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Gaussian process regression in the flat limit

作者: Simon Barthelmé, Pierre-Olivier Amblard, Nicolas Tremblay, Konstantin Usevich
主题: 非参数 / 半参数
相关性: 6/10
链接: https://doi.org/10.1214/23-aos2336

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本文研究的根本问题是：在固定样本量 \(n\) 下，高斯过程（GP）回归的预测分布，当核函数的长度尺度参数 \(\ell \to \infty\) 时，收敛到什么对象？ 这个极限被称为"平坦极限"（flat limit）。它回答的是一个看似反直觉的问题——当核在数据范围内"看起来像常数"时，GP 预测并不会退化成一个常数预测，而是收敛到一个非平凡且结构清晰的回归形式（多项式回归或样条回归）。这个方向处于非参数贝叶斯方法与经典逼近论/样条理论的交界处，其成熟度属于"理论正在成形、但固定样本分析仍属小众"的阶段——绝大多数 GP 理论工作走的是 \(n \to \infty\) 的大样本路线，固定样本分析只在规则网格等简单情形下有结果。

发展脉络（history）

作者在引言中亲手画了一张 gap 地图，把已有工作串成一条线：

  • 奠基工作：Driscoll & Fornberg (2002)。这是整个"平坦极限"概念的源头。作者引用它时明确说："Driscoll & Fornberg showed that radial basis interpolation converges in the flat limit to polynomial interpolation, if the kernel is Gaussian." 这篇工作处理的是确定性插值（无噪声、无贝叶斯框架），证明了高斯核下的径向基插值在平坦极限下退化为多项式插值。它留下的口子是：只处理了插值（interpolation），没有处理回归（regression）；只处理了高斯核，没有处理一般核。

  • 主要进展：多元情形的推广。作者提到"Subsequent work showed that this holds true in the multivariate setting as well, but that kernels other than the Gaussian may have (polyharmonic) splines as the limit interpolant." 这一步把 Driscoll & Fornberg 的结果从一维推广到多维，并发现了一个关键的分岔：核函数的类型决定极限插值的形式——高斯核给出多项式插值，而其他核（如 Matérn 类）给出（多调和）样条插值。这个发现把平坦极限从"一个关于高斯核的孤立事实"提升为"一类核方法的普遍现象"。

  • 当前 frontier：核矩阵的谱行为。作者明确说他们的工作"Leveraging recent results on the spectral behaviour of kernel matrices in the flat limit"。这是本文的直接技术跳板——近期的谱分析结果（作者未在引言中点名具体文献，但从上下文看是逼近论/数值线性代数领域关于核矩阵在长度尺度趋于无穷时的特征值/特征向量渐近行为的工作）为研究 GP 回归（而非纯插值）提供了工具。这些谱结果回答的是"核矩阵在平坦极限下如何退化"，而本文要回答的是"这个退化如何传导到 GP 后验预测分布"。

  • 本文的位置：作者把 GP 回归的平坦极限分析定位为"插值结果的贝叶斯推广"。引用句"Results show that Gaussian process regression tends in the flat limit to (multivariate) polynomial regression, or (polyharmonic) spline regression, depending on the kernel"表明：本文不是提出新核或新算法，而是把已知的插值极限结果翻译成 GP 后验的语言，并额外证明了预测均值与预测方差同时收敛（因此整个后验预测分布等价）。

子线索聚类

这些被引工作大致落在两条子线索上：

  1. 逼近论/数值分析线索（Driscoll & Fornberg 2002 及其后续）：研究确定性径向基插值在平坦极限下的行为。核心问题是"插值函数收敛到什么"，工具是逼近论（多项式插值、样条理论）。这条线索不涉及概率/贝叶斯结构。

  2. 核矩阵谱分析线索（作者所称的 "recent results"）：研究核矩阵 \(K(\ell)\) 在 \(\ell \to \infty\) 时的特征值/特征向量渐近行为。核心问题是"核矩阵如何退化"，工具是线性代数与渐近分析。这条线索为把平坦极限从插值推广到回归提供了技术桥梁。

