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Strong duality for the GROW criterion

作者: Ashwin Ram, Martin Larsson, Johannes Ruf, Aaditya Ramdas
主题: 数理统计 / 假设检验
相关性: 6/10
链接: https://arxiv.org/abs/2606.24768

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本文研究的根本问题是：在“通过下注进行假设检验”的框架下，如何为复合零假设 \( \mathcal{P} \) 与复合备择假设 \( \mathcal{Q} \) 设计最优的 e-变量（e-variable）。e-变量是一个非负随机变量 \( X \)，满足对所有 \( P \in \mathcal{P} \) 有 \( \mathbb{E}_P[X] \le 1 \)。核心目标是最大化最坏情况下的对数期望收益，即求解 GROW (Growth Rate that is Optimal in the Worst case) 值：

\[G = \sup_{X \in \mathcal{E}} \inf_{Q \in \mathcal{Q}} \mathbb{E}_Q[\log X],\]
其中 \( \mathcal{E} \) 是所有 e-变量的集合。这个方向当前处于理论深化与统一框架构建的阶段，从简单假设向复合假设推广，并探索强对偶成立的充分条件与必要条件。

发展脉络

  1. 奠基工作：Kelly 准则与赌注检验
  2. Kelly (1956), Breiman (1961), Cover (1987)：提出在赌博或投资中最大化对数财富的准则，为“通过下注进行检验”提供了思想源头。
  3. Shafer (2021)：系统阐述了“通过下注进行检验”的统计哲学，将赌注与证据联系起来。

  4. Grünwald, de Heide, Koolen (2024a)：正式提出 GROW 准则与 s-值（safe test）框架，将最优 s-值与联合信息投影（JIPr）联系起来，并给出了强对偶成立的充分条件（如 \( \mathcal{P}, \mathcal{Q} \) 具有共同控制测度且相对熵有限）。留下的口子：他们的充分条件较强，且未处理无界 e-变量的一般情形。

  5. 主要进展：简单备择下的完全刻画

  6. Larsson, Ramdas, Ruf (2025)：对任意复合零假设 \( \mathcal{P} \) 与简单备择 \( \mathcal{Q} = \{Q\} \)，证明了无任何限制下的强对偶：
    \[\sup_{X \in \mathcal{E}} \mathbb{E}_Q[\log X] = \inf_{P \in \mathcal{P}_{\text{eff}}} H(Q \| P),\]
    并识别出“计价单位 e-变量”（numeraire）与反向信息投影（RIPr）。留下的口子：仅处理了简单备择，复合备择情形未解决。
  7. Lardy, Grünwald, Harremoës (2024)：将 RIPr 推广到相对熵无穷的情形，扩展了 GROW 准则的适用范围。

  8. Li (1999)：早期关于信息投影与最优检验的工作，为后续发展提供了基础。

  9. 当前 frontier：复合备择下的强对偶与正则性条件

  10. Huber & Strassen (1973)：在“最不利分布对”（least favorable distribution pair）存在的强假设下，证明了 \( G = \inf_{P \in \mathcal{P}} \inf_{Q \in \mathcal{Q}} H(Q \| P) \)。留下的口子：该假设非常强，不适用于许多非参数情形。
  11. Saha & Ramdas (2025)：给出了 Huber 稳健似然比检验的 e-值框架，并提供了相对熵对偶的自包含证明。
  12. Arnold & Clerico (2026)：首次在非相互绝对连续假设下，为有界随机变量的均值检验导出了最优 e-值，并比较了 GROW 与 REGROW 准则。
  13. Larsson, Ruf, Ramdas (2026b)：完成了 Le Cam 关于可检验性（testability）的纲领，证明了无任何假设下，非平凡检验存在当且仅当 \( \text{co}^*(\mathcal{P}) \) 与 \( \text{co}^*(\mathcal{Q}) \) 在总变差距离下分离。本文的位置：本文是 Larsson et al. (2025) 从简单备择到任意复合备择的推广，其结构与 Larsson et al. (2026b) 平行——将总变差距离替换为相对熵，将检验替换为有界 e-变量，将 minimax 风险替换为 GROW 准则。

