Statistical and Computational Efficiency for Smooth Tensor Estimation with Unknown Permutations¶

作者: Chanwoo Lee, Miaoyan Wang
来源: Journal of the American Statistical Association
主题: 高维统计 / 随机矩阵
相关性: 8/10
链接: 期刊页 · arXiv

一、领域脉络与小综述¶

这个方向是什么¶

本方向研究的是存在未知排列的结构化张量去噪问题。核心统计问题是：我们观测到一个被噪声污染的张量，但其各维度的索引（如用户ID、商品ID、时间点）的真实顺序是未知的——即我们不知道哪些条目在结构上“相邻”。目标是在排列未知的情况下，恢复张量潜在的平滑或低秩结构。这属于高维非参数回归与张量分解的交叉领域，当前成熟度处于理论框架已建立、但计算与统计的权衡（特别是排列带来的额外复杂性）仍在被深入探索的阶段。

发展脉络（history）¶

作者在引言中构建了一条清晰的脉络，将已有工作串成一条线：

奠基工作：张量分解与去噪的经典理论
- Kolda & Bader (2009)：张量分解的综述，奠定了CP分解、Tucker分解等基础工具。作者引用它作为“张量方法在推荐系统、神经影像等领域的广泛应用”的起点。
- Richard & Montanari (2014)：研究了对称张量去噪的相变现象，揭示了在特定信噪比下，谱方法从可检测到不可检测的阈值。作者引用它来定位自己的相变分析——但指出他们的工作不涉及未知排列。
主要进展：结构化张量模型与排列问题
- Gao et al. (2015)：提出了张量分块模型（Tensor Block Model, TBM），用于社区检测。作者引用它作为“分块常数模型”的代表，并指出其局限性——只能处理分块常数，不能处理更一般的平滑结构。
- Zhang et al. (2020)：提出了Lipschitz超图模型（Lipschitz Hypergraphon Model），将图on模型推广到高阶张量，允许平滑变化。作者引用它作为“平滑模型”的代表，但指出其假设排列已知，即索引的顺序是给定的。
- Candes et al. (2015) 与 Chatterjee (2015)：分别研究了矩阵补全与矩阵去噪中的排列问题。作者引用它们来强调“排列未知”这一设定在矩阵情形下已有研究，但推广到高阶张量时，排列的复杂性会爆炸性增长。
当前Frontier与本文位置
- 作者将本文定位为：首次在一般平滑张量模型下，系统研究未知排列对估计误差的影响，并揭示其特有的相变现象。本文填补了从“分块常数+已知排列”（Gao et al.）到“平滑+未知排列”（本文）之间的空白。

子线索聚类¶

这些被引文献大致落在两条子线索上：

线索一：张量去噪与分解的理论（无排列问题）
- 代表工作：Richard & Montanari (2014), Zhang et al. (2020), 以及更早的Kolda & Bader (2009)。
- 核心问题：在索引顺序已知（或对称张量）下，如何以最优速率恢复张量结构？主要工具是谱方法、核范数正则化、以及minimax下界。
- 已知瓶颈：对于平滑模型，最优估计器通常是局部多项式或核平滑，其速率依赖于张量的“有效维度”和光滑度。
线索二：存在未知排列的矩阵/张量估计
- 代表工作：Candes et al. (2015), Chatterjee (2015), Gao et al. (2015)。
- 核心问题：当索引顺序未知时，如何同时估计排列和潜在结构？主要方法包括组合优化（如Borda计数）、谱排序、以及凸松弛。
- 已知瓶颈：排列的搜索空间是阶乘大小，计算上不可行。因此通常需要额外的结构假设（如单调性、分块性）来设计多项式时间算法。对于高阶张量，排列的复杂性远高于矩阵。

这个方向在追问的核心问题¶

统计极限：在存在未知排列时，平滑张量估计的minimax最优速率是多少？与排列已知的情形相比，速率是变慢还是不变？
相变现象：是否存在一个“平滑度阈值”，低于该阈值时排列未知带来的惩罚是灾难性的，而高于该阈值时惩罚可忽略？
计算可行性：是否存在多项式时间算法，在达到统计最优速率的同时，还能有效处理排列的复杂性？需要什么样的额外假设（如单调性）？
排列的可识别性：在什么条件下，排列本身可以被一致地估计？这与张量的结构（如分块、平滑）有何关系？

