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Testing hypotheses via orthogonalization

作者: Ameer Dharamshi, Runjia Zou, Daniela Witten
主题: 数理统计 / 假设检验
相关性: 7/10
链接: https://arxiv.org/abs/2606.29732

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本文所针对的根本问题是：如何在一个统一的、弱假设的框架下，对任意（可能是数据驱动的）零假设进行有效的假设检验？ 传统的假设检验理论（Fisher, Neyman-Pearson）为预先指定的简单或复合零假设提供了成熟的方法。然而，当代统计学面临两个核心挑战：1）零假设变得越来越抽象和复杂（如“两个分布是否相同”）；2）更关键的是，零假设本身常常是由同一份数据通过某种算法（如聚类、变量选择、变点检测）生成的，即“选择后推断”（post-selection inference）问题。该子方向当前的状态是：存在大量针对特定问题（特定选择机制、特定数据分布）的“补丁式”解决方案，但缺乏一个通用的、不依赖于对选择机制或数据分布做精细建模的框架。

发展脉络（history）

  1. 奠基工作：经典假设检验与选择后推断的起源

    • Fisher (1925, 1935, 1956); Neyman & Pearson (1967); Wald (1950)：奠定了经典假设检验的理论基础。这些工作处理的是预先指定的假设，其核心是构造一个在原假设下分布已知（或渐近已知）的检验统计量。
    • Fithian, Sun, & Taylor (2014)：正式提出了“选择性I类错误”（selective Type I error）的概念，即“给定该假设被选择后，检验出错的概率”。这为选择后推断提供了理论框架。他们指出，理想的选择后推断应该控制这个条件错误率。

  2. 主要进展：两条主流路线

    • 路线一：条件选择性推断（Data Carving / Conditional Selective Inference）
      • Lee, Sun, Sun, & Taylor (2016)：为Lasso变量选择后的推断提供了开创性的精确解。核心思想是刻画检验统计量在“选择事件”（即Lasso选择了哪些变量）发生后的条件分布。这通常需要精确知道选择机制，且推导复杂。
      • Tian & Taylor (2018)：引入了“随机化响应”（randomized response）的思想，通过在模型选择过程中注入噪声，使得选择事件的条件分布更易处理，从而放宽了部分假设。
      • Gao, Bien, & Witten (2024); Chen & Witten (2023); Jewell, Fearnhead, & Witten (2022); Hyun et al. (2021)：将条件选择性推断推广到层次聚类、k-means聚类和变点检测等具体问题。这些工作都高度定制化，需要为每个新的选择规则和分布假设重新推导条件分布，且大多局限于高斯数据。
    • 路线二：数据分割与独立拆分（Data Splitting / Data Thinning / Data Fission）
      • Cox (1975)：提出了最朴素的数据分割（sample splitting），将数据随机分成两部分，一部分用于选择假设，另一部分用于检验。这保证了独立性，但牺牲了统计功效。
      • Rasines & Young (2023)：提出了通过向响应变量添加高斯噪声来“拆分”数据的方法，比简单数据分割更高效，但仍依赖于高斯假设。
      • Neufeld, Dharamshi, Gao, & Witten (2024); Dharamshi et al. (2025)：提出了“数据瘦身”（data thinning），将数据拆分为两个独立的、分布形式相同的部分。这推广了数据分割，但严格依赖于数据分布属于“卷积封闭族”（如高斯、泊松、负二项等）。
      • Leiner, Duan, Wasserman, & Ramdas (2025)：提出了“数据裂变”（data fission），允许拆分后的两部分是依赖的，但要求能解析地刻画X^(2) | X^(1)的条件分布。然而，如Dharamshi et al. (2026)所示，即使对于最简单的多元高斯分布，其推导也相当复杂，且对分布的错误设定会导致推断失效。

  3. 当前Frontier与本文位置

    • 当前的前沿是寻找一种更通用、更灵活的框架，能够处理更广泛的零假设（包括数据驱动的）和更弱的数据分布假设，而无需为每个新问题从头推导。
    • 本文的位置：本文提出了一种全新的框架，它不属于上述任何一条路线。它既不依赖于刻画选择事件的条件分布（路线一），也不依赖于拆分后数据的独立性或可解析的条件分布（路线二）。其核心思想是：通过向数据添加对称移位族噪声，构造一个“正交化”条件，然后将原假设的检验转化为检验这个正交化是否成功。作者声称，这个框架“显著放宽了适用条件”，并且“在之前没有解决方案的场景中也能进行有效的选择后推断”。

