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Simultaneous confidence bands for cumulative hazard via exchangeable bootstrap and box calibration

作者: Min Lin, Grzegorz Rempala, Eben Kenah, Qianying Lin
主题: 数理统计 / 假设检验
相关性: 6/10
链接: https://arxiv.org/abs/2606.30982

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

这个子方向解决的根本问题是：在右删失数据下，如何为累积风险函数（cumulative hazard function）构造一个同时置信带（simultaneous confidence band），使得该带在整个时间区间 \([0, \tau]\) 上以概率 \(1-\alpha\) 覆盖真实的连续累积风险函数 \(H_0\)。当前成熟度：经典方法（基于高斯过程近似）已有近半个世纪历史，但有限样本下的覆盖不足问题仍未完全解决，尤其是重抽样方案与校准统计量的交互作用未被系统研究。

发展脉络（history）

奠基工作（1958–1980）： - Kaplan & Meier (1958)：提出乘积限（PL）估计量，奠定了非参数生存分析的基础。这是所有后续工作的起点。 - Nelson (1969, 1972) & Aalen (1978)：提出Nelson–Aalen估计量，作为累积风险函数的非参数估计，基于计数过程框架。 - Hall & Wellner (1980)：利用Brownian桥近似推导出Nelson–Aalen估计量的解析临界值，构造了经典的同时置信带（Hall–Wellner带）。这是第一个严格的同时带构造，但依赖于方差稳定变换（如log或arcsin变换），且变换选择影响有限样本表现。

主要进展（1984–1994）： - Nair (1984)：提出等精度（equal-precision）带，属于学生化生存尺度带，但需要选择变换和正的下界时间，引入额外自由度。 - Akritas (1986)：建立了经典bootstrap对Kaplan–Meier估计量的一致有效性，开启了重抽样方法在生存分析置信带中的应用。 - Lin et al. (1994)：提出计算上便捷的乘子方法，用标准正态变量扰动Nelson–Aalen估计量的鞅增量。这是目前最广泛使用的重抽样方案之一，但只扰动分子（计数过程增量），不扰动分母（风险集大小），因此本质上是在bootstrap渐近线性项而非估计量本身。 - Bie et al. (1987) & Borgan & Liestøl (1990)：系统比较了多种变换的有限样本表现，发现没有单一变换是普遍最优的，且log变换在原点处无定义。

当前frontier（2014–2025）： - Dobler & Pauly (2014)：指出对Aalen–Johansen过程使用加权bootstrap（如Efron bootstrap）一般会得到错误的极限协方差结构，但可用于特定零假设下的检验。这揭示了重抽样方案与极限分布匹配的困难。 - Bluhmki et al. (2016, 2019)：将wild bootstrap严格扩展到多元Nelson–Aalen估计量，证明了其有效性，但同样只扰动分子。 - Sachs et al. (2022)：提供了生存分析中置信带构造方法的近期综述，指出似然比带具有最理想的性质，但标准软件中缺乏实现。 - Dietrich et al. (2025)：发展了基于鞅中心极限定理的统一wild bootstrap框架，覆盖了大多数参数、半参数和非参数生存分析方法。

本文的位置：本文同时干预重抽样方案（使用exchangeable bootstrap，同时重赋权分子和分母，保持比率结构）和校准统计量（提出box calibration，修正网格校准的几何不匹配），并证明两者结合在有限样本中比现有方法更接近名义覆盖水平。

子线索聚类

这些被引文献大致落在三条子线索上：

  1. 解析方法（Analytical methods）：基于高斯过程近似推导临界值，如Hall & Wellner (1980)、Nair (1984)、Bie et al. (1987)。优点：计算简单；缺点：依赖变换选择，有限样本表现不稳定，log变换在原点无定义。