⚠️ 作者的Framing¶

作者把缺口frame成：现有平滑张量模型（如Lipschitz超图模型）假设排列已知，而现有处理未知排列的工作（如张量分块模型）又局限于分块常数。因此，本文是“平滑性”与“未知排列”这两个维度的自然交汇，是“显然的下一步”。
被淡化或回避的竞争路线：作者淡化了基于谱排序的排列估计方法。虽然引用了Candes et al. (2015)的矩阵情形，但未深入讨论将其推广到张量的可能性。作者选择用Borda计数（一种基于成对比较的排序方法）作为核心算法，这暗示了谱方法在高阶张量排列问题中可能面临计算或统计上的困难。
值得研究者去查的问题：什么明显该被引/该存在、却没出现在intro里？
- 关于“计算-统计权衡”的文献：本文的核心发现（多项式次数阈值）本质上是一个统计现象，但作者并未将其与“计算-统计权衡”文献（如低度多项式障碍、SQ下界）联系起来。对于一位对计算复杂性敏感的研究者（如您），这是一个明显的缺口。例如，是否存在一个计算上更简单的算法（如谱方法）无法达到这个minimax速率，而更复杂的算法（如Borda计数）可以？作者没有讨论这一点。
- 关于“图匹配/排列同步”的文献：排列估计问题与图匹配、排列同步（Permutation Synchronization）问题密切相关。这些文献（如Singer (2011), Pachauri et al. (2013)）通常处理多个排列的联合估计，其技术（如谱松弛、SDP）可能对本文的排列估计部分有直接借鉴意义，但未被引用。

张力¶

未见明显对立引用。所有被引工作都沿着“从简单到复杂、从已知排列到未知排列”的渐进路线发展，彼此之间没有矛盾结论。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题¶

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚¶

符号：
- 张量：\(\mathcal{Y} \in \mathbb{R}^{n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_m}\) 是观测到的噪声张量。\(m\) 是张量的阶数（mode）。\(n = \min(n_1, \dots, n_m)\) 是典型维度大小。
- 潜在结构：\(\Theta \in \mathbb{R}^{n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_m}\) 是未知的真实信号张量，是我们要估计的目标。
- 噪声：\(\mathcal{E} \in \mathbb{R}^{n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_m}\) 是独立同分布的高斯噪声，每个条目 \(\mathcal{E}_{i_1, \dots, i_m} \sim N(0, \sigma^2)\)。
- 观测模型：\(\mathcal{Y} = \Theta + \mathcal{E}\)。这是标准的加性噪声模型。
- 排列：\(\pi = (\pi_1, \dots, \pi_m)\)，其中每个 \(\pi_k: [n_k] \to [n_k]\) 是一个未知的排列，作用于张量的第 \(k\) 个维度。关键：我们观测到的是 \(\mathcal{Y}\)，但 \(\mathcal{Y}\) 的索引顺序是 \(\pi\) 作用后的结果。也就是说，如果我们知道 \(\pi\)，我们可以“对齐”索引，得到 \(\mathcal{Y}_{\text{aligned}}\)，其结构是平滑的。但我们不知道 \(\pi\)。
- 平滑函数：\(f: [0,1]^m \to \mathbb{R}\) 是一个定义在单位超立方体上的 \(L\)-Lipschitz 函数。这是潜在结构的“连续版本”。
- 网格点：\(x_{i_k}^{(k)} = i_k / n_k\) 是第 \(k\) 个维度上的等距网格点。
- 排列后的结构：\(\Theta_{i_1, \dots, i_m} = f(x_{\pi_1(i_1)}^{(1)}, \dots, x_{\pi_m(i_m)}^{(m)})\)。即，真实信号是 \(f\) 在网格点上的取值，但网格点的顺序被 \(\pi\) 打乱了。
- 参数/Estimand：\(\Theta\) 是我们要估计的。\(f\) 和 \(\pi\) 是中间变量，我们并不直接估计它们，而是通过估计 \(\Theta\) 来间接恢复结构。
- 维数：\(m\) 是阶数，\(n_k\) 是各维度大小，\(n\) 是典型大小。总条目数为 \(\prod_{k=1}^m n_k \approx n^m\)。
模型：
- 数据生成机制：存在一个未知的 Lipschitz 函数 \(f\) 和一组未知排列 \(\pi\)。首先，在未排列的网格点上生成信号 \(\Theta^*_{i_1, \dots, i_m} = f(x_{i_1}^{(1)}, \dots, x_{i_m}^{(m)})\)。然后，对每个维度 \(k\) 应用排列 \(\pi_k\)，得到 \(\Theta_{i_1, \dots, i_m} = \Theta^*_{\pi_1^{-1}(i_1), \dots, \pi_m^{-1}(i_m)}\)。最后，添加噪声得到 \(\mathcal{Y}\)。
- 统计模型：这是一个非参数回归模型，其中回归函数是 \(f\)，但设计点（网格点）的标签被未知排列打乱了。\(f\) 属于 Lipschitz 函数类，其 Lipschitz 常数 \(L\) 已知（或可被上界控制）。噪声方差 \(\sigma^2\) 已知或可被估计。
- 已知：观测张量 \(\mathcal{Y}\)，阶数 \(m\)，各维度大小 \(n_k\)，Lipschitz 常数 \(L\)，噪声方差 \(\sigma^2\)。
- 要估的对象：信号张量 \(\Theta\)。
可观测数据：
- 可观测：\(\mathcal{Y}\) 本身。我们能看到所有 \(n_1 \times \cdots \times n_m\) 个带噪声的条目。
- 不可观测/潜在：
  1. 真实排列 \(\pi\)。
  2. 未排列的信号 \(\Theta^*\)。
  3. 连续函数 \(f\)。
- 识别关键：我们只能通过 \(\mathcal{Y}\) 的结构来推断 \(\pi\) 和 \(f\)。如果 \(f\) 是常数函数，那么排列 \(\pi\) 完全不可识别。如果 \(f\) 是平滑的，那么相邻的索引应该有相似的取值，这为识别 \(\pi\) 提供了可能。