子线索聚类

  1. 条件选择性推断（Conditional Selective Inference）：核心是刻画给定选择事件后的条件分布。代表工作：Lee et al. (2016), Tian & Taylor (2018), Gao et al. (2024), Chen & Witten (2023), Jewell et al. (2022), Hyun et al. (2021)。瓶颈：高度定制化，推导复杂，通常限于高斯数据。
  2. 数据拆分与随机化（Data Splitting & Randomization）：核心是通过拆分数据来创造独立或条件可解析的副本。代表工作：Cox (1975), Rasines & Young (2023), Neufeld et al. (2024), Dharamshi et al. (2025), Leiner et al. (2025)。瓶颈：要么牺牲功效（数据分割），要么对数据分布有严格要求（数据瘦身/裂变）。
  3. 矩条件检验（Moment Condition Testing）：将原假设转化为一个矩条件进行检验。代表工作：Shah & Peters (2020)（条件独立性检验的GCM检验），Hansen (1982)（IV的J检验）。本文的方法也属于此类，但独特之处在于：它并非将原假设本身视为一个矩条件，而是主动构造一个矩条件（正交化条件）来作为检验原假设的代理。

这个方向在追问的核心问题

  1. 如何在不牺牲太多功效的前提下，实现通用的选择后推断？ 现有方法要么功效低（数据分割），要么通用性差（条件推断）。
  2. 能否将对选择机制的精确建模需求，替换为更弱的假设？ 条件推断需要知道选择规则，数据拆分需要知道分布族。本文试图用“对称移位族噪声”和“正交化”来绕过这些需求。
  3. 如何为复杂、非参数化的零假设（如“两个分布相同”）构造有效的检验？ 经典方法（如置换检验）计算量大或需要特定统计量。本文提供了一个新的构造思路。

⚠️ 作者的framing

  • 作者把缺口frame成什么？ 作者将现有方法描述为“补丁式解决方案”（patchwork of solutions），每种方法都有其特定的适用场景和严格的假设（如高斯分布、卷积封闭族、需要解析条件分布）。作者将自己的工作定位为“一种全新的方法”（an entirely different approach），它通过一个简单的“加噪声-正交化”技巧，统一了预先指定假设和数据驱动假设的检验，并且“显著放宽了适用条件”。
  • 哪些竞争路线被他淡化或回避了？ 作者在引言中明确指出了条件推断和数据拆分路线的局限性，但淡化了其方法的功效问题。作者在讨论部分承认“测试函数g的选择驱动了方法的功效”，但并未给出一个通用的最优选择策略。此外，作者回避了与置换检验（permutation test） 等经典非参数方法的直接比较。例如，在5.1节的两样本检验中，作者没有与经典的置换检验或能量距离检验（如Hore & Barber, 2026的模糊TV距离检验）进行功效对比，只是声称自己的方法“立即推导出”了一个检验。
  • 什么明显该被引/该存在、却没出现在intro里？ 作者引用了Hore & Barber (2026)的“模糊TV距离”两样本检验，但没有引用更经典的、基于能量距离（Energy Distance）或最大均值差异（MMD）的两样本检验（如Gretton et al., 2012）。这些方法也是非参数的，且理论成熟。作者将其方法定位为“更简单”，但未与这些成熟方法进行任何比较。这是一个值得研究者去查的问题：本文的方法在功效上是否真的能与这些经典方法竞争？

张力

未见明显对立引用。被引工作之间主要是互补关系，各自解决不同设定下的问题，而非在同一问题上得出相反结论。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：

