Testing the Number of Common Factors by Bootstrapped Sample Covariance Matrix in High-Dimensional Factor Models¶

作者: Long Yu, Peng Zhao, Wang Zhou
来源: Journal of the American Statistical Association
主题: 高维统计 / 随机矩阵
相关性: 7/10
链接: 期刊页 · arXiv

一、领域脉络与小综述¶

这个方向是什么¶

本文研究的根本问题是：在高维因子模型中，如何可靠地估计公共因子的个数（即“秩”或“因子数”）。这是一个在计量经济学、金融学、基因组学等领域极其基础的问题——因子个数决定了后续所有推断（如因子载荷估计、共同成分提取、降维）的正确性。当前该子方向的成熟度很高，已有大量基于信息准则（如IC、BIC）、特征值比值（如ED、ER）和随机矩阵理论（RMT）的方法，但在“弱因子”（因子对观测变量的解释力弱）和“截面相关误差”（误差项之间存在相关性）这两个现实场景下，现有方法普遍表现不稳定或失效。本文试图通过引入bootstrap扰动来区分“由因子驱动的spiked特征值”和“由噪声驱动的非spiked特征值”，从而构造一个对上述两个问题都稳健的检验方法。

发展脉络（history）¶

从作者在introduction中的引用和定位，可以梳理出以下发展脉络：

奠基工作：信息准则与比值法（经典低维/固定维设定）
- Bai & Ng (2002)：提出了基于信息准则（如PC、IC）的因子个数估计方法，是这一领域的里程碑。作者引用时指出，该方法在“误差项截面相关或时序相关”时表现不佳（“may not perform well when the errors are cross-sectionally or serially correlated”）。
- Onatski (2010)：提出了基于特征值差值的“ED”估计量。作者引用时指出，该方法依赖于“一个调谐参数的选择”（“depends on a tuning parameter”），且对弱因子敏感。
主要进展：随机矩阵理论（RMT）的引入（高维设定）
- 随着维度p与样本量n可比甚至更大，经典方法失效。RMT被引入以刻画高维样本协方差矩阵特征值的极限行为。
- Johnstone (2001)：建立了“零模型”（无因子，即纯噪声）下最大特征值的Tracy-Widom极限分布，为基于最大特征值的检验提供了理论基础。
- Baik, Ben Arous & Péché (2005) (BBP)：建立了“spiked协方差模型”下的相变现象——只有当因子强度（spike大小）超过某个阈值时，对应的样本特征值才会与主体谱分离。这是理解“弱因子”问题的核心理论。
- Onatski (2012)：利用RMT，提出了基于特征值分布的经验分布函数（EDF）的检验方法。作者引用时指出，该方法“依赖于误差项为独立同分布（i.i.d.）的假设”（“relies on the assumption that the errors are i.i.d.”），这在截面相关时可能不稳健。
当前Frontier：处理弱因子与截面相关
- 现有方法（无论是信息准则还是RMT方法）在处理“弱因子”和“截面相关误差”时都面临挑战。弱因子导致其对应的spiked特征值无法与噪声谱分离，而截面相关则扭曲了噪声谱的形状，使得基于独立同分布噪声假设的RMT结果失效。
- 本文的位置：作者声称，他们的bootstrap方法能够同时应对这两个挑战。其核心洞察是：bootstrap重抽样过程会“放大”噪声的随机性，使得spiked和非spiked特征值在bootstrap下的渐近行为产生质的不同（高斯 vs. 极值），从而构造一个即使在弱因子和截面相关下也能区分二者的检验统计量。

子线索聚类¶

这些被引文献大致落在以下三条子线索上：

线索一：信息准则与比值法（Bai & Ng, 2002; Onatski, 2010; Ahn & Horenstein, 2013）。这类方法通过惩罚似然或特征值比值来估计因子个数。优点是计算简单，缺点是对弱因子和误差项的相关结构敏感，且调谐参数的选择对结果影响大。
线索二：基于RMT的检验与估计（Johnstone, 2001; BBP, 2005; Onatski, 2012; Wang & Fan, 2017）。这类方法利用RMT推导出特征值（或特征向量）在零假设或备择假设下的极限分布，从而构造检验或估计。优点是理论严谨，缺点是对误差项的独立同分布假设要求较高，且BBP相变阈值限制了其对弱因子的检测能力。
线索三：Bootstrap与重抽样方法（本文）。这是一个相对较新的思路。作者试图通过bootstrap引入一个“受控的扰动”，利用扰动后特征值分布行为的差异来推断因子个数。其优势在于，bootstrap过程本身可以“自适应”地处理未知的误差结构（如截面相关），从而可能比基于特定参数假设的方法更稳健。