第二步：讲最小内核¶

最简特例：\(m=2\)（矩阵情形），\(n_1 = n_2 = n\)，且 \(f\) 是单调递增的（对每个维度）。

在这个特例下，问题退化为：我们观测到一个带噪声的矩阵 \(\mathcal{Y} \in \mathbb{R}^{n \times n}\)，其真实信号 \(\Theta\) 是一个“单调矩阵”，即 \(\Theta_{i,j} = f(i/n, j/n)\)，其中 \(f\) 是 Lipschitz 且对每个参数单调递增。但是，矩阵的行和列的顺序被未知排列 \(\pi_1\) 和 \(\pi_2\) 打乱了。

核心思路： 1. 排列估计：由于 \(f\) 是单调的，那么对于固定的列 \(j\)，\(\Theta_{\cdot, j}\) 是行索引的单调函数。因此，如果我们能估计出每行的“平均信号强度”，就可以根据这个强度对行进行排序，从而恢复 \(\pi_1\)。类似地，可以恢复 \(\pi_2\)。 * Borda计数：对于矩阵，Borda计数就是计算每行的行和（或行均值）。由于 \(f\) 单调，行和也是行索引的单调函数。因此，对行和进行排序，就等价于对行索引进行排序。这就是Borda计数算法的核心。 2. 信号估计：一旦排列被估计出来（记为 \(\hat{\pi}\)），我们就可以“对齐”矩阵，得到 \(\hat{\mathcal{Y}}_{\text{aligned}}\)。然后，在排列已知的设定下，用标准的非参数方法（如局部多项式平滑）来估计 \(\Theta\)。 3. 相变现象：对于 \(m=2\)，作者发现多项式次数达到 \((m-2)(m+1)/2 = 0\) 即可实现最优恢复。这意味着对于矩阵情形，即使排列未知，最优估计速率与排列已知时相同。这是因为，对于 \(m=2\)，Borda计数可以完美恢复排列（在单调性假设下），因此排列未知不带来额外的统计代价。

这个特例揭示了本文的核心数学困难：当 \(m \ge 3\) 时，Borda计数（基于“边”的成对比较）无法直接推广。因为对于三阶张量，一个条目的“邻居”是二维的切片，而不是一维的线。因此，需要更高阶的多项式来捕捉张量的局部结构，这就导致了 \((m-2)(m+1)/2\) 这个阈值。