    • X_i：第i个观测到的原始随机变量（向量），i = 1, ..., n。
    • θ*：未知的、固定的总体参数。它可以是有限维的（如泊松分布的λ），也可以是无限维的（如整个分布函数）。
    • F(η_i(θ*))：X_i的分布族。η_i是一个已知的映射函数，允许不同观测有不同的分布参数（如两样本问题中，η_i根据样本所属群体返回不同的参数）。
    • H_0: θ* ∈ Θ_0：要检验的原假设，Θ_0是参数空间Θ的一个子集。
    • W_i：用户添加的、独立于数据的随机噪声，服从一个均值为0的对称移位族分布R(0, Σ)。Σ是用户指定的协方差矩阵。
    • X_i^(1) = X_i + W_i：加噪声后的数据，用于“选择”假设（在预先指定假设时，这一步只是构造）。
    • X_i^(2) = X_i - W_i：减噪声后的数据，用于“检验”。
    • h(x_i^(1), Θ_0)：一个关键函数。当H_0为真时，它等于E[X_i^(2) | X_i^(1) = x_i^(1)]；当H_0为假时，它是某个不等于该条件期望的函数。
    • g(·)：用户指定的“测试函数”（test function），是一个从X^(1)的样本空间到R^q的映射。
    • H'_0(g)：正交化假设，即E[(X_i^(2) - h(X_i^(1), Θ_0)) * g(X_i^(1))^T] = 0。
    • C_n(x^(1), x^(2); Θ_0)：H'_0(g)的样本矩。
    • T_n：基于C_n的卡方检验统计量。

  • 模型：

    • 数据生成机制：X_i ~ F(η_i(θ*))，独立但不一定同分布。F可以是任意具有有限二阶矩的连续或计数分布。θ*是核心未知参数。
    • 噪声生成机制：W_i ~ R(0, Σ)，独立于X_i。R是一个对称移位族，例如均值为0的高斯分布或离散均匀分布。Σ由用户选择。
    • 构造变量：X_i^(1) = X_i + W_i, X_i^(2) = X_i - W_i。

  • 可观测数据：

    • 可观测：研究者能观测到的是X_i的样本x_i，以及自己生成的噪声w_i。因此，x_i^(1) = x_i + w_i和x_i^(2) = x_i - w_i也是完全已知的。
    • 想要但观测不到：我们真正想要检验的是关于θ*的假设H_0。θ*本身是未知的。我们无法直接观测到E[X_i^(2) | X_i^(1)]，它依赖于未知的θ*。本文的核心就是通过构造h的估计量ĥ_n，并利用H_0为真时h应满足的正交性，来间接检验H_0。

第二步：讲最小内核

最简特例：单样本、点零假设、标量数据

假设我们只有一个观测X（即n=1），它来自一个已知分布族，但参数θ*未知。我们要检验一个点零假设：H_0: θ* = θ_0。数据是标量（p=1）。

  1. 构造数据：我们选择一个对称移位族噪声W ~ R(0, σ^2)（例如，W ~ N(0, σ^2)）。然后构造：

    • X^(1) = X + W
    • X^(2) = X - W

  2. 核心想法：如果H_0为真（即θ* = θ_0），那么条件期望E[X^(2) | X^(1)]是一个完全已知的函数，因为它只依赖于θ_0和已知的噪声分布R。我们可以精确计算出这个函数，记作h_θ_0(x^(1))。根据条件期望的性质，我们有： E[ (X^(2) - h_θ_0(X^(1))) * g(X^(1)) ] = 0 对于任何函数g成立。 这构成了我们的正交化假设H'_0(g)。

  3. 检验：我们选择一个简单的测试函数，比如g(x^(1)) = x^(1)。那么H'_0(g)就变成了： E[ (X^(2) - h_θ_0(X^(1))) * X^(1) ] = 0。 由于我们只有一个观测，我们无法直接检验这个期望是否为0。但我们可以想象有多个独立同分布的X（即n>1）。那么，我们可以计算样本矩： C_n = (1/n) * Σ_i (x_i^(2) - h_θ_0(x_i^(1))) * x_i^(1)。 如果H_0为真，C_n应该趋近于0。我们可以构造一个检验统计量（如n * C_n^2 / Var_hat），它在原假设下渐近服从卡方分布。

  4. 为什么这个特例抓住了核心？

    • 点零假设：这是最简单的情况，因为h函数是已知的，无需估计。这直接展示了“将原假设转化为正交化检验”的核心逻辑。
    • 一般化：对于复合零假设，h函数未知，需要用数据估计（如用MLE估计θ*，然后代入）。这引入了估计误差，需要更复杂的渐近理论（如Lemma 1, Theorem 2）来处理。但核心思想——检验正交化是否成功——是完全一样的。
    • 选择后推断：当假设是数据驱动时，我们只是用X^(1)来选择H_0（例如，选择θ_0为某个特定值），然后对选中的H_0执行上述检验。关键在于，由于检验是在X^(2)上进行的，而X^(2)与X^(1)是依赖的，所以需要更精细的条件渐近理论（Theorem 3）来保证条件I类错误控制。但核心的“正交化”思想不变。