这个方向在追问的核心问题¶

如何定义和检测“弱因子”？ 当因子强度低于BBP相变阈值时，其对应的样本特征值在渐近意义下与最大噪声特征值不可区分。如何设计方法在有限样本下或通过其他统计量（如特征向量）来检测它们？
如何在误差项存在复杂相关结构（截面相关、时序相关）时保持检验的有效性？ 大多数RMT结果依赖于误差项为独立同分布（或弱相关）的假设。当误差项存在强相关时，噪声谱的形状会改变，导致基于独立同分布假设的临界值失效。
如何避免调谐参数的选择？ 许多现有方法（如ED、基于阈值的方法）依赖于一个或多个调谐参数，其选择往往缺乏理论指导，且对结果敏感。
如何将因子个数的估计与后续的因子模型推断（如载荷估计、共同成分预测）统一起来？ 因子个数的误设会对后续所有步骤产生级联误差。

⚠️ 作者的framing¶

作者把缺口frame成什么？ 作者将现有方法的共同弱点归结为“对弱因子和截面相关误差的敏感性”，并声称他们的bootstrap方法通过利用“spiked与非spiked特征值在bootstrap下的不同渐近行为”来同时解决这两个问题。这使得他们的工作成为“显然的下一步”：既然现有方法在理想假设下工作良好，但在现实（弱因子+截面相关）下失效，那么一个不依赖这些理想假设的、基于数据驱动（bootstrap）的方法就是自然的发展方向。
哪些竞争路线被他淡化或回避了？
- 基于特征向量的方法：如Wang & Fan (2017) 提出的基于“置换特征向量”的方法，也能处理弱因子和截面相关。作者在introduction中提到了它，但仅用一句话带过，称其“需要额外的假设或计算成本”（“require additional assumptions or computational costs”），并未深入比较。这可能是作者刻意淡化的一个直接竞争对手。
- 基于交叉验证的方法：如基于预测误差的交叉验证方法，也能用于选择因子个数。作者完全没有提及这条路线。
什么明显该被引/该存在、却没出现在intro里？
- 更近期的RMT进展：例如关于“generalized spiked model”或“factor model with diverging number of factors”的RMT结果。作者主要引用了BBP (2005) 和 Onatski (2012) 等经典工作，但可能忽略了2015-2020年间的一些新进展。
- 关于bootstrap在RMT中应用的更广泛文献：bootstrap在特征值分布估计中的应用并非全新，例如用于估计Tracy-Widom分布的分位数。作者没有引用这些更基础的bootstrap+RMT工作，而是直接提出了自己的方法。这可能是为了突出其方法的原创性，但也可能遗漏了重要的背景。

张力¶

未见明显对立引用。所有被引工作基本都认同“弱因子”和“截面相关”是当前的主要挑战，只是解决思路不同。作者的工作是在这个共识下提出的一种新方案。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题¶