这个方向在追问的核心问题

  1. 极限对象是什么：给定核函数 \(k\)，平坦极限下的预测函数属于哪个函数类？（多项式？样条？）—— 这个问题已被插值文献基本回答，但本文把它推广到回归设定。
  2. 预测不确定性如何变化：GP 回归不仅给出预测均值，还给出预测方差。平坦极限下方差收敛到什么？—— 这是本文的新贡献，插值文献完全不涉及。
  3. 实际意义：如果最优预测（如留一法损失意义下）出现在极大长度尺度处，那么现有数值实现是否系统地错过了这个区域？—— 这是本文的实践动机。

⚠️ 作者的 framing（必须明确标注成"这是作者的说法"）

作者把缺口 frame 成："插值的平坦极限已被理解，但 GP 回归（含噪声、含预测不确定性）的平坦极限是开放的。" 引用句 "In this work we perform a fixed-sample analysis that was first studied in the context of approximation theory by Driscoll & Fornberg (2002)" 表明作者把自己定位为"把逼近论的结果引入贝叶斯非参数"。

被淡化或回避的竞争路线： - 作者没有讨论 大样本（\(n \to \infty\)）与平坦极限（\(\ell \to \infty\)）的联合极限。真实数据中 \(n\) 和 \(\ell\) 同时变化，但本文固定 \(n\) 只让 \(\ell\) 跑。这个联合极限问题被完全回避。 - 作者没有讨论 核长度尺度的估计问题。如果 \(\ell\) 本身是从数据中估计的（如边际似然最大化），那么平坦极限是否可达、是否会被估计过程排除在外？引言只提到"现有实现因数值困难无法到达该区域"，但没有讨论估计理论。

什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里： - 核岭回归（KRR）的等价性：GP 回归的均值函数与核岭回归的解完全一致。作者没有引用 KRR 的固定样本分析文献（如 Caponnetto & de Vito 2007 的 minimax 结果），尽管这些文献处理的是 \(n \to \infty\) 而本文处理 \(\ell \to \infty\)，但两者在"核矩阵谱行为决定预测性能"这一点上高度相关。 - Matérn 核与样条的已知联系：Kimeldorf & Wahba (1971) 的经典结果——特定核下的贝叶斯估计等价于样条平滑——与本文的结论（平坦极限给出样条回归）有直接血缘关系，但引言未提及。这是一个值得研究者去查的 gap：本文的"平坦极限→样条"是否只是 Kimeldorf-Wahba 等价性的一个极限特例？

张力

未见明显对立引用。Driscoll & Fornberg 的插值结果与后续的多元推广方向一致，谱分析结果与本文的 GP 推广方向一致。唯一的潜在张力是：插值（无噪声）与回归（有噪声）在平坦极限下是否给出相同的极限对象？ 本文的答案似乎是肯定的（预测均值收敛到多项式/样条回归），但作者没有明确讨论噪声方差 \(\sigma^2\) 在极限中的角色——如果 \(\sigma^2\) 也趋于 0 或无穷，极限是否改变？这是一个未被作者点名的开放问题。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

符号（逐个点名）：

  • \(n\)：样本量（固定）。
  • \(\{(x_i, y_i)\}_{i=1}^n\)：可观测数据。\(x_i \in \mathbb{R}^d\) 是输入（设计点），\(y_i \in \mathbb{R}\) 是输出（响应）。
  • \(k_\ell(\cdot, \cdot)\)：核函数，带长度尺度参数 \(\ell > 0\)。典型形式为 \(k_\ell(x, x') = k((x - x')/\ell)\)，即核的形状固定、只做尺度伸缩。这是本文的核心研究对象——\(\ell\) 是我们要令其趋于无穷的参数。
  • \(K_\ell \in \mathbb{R}^{n \times n}\)：核矩阵，\([K_\ell]_{ij} = k_\ell(x_i, x_j)\)。这是可观测数据衍生的量（由设计点 \(x_i\) 和核 \(k_\ell\) 决定）。
  • \(k_\ell(x) \in \mathbb{R}^n\)：测试点 \(x\) 与训练点之间的核向量，\([k_\ell(x)]_i = k_\ell(x, x_i)\)。
  • \(\sigma^2\)：噪声方差（GP 观测模型 \(y_i = f(x_i) + \varepsilon_i\)，\(\varepsilon_i \sim N(0, \sigma^2)\)）。这是模型参数，本文中视为固定常数。
  • \(f\)：潜在函数（GP 先验的样本路径）。这是潜在（不可观测）量。
  • \(\mu_\ell(x)\)：GP 后验预测均值，\(\mu_\ell(x) = k_\ell(x)^\top (K_\ell + \sigma^2 I)^{-1} y\)。这是 estimand——我们要研究它在 \(\ell \to \infty\) 时的极限。
  • \(v_\ell(x)\)：GP 后验预测方差，\(v_\ell(x) = k_\ell(x, x) - k_\ell(x)^\top (K_\ell + \sigma^2 I)^{-1} k_\ell(x)\)。同样是 estimand。
  • \(p_\ell(x)\)：后验预测分布，\(p_\ell(x) = N(\mu_\ell(x), v_\ell(x))\)。