子线索聚类

  1. 信息投影与对偶理论：Csiszár (1975, 1984), Topsøe (1979), Li (1999), Lardy et al. (2024), Larsson et al. (2025)。这一簇关注相对熵的变分刻画、I-投影、反向 I-投影及其在最优 e-变量中的应用。
  2. 赌注检验与 e-值框架：Kelly (1956), Breiman (1961), Cover (1987), Shafer (2021), Grünwald et al. (2024a), Ramdas & Wang (2025)。这一簇将假设检验重新解释为赌博游戏，强调 e-值的序贯性质与可合并性。
  3. 可检验性与 minimax 检验：Kraft (1955), Huber & Strassen (1973), Larsson et al. (2026b)。这一簇关注在什么条件下存在非平凡检验，以及 minimax 最优检验的构造。
  4. 特殊模型下的最优 e-值：Arnold & Clerico (2026), Saha & Ramdas (2025), Ram & Ramdas (2026)。这一簇针对具体统计问题（有界均值、稳健检验、增长速率）导出显式最优 e-变量。

这个方向在追问的核心问题

  1. 强对偶何时成立？ 即 \( G = \inf_{Q \in \mathcal{Q}} \inf_{P \in \mathcal{P}_{\text{eff}}} H(Q \| P) \) 是否成立？需要哪些正则性条件？
  2. 有界 e-变量与无界 e-变量的差距有多大？ 即 \( G_b \) 与 \( G \) 何时相等？何时严格不等？
  3. 如何构造达到最优的 e-变量？ 在复合备择下，最优 e-变量是否总是似然比形式？何时存在？
  4. REGROW 准则的强对偶如何刻画？ 当引入偏移函数 \( \xi \) 后，对偶形式如何变化？

当前主流方法与已知瓶颈：主流方法是通过凸对偶与信息投影建立强对偶。瓶颈在于：对于无界 e-变量，强对偶需要额外假设（如紧性、控制测度、相对熵有限），且存在反例表明这些假设不能完全去掉。

⚠️ 作者的 framing

作者将缺口 frame 成：“Larsson et al. (2025) 只处理了简单备择，本文将其推广到任意复合备择。” 他们淡化或回避的竞争路线包括： - Huber-Strassen 的最不利分布对方法：作者指出其假设太强（需要 LFD 存在），但未深入讨论 LFD 与 JIPr 之间的精确关系。 - Grünwald et al. (2024a) 的充分条件：作者指出其假设（如 \( H(Q \| Q') < \infty \) 对所有 \( Q, Q' \in \mathcal{Q} \)）比本文的 JIPr 存在性更强，但未系统比较两者的适用范围。

什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里？
- 关于计算复杂度的讨论：本文完全未涉及 e-变量的计算成本。对于高维或非参数问题，构造最优 e-变量可能涉及高维积分或优化，其计算可行性是一个自然的问题。这与研究者对“统计-计算权衡”的兴趣直接相关。 - 高阶 e-变量：本文只考虑单个 e-变量，未讨论如何组合多个 e-变量（如通过乘积或合并）来提升检验功效。这与研究者对高阶 U-统计量的兴趣有潜在联系。

张力

未见明显对立引用。各工作主要在假设强度与适用范围上存在差异，而非根本性矛盾。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：
  • \( (\Omega, \mathcal{F}) \)：可测空间，样本空间。
  • \( \mathcal{M} \)：\( \mathcal{F} \) 上的有限符号（countably additive）测度集合。
  • \( \mathcal{M}_+, \mathcal{M}_1 \)：非负测度、概率测度。
  • \( \mathcal{P} \subseteq \mathcal{M}_1 \)：复合零假设，研究者声称数据来自某个 \( P \in \mathcal{P} \)。
  • \( \mathcal{Q} \subseteq \mathcal{M}_1 \)：复合备择假设，怀疑者认为数据来自某个 \( Q \in \mathcal{Q} \)。
  • \( X \)：e-变量，非负随机变量，满足 \( \mathbb{E}_P[X] \le 1 \) 对所有 \( P \in \mathcal{P} \)。
  • \( \mathcal{E} \)：所有 e-变量的集合。
  • \( \mathcal{E}_b \)：所有有界 e-变量的集合。
  • \( \mathcal{P}_{\text{eff}} \)：有效零假设，定义为 \( \{ P \in \mathcal{M}_+ : \mathbb{E}_P[X] \le 1 \text{ for all } X \in \mathcal{E} \} \)。
  • \( \text{co}^*(S) \)：集合 \( S \subseteq \mathcal{M}_1 \) 在 \( \text{ba} \)（有界有限可加测度空间）中的弱-*闭凸包。
  • \( H(Q \| P) \)：相对熵（Kullback-Leibler 散度），定义扩展到 \( \text{ba}_1 \)。
  • \( G = \sup_{X \in \mathcal{E}} \inf_{Q \in \mathcal{Q}} \mathbb{E}_Q[\log X] \)：GROW 值。