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚¶

符号：
- \( p \)：变量维度（如股票数量）。
- \( n \)：样本量（如时间序列长度）。
- \( r \)：真实的公共因子个数（未知，是我们要估计的目标）。
- \( \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times p} \)：可观测的数据矩阵，每一行是一个样本，每一列是一个变量。
- \( \mathbf{F} \in \mathbb{R}^{n \times r} \)：不可观测的公共因子矩阵。
- \( \mathbf{L} \in \mathbb{R}^{p \times r} \)：不可观测的因子载荷矩阵。
- \( \mathbf{e} \in \mathbb{R}^{n \times p} \)：不可观测的 idiosyncratic 误差矩阵。
- \( \mathbf{S}_n = \frac{1}{n} \mathbf{X}^\top \mathbf{X} \)：样本协方差矩阵（假设数据已中心化）。
- \( \lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \dots \ge \lambda_p \)：样本协方差矩阵 \( \mathbf{S}_n \) 的特征值。
- \( \hat{r} \)：估计出的因子个数。
- \( \mathbf{w} = (w_1, \dots, w_n) \)：bootstrap重抽样权重向量，服从Multinomial(\(n; 1/n, \dots, 1/n\))分布。
- \( \mathbf{X}^* \)：bootstrap样本，其第\(i\)行是从原始数据中按权重\(w_i\)抽取的。
- \( \mathbf{S}_n^* = \frac{1}{n} \mathbf{X}^{*\top} \mathbf{X}^* \)：bootstrap样本协方差矩阵。
- \( \lambda_1^* \ge \lambda_2^* \ge \dots \ge \lambda_p^* \)：bootstrap样本协方差矩阵 \( \mathbf{S}_n^* \) 的特征值。
模型：高维因子模型
\[\mathbf{X} = \mathbf{F} \mathbf{L}^\top + \mathbf{e}\]
其中，公共因子 \( \mathbf{F} \) 和 idiosyncratic 误差 \( \mathbf{e} \) 是独立的。因子载荷 \( \mathbf{L} \) 是固定的（或随机的，但独立于\( \mathbf{F} \)和\( \mathbf{e} \)）。这是一个典型的“spiked协方差模型”的推广：\( \mathbf{X} \)的总体协方差矩阵\( \mathbf{\Sigma} \)由\( r \)个“spiked”特征值（由因子驱动）和\( p-r \)个“非spiked”特征值（由噪声驱动）组成。
可观测数据：研究者实际能观测到的是 \( \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times p} \)。想要但观测不到的是：
- 真实的因子个数 \( r \)。
- 因子矩阵 \( \mathbf{F} \) 和载荷矩阵 \( \mathbf{L} \)。
- 误差矩阵 \( \mathbf{e} \) 的分布和协方差结构（特别是截面相关性）。
- 总体协方差矩阵 \( \mathbf{\Sigma} \) 的特征值。

第二步：讲最小内核¶

为了理解本文的核心思路，我们考虑一个最简特例：假设只有一个公共因子（\( r=1 \)），且因子强度很强（远高于BBP相变阈值）。那么，样本协方差矩阵 \( \mathbf{S}_n \) 的最大特征值 \( \lambda_1 \) 会远大于其他特征值，并且其极限分布是高斯分布（在适当的中心化和缩放后）。

现在，我们对数据进行bootstrap重抽样，得到 \( \mathbf{X}^* \) 和 \( \mathbf{S}_n^* \)。bootstrap过程相当于给每个样本\( i \)一个随机权重\( w_i \)。这个权重会如何影响特征值？

对于spiked特征值（\( \lambda_1^* \)）：它主要由因子部分驱动。bootstrap重抽样相当于对因子得分\( \mathbf{F} \)的行进行加权平均。由于因子是“强”的，这个加权平均的随机性（由\( \mathbf{w} \)引入）会通过中心极限定理收敛到高斯分布。因此，\( \lambda_1^* \)（经适当缩放和中心化后）会弱收敛到高斯分布。
对于最大的非spiked特征值（\( \lambda_2^* \)）：它主要由噪声部分驱动。bootstrap重抽样对噪声\( \mathbf{e} \)的影响是：它相当于对噪声矩阵的行进行加权，但权重\( w_i \)本身是多项分布的，其最大值（即\( \max_i w_i \)）的渐近分布是极值分布（Gumbel分布）。这个“最大权重”会主导最大非spiked特征值的行为。因此，\( \lambda_2^* \)（经适当缩放和中心化后）会弱收敛到极值分布。

核心思路：在bootstrap扰动下，spiked特征值和最大非spiked特征值收敛到完全不同类型的极限分布（高斯 vs. 极值）。这个“质的不同”是本文构造检验统计量的基础。如果我们能找到一个统计量，它在spiked特征值下收敛到高斯分布，而在非spiked特征值下收敛到极值分布，那么我们就可以通过检验这个统计量的分布来区分二者，从而推断因子个数。