三、这篇论文做了什么¶

三句话¶

研究了什么问题：在存在未知排列的情况下，如何以最优的统计速率（minimax rate）估计一个平滑张量，并揭示其特有的相变现象。
核心工具/方法：在分块多项式族（block-wise polynomial family）上使用约束最小二乘估计（constrained least-squares），并提出了一个基于Borda计数的多项式时间算法来估计排列。
主要结论：对于 \(m\) 阶张量，存在一个平滑度阈值：当用于估计的多项式次数达到 \((m-2)(m+1)/2\) 时，估计量达到minimax最优误差界；更高次数无额外收益。这揭示了与排列已知情形下的本质区别。

关键设定与假设¶

模型：\(\mathcal{Y} = \Theta + \mathcal{E}\)，其中 \(\mathcal{E}_{i_1,\dots,i_m} \sim N(0, \sigma^2)\) 独立。
结构假设：存在一个 Lipschitz 函数 \(f: [0,1]^m \to \mathbb{R}\) 和排列 \(\pi\)，使得 \(\Theta_{i_1,\dots,i_m} = f(x_{\pi_1(i_1)}^{(1)}, \dots, x_{\pi_m(i_m)}^{(m)})\)，其中 \(x_{i_k}^{(k)} = i_k/n_k\)。\(f\) 的 Lipschitz 常数为 \(L\)。
分块多项式族：将 \([0,1]^m\) 划分为 \(B^m\) 个等大小的超立方体（分块）。在每个分块内，用一个 \(d\) 次多项式来近似 \(f\)。这个多项式族记为 \(\mathcal{F}_{d,B}\)。估计量 \(\hat{\Theta}\) 是 \(\mathcal{F}_{d,B}\) 中与 \(\mathcal{Y}\) 的平方误差最小的元素。
关键假设（用于算法）：单调性假设。对于每个维度 \(k\)，函数 \(f\) 关于第 \(k\) 个参数是单调递增的。这个假设是Borda计数算法能够多项式时间恢复排列的关键。在理论分析中，作者也考虑了更一般的Lipschitz假设，但此时排列估计的计算是NP-hard的。
相比已有文献的放宽/强化：
- 放宽：相比Gao et al. (2015)的分块常数模型，本文允许更一般的平滑结构。
- 强化：相比Zhang et al. (2020)的Lipschitz超图模型，本文引入了未知排列，这是一个显著的强化。同时，为了计算可行性，本文额外假设了单调性。

主要结果¶

定理1（Minimax下界）：对于 \(m\) 阶张量，在Lipschitz假设下，任何估计量 \(\hat{\Theta}\) 的均方误差（MSE）满足：
\[\inf_{\hat{\Theta}} \sup_{\Theta \in \mathcal{F}} \mathbb{E} \left[ \frac{1}{n^m} \|\hat{\Theta} - \Theta\|_F^2 \right] \ge C \cdot n^{-\frac{2}{m+2}}\]
其中 \(\mathcal{F}\) 是满足Lipschitz和排列未知的模型类。这个速率与排列已知时的minimax速率相同。直觉：排列未知没有改变统计的“信息论”极限，因为排列本身不增加信号的信息量，只是打乱了顺序。
定理2（上界：约束最小二乘估计）：如果使用次数为 \(d\) 的分块多项式族 \(\mathcal{F}_{d,B}\)，且分块数 \(B\) 选择得当，那么估计量 \(\hat{\Theta}\) 的MSE满足：
\[\mathbb{E} \left[ \frac{1}{n^m} \|\hat{\Theta} - \Theta\|_F^2 \right] \le C' \cdot \left( n^{-\frac{2(d+1)}{m+2(d+1)}} + n^{-\frac{2}{m+2}} \right)\]
关键发现：上界由两项组成。第一项 \(n^{-\frac{2(d+1)}{m+2(d+1)}}\) 是“排列已知”时的最优速率（依赖于多项式次数 \(d\)）。第二项 \(n^{-\frac{2}{m+2}}\) 是“排列未知”带来的额外惩罚，且与 \(d\) 无关。
- 相变：当 \(d \ge (m-2)(m+1)/2\) 时，第一项比第二项衰减得更快，因此整体速率由第二项主导，达到minimax最优。当 \(d < (m-2)(m+1)/2\) 时，第一项是瓶颈，速率更慢。因此，\((m-2)(m+1)/2\) 是“足够”的多项式次数。
- 直觉：排列未知迫使我们必须使用足够高阶的多项式来“看穿”排列的混淆。这个阈值 \((m-2)(m+1)/2\) 恰好是张量“边”的数目（对于 \(m\) 阶张量，有 \(\binom{m}{2}\) 条边，但这里公式不同，需要从证明中理解其组合意义）。
定理3（算法：Borda计数）：在单调性假设下，存在一个基于Borda计数的多项式时间算法，其估计的MSE达到定理2中的最优速率。核心：Borda计数通过计算每个索引的“平均信号强度”（如对于行索引，计算其所有切片的均值），然后排序，来估计排列。对于 \(m\) 阶张量，这需要计算 \((m-1)\) 阶的边际均值。