  • \( G_b = \sup_{X \in \mathcal{E}_b} \inf_{Q \in \mathcal{Q}} \mathbb{E}_Q[\log X] \)：有界 GROW 值。

  • 模型：数据生成机制未知，但研究者假设其属于 \( \mathcal{P} \) 或 \( \mathcal{Q} \)。没有指定任何参数形式或分布族。这是一个非参数假设检验问题。

  • 可观测数据：研究者观测到一个样本 \( \omega \in \Omega \)。e-变量 \( X(\omega) \) 是一个可观测的随机变量（赌注的回报）。想要但观测不到的是数据真正的分布 \( P \) 或 \( Q \)。所有推断都基于对 \( X \) 的期望约束 \( \mathbb{E}_P[X] \le 1 \)。

第二步：讲最小内核

最简特例：考虑有限样本空间 \( \Omega = \{1, 2, \dots, d\} \)，且 \( \mathcal{P} \) 和 \( \mathcal{Q} \) 都是概率单纯形 \( \Delta_d \) 中的凸紧集。假设 \( \mathcal{P} \) 在所有坐标上都有正质量（即 \( \sup_{P \in \mathcal{P}} P_i > 0 \) 对所有 \( i \)）。

在这个特例下，所有 e-变量自动有界（因为取值有限），所以 \( \mathcal{E} = \mathcal{E}_b \)，\( G = G_b \)。本文的定理 4.23 断言：

\[G = \min_{Q \in \mathcal{Q}} \min_{P \in \mathcal{P}} H(Q \| P),\]
且最优 e-变量由达到最小值的 \( (P^*, Q^*) \) 的似然比 \( X^* = dQ^* / dP^* \) 给出。

为什么这是最小内核？ 因为： - 有限样本空间消除了所有测度论与拓扑的复杂性（弱-*闭包、有限可加性等）。 - 凸紧性保证了最小化问题有解。 - 正质量假设保证了似然比有限。 - 这个特例直接展示了本文核心结论的本质：GROW 值等于两个凸集之间的最小相对熵，最优 e-变量是达到该最小值的分布对的似然比。

核心思路：在有限情形下，问题退化为一个凸优化问题。\( \sup_{X} \inf_{Q} \mathbb{E}_Q[\log X] \) 可以通过 minimax 定理与相对熵的变分表示转化为 \( \min_{Q} \min_{P} H(Q \| P) \)。证明的关键是 Sion 的 minimax 定理与相对熵的 Donsker-Varadhan 表示。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：在复合零假设 \( \mathcal{P} \) 与复合备择假设 \( \mathcal{Q} \) 下，刻画有界 e-变量与无界 e-变量的 GROW 值，建立强对偶定理。
  2. 核心工具 / 方法：凸对偶（Sion 的 minimax 定理）、弱-*拓扑下的信息投影、相对熵的 Donsker-Varadhan 变分表示、Yosida-Hewitt 分解、有限可加测度。
  3. 主要结论：对于有界 e-变量，无任何假设下强对偶成立：\( G_b = \min_{P \in \text{co}^*(\mathcal{P}), Q \in \text{co}^*(\mathcal{Q})} H(Q \| P) \)。对于无界 e-变量，强对偶在若干正则性条件下成立（如 \( \mathcal{P} \) 为单点、JIPr 存在、\( \mathcal{Q} \) 集态紧、\( \mathcal{P}, \mathcal{Q} \) 弱紧等），并给出反例表明这些条件不能完全去掉。