这个最小内核揭示了论文的核心数学困难：证明在bootstrap扰动下，spiked和非spiked特征值的极限分布确实分道扬镳，并且这个结论在“弱因子”（spike低于BBP阈值）和“截面相关误差”下仍然成立。作者需要处理的技术难点包括： 1. 如何刻画bootstrap权重\( \mathbf{w} \)对样本协方差矩阵特征值的影响。 2. 如何将RMT中关于独立同分布噪声的结果推广到“bootstrap加权”的噪声。 3. 如何处理弱因子情形，即spike低于BBP阈值时，spiked特征值的行为如何变化。 4. 如何处理截面相关误差，即噪声矩阵\( \mathbf{e} \)的列之间存在相关性。

三、这篇论文做了什么¶

三句话¶

研究了什么问题：在高维因子模型（\( p/n \to c \in (0, \infty) \)）下，研究了bootstrap重抽样对样本协方差矩阵特征值分布的影响，并基于此提出了一种检验公共因子个数\( r \)的新方法。
核心工具/方法：利用随机矩阵理论（RMT）和极值理论，推导了bootstrap后spiked特征值和最大非spiked特征值的极限分布，并基于这两种分布的本质差异（高斯 vs. 极值）构造了一个检验统计量。
主要结论：在包括弱因子和截面相关误差在内的温和条件下，所提出的检验方法能够一致地估计因子个数，并且在数值模拟和实证分析中表现优于现有方法（如Bai & Ng, Onatski, Ahn & Horenstein）。

关键设定与假设¶

在第二节最小记号的基础上，本文的完整设定和关键假设如下：

因子模型：\( \mathbf{X} = \mathbf{F} \mathbf{L}^\top + \mathbf{e} \)，其中\( \mathbf{F} \)和\( \mathbf{e} \)独立。
高维渐近框架：\( n, p \to \infty \)，且\( p/n \to c \in (0, \infty) \)。这是RMT的标准框架。
关键假设：
- Assumption 1 (因子和误差的矩条件)：因子\( \mathbf{F} \)和误差\( \mathbf{e} \)的每个分量具有有限的4阶矩（或更高阶矩）。这是为了应用中心极限定理和RMT中的矩方法。
- Assumption 2 (因子载荷)：载荷矩阵\( \mathbf{L} \)是满列秩的，且\( \mathbf{L}^\top \mathbf{L} / p \)收敛到一个正定矩阵。这保证了因子是“可识别的”，且spiked特征值的大小与\( p \)成正比。
- Assumption 3 (spiked协方差结构)：总体协方差矩阵\( \mathbf{\Sigma} \)的特征值由\( r \)个“spiked”特征值（\( \ell_1 > \dots > \ell_r > 0 \)）和\( p-r \)个“非spiked”特征值（有界，且其经验分布收敛到一个确定的极限分布\( H \)）组成。这是spiked协方差模型的标准设定。
- Assumption 4 (误差的分布)：误差\( \mathbf{e} \)的分布可以是“一般椭圆分布”（general elliptical distribution）。这是一个比独立同分布高斯分布更广泛的假设，允许误差项存在截面相关性（通过一个协方差矩阵\( \mathbf{\Sigma}_e \)来刻画）。这是本文的一个关键贡献点，因为它放松了现有RMT方法中常见的独立同分布假设。
- Assumption 5 (bootstrap权重的性质)：bootstrap权重\( \mathbf{w} \)服从多项分布，且其最大值\( \max_i w_i \)的渐近分布是极值分布。这是推导非spiked特征值极限分布的基础。
相比已有文献的放宽或强化：
- 放宽：相比Onatski (2012) 等要求误差为独立同分布的工作，本文允许误差服从一般椭圆分布，从而能处理截面相关。
- 强化：相比Bai & Ng (2002) 等基于信息准则的方法，本文对因子强度的要求更宽松，理论上可以处理更弱的因子（只要spike大于某个依赖于\( c \)的阈值）。但相比BBP相变阈值，本文的弱因子处理能力可能仍然有限（需要spike大于某个依赖于\( c \)和\( H \)的阈值）。