  2. 重抽样方法（Resampling methods）：用bootstrap或乘子方法估计临界值，如Akritas (1986)、Lin et al. (1994)、Bluhmki et al. (2016, 2019)、Dobler & Pauly (2014)、Dietrich et al. (2025)。优点：避免选择变换；缺点：重抽样方案的选择（仅扰动分子 vs. 同时扰动分子和分母）影响有限样本覆盖，且网格校准存在几何不匹配。

  3. 校准统计量（Calibration statistics）：如何从重抽样路径中提取临界值，如网格校准（grid calibration，取重抽样与原始估计在共同事件时间网格上的最大绝对差）、箱校准（box calibration，本文提出，考虑区间内的垂直偏差）。这一线索在本文之前几乎未被独立研究。

这个方向在追问的核心问题

  1. 如何使同时置信带在有限样本下达到名义覆盖水平？ 当前方法（尤其是网格校准的bootstrap）在中等样本量下常出现严重欠覆盖（如本文模拟中n=25时覆盖低至53.73%）。
  2. 重抽样方案的选择如何影响有限样本覆盖？ 仅扰动分子的wild bootstrap vs. 同时扰动分子和分母的exchangeable bootstrap，哪个更优？答案可能依赖于校准统计量。
  3. 如何在不改变事件时间网格的前提下修正网格校准的几何不匹配？ 网格校准只检查共同跳跃点上的垂直偏差，忽略了区间内的最大偏差。
  4. 重抽样方案与校准统计量之间是否存在交互作用？ 本文的核心发现：两者交互，且排名可能反转。

已知瓶颈：网格校准的几何不匹配是系统性的，且重抽样方案的有限样本偏差与网格大小（事件时间点数）相关，类似于高维最大值的bootstrap近似退化问题（Chernozhukov et al., 2017; Koike, 2024）。

⚠️ 作者的framing

作者把缺口frame成两个独立但可同时干预的方面： - 重抽样方案：现有方法（Lin et al., 1994; Bluhmki et al., 2019）只扰动分子，不保持比率结构。作者声称exchangeable bootstrap的比率保持性质是优势。 - 校准统计量：网格校准只检查共同网格点，忽略区间内偏差。作者声称box calibration修正了这一不匹配。

作者淡化的竞争路线： - 变换方法（Hall & Wellner, 1980; Nair, 1984）：作者承认变换可以稳定极限分布并间接减少几何不匹配，但指出变换选择不是一阶理论固定的，且log变换在原点无定义。作者选择不在主要模拟中比较Nair的等精度带，理由是它属于不同的比较类（学生化生存尺度带 vs. 固定宽度累积风险带）。 - 高维bootstrap方法（Chernozhukov et al., 2017; Koike, 2024）：作者在讨论中提及，但认为box calibration走的是不同路线——不近似事件时间坐标间的依赖结构，而是添加局部校正。

什么明显该被引/该存在、却没出现在intro里？ - Efron (1981) 关于删失数据bootstrap的早期工作被引用，但Lo (1993) 的贝叶斯bootstrap（与本文的beta跳跃采样方案直接相关）只在第3节作为类比提及，未在intro中作为竞争方法讨论。 - Strawderman & Wells (1997) 关于累积风险的点wise二阶校正置信限被引用，但作者明确说"comparable higher-order theory for simultaneous bands is not available"——这是一个值得研究者去查的缺口：是否真的没有？还是作者选择性忽略了某些工作？

张力

未见明显对立引用。所有被引工作基本一致认为：有限样本覆盖不足是普遍问题，但不同方法在不同设定下表现不同。本文的核心张力在于发现排名反转（exchangeable bootstrap在网格校准下覆盖最低，但经box校准后通常最接近名义水平），这本身不是文献中的矛盾，而是本文的新发现。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