关键设定与假设

  • 基本设定：\( (\Omega, \mathcal{F}) \) 是一般可测空间，\( \mathcal{P}, \mathcal{Q} \subseteq \mathcal{M}_1 \) 是任意非空子集。
  • 有界 e-变量情形（定理 3.1）：无任何假设。结论涉及弱-*闭凸包 \( \text{co}^*(\mathcal{P}), \text{co}^*(\mathcal{Q}) \)，其中闭包在 \( \text{ba} \)（有界有限可加测度空间）中取。
  • 无界 e-变量情形：
  • 定理 4.2（单点零假设）：\( \mathcal{P} = \{P\} \)，\( \mathcal{Q} \) 凸，且满足假设 4.1（如 \( H(Q \| \text{GIPr}) < \infty \) 对所有 \( Q \in \mathcal{Q} \)）。相比 Grünwald et al. (2024a)：纠正了其证明中的错误，指出 GIPr 不一定属于 \( \mathcal{Q} \)，因此 \( G \) 不一定等于 \( H(\text{GIPr} \| P) \)。
  • 定理 4.10（JIPr 存在）：存在联合信息投影对 \( (P^*, Q^*) \in \mathcal{P}_{\text{eff}} \times \mathcal{Q}_I \) 满足定义 4.7，且假设 4.9 成立。相比 Grünwald et al. (2024a)：去掉了 \( H(Q \| Q') < \infty \) 对所有 \( Q, Q' \in \mathcal{Q} \) 的要求。
  • 定理 4.17（\( \mathcal{Q} \) 集态紧）：\( \mathcal{Q} \) 凸且集态紧（setwise compact），\( \mathcal{P} \) 任意。集态紧是一个强假设，等价于存在一个有限测度 \( \mu \) 使得 \( \mathcal{Q} \) 关于 \( \mu \) 一致绝对连续。
  • 定理 4.19（\( \mathcal{P}, \mathcal{Q} \) 弱紧）：\( \Omega \) 为 Polish 空间，\( \mathcal{P}, \mathcal{Q} \) 凸且弱紧。此时结论涉及连续有界 e-变量。
  • 定理 4.23（有限样本空间）：\( \Omega \) 有限，\( \mathcal{P}, \mathcal{Q} \) 凸紧，\( \mathcal{P} \) 在所有坐标上有正质量。

主要结果

  1. 定理 3.1（有界 GROW 的强对偶）：对任意 \( \mathcal{P}, \mathcal{Q} \subseteq \mathcal{M}_1 \)，

    \[G_b = \min_{P \in \text{co}^*(\mathcal{P}), Q \in \text{co}^*(\mathcal{Q})} H(Q \| P),\]
    且最小值可达。直觉：有界 e-变量无法区分“太接近”的分布，因此需要将 \( \mathcal{P}, \mathcal{Q} \) 扩充到它们的弱-闭凸包（包含有限可加测度）才能得到精确对偶。必要条件：无。解决的技术难点*：需要将相对熵的定义扩展到有限可加测度，并证明其变分表示（引理 2.4）与 Yosida-Hewitt 分解下的性质（命题 2.5）。

  2. 定理 4.2（单点零假设的强对偶）：若 \( \mathcal{P} = \{P\} \)，\( \mathcal{Q} \) 凸，且假设 4.1 成立，则

    \[G = \inf_{Q \in \mathcal{Q}} H(Q \| P),\]
    且最优 e-变量为 \( dQ_{\text{GIPr}} / dP \)。直觉：当零假设为单点时，问题简化为寻找 \( P \) 在 \( \mathcal{Q} \) 上的广义 I-投影。必要条件：假设 4.1 确保 GIPr 的似然比在 \( \mathcal{Q} \) 上具有一致的下界。解决的技术难点：纠正了 Grünwald et al. (2024a) 中关于 GIPr 属于 \( \mathcal{Q} \) 的错误假设。

  3. 定理 4.19（弱紧下的强对偶）：若 \( \Omega \) 为 Polish 空间，\( \mathcal{P}, \mathcal{Q} \) 凸且弱紧，则

    \[G = G_b = G_{bc} = \min_{Q \in \mathcal{Q}} \min_{P \in \mathcal{P}} H(Q \| P),\]
    其中 \( G_{bc} \) 是连续有界 e-变量的 GROW 值。直觉：弱紧性保证了 Sion 的 minimax 定理可以直接应用于连续函数空间，无需引入有限可加测度。必要条件：Polish 空间与弱紧性。解决的技术难点：需要证明鲁棒的 Donsker-Varadhan 公式（引理 4.20），即 \( \sup_{g \in C_b} \inf_{P \in \mathcal{P}} (\mathbb{E}_Q[g] - \log \mathbb{E}_P[e^g]) = \min_{P \in \mathcal{P}} H(Q \| P) \)。