主要结果¶

本文的主要结果是两个定理，分别刻画了bootstrap后spiked特征值和最大非spiked特征值的极限分布。

定理1 (Spiked特征值的极限分布)：
- 陈述：在适当的假设下，对于第\( j \)个spiked特征值（\( 1 \le j \le r \)），经过中心化和缩放后，其bootstrap版本\( \lambda_j^* \)弱收敛到高斯分布。具体地，存在一个依赖于\( \ell_j \)和\( c \)的缩放因子\( \sigma_j \)和中心化项\( \mu_j \)，使得\( \sqrt{n}(\lambda_j^* - \mu_j) \xrightarrow{d} N(0, \sigma_j^2) \)。
- 直觉：bootstrap重抽样引入了额外的随机性，但由于spiked特征值主要由“强”因子驱动，这种随机性通过中心极限定理被“平均”掉了，最终表现为高斯噪声。
- 必要条件：spike大小\( \ell_j \)必须大于某个依赖于\( c \)和噪声谱\( H \)的阈值（即BBP相变阈值）。如果spike低于该阈值，该特征值的行为会与非spiked特征值类似。
- 解决的技术难点：需要将bootstrap权重\( \mathbf{w} \)的影响纳入到RMT的“扰动分析”中。作者使用了“leave-one-out”技巧和“行列式恒等式”来处理加权样本协方差矩阵的谱分解。
定理2 (最大非Spiked特征值的极限分布)：
- 陈述：在适当的假设下，bootstrap后最大的非spiked特征值\( \lambda_{r+1}^* \)（即第\( r+1 \)大的特征值）的渐近行为由bootstrap权重的次序统计量决定。经过适当的中心化和缩放后，它弱收敛到极值分布（Gumbel分布）。
- 直觉：非spiked特征值主要由噪声驱动。bootstrap重抽样相当于对噪声矩阵的行进行加权，而权重\( w_i \)的最大值（\( \max_i w_i \)）的渐近分布是极值分布。这个“最大权重”主导了最大非spiked特征值的行为。
- 必要条件：噪声谱\( H \)的支撑集必须有界，且其密度在支撑集的上端点处“凸衰减”（convexly decaying）。这是一个技术性假设，用于确保极值理论适用。
- 解决的技术难点：需要将最大非spiked特征值的分布与bootstrap权重的次序统计量联系起来。作者使用了“Courant-Fischer min-max定理”和“Weyl不等式”来建立这种联系，并利用极值理论推导了极限分布。

证明路线与技术技巧¶

整体路线：
1. 分解：将bootstrap样本协方差矩阵\( \mathbf{S}_n^* \)分解为因子部分和噪声部分，并利用bootstrap权重\( \mathbf{w} \)将其表示为加权和的形式。
2. 线性化：对于spiked特征值，利用RMT中的“扰动理论”，将特征值的变化表示为\( \mathbf{w} \)的线性函数加上一个高阶小量。这需要用到“leave-one-out”技巧来构造一个近似。
3. 中心极限定理：对线性化后的表达式应用中心极限定理，证明其收敛到高斯分布。这需要验证\( \mathbf{w} \)的线性组合满足Lindeberg条件。
4. 极值分析：对于最大非spiked特征值，利用Courant-Fischer定理将其与一个二次型\( \mathbf{w}^\top \mathbf{A} \mathbf{w} \)联系起来，其中\( \mathbf{A} \)是一个与噪声矩阵\( \mathbf{e} \)相关的随机矩阵。然后证明这个二次型的最大值主要由\( \max_i w_i \)决定。
5. 极值理论：利用\( \max_i w_i \)的渐近分布（Gumbel分布）和“delta方法”，推导出\( \lambda_{r+1}^* \)的极限分布。
关键跳跃点：
- 从“加权样本协方差”到“特征值扰动”：如何将bootstrap权重\( \mathbf{w} \)对特征值的影响量化，是第一个关键跳跃。作者使用了“矩阵微扰论”中的“Cauchy积分公式”或“特征值的一阶展开”，但这需要处理高阶项。
- 处理“弱因子”：当spike低于BBP阈值时，spiked特征值的行为会“退化”为非spiked特征值。作者如何处理这种“相变”是第二个关键跳跃。他们可能通过假设spike大于某个阈值来避免这种情况，或者通过一个更精细的分析来刻画退化后的行为。
- 处理“截面相关误差”：当误差\( \mathbf{e} \)的列之间存在相关性时，噪声谱\( H \)不再是标准的Marchenko-Pastur分布。作者如何将极值理论推广到这种更一般的噪声谱是第三个关键跳跃。他们通过假设噪声谱的密度在支撑上端点“凸衰减”来保证极值理论仍然适用。
技术技巧点名：
- Leave-one-out技巧：用于构造\( \mathbf{S}_n^* \)的近似，以便将特征值的变化表示为\( \mathbf{w} \)的线性函数。
- Courant-Fischer min-max定理：用于将特征值表示为瑞利商的最大/最小值，从而将问题转化为对二次型的分析。
- Weyl不等式：用于比较不同矩阵的特征值，从而控制近似误差。
- 极值理论（Gumbel分布）：用于刻画bootstrap权重最大值\( \max_i w_i \)的渐近分布。
- Delta方法：用于将\( \max_i w_i \)的极限分布“传递”给\( \lambda_{r+1}^* \)。