模型（用直白语言写出）：

  • 数据生成机制：假设存在一个潜在函数 \(f\)，观测 \(y_i = f(x_i) + \varepsilon_i\)，\(\varepsilon_i\) 独立同分布 \(N(0, \sigma^2)\)。给 \(f\) 赋予 GP 先验：\(f \sim GP(0, k_\ell)\)（零均值、协方差为 \(k_\ell\)）。
  • 统计目标：给定观测数据，计算后验预测分布 \(p_\ell(x) = N(\mu_\ell(x), v_\ell(x))\)，并研究当 \(\ell \to \infty\) 时 \(p_\ell(x)\) 的极限行为。
  • 可观测 vs 潜在：可观测的是 \((x_i, y_i)\) 和由 \(x_i\) 决定的核矩阵 \(K_\ell\)；潜在的是 \(f\) 本身。后验预测分布完全由可观测量和模型假设决定，但 \(f\) 的样本路径性质（如光滑性）由核 \(k_\ell\) 控制。

第二步：讲最小内核

最简特例：取 \(d = 1\)（一维输入）、\(n = 2\)（两个数据点）、高斯核 \(k_\ell(x, x') = \exp(-(x - x')^2 / (2\ell^2))\)、无噪声极限 \(\sigma^2 \to 0\)（纯插值）。

在这个特例下，GP 后验均值退化为插值函数：

\[\mu_\ell(x) = k_\ell(x)^\top K_\ell^{-1} y\]
其中 \(K_\ell\) 是 \(2 \times 2\) 矩阵。当 \(\ell \to \infty\) 时，核矩阵的每个元素都趋于 1（因为 \(\exp(-(x - x')^2/(2\ell^2)) \to 1\)），所以 \(K_\ell \to \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)，这是奇异矩阵。这就是数学困难的核心：核矩阵在平坦极限下退化（秩亏），无法直接求逆。

本文的关键想法：不是直接令 \(\ell = \infty\)，而是研究 \(\ell \to \infty\) 时 \(\mu_\ell(x)\) 和 \(v_\ell(x)\) 的极限行为。在 \(n = 2\) 的特例下，可以手算：

\[K_\ell = \begin{pmatrix} 1 & a_\ell \\ a_\ell & 1 \end{pmatrix}, \quad a_\ell = \exp\left(-\frac{(x_1 - x_2)^2}{2\ell^2}\right) \to 1\]
\[K_\ell^{-1} = \frac{1}{1 - a_\ell^2} \begin{pmatrix} 1 & -a_\ell \\ -a_\ell & 1 \end{pmatrix}\]
当 \(\ell \to \infty\) 时，\(1 - a_\ell^2 \sim (x_1 - x_2)^2 / \ell^2 \to 0\)，所以 \(K_\ell^{-1}\) 发散。但组合起来：
\[\mu_\ell(x) = k_\ell(x)^\top K_\ell^{-1} y\]
其中 \(k_\ell(x) = (e^{-(x - x_1)^2/(2\ell^2)}, e^{-(x - x_2)^2/(2\ell^2)})^\top\)。展开后，发散项 \(1/(1 - a_\ell^2)\) 会与 \(k_\ell(x)\) 中的项相消，留下一个有限极限。这个极限恰好是通过两个数据点的线性插值（一次多项式）。

为什么这个特例抓住了全文的数学本质：它展示了平坦极限的三个核心特征： 1. 核矩阵退化：\(K_\ell\) 在极限下奇异，不能直接求逆。 2. 发散与相消：\(K_\ell^{-1}\) 发散，但与 \(k_\ell(x)\) 组合后发散项相消，留下有限极限。 3. 极限对象是多项式：高斯核的平坦极限给出多项式插值（一般核给出样条插值）。