证明路线与技术技巧

以定理 3.1（有界 GROW）为例：

  1. 整体路线：
  2. 步骤 1：将 e-变量 \( X \) 替换为 \( g = \log X \)，定义 \( \Gamma = \{ g \in B_b : \sup_{P \in \mathcal{P}} \mathbb{E}_P[e^g] \le 1 \} \)。通过引理 3.9，将 \( G_b \) 转化为 \( \sup_{g \in \Gamma} \inf_{Q \in \mathcal{Q}} \mathbb{E}_Q[g] \)。
  3. 步骤 2：引入偏移函数 \( \xi \) 的凹双共轭 \( \xi^{\star\star}_{\mathcal{Q}} \)，通过引理 3.8 将 \( \inf_{Q \in \mathcal{Q}} \mathbb{E}_Q[g] \) 替换为 \( \inf_{\nu \in \text{co}^*(\mathcal{Q})} (\int g d\nu - \xi^{\star\star}_{\mathcal{Q}}(\nu)) \)。
  4. 步骤 3：应用 Sion 的 minimax 定理交换 \( \sup_{g \in \Gamma} \) 与 \( \inf_{\nu \in \text{co}^*(\mathcal{Q})} \)，得到 \( \inf_{\nu \in \text{co}^*(\mathcal{Q})} \sup_{g \in \Gamma} (\int g d\nu - \xi^{\star\star}_{\mathcal{Q}}(\nu)) \)。
  5. 步骤 4：利用引理 3.10（单点备择的对偶）计算 \( \sup_{g \in \Gamma} \int g d\nu = \min_{\mu \in \text{co}^*(\mathcal{P})} H(\nu \| \mu) \)。

  6. 步骤 5：结合步骤 3 与 4，得到 \( G_b = \min_{\mu \in \text{co}^*(\mathcal{P}), \nu \in \text{co}^*(\mathcal{Q})} (H(\nu \| \mu) - \xi^{\star\star}_{\mathcal{Q}}(\nu)) \)。令 \( \xi = 0 \) 即得定理 3.1。

  7. 关键跳跃点：

  8. 从 e-变量到 \( \Gamma \) 的转化（引理 3.9）：需要处理 \( \log X \) 可能无界的问题。技巧是引入 \( X_\varepsilon = \varepsilon + (1-\varepsilon)X \)，使得 \( \log X_\varepsilon \) 有界，然后取极限。
  9. 凹双共轭的引入（引理 3.8）：需要证明 \( \xi^{\star\star}_{\mathcal{Q}} \) 是弱-上半连续且凹的，并且等式 (14) 成立。这依赖于 \( \text{co}^*(\mathcal{Q}) \) 的弱-紧性（Banach-Alaoglu 定理）。

  10. 单点备择的对偶（引理 3.10）：需要将 \( \sup_{g \in \Gamma} \int g d\nu \) 与 \( \min_{\mu \in \text{co}^*(\mathcal{P})} H(\nu \| \mu) \) 联系起来。关键工具是相对熵的 Donsker-Varadhan 表示（引理 2.4）与 Sion 的 minimax 定理。

  11. 技术技巧点名：

  12. Sion 的 minimax 定理：用于交换 \( \sup \) 与 \( \inf \)，是整篇论文的核心工具。
  13. Banach-Alaoglu 定理：保证 \( \text{co}^*(\mathcal{P}) \) 和 \( \text{co}^*(\mathcal{Q}) \) 在 \( \text{ba} \) 中是弱-*紧的。
  14. Yosida-Hewitt 分解：用于将有限可加测度分解为可数可加部分与纯有限可加部分，从而将相对熵的定义扩展到 \( \text{ba}_1 \)（命题 2.5）。
  15. Donsker-Varadhan 变分表示：将相对熵表示为 \( \sup_{g \in B_b} (\int g dQ - \log \int e^g dP) \)，是建立对偶的关键。
  16. 分布一致的单调收敛定理（引理 4.16）：在集态紧假设下，用于处理无界 e-变量的极限。