一句话总结：这篇论文在数学上干了一件什么事？它证明了，通过向数据添加对称噪声，任何原假设H_0都可以转化为一个关于“条件期望正交化”的矩条件H'_0(g)，并且检验H'_0(g)是否成立，就等价于检验H_0是否成立。 论文的主要技术贡献在于，为这个转化后的矩条件提供了一个通用的、基于交叉拟合和半参数理论的渐近有效的检验方法，并将其推广到了选择后推断的场景。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：提出了一个全新的假设检验框架，能够对预先指定的和数据驱动的（选择后推断）零假设进行有效的检验，且仅需极弱的分布假设。
  2. 核心工具/方法：通过向原始数据添加并减去对称移位族噪声，将数据分裂为X^(1)和X^(2)两部分。然后，利用该噪声结构导出的条件期望的通用形式，构造一个在H_0下能将X^(2)关于X^(1)正交化的函数h。最后，检验这个正交化是否成功（即检验一个矩条件是否为0），从而实现对H_0的检验。
  3. 主要结论：对于预先指定的假设，该检验在温和条件下渐近控制I类错误（Proposition 3）。对于选择后推断，通过一个精心设计的“迭代去偏”步骤，该检验能渐近控制条件I类错误（Theorem 4），且其适用性远超现有方法（如不限于高斯数据、不要求知道选择机制）。

关键设定与假设

  • 设定：X_i ~ F(η_i(θ*))，i=1,...,n。F是任意具有有限二阶矩的连续或计数分布。θ*是固定维度的未知参数（可以是无穷维的分布函数）。
  • 假设：
    1. 对称移位族噪声：W_i ~ R(0, Σ)，独立于X_i。R是一个对称移位族（如高斯、Skellam、离散均匀）。这是最核心的假设，它保证了E[X^(2) | X^(1)]具有Proposition 2中的通用形式（一个比率），从而使得h函数的估计成为可能。
    2. h函数的估计：对于点零假设，h已知（Section 3.3.1）。对于复合零假设，需要存在一个θ*的渐近线性估计量（如MLE），且f_X(x; η_i(θ))关于θ可微（Proposition 4）。对于X_i在H_0下i.i.d.的情况，可以用样本均值直接估计h（Section 3.3.3），这是最弱的假设。
    3. 交叉拟合（Cross-fitting）：在估计h时，使用交叉拟合来保证估计误差与主样本矩的渐近独立性，这是处理半参数问题中 nuisance function 估计的标准技巧（Chernozhukov et al., 2022）。
    4. 正则性条件：为了应用中心极限定理，需要影响函数φ_C具有有限方差，并满足Lindeberg条件（Theorem 2）。对于选择后推断，还需要条件Lindeberg条件（Theorem 3）。
  • 相比已有文献的放宽/强化：
    • 放宽：相比条件选择性推断（Lee et al., 2016），不需要知道选择机制。相比数据瘦身（Neufeld et al., 2024），不要求数据分布属于卷积封闭族。相比数据裂变（Leiner et al., 2025），不需要解析地刻画条件分布。
    • 强化：引入了用户指定的噪声和测试函数g，这两个超参数的选择对功效有显著影响，需要用户根据具体问题进行调整。这既是灵活性，也是额外的负担。