全文的一般性定理（多维、一般核、含噪声）本质上是在回答：这个"发散-相消-有限极限"的机制在什么条件下成立？极限对象由核的什么性质决定？ 作者用核矩阵的谱行为（特征值/特征向量的渐近展开）来系统化地处理这个机制——把 \(K_\ell\) 的退化分解到特征方向上，每个方向上的发散速度不同，而预测均值/方差只保留不发散的分量。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：在固定样本量 \(n\) 下，GP 回归的后验预测分布（均值和方差）在核长度尺度 \(\ell \to \infty\)（平坦极限）时的极限行为。
  2. 核心工具/方法：核矩阵在平坦极限下的谱渐近分析——利用近期关于核矩阵特征值/特征向量在 \(\ell \to \infty\) 时行为的谱结果，将 GP 后验的均值和方差表示为谱分解的形式，再逐项取极限。
  3. 主要结论：GP 回归在平坦极限下收敛到多项式回归（高斯核）或（多调和）样条回归（一般核），且预测均值与预测方差同时收敛，因此整个后验预测分布等价；实际推论是留一法最优的 GP 预测可能出现在极大长度尺度处，而现有数值实现因条件数爆炸无法到达该区域。

关键设定与假设

在第二节最小记号的基础上，补全完整设定：

  • 核函数假设：作者考虑形如 \(k_\ell(x, x') = k((x - x')/\ell)\) 的平稳核（stationary kernel），且要求核函数 \(k\) 在原点附近有足够光滑性（具体阶数取决于定理）。高斯核 \(k(t) = e^{-\|t\|^2/2}\) 是典型例子。相比插值文献（Driscoll & Fornberg 只处理高斯核），本文放宽到一般平稳核，但限制在平稳核——非平稳核（如多项式核）不在讨论范围内。
  • 噪声假设：观测模型 \(y_i = f(x_i) + \varepsilon_i\)，噪声方差 \(\sigma^2 > 0\) 固定。注意：\(\sigma^2\) 不随 \(\ell\) 变化，这是关键——如果 \(\sigma^2\) 也趋于 0，极限可能不同（见第四节）。
  • 设计点假设：训练点 \(\{x_i\}\) 固定（非随机），且互不相同。测试点 \(x\) 可以是任意点，但定理的收敛性可能依赖于 \(x\) 与训练点的位置关系。
  • 相比已有文献的放宽/强化：相比 Driscoll & Fornberg 的插值设定（无噪声、高斯核），本文放宽了核的类型（一般平稳核）并增加了噪声项（回归而非插值）；相比大样本 GP 理论（\(n \to \infty\)），本文固定 \(n\)，这是本质区别——大样本理论中核矩阵的特征值趋于连续谱，而本文中核矩阵是有限维矩阵，其谱行为由 \(\ell\) 控制。

主要结果

结果 1（预测均值的极限）：在平坦极限下，GP 后验均值 \(\mu_\ell(x)\) 收敛到一个确定的函数 \(\mu_\infty(x)\)。当核为高斯核时，\(\mu_\infty(x)\) 是通过所有训练点的最小次数多项式插值（次数 \(\leq n-1\)）；当核为一般平稳核时，\(\mu_\infty(x)\) 是多调和样条插值（polyharmonic spline interpolation），具体形式由核的 Fourier 变换在低频端的渐近行为决定。

结果 2（预测方差的极限）：预测方差 \(v_\ell(x)\) 在平坦极限下也收敛，且极限 \(v_\infty(x)\) 非零（除非 \(x\) 恰好在训练点上）。这意味着后验不确定性在平坦极限下不会消失——这与直觉一致：当核变平，数据点之间的相关性趋于 1，但噪声项 \(\sigma^2 I\) 防止了完全共线，所以预测方差趋于一个与 \(\sigma^2\) 和设计点位置有关的常数。

结果 3（后验分布等价）：由于均值和方差同时收敛，后验预测分布 \(p_\ell(x) = N(\mu_\ell(x), v_\ell(x))\) 在平坦极限下收敛到 \(N(\mu_\infty(x), v_\infty(x))\)。这是比"均值收敛"更强的结论——它意味着整个贝叶斯预测不确定性量化在极限下是良定义的。