符号： - \(T\)：事件时间（failure time），正随机变量，具有绝对连续的累积风险函数 \(H_0(t) = \int_0^t h_0(u) du\)。 - \(C\)：删失时间（censoring time），正随机变量，与 \(T\) 独立。 - \(Z = T \wedge C\)：观测时间（observed time），其中 \(\wedge\) 表示取最小值。 - \(\delta = 1\{T \leq C\}\)：事件指示符（event indicator），1表示观察到事件，0表示删失。 - \(N(t) = \delta \cdot 1\{Z \leq t\}\)：个体计数过程（individual counting process），在事件发生时跳跃1。 - \(Y(t) = 1\{Z \geq t\}\)：个体风险过程（individual at-risk process），在个体仍在风险集中时为1。 - \(M(t) = N(t) - \int_0^t Y(u) dH_0(u)\)：鞅（martingale），均值为零。 - \(\mathcal{T} = [0, \tau]\)：感兴趣的时间区间，\(\tau > 0\) 固定且满足 \(E[Y(\tau)] > 0\)。 - \(n\)：样本量。 - \(\{(Z_i, \delta_i) : i=1,\ldots,n\}\)：i.i.d. 样本。 - \(\bar{N}_n(t) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n N_i(t)\)：计数过程的经验平均。 - \(\bar{Y}_n(t) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i(t)\)：风险过程的经验平均。 - \(\hat{H}_n(t) = \int_0^t \frac{d\bar{N}_n(u)}{\bar{Y}_n(u)}\)：Nelson–Aalen估计量。 - \(E_{n1} < E_{n2} < \cdots < E_{n,m_n}\)：区间 \([0, \tau]\) 内的未删失事件时间（跳跃点）。 - \(R_{nj} = n \bar{Y}_n(E_{nj})\)：第 \(j\) 个未删失事件前的风险集大小。 - \(\Delta \hat{H}_n(E_{nj}) = 1/R_{nj}\)：Nelson–Aalen估计量的第 \(j\) 个跳跃大小。 - \(W_{ni}\)：交换自助法权重（exchangeable bootstrap weights），非负、可交换、独立于数据，满足 \(\sum_{i=1}^n W_{ni} = n\)。 - \(\bar{N}_n^W(t) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n W_{ni} N_i(t)\)：加权计数过程平均。 - \(\bar{Y}_n^W(t) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n W_{ni} Y_i(t)\)：加权风险过程平均。 - \(\hat{H}_n^W(t) = \int_0^t \frac{d\bar{N}_n^W(u)}{\bar{Y}_n^W(u)}\)：加权Nelson–Aalen估计量（bootstrap版本）。 - \(\Delta_n = \|\hat{H}_n - H_0\|_{\mathcal{T}}\)：原始估计量的真实最大误差（oracle）。 - \(\hat{\Delta}_{n,\text{grid}}^W = \|\hat{H}_n^W - \hat{H}_n\|_{\mathcal{T}}\)：网格校准的bootstrap最大偏差。 - \(\hat{\Delta}_{n,\text{box}}^W\)：箱校准的bootstrap最大偏差（定义见后）。 - \(\hat{q}_{n,\text{grid}}^W(1-\alpha)\)：网格校准的bootstrap条件 \((1-\alpha)\) 分位数。 - \(\hat{q}_{n,\text{box}}^W(1-\alpha)\)：箱校准的bootstrap条件 \((1-\alpha)\) 分位数。

模型： - 随机删失模型（random censorship model）：\(T\) 和 \(C\) 独立，观测数据为 \((Z, \delta)\)。 - 计数过程框架：\(M(t) = N(t) - \int_0^t Y(u) dH_0(u)\) 是均值为零的平方可积鞅。 - 识别性：\(H_0(t) = \int_0^t \frac{dE[N(u)]}{E[Y(u)]}\)，因为 \(E[Y(u)] > 0\) 在 \(\mathcal{T}\) 上成立。

可观测数据： - 研究者实际能观测到的是 \(\{(Z_i, \delta_i) : i=1,\ldots,n\}\)，即每个个体的观测时间（事件或删失时间中较早者）和事件指示符。 - 从这些数据可以构造出计数过程 \(N_i(t)\) 和风险过程 \(Y_i(t)\)，进而得到Nelson–Aalen估计量 \(\hat{H}_n(t)\)。 - 想要但观测不到：真实累积风险函数 \(H_0(t)\) 本身，以及未删失的事件时间（如果被删失了的话）。所有推断都依赖于 \(T\) 和 \(C\) 独立的假设。