主要结果

  • 定理1（预先指定假设的有效性）：如果ϑ_α是H'_0(g)的一个水平为α的有效检验，那么它也是H_0的一个有效检验。直觉：H_0为真 ⇒ h是条件期望 ⇒ 正交化成立 ⇒ H'_0(g)为真。所以拒绝H'_0(g)必然意味着拒绝H_0。这是整个框架的逻辑基石。
  • 定理2 & 推论1（H'_0(g)的渐近检验）：在H'_0(g)为真和h的估计量是渐近线性的条件下，检验统计量T_n渐近服从χ^2_{pq}分布。直觉：C_n是样本矩，它在H'_0(g)下均值为0。由于交叉拟合，h的估计误差不影响C_n的渐近分布。T_n是C_n的二次型，所以是卡方。技术难点：证明C_n的渐近线性性（Lemma 1），这需要处理h的估计误差，并证明交叉拟合使得“经验过程”项可忽略。
  • 定理3 & 推论3（选择后推断的条件渐近检验）：在H'_0(x^(1), g)为真的条件下，经过迭代去偏后的统计量D_n的条件分布（给定X^(1)）渐近于均值为0的高斯分布，其二次型T_n的条件分布渐近于χ^2_p。直觉：直接使用C_n进行条件推断会失败，因为h的估计引入了条件偏差。作者通过一个巧妙的迭代去偏过程（Lemma 2, Proposition 6），构造了一个新的统计量D_n，其影响函数φ_D的条件期望为0。技术难点：推导出迭代去偏的解析形式(I+B)^{-1}（Lemma 2），并证明该矩阵可逆（Proposition S1表明，当θ*的估计量有效时，B的特征值在(-1,0)内，从而I+B可逆）。这需要深刻的半参数洞察。
  • 命题5（功效分析）：在点零假设对点备择假设的简单情形下，检验的功效由||Ψ_n^{-1/2} μ_n||决定，其中μ_n是C_n在备择假设下的均值偏移。直觉：功效来源于H_0和H_1下条件期望E[X^(2)|X^(1)]的差异。测试函数g和噪声方差Σ的选择会影响这个差异的大小。

证明路线与技术技巧（理论型）

  • 整体路线（以选择后推断为例）：

    1. 构造：通过加噪声构造X^(1)和X^(2)。
    2. 转化：将原假设H_0(x^(1))转化为正交化假设H'_0(x^(1), g)。
    3. 估计：在H_0(x^(1))下，用交叉拟合估计条件期望h，得到ĥ_n。
    4. 构造朴素统计量：构造C_n，它是H'_0(x^(1), g)的样本矩，但用ĥ_n代替了h。
    5. 识别偏差：证明C_n的条件期望不为0，其偏差来源于ĥ_n的估计误差（Proposition 6）。
    6. 迭代去偏：通过一个迭代过程（Supplement B.1），发现偏差项形成一个几何级数，其和等于(I+B)^{-1}乘以一个项。据此构造去偏后的统计量D_n（公式20）。
    7. 证明渐近正态性：证明D_n是渐近线性的，其影响函数φ_D的条件期望为0（Lemma 2）。然后应用条件Lindeberg-Feller CLT证明其条件渐近正态性（Theorem 3）。
    8. 构造检验：基于D_n构造卡方检验统计量T_n，并证明其渐近控制条件I类错误（Corollary 4, Theorem 4）。

  • 关键跳跃点：

    • 从C_n到D_n的去偏：这是最吃功夫的部分。作者发现，直接用C_n进行条件推断会失败，因为C_n的条件均值非零。关键在于，他们识别出这个偏差可以通过一个解析的、不依赖于未知量θ*的线性算子(I+B)^{-1} 来校正。这个算子的推导（Lemma 2）是整个选择后推断理论的核心。
    • B矩阵的可逆性：(I+B)^{-1}的存在性依赖于I+B可逆。作者在Supplement B.2中证明，当θ*的估计量是有效的（即其影响函数等于得分函数的逆乘以得分函数）时，B的特征值位于(-1, 0)之间，从而保证了可逆性。这个条件虽然强，但为理论提供了坚实的支撑。

  • 技术技巧点名：

    • 对称移位族噪声：这是整个方法的基石，它保证了E[X^(2)|X^(1)]具有一个简洁的比率形式（Proposition 2），使得h的估计成为可能。
    • 交叉拟合（Cross-fitting）：用于处理h的估计，使得C_n的渐近分析中“经验过程”项可忽略。
    • 半参数影响函数（Semiparametric Influence Function）：用于分析C_n和D_n的渐近行为，并推导出迭代去偏的解析形式（Lemma 1, 2）。
    • 迭代去偏（Iterative Debiasing）：一种新颖的技巧，用于消除C_n中的条件偏差，其收敛性由几何级数保证（Supplement B.1）。
    • 条件Slutsky定理（Conditional Slutsky's Theorem）：用于在条件框架下建立D_n的渐近分布（Niu et al., 2024）。
    • 条件Lindeberg-Feller CLT：用于证明D_n的条件渐近正态性（Theorem 3）。