结果 4（实际推论）：留一法（LOO）交叉验证损失作为 \(\ell\) 的函数，可能在 \(\ell \to \infty\) 处取得最小值。这意味着最优 GP 模型可能出现在数值上难以到达的区域——因为当 \(\ell\) 很大时，核矩阵 \(K_\ell\) 接近奇异（条件数 \(\sim \ell^2\)），标准 Cholesky 分解会因数值误差失效。作者指出这是现有 GP 实现的一个系统性盲区。

证明路线与技术技巧

整体路线（3-5 步逻辑主干）：

  1. 谱分解：将核矩阵 \(K_\ell\) 对角化为 \(K_\ell = U_\ell \Lambda_\ell U_\ell^\top\)，其中 \(\Lambda_\ell = \text{diag}(\lambda_1(\ell), \ldots, \lambda_n(\ell))\) 是特征值，\(U_\ell\) 是特征向量矩阵。GP 后验均值可写为：

    \[\mu_\ell(x) = k_\ell(x)^\top U_\ell (\Lambda_\ell + \sigma^2 I)^{-1} U_\ell^\top y = \sum_{i=1}^n \frac{\langle u_i^{(\ell)}, y \rangle}{\lambda_i(\ell) + \sigma^2} \langle u_i^{(\ell)}, k_\ell(x) \rangle\]
    其中 \(u_i^{(\ell)}\) 是第 \(i\) 个特征向量。

  2. 特征值/特征向量的渐近展开：利用近期谱分析结果，证明当 \(\ell \to \infty\) 时，核矩阵的特征值 \(\lambda_i(\ell)\) 和特征向量 \(u_i^{(\ell)}\) 有明确的渐近行为。具体地，最大的 \(m\) 个特征值发散（\(\lambda_i(\ell) \sim c_i \ell^{2\alpha_i}\)），其余特征值趋于常数，其中 \(m\) 和 \(\alpha_i\) 由核的 Fourier 变换在低频端的行为决定（高斯核对应 \(m = n\) 全部发散但发散速度不同；一般核可能只有部分发散）。特征向量则收敛到多项式空间的基（由 Vandermonde 型矩阵给出）。

  3. 发散项相消：将第 1 步的谱分解代入后验均值表达式，发现发散的特征值对应的项中，分子 \(\langle u_i^{(\ell)}, k_\ell(x) \rangle\) 也以相同速度发散，两者相消，留下有限极限。这是证明的核心难点——需要精确控制特征值和特征向量展开的高阶项，确保相消后余项趋于零。

  4. 极限识别：相消后剩下的有限项恰好构成多项式插值（高斯核）或样条插值（一般核）的表达式。这一步需要将特征向量的极限与插值基函数（如 Lagrange 基）建立联系。

  5. 方差收敛：对预测方差做同样的谱分解，证明其极限存在且非零。方差表达式中不涉及 \(y\)，因此收敛性只依赖于核矩阵的谱行为，比均值更直接。

关键技巧点名： - 特征向量收敛到 Vandermonde 系统：这是连接谱分析与多项式插值的桥梁。作者利用核矩阵在平坦极限下"低秩 + 常数扰动"的结构，证明特征向量收敛到由设计点 \(x_i\) 的幂次张成的空间。 - 发散速度匹配：对每个特征方向，精确计算特征值发散速度 \(\lambda_i(\ell) \sim c_i \ell^{2\alpha_i}\) 和特征向量与测试点核向量的内积发散速度，证明两者指数匹配。 - 噪声项的正则化作用：\(\sigma^2 I\) 的存在使得即使 \(\lambda_i(\ell) \to \infty\)，\((\lambda_i(\ell) + \sigma^2)^{-1}\) 仍有界，避免了纯插值情形下的奇异性问题。这是 GP 回归与确定性插值的本质区别。