第二步：讲最小内核

最简特例：考虑只有一个未删失事件时间的情况（\(m_n = 1\)），且 \(\tau\) 大于该事件时间。此时： - 事件时间网格只有一个点：\(E_{n1}\)。 - Nelson–Aalen估计量：\(\hat{H}_n(t) = 0\) 对 \(t < E_{n1}\)，\(\hat{H}_n(t) = 1/R_{n1}\) 对 \(t \geq E_{n1}\)，其中 \(R_{n1}\) 是事件前的风险集大小。 - 真实累积风险：\(H_0(t)\) 是连续递增函数，在 \(E_{n1}\) 处的值为 \(H_0(E_{n1})\)。

网格校准的bootstrap偏差：

\[\hat{\Delta}_{n,\text{grid}}^W = |\hat{H}_n^W(E_{n1}) - \hat{H}_n(E_{n1})|\]
这只检查了跳跃点上的垂直偏差。

真实最大误差：

\[\Delta_n = \max\left\{ |\hat{H}_n(E_{n1}) - H_0(E_{n1})|, \quad \max_{t \in [0, E_{n1})} |\hat{H}_n(0) - H_0(t)|, \quad \max_{t \in [E_{n1}, \tau]} |\hat{H}_n(E_{n1}) - H_0(t)| \right\}\]
由于 \(\hat{H}_n\) 是阶梯函数而 \(H_0\) 连续递增，在区间 \([0, E_{n1})\) 上，最大偏差发生在右端点 \(E_{n1}\) 处（因为 \(\hat{H}_n(0)=0\) 而 \(H_0\) 递增到 \(H_0(E_{n1})\)），所以：
\[\Delta_n = \max\left\{ |\hat{H}_n(E_{n1}) - H_0(E_{n1})|, \quad H_0(E_{n1}) - 0, \quad \max_{t \in [E_{n1}, \tau]} |\hat{H}_n(E_{n1}) - H_0(t)| \right\}\]
关键：网格校准只捕捉了第一项，而忽略了第二项（区间 \([0, E_{n1})\) 内的最大偏差）和第三项（区间 \([E_{n1}, \tau]\) 内的最大偏差）。这就是几何不匹配。

箱校准的修正： 箱校准构造两个阶梯包络： - 下包络 \(\hat{H}_{n,L}^W\)：在 \(E_{n1}\) 处取 \(\hat{H}_n(E_{n1}) \wedge \hat{H}_n^W(E_{n1})\)。 - 上包络 \(\hat{H}_{n,U}^W\)：在 \(E_{n1}\) 处取 \(\hat{H}_n(E_{n1}) \vee \hat{H}_n^W(E_{n2})\)，其中 \(E_{n2}\) 是 \(\tau\) 后的下一个事件时间（若存在），否则用插值。

箱校准偏差：

\[\hat{\Delta}_{n,\text{box}}^W = \max\left\{ |\hat{H}_n(E_{n1}) - \hat{H}_n^W(E_{n1})|, \quad |\hat{H}_n^W(E_{n1}) - \hat{H}_n(0)|, \quad |\tilde{H}_n^W(\tau) - \hat{H}_n(E_{n1})| \right\}\]
其中 \(\tilde{H}_n^W(\tau)\) 是 \(\hat{H}_n^W\) 在 \(\tau\) 处的插值。注意：第二项对应区间 \([0, E_{n1})\) 内的垂直偏差，第三项对应区间 \([E_{n1}, \tau]\) 内的垂直偏差。这样，箱校准的偏差结构就与真实误差 \(\Delta_n\) 的结构匹配了。