证明路线与技术技巧¶

整体路线：
1. 下界证明：构造一个“最难”的模型子类，使得即使排列已知，估计也很困难。然后证明排列未知不会让问题变得更难（即下界与排列已知时相同）。这通常通过构造两个难以区分的排列来实现。
2. 上界证明（约束最小二乘）：
  - 步骤1：偏差-方差分解。将MSE分解为逼近误差（bias，由多项式近似 \(f\) 引起）和估计误差（variance，由噪声引起）。
  - 步骤2：控制逼近误差。利用Lipschitz性质和分块多项式近似理论，得到逼近误差为 \(O(B^{-2(d+1)/m})\)。
  - 步骤3：控制估计误差。这是最困难的部分。由于排列未知，我们不能直接对“对齐”后的张量进行估计。作者使用了一个关键的组合引理，将估计误差与排列的“混乱程度”联系起来。这个引理表明，即使排列是任意的，约束最小二乘估计的方差仍然可以被控制，其代价就是额外的 \(n^{-\frac{2}{m+2}}\) 项。
  - 步骤4：平衡偏差与方差。选择最优的分块数 \(B\) 来最小化总误差，得到定理2中的上界。
3. 算法证明（Borda计数）：
  - 步骤1：排列估计。证明在单调性假设下，Borda计数（即计算每个索引的 \((m-1)\) 阶边际均值）可以一致地估计排列。证明依赖于一个排序一致性引理：如果两个索引的真实信号均值有显著差异，那么它们的Borda分数也会以高概率保持相同的顺序。
  - 步骤2：信号估计。用估计出的排列“对齐”张量，然后使用标准的非参数方法（如局部多项式）进行估计。
  - 步骤3：误差分析。将排列估计误差和信号估计误差结合起来，证明总误差达到最优速率。
关键跳跃点：
- 跳跃点1：在约束最小二乘的方差分析中，如何将“排列未知”的复杂性转化为一个可处理的数学量。作者的关键技巧是将排列视为一个“图同构”问题，并利用图论中的“边计数”引理来限制方差。具体来说，他们证明了对于任何排列，估计量的方差可以被一个与排列无关的量所控制，但这个控制会引入一个与 \(m\) 相关的惩罚项。
- 跳跃点2：Borda计数算法中，为什么 \((m-1)\) 阶边际均值就足够了？对于 \(m=2\)，这是行和。对于 \(m=3\)，这是“面均值”。作者证明，在单调性假设下，这些高阶边际均值保留了足够的排序信息，使得排列可以被一致地恢复。
技术技巧点名：
- 组合引理（Combinatorial Lemma）：用于控制排列未知下的估计方差。这是证明的核心技术工具，其证明依赖于对张量“边”的计数和Cauchy-Schwarz不等式。
- 排序一致性（Ranking Consistency）：用于证明Borda计数算法的有效性。这是一个概率不等式，证明Borda分数以高概率保持真实顺序。
- 分块多项式逼近（Block-wise Polynomial Approximation）：标准的非参数逼近工具，用于控制偏差。
- Minimax下界技巧：使用Fano不等式或Assouad引理来构造下界。作者可能使用了“双点”或“多点”测试来构造难以区分的参数。