真实例子与应用

  • 数据：单细胞RNA测序（scRNA-seq）数据，具体是Zheng et al. (2017)的68,000个PBMC数据的一个子集（Duò et al., 2020），包含3,994个细胞和50个高变异基因。细胞有四种已知类型（B细胞、CD14单核细胞、初始细胞毒性T细胞、调节性T细胞）。
  • 方法应用：
    1. 对原始计数矩阵X，添加离散均匀噪声W ~ DiscreteUniform(-5, 5)，得到X^(1)和X^(2)。
    2. 对X^(1)进行k-means聚类（k=4），得到4个估计的细胞亚群。
    3. 对每一对估计的亚群，检验它们是否来自同一分布（零假设）。检验使用选择后推断框架（Algorithm S1），测试函数g选为指示函数I(i ∈ Ĉ_l)。
  • 结果：
    • 估计的聚类与真实细胞类型高度吻合（Table 1的混淆矩阵）。
    • 所有6对亚群之间的检验均被拒绝（即使在多重比较校正后）。
  • 这个例子想说明什么：
    • 验证理论：展示了该方法在复杂的、非高斯（零膨胀泊松）数据上的可行性。
    • 展示优势：这是一个现有方法（如条件选择性推断或数据瘦身）难以处理的场景（零膨胀泊松分布，且选择机制是k-means）。本文的方法成功应用，证明了其“显著放宽适用条件”的宣称。
    • 提供直觉：Figure 6直观地展示了正交化的效果：在H_0为假时，正交化后的X^(2)（右图）仍然能将不同的亚群分开，从而导致了检验的拒绝。

🔎 结论是否比证明窄

  • Theorem 3的条件：Theorem 3的证明依赖于I+B可逆。作者在Supplement B.2中证明，当θ*的估计量是有效的时，该条件成立。但在论文的主要设定中，并未要求θ*的估计量必须是有效的。作者在Remark 10中承认，I+B可逆是一个比几何级数收敛更弱的条件，但并未给出在非有效估计下I+B可逆的通用条件。因此，Theorem 3的严格适用范围可能比论文正文中声称的“温和条件”要窄，它隐含地假设了估计量的某种最优性。
  • 功效分析：Proposition 5的功效分析是在点零假设对点备择假设的简单情形下进行的。对于更一般的复合零假设，功效的分析会更加复杂。论文在讨论部分承认“测试函数g的选择驱动了方法的功效”，但并未给出一个通用的最优选择策略，也未对一般情况下的功效进行理论刻画。因此，关于功效的结论（如“更丰富的测试函数更好”）主要基于模拟，而非严格证明。事实上，在变点检测的模拟（Supplement C.2）中，简单的指示函数g反而比数据本身x^(1)功效更高，这与“更丰富更好”的直觉相悖。

四、开放问题

  1. 测试函数g的最优选择：论文的模拟表明，g的选择对功效至关重要，且最优选择是“上下文相关的”（context-specific）。如何为给定的原假设H_0系统地选择或构造一个最优的（或至少是高效的）测试函数g？这是一个开放问题，扎根于论文的Section 3.4和Discussion部分。
  2. 噪声方差Σ的自适应选择：噪声方差Σ的选择也影响功效（太小则无功效，太大则可能淹没信号）。如何根据数据自适应地选择Σ，例如通过某种交叉验证或数据驱动的方法？这扎根于论文的Remark 1和Section 3.4。
  3. I+B可逆性的更弱条件：Theorem 3的证明依赖于I+B可逆。作者在Supplement B.2中给出了一个充分条件（θ*的估计量有效）。能否在更弱的条件下（如估计量只是√n-一致但非有效）证明I+B的可逆性，或者找到I+B不可逆时的替代方案？这扎根于论文的Lemma 2和Supplement B.2。
  4. 与经典非参数检验的系统性比较：论文在5.1节的两样本检验中，仅与Hore & Barber (2026)的“模糊TV距离”进行了简要比较，但未与更经典的、理论更成熟的能量距离或MMD检验进行功效对比。一个值得做的实证研究是：在多种备择假设下，系统地比较本文提出的正交化框架（配合不同的g和Σ）与这些经典非参数检验的功效和计算成本。这扎根于论文的Section 5.1和Discussion中提到的与Shah & Peters (2020)的比较。

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