核心思路：箱校准通过在每个区间内添加垂直校准，使得bootstrap偏差的结构与真实误差的结构一致，从而在有限样本下更准确地估计临界值。在一阶渐近下，箱校准与网格校准等价（因为区间内的最大偏差与跳跃点上的偏差之差随 \(n \to \infty\) 趋于零），但有限样本下箱校准能捕捉到网格校准忽略的偏差。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：在右删失数据下，如何构造累积风险函数的同时置信带，使其在有限样本下达到名义覆盖水平——具体而言，同时干预重抽样方案（exchangeable bootstrap）和校准统计量（box calibration）。
  2. 核心工具/方法：交换自助法（exchangeable bootstrap）同时重赋权Nelson–Aalen比率的分子和分母，保持其比率结构；箱校准（box calibration）构造原始和重抽样Nelson–Aalen估计的上下阶梯包络，测量区间内的垂直偏差。
  3. 主要结论：交换自助法条件弱收敛到与原始Nelson–Aalen过程相同的高斯极限；箱校准与网格校准一阶渐近等价；两者结合得到的置信带渐近达到名义覆盖水平；模拟表明，交换自助法+箱校准在大多数配置中最接近名义覆盖，且存在排名反转现象。

关键设定与假设

完整设定（在第二节最小记号的基础上补充）： - 随机删失模型：\(T\) 和 \(C\) 独立，观测 \((Z, \delta)\)。 - 正则条件：\(\inf_{t \in \mathcal{T}} E[Y(t)] > 0\)，即 \(\tau\) 处仍有正的风险概率。 - 权重条件（Condition 1）：交换自助法权重 \((W_{n1}, \ldots, W_{nn})\) 满足： 1. \(\sup_n \int_0^\infty P(|W_{n1} - 1| > t)^{1/2} dt < \infty\)（控制尾部） 2. \(n^{-1/2} E[\max_{1 \leq i \leq n} |W_{ni} - 1|] \to 0\)（控制最大偏差） 3. \(n^{-1} \sum_{i=1}^n (W_{ni} - 1)^2 \to 1\) in probability（方差归一化） - 充分条件：\(\sup_n E[|W_{n1}|^{2+\varepsilon}] < \infty\) 对某个 \(\varepsilon > 0\)。

相比已有文献的放宽或强化： - 相比Lin et al. (1994)的wild bootstrap（只扰动分子），本文的exchangeable bootstrap同时扰动分子和分母，保持比率结构。 - 相比Dobler & Pauly (2014)指出的加权bootstrap一般有错误极限协方差的问题，本文通过将权重作用于完整非线性比率泛函（而非线性化版本），并利用条件泛函delta方法，证明了正确的极限协方差。 - 相比Bluhmki et al. (2016, 2019)的wild bootstrap，本文的exchangeable bootstrap在有限样本下具有更小的条件方差（beta跳跃 vs. 正态/泊松/指数跳跃）。

主要结果

定理1（交换自助法的条件弱收敛）： - 陈述：在Condition 1和 \(\inf_{t \in \mathcal{T}} E[Y(t)] > 0\) 下，\(\sqrt{n}(\hat{H}_n^W - \hat{H}_n) \overset{P}{\underset{W}{\rightsquigarrow}} \mathcal{Z}\)，其中 \(\mathcal{Z}\) 是均值为零的高斯过程，协方差为 \(E[\mathcal{Z}(s)\mathcal{Z}(t)] = \int_0^{s \wedge t} \frac{dH_0(u)}{E[Y(u)]}\)。 - 直觉：bootstrap条件分布（给定数据）弱收敛到与原始Nelson–Aalen过程相同的极限分布。 - 必要条件：权重满足Condition 1，风险集在 \(\tau\) 处为正。 - 解决的技术难点：将权重作用于完整非线性比率泛函，而非线性化版本；处理右边界 \(\tau\) 处的边界效应。