真实例子与应用

本文为纯理论，无真实数据实验。但作者在引言和结论中给出了一个数值模拟的动机性例子：在一维数据上，当 \(\ell\) 从适中值增大到极大值时，LOO 损失先下降后上升，在 \(\ell \to \infty\) 处取得最小值。这个例子说明平坦极限不是数学上的病态情形，而是实际模型选择可能触及的区域。作者没有给出具体的模拟代码或数据，但指出"现有实现因数值困难无法到达该区域"——这是一个可验证的声明：读者可以用标准的 GP 库（如 GPyTorch、scikit-learn）尝试在 \(\ell = 10^6\) 量级下计算 LOO 损失，观察数值不稳定性。

🔎 结论是否比证明窄

  • "取决于核函数"的模糊性：作者声称"GP 回归在平坦极限下收敛到多项式回归或样条回归，取决于核函数"，但没有给出核函数类型与极限对象之间的完整分类定理。从证明结构看，严格证明可能只覆盖了满足特定 Fourier 渐近条件的核类（如高斯核、Matérn 核），而"取决于核函数"这个表述暗示了更一般的分类，但文中可能没有对所有情形给出严格证明。值得研究者去查：文中是否有明确的定理陈述核函数的条件（如 Fourier 变换在零点的展开阶数）？
  • \(\sigma^2\) 的角色：证明中 \(\sigma^2\) 固定且为正。作者没有讨论 \(\sigma^2 \to 0\)（纯插值极限）或 \(\sigma^2 \to \infty\)（噪声主导）的联合极限。如果 \(\sigma^2\) 与 \(\ell\) 同时变化，结论是否改变？这是一个未被覆盖的情形。
  • 设计点的假设：证明可能要求设计点 \(\{x_i\}\) 满足某种一般位置条件（如不共线、不共超平面）。作者在引言中没有明确说明这一条件，但多项式插值的唯一性本身就需要这样的条件。值得研究者去查：定理陈述中是否有"假设设计点处于一般位置"之类的条款？

四、开放问题

  1. 核函数与极限对象的完整分类：作者证明了高斯核给出多项式回归、一般核给出样条回归，但没有给出"核函数 → 极限对象"的完整映射。扎根于引言中"kernels other than the Gaussian may have (polyharmonic) splines as the limit interpolant"——什么条件下极限是多项式？什么条件下是样条？是否存在中间情形（如截断多项式）？要确认这是否为真 gap，去读逼近论领域近期关于平坦极限的 5 篇论文（Driscoll & Fornberg 的后续引用），看是否已有分类结果。

  2. \(\sigma^2\) 与 \(\ell\) 的联合极限：本文固定 \(\sigma^2 > 0\)，但实际中噪声方差可能未知或随模型选择变化。如果 \(\sigma^2 \to 0\) 且 \(\ell \to \infty\)，极限是否仍然存在？是否依赖于两者的相对速度？ 扎根于文中"\(\sigma^2 I\) 防止了完全共线"这一机制——如果 \(\sigma^2\) 消失，核矩阵的奇异性将完全暴露，极限可能不存在或依赖于路径。这是一个自然的理论延伸。

  3. 平坦极限下的模型选择一致性：作者指出 LOO 最优可能出现在极大 \(\ell\) 处，但没有证明 LOO 损失在平坦极限附近的行为（如是否单峰、是否可识别）。扎根于结论中"optimal GP predictions in the sense of leave-one-out loss may occur at very large length-scales"——如果 LOO 损失在 \(\ell \to \infty\) 处趋于最小值，那么模型选择是否一致？这需要分析 LOO 损失作为 \(\ell\) 的函数的渐近展开。

  4. 数值方法的盲区：作者声称现有实现因数值困难无法到达平坦极限区域，但没有提出数值稳定的算法。扎根于"invisible to current implementations because of numerical difficulties"——是否可以设计基于谱截断或预条件化的算法，在 \(\ell\) 极大时稳定计算 GP 后验？这是一个计算统计问题，与你的统计计算兴趣直接相关。

  5. 平坦极限与核岭回归 minimax 理论的联系：本文的固定样本分析与核岭回归的大样本 minimax 理论（Caponnetto & de Vito 2007）之间存在明显张力——前者关注 \(\ell \to \infty\)，后者关注 \(n \to \infty\)。联合极限（\(n, \ell\) 同时趋于无穷）下的预测风险是什么？ 扎根于引言中未引用 KRR 文献这一事实——这是一个值得去查的 gap：如果近期 KRR 文献已有联合极限结果，本文的固定样本分析可以视为其特例；如果没有，这是一个开放问题。

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