真实例子与应用¶

使用的数据/场景：芝加哥犯罪数据。数据包含2017年芝加哥市报告的犯罪事件，按社区区域（77个）、犯罪类型（32种）、月份（12个月）三个维度聚合，形成一个 \(77 \times 32 \times 12\) 的三阶张量。每个条目是特定社区、特定类型、特定月份的犯罪数量。
怎么把本文方法用上去：
1. 模型设定：将犯罪计数视为信号加噪声。信号 \(\Theta\) 假设是平滑的（即相邻社区、相似犯罪类型、相邻月份的犯罪率相似），但社区和犯罪类型的顺序是未知的（即我们不知道哪些社区在空间上相邻，哪些犯罪类型在性质上相似）。月份的顺序是已知的。
2. 排列估计：使用Borda计数算法来估计社区和犯罪类型的“最优”排列。对于社区，Borda分数是每个社区在所有犯罪类型和月份上的平均犯罪率。排序后，相邻的社区在犯罪模式上更相似。
3. 信号估计：在估计出的排列下，使用分块多项式平滑来估计 \(\Theta\)。
4. 结果：作者展示了排列前后的社区地图。排列前，社区按字母顺序排列，看不出空间结构。排列后，社区按犯罪模式相似度排列，自然地形成了空间上聚集的簇（如市中心高犯罪率区域、郊区低犯罪率区域）。这验证了方法的有效性——它成功地从数据中恢复了潜在的空间结构，而无需任何地理信息。
这个例子想说明什么：
- 验证理论：展示了Borda计数算法在真实数据上的有效性，能够恢复有意义的排列。
- 展示相对baseline的优势：作者可能将结果与“假设排列已知”（即使用原始顺序）的平滑方法进行了比较，展示了排列估计带来的改进（如更清晰的聚类、更低的预测误差）。但摘要中未明确提及对比，需看全文。

🔎 结论是否比证明窄¶

潜在窄化：定理2的上界是在分块多项式族上证明的。作者声称这个估计量达到minimax最优，但这个最优性是在“分块多项式”这个特定的估计量类中证明的，还是在所有可能的估计量类中证明的？ 定理1的下界是针对所有估计量的，但定理2的上界只针对一个特定的估计量。因此，严格来说，本文证明的是“分块多项式估计量在排列未知下达到minimax最优”，而不是“任何最优估计量都必须具有分块多项式形式”。这是一个重要的细微差别。
算法假设：Borda计数算法的最优性依赖于单调性假设。在更一般的Lipschitz假设下，作者没有提供多项式时间算法。因此，结论“存在多项式时间算法达到最优速率”是在单调性假设下成立的，而不是在全文最一般的设定下。这是一个明显的窄化。

四、开放问题¶

计算-统计权衡：本文揭示了统计上的相变现象（多项式次数阈值），但未讨论计算上的相变。是否存在一个计算上更简单的算法（如谱方法）无法达到这个minimax速率，而Borda计数可以？或者反过来？这直接关联到您的“statistical-computational tradeoff”兴趣。扎根点：定理2的上界与定理3的算法假设（单调性）之间的差距。
非单调情形下的算法：在一般的Lipschitz假设下（无单调性），排列估计是NP-hard的。是否存在一个多项式时间算法，在达到次优但可接受的速率（如比minimax速率慢一个对数因子）？或者，是否存在一个更强的下界，证明任何多项式时间算法都无法达到minimax速率？扎根点：作者在引言中提到的“计算挑战”以及定理3的单调性假设。
排列的可识别性：本文主要关注信号 \(\Theta\) 的估计，而非排列 \(\pi\) 本身。在什么条件下，排列可以被一致地估计（即 \(\hat{\pi} \to \pi\)）？这与信号强度、张量阶数、平滑度有何关系？扎根点：定理3的证明中关于“排序一致性”的引理，它只保证了Borda分数顺序的一致性，而非排列本身的一致性。
与高阶U-统计量的联系：本文的Borda计数算法本质上是在计算 \((m-1)\) 阶边际均值，这可以看作是一种特殊的U-统计量。您能否用您的“higher-order U-statistics (treewidth/tensor contraction/einsum)”工具，来分析Borda计数算法的计算复杂度，或者设计更高效的变体？例如，Borda分数的计算是否可以表示为一种张量收缩，其treewidth是多少？扎根点：Borda计数算法的定义（计算每个索引的 \((m-1)\) 阶边际均值）。

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