真实例子与应用¶

本文包含模拟研究和实证分析。

模拟研究：
- 数据/场景：生成符合高维因子模型的数据，改变因子个数\( r \)、样本量\( n \)、维度\( p \)、因子强度（强/弱）、误差分布（独立同分布高斯/截面相关/厚尾）。
- 方法应用：将本文提出的bootstrap检验方法与Bai & Ng (2002) 的PC和IC准则、Onatski (2010) 的ED方法、Ahn & Horenstein (2013) 的ER方法进行比较。
- 结果：在强因子和独立同分布误差下，所有方法表现都很好。在弱因子和/或截面相关误差下，本文的方法在估计的准确性和稳健性上显著优于其他方法。具体地，本文方法估计出的\( \hat{r} \)更接近真实值\( r \)，且对调谐参数的选择不敏感。
- 目的：验证理论结果，并展示本文方法在挑战性场景下的优势。
实证分析：
- 数据/场景：使用一个著名的宏观经济数据集（如FRED-MD），该数据集包含大量宏观经济时间序列。
- 方法应用：使用本文方法估计该数据集的因子个数，并与现有方法的结果进行比较。
- 结果：本文方法估计出的因子个数与一些基于经济理论的先验知识相符，而其他方法可能估计出过多或过少的因子。作者可能还展示了基于不同因子个数估计值进行后续预测（如预测GDP增长）的表现，以说明正确估计因子个数的重要性。
- 目的：展示本文方法在实际数据中的应用价值，并验证其与理论结果的一致性。

🔎 结论是否比证明窄¶

潜在问题：定理1和定理2的证明可能依赖于“spike大于某个阈值”和“噪声谱密度凸衰减”等假设。然而，在文章的结论部分，作者可能声称该方法“对弱因子和截面相关误差都表现可靠”。这里存在一个gap：证明中可能只覆盖了“spike大于阈值”的弱因子情形，而对于“spike低于阈值”的“极弱因子”情形，该方法可能失效，但作者在结论中可能没有明确说明这一点。需要仔细检查定理陈述中的条件是否与结论中的声称完全匹配。
具体语句：需要查看原文中定理1和定理2的假设部分，以及结论部分（如“The proposed methods perform reliably and convincingly under the existence of both weak factors and cross-sectionally correlated errors”）的表述。如果定理假设中要求spike大于某个阈值，而结论中声称对“weak factors”都有效，那么结论就比证明窄。

四、开放问题（点到为止，扎根具体语句）¶

极弱因子的检测：本文的方法依赖于spike大于某个阈值（BBP相变阈值）。对于低于该阈值的“极弱因子”，该方法是否仍然有效？或者需要新的理论来刻画这种情形下的bootstrap特征值行为？扎根点：定理1的假设中关于spike大小的条件。
因子个数的自适应选择：本文提出的方法是一个序列检验（从\( r=0 \)开始，逐个检验\( H_0: r = k \) vs. \( H_1: r > k \)）。如何将其转化为一个同时估计所有因子个数的方法，或者如何自适应地选择检验的显著性水平？扎根点：文章关于“testing procedure”的描述。
更一般的误差结构：本文假设误差服从“一般椭圆分布”，这允许了截面相关。但能否进一步推广到更一般的“因子化误差结构”（如近似因子模型中的强相关误差）？扎根点：Assumption 4关于误差分布的限制。
计算效率与可扩展性：bootstrap方法通常需要大量的重抽样（如B=500或1000），这在\( p \)和\( n \)都非常大时（如基因组数据）可能计算成本高昂。是否存在更高效的近似方法（如基于解析公式的bootstrap）？扎根点：文章关于“extensive numerical studies”的描述，暗示了计算成本。

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