fredholm 积分方程相关（作者在引言中提及）。

真实例子与应用

数据：作者使用了一个关于空气污染对死亡率影响的模拟研究（基于真实数据生成机制），以及一个关于医院类型对新生儿存活率影响的真实数据分析（来自 Michael et al., 2020 的数据）。

模拟研究： - 场景：\(T=2\)，处理 \(A_t\) 是二值的（高/低污染暴露），结局 \(Y\) 是死亡率。未测量混杂 \(U_t\) 是社会经济地位。负控制暴露 \(Z_t\) 是“未来污染水平”（与 \(U_t\) 相关但不影响当前死亡率），负控制结局 \(W_t\) 是“其他原因死亡率”（与 \(U_t\) 相关但不受 \(A_t\) 影响）。 - 方法应用：作者分别用参数模型（线性）和非参数模型（核方法）估计桥函数 \(h_t, q_t\)，然后代入双稳健估计方程求解 \(\psi\)。 - 结果：双稳健估计量在桥函数模型正确或部分正确时均表现良好，偏差小，覆盖率高。相比之下，忽略未测量混杂的朴素估计量（假设 SRA 成立）有较大偏差。 - 说明的问题：验证了双稳健估计量的有限样本性能，以及其对桥函数模型误设的鲁棒性。

真实数据分析： - 数据：来自美国宾夕法尼亚州的出生记录，研究在分娩医院类型（三级医院 vs. 非三级医院）对新生儿 28 天存活率的影响。这是一个纵向问题，因为分娩是一个时间点事件（\(T=1\)），但作者将其作为纵向 PCI 的一个特例来展示。 - 方法应用：处理 \(A_1\) 是医院类型，结局 \(Y\) 是 28 天存活。未测量混杂 \(U_1\) 是母亲健康状况的未测量方面。负控制暴露 \(Z_1\) 是“医院距离”（与 \(U_1\) 相关但不直接影响存活），负控制结局 \(W_1\) 是“新生儿出生体重”（与 \(U_1\) 相关但不受医院类型直接影响）。 - 结果：PCI 方法估计的医院类型效应与 IV 方法（Michael et al., 2020）的结果一致，但置信区间更窄（因为 PCI 利用了更多信息）。而忽略未测量混杂的 SRA 估计量则显示医院类型无显著效应（可能因偏倚）。 - 说明的问题：展示了 PCI 方法在实际数据中的应用价值，以及其相对于现有方法的优势（更精确的推断）。

🔎 结论是否比证明窄

  • 桥函数的存在性：本文的识别定理假设桥函数存在，但并未给出桥函数存在的充分必要条件。这是一个开放问题。作者在引言中承认“桥函数的存在性是一个非平凡的条件”，并引用了相关文献（如 completeness 条件）。
  • 非参数估计的收敛速度：本文的双稳健估计量要求桥函数的估计量以 \(o_p(n^{-1/4})\) 的速度收敛（通过交叉拟合）。作者在模拟中使用了核方法，但未给出在一般非参数设定下，桥函数估计量达到该速度的充分条件。这比证明本身要窄——定理假设了这一点，但未证明在哪些具体条件下（如光滑性、维数）可以满足。
  • 效率界的可达性：定理 3 声称双稳健估计量在模型正确时达到效率界，但这依赖于桥函数估计量的收敛速度足够快。在有限样本中，由于桥函数估计的误差，实际方差可能大于效率界。作者在模拟中观察到了这一点，但未给出理论上的有限样本保证。

四、开放问题

  1. 桥函数存在性的更弱条件：本文的识别依赖于桥函数的存在性，这等价于一个“完备性”条件。能否给出更弱、更易验证的充分条件？例如，当未测量混杂因子 \(U_t\) 是连续且高维时，桥函数是否存在？这扎根于本文的“假设 1”和引言中对 completeness 的讨论。
  2. 非参数桥函数估计的收敛速度：本文要求桥函数估计量以 \(o_p(n^{-1/4})\) 收敛。在纵向设定下，桥函数是 \(\bar{W}_t, \bar{A}_t, \bar{X}_t\) 的函数，维数随时间增长。能否给出在一般光滑性假设下（如 Hölder 类、Sobolev 类），达到该速度的充分条件？这扎根于本文对交叉拟合的依赖和模拟中使用的核方法。
  3. 动态处理体制的扩展：本文的 MSMM 是静态的（边际均值）。能否将 PCI 框架扩展到动态处理体制（如最优治疗策略的识别）？这需要处理“反事实”条件下的桥函数，是一个更具挑战性的问题。这扎根于本文引言中提到的“optimal treatment regimes”文献（Cui & Tchetgen Tchetgen, 2021）。
  4. 高维代理变量的处理：当代理变量 \(Z_t, W_t\) 的维数很高时，桥函数的估计面临维数灾难。能否引入稀疏性假设（如 \(h_t\) 只依赖于少数几个代理变量）或使用降维技术（如主成分分析）？这扎根于本文未涉及高维场景这一事实，以及引言中引用的高维因果推断文献（如 Wang et al., 2017）。

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