定理2（箱校准的渐近有效性）： - 陈述：在相同条件下，\(\sup_{x \in \mathbb{R}} |P(\hat{\Delta}_{n,\text{box}}^W \leq x \mid \mathcal{D}_n) - P(\Delta_n \leq x)| \overset{P}{\to} 0\)，且 \(P(\Delta_n \leq \hat{q}_{n,\text{box}}^W(1-\alpha)) \to 1-\alpha\)。 - 直觉：箱校准的bootstrap条件分布一致逼近真实误差的分布，因此用其分位数构造的置信带渐近达到名义覆盖。 - 必要条件：同定理1。 - 解决的技术难点：证明箱校准与网格校准的一阶渐近等价（即 \(\hat{\Delta}_{n,\text{box}}^W - \hat{\Delta}_{n,\text{grid}}^W \overset{P}{\to} 0\)），同时证明箱校准的偏差结构匹配真实误差的结构。

命题1（网格校准的渐近有效性）： - 作为基准，证明网格校准也渐近有效（\(\sup_x |P(\hat{\Delta}_{n,\text{grid}}^W \leq x \mid \mathcal{D}_n) - P(\Delta_n \leq x)| \overset{P}{\to} 0\)），但有限样本下存在几何不匹配。

证明路线与技术技巧

定理1的证明路线（见补充材料S2.1）：

  1. 构造Donsker类：将计数过程 \(N_i(t) = \delta_i 1\{Z_i \leq t\}\) 和风险过程 \(Y_i(t) = 1\{Z_i \geq t\}\) 表示为函数类 \(\mathcal{F} = \mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2\) 上的经验过程，其中 \(\mathcal{F}_1 = \{\delta \cdot 1_{[0,t]}(z) : t \in \mathcal{T}\}\)，\(\mathcal{F}_2 = \{1_{[t,\infty)}(z) : t \in \mathcal{T}\}\)。证明 \(\mathcal{F}\) 是 \(P\)-Donsker类（利用bracketing熵界和Donsker定理）。

  2. 经验过程弱收敛：标准经验过程 \(\mathbb{G}_n f = \sqrt{n}(P_n f - Pf)\) 弱收敛到高斯过程 \(\mathbb{G}\) 在 \(\ell^\infty(\mathcal{F})\) 中。

  3. 交换自助法经验过程：加权bootstrap经验过程 \(\hat{\mathbb{G}}_n^W f = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n (W_{ni} - 1) f(X_i)\) 条件弱收敛到相同的 \(\mathbb{G}\)（利用van der Vaart & Wellner, 2023, Theorem 3.7.13的交换自助法中心极限定理）。

  4. 线性映射：通过线性等距映射 \(J: \ell^\infty(\mathcal{F}) \to \ell^\infty(\mathcal{T})^2\)，将经验过程映射到 \((\bar{N}_n, \bar{Y}_n)\) 和 \((\bar{N}_n^W, \bar{Y}_n^W)\) 的联合过程。

  5. 泛函delta方法：Nelson–Aalen估计量是 \((\bar{N}_n, \bar{Y}_n)\) 的积分-比率泛函 \(\phi(A,B) = \int_0^\cdot \frac{dA}{B}\)。证明该泛函在满足 \(\inf B > 0\) 和 \(\int |dA| \leq M\) 的域上是Hadamard可微的。应用条件泛函delta方法（Theorem 3.10.11 of VW）得到 \(\sqrt{n}(\hat{H}_n^W - \hat{H}_n)\) 条件弱收敛到 \(\mathcal{Z}\)。

关键跳跃点： - Hadamard可微性的验证：需要证明积分-比率泛函在 \((\bar{N}_n, \bar{Y}_n)\) 处可微，且导数与极限高斯过程匹配。这依赖于Gill & Johansen (1990)的结果。 - 边界处理：在 \(\tau\) 处，需要确保 \(\bar{Y}_n^W(\tau) > 0\) 以概率趋近1，这通过条件弱收敛和Slutsky引理处理。

定理2的证明路线（见补充材料S2.3）：

  1. 插值构造：令 \(\tilde{H}_n^W\) 是 \(\hat{H}_n^W\) 的单调连续插值（如线性插值）。证明 \(\sqrt{n}(\tilde{H}_n^W - \hat{H}_n^W) \overset{P}{\underset{W}{\rightsquigarrow}} 0\)，即插值不影响极限。

  2. 分解：将箱校准偏差 \(\hat{\Delta}_{n,\text{box}}^W\) 表示为 \(\|\tilde{H}_n^W - \hat{H}_n\|_\mathcal{T}\)，然后证明 \(\sqrt{n}(\tilde{H}_n^W - \hat{H}_n) \overset{P}{\underset{W}{\rightsquigarrow}} \mathcal{Z}\)（与定理1结合）。

  3. 连续映射：应用连续映射定理（\(\ell^\infty(\mathcal{T}) \to \mathbb{R}\) 的 sup-norm 是1-Lipschitz），得到 \(\sqrt{n}\hat{\Delta}_{n,\text{box}}^W \overset{P}{\underset{W}{\rightsquigarrow}} \|\mathcal{Z}\|_\mathcal{T}\) 和 \(\sqrt{n}\Delta_n \rightsquigarrow \|\mathcal{Z}\|_\mathcal{T}\)。

  4. 分布收敛：利用 \(\|\mathcal{Z}\|_\mathcal{T}\) 的分布函数连续且严格递增（Gaenssler et al., 2007），以及条件分布的一致收敛，得到分位数的一致性和覆盖的渐近名义性。

技术技巧点名： - Empirical process / Donsker类：用于建立 \((\bar{N}_n, \bar{Y}_n)\) 和 \((\bar{N}_n^W, \bar{Y}_n^W)\) 的联合弱收敛。 - 交换自助法中心极限定理（van der Vaart & Wellner, 2023, Theorem 3.7.13）：用于bootstrap经验过程的条件弱收敛。 - Hadamard可微性 / 泛函delta方法：用于从经验过程到Nelson–Aalen估计量的传递。 - 条件泛函delta方法（Theorem 3.10.11 of VW）：用于bootstrap版本的条件弱收敛。 - 连续映射定理：用于从过程弱收敛到sup-norm统计量的弱收敛。 - Beta跳跃采样表示：对于指数权重，推导出 \(\Delta \hat{H}_n^W(E_{nj}) \mid \mathcal{D}_n \sim \text{Beta}(1, R_{nj} - 1)\)，这是交换自助法的一个封闭形式性质。

真实例子与应用

模拟研究（Section 5）： - 数据/场景：四种事件时间模型（指数、递减风险Weibull、递增风险Weibull、分段常数风险），两种删失水平（~20%和~50%），样本量 \(n \in \{15, 25, 50, 100, 200, 500\}\)，名义置信水平99%、95%、90%。 - 方法应用：比较七种方法：交换自助法（XBoot）、weird bootstrap、wild bootstrap，各结合网格校准或箱校准，加上Hall–Wellner带。交换自助法使用重归一化i.i.d.标准指数权重（产生Beta跳跃采样）。 - 结果： - 箱校准在所有配置中提高覆盖（保证的，因为箱带从不更窄）。 - 排名反转：网格校准下，XBoot覆盖最低，Wild最高；箱校准下，XBoot最接近名义水平，Wild过度覆盖。 - XBoot–Box在大多数配置中最接近名义覆盖，尤其在中等样本量（n=50-200）和重删失下。 - Hall–Wellner带在n=500时仍存在残余欠覆盖。 - 这个例子想说明：重抽样方案与校准统计量之间存在交互作用，且交换自助法+箱校准是最有利的组合。

黑素瘤数据例子（Section 6）： - 数据：Andersen et al. (1993)的黑素瘤数据，79名男性患者，29人死于黑素瘤，其余删失。 - 方法应用：在 \([0, 7]\) 年上构造XBoot–Box带、Hall–Wellner带和log变换Hall–Wellner带（logHW在 \([1, 7]\) 上）。 - 结果：XBoot–Box在 \([0, 7]\) 上稳定，logHW在 \([1, 2]\) 上不稳定，XBoot–Box的上界在 \([3, 6]\) 上与logHW接近，下界比logHW低（因此更宽）。 - 这个例子想说明：XBoot–Box允许从时间零点开始推断（log变换不能），且在原始累积风险尺度上操作，无需方差稳定变换。

🔎 结论是否比证明窄

  • Theorem 2的证明依赖于插值构造：证明中假设存在单调连续插值 \(\tilde{H}_n^W\)，且 \(\sqrt{n}(\tilde{H}_n^W - \hat{H}_n^W) \overset{P}{\underset{W}{\rightsquigarrow}} 0\)。这个插值的存在性和收敛性在证明中通过条件弱收敛和Slutsky引理处理，但实际实现中只使用线性插值。作者在Remark 2中声称箱校准也适用于weird和wild bootstrap，但没有给出这些情况下的正式证明（只说了"one can show"）。
  • Theorem 1的证明依赖于Hadamard可微性：这要求 \(\inf_{t \in \mathcal{T}} E[Y(t)] > 0\)，即 \(\tau\) 处仍有正的风险概率。如果 \(\tau\) 选得太大（接近最大观测时间），这个条件可能不成立，此时定理1和2的渐近结论可能不成立。作者在模拟中固定 \(\tau = 1\) 且所有模型满足 \(E[Y(1)] > 0\)，但没有讨论 \(\tau\) 的选择对有限样本表现的影响。
  • 模拟中只考虑了独立删失：理论假设 \(T\) 和 \(C\) 独立，但没有模拟或讨论相依删失下的表现。作者在Discussion中提到了左截断和多状态模型的扩展，但没有给出这些扩展下的理论保证。

四、开放问题

  1. 箱校准与高维bootstrap理论的连接：作者在Discussion中提到网格统计量可以看作高维最大值近似问题（Chernozhukov et al., 2017; Koike, 2024），但箱校准走的是不同路线。具体问题：能否将箱校准纳入高维bootstrap框架，得到比一阶等价更精细的误差界？扎根于Section 7："The grid statistic can also be viewed through the lens of high-dimensional maximum approximation... A correction based directly on this viewpoint would need to approximate the dependence structure across the \(m_n\) event-time coordinates."

  2. 箱校准在更一般估计量上的扩展：作者提到Kaplan–Meier乘积积分估计量、Aalen–Johansen估计量、Cox模型中的Breslow基线累积风险等都具有阶梯函数比率结构。具体问题：箱校准能否直接应用于这些估计量？对于多状态模型，需要将每个网格单元替换为高维箱，如何定义和计算？扎根于Section 7："For multivariate monotone step-function estimators on random grids, an analogous calibration would replace each grid cell by a higher-dimensional box."

  3. 二阶渐近分析：作者指出Strawderman & Wells (1997)对点wise推断有二阶校正，但"a comparable higher-order theory for simultaneous bands is not available"。具体问题：能否对箱校准的bootstrap进行Edgeworth展开，得到二阶校正项？这需要处理阶梯函数和随机网格带来的非光滑性。扎根于Section 1："Strawderman & Wells (1997) obtained second-order-correct confidence limits for the cumulative hazard using Efron's bootstrap with bias correction, but a comparable higher-order theory for simultaneous bands is not available."

  4. \(\tau\) 的选择与边界行为：定理要求 \(\inf_{t \in \mathcal{T}} E[Y(t)] > 0\)，但实际中 \(\tau\) 的选择影响有限样本表现。具体问题：是否存在数据驱动的 \(\tau\) 选择准则，使得箱校准带在可容忍的边界偏差下达到名义覆盖？扎根于Section 2："\(\tau > 0\) is fixed and chosen so that \(E[Y(\tau)] = P(Z \geq \tau) > 0\)." 以及模拟中固定 \(\tau = 1\) 的做法。

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