真实例子与应用

本文包含多个理论例子，但没有真实数据应用。例子包括： - 例 3.2：展示 \( \mathcal{P}_{\text{eff}} \) 与 \( \text{co}^*(\mathcal{P}) \) 的必要性。\( \Omega = [0,1] \)，\( \mathcal{P} \) 是 \( P_0 = \varepsilon U + (1-\varepsilon)\delta_0 \) 与所有 Dirac 测度的凸包，\( \mathcal{Q} = \{U\} \)。说明 \( \inf_{P \in \mathcal{P}} H(Q \| P) \) 可以很大，但 \( \inf_{P \in \text{co}^*(\mathcal{P})} H(Q \| P) = 0 \)。 - 例 3.3：展示最小化对 \( (P^*, Q^*) \) 可以是纯有限可加的。\( \Omega = \mathbb{N} \)，\( \mathcal{P} = \{P_n\} \)，\( \mathcal{Q} = \{Q_n\} \)，其中 \( P_n, Q_n \) 是经验分布。说明弱-闭包的必要性。 - 例 4.3：展示即使 \( \inf_{Q \in \mathcal{Q}} H(Q \| P) < \infty \)，强对偶也可能失败。\( \Omega = [0,1] \)，\( \mathcal{P} = \{U\} \)，\( \mathcal{Q} \) 包含 \( Q_0 \) 与所有 Dirac 测度的凸包。说明需要额外假设（如假设 4.1）。 - 例 5.1：展示 \( G > G_b \) 可以发生。\( \Omega = \mathbb{N}_0 \)，\( \mathcal{P} = \{\frac{1}{2}\delta_0 + \frac{1}{2}\delta_1\} \)，\( \mathcal{Q} = \{Q_n\} \) 其中 \( Q_n = \frac{1}{n}\delta_n + (1-\frac{1}{n})\delta_0 \)。说明即使有共同控制测度，有界与无界 e-变量也可能有本质区别。 - 例 5.5*：高斯均值漂移与重尾离群值。\( \mathcal{P} = \{N(0,1)\} \)，\( \mathcal{Q} \) 包含 \( N(\theta,1) \) 与 Student-t 分布的混合。展示“屏蔽定理”（定理 5.4）的应用：通过一个在“坏”备择上具有无穷对数期望的 e-变量来保护 GROW 值。

🔎 结论是否比证明窄

  • 定理 3.1 的结论与证明一致：强对偶对任意 \( \mathcal{P}, \mathcal{Q} \) 成立，证明完整。
  • 定理 4.2 的结论与证明一致：在假设 4.1 下成立。但作者在例 5.3 中承认，Grünwald et al. (2024a) 的结论（\( G = H(\text{GIPr} \| P) \)）在一般情况下不成立，本文的假设 4.1 是更弱的充分条件。
  • 定理 4.10 的结论与证明一致：在 JIPr 存在且假设 4.9 下成立。但作者在例 4.8 中展示，JIPr 存在（满足 (i)(ii)）不一定意味着条件 (iii)（即 \( (P^*, Q^*) \) 达到 \( \inf_{P \in \mathcal{P}_{\text{eff}}, Q \in \mathcal{Q}} H(Q \| P) \)）成立。
  • 第 6 节“Summary”：作者明确写道：“It remains open to what extent such restrictions are necessary... it remains open whether some alternative universal dual representation for unbounded GROW exists.” 这表明对于无界 e-变量，是否存在一个“无假设”的强对偶定理仍然是一个开放问题，本文的结论比这个更窄。

四、开放问题

  1. 无界 GROW 的通用强对偶是否存在？ 作者在第 6 节明确写道：“it remains open whether some alternative universal dual representation for unbounded GROW exists.” 扎根于论文第 26 页第 6 节。目前已知的反例（例 4.3、5.2）表明简单的相对熵对偶不成立，但可能存在其他形式的对偶表示。

  2. 有界与无界 GROW 的差距何时严格为正？ 例 5.1 展示了 \( G > G_b \) 可以发生，但刻画这一差距的充分必要条件是什么？扎根于论文第 22 页例 5.1 与第 26 页第 6 节。

  3. JIPr 存在的充分条件是什么？ 定义 4.7 给出了 JIPr 的概念，但除了通过 RIPr 与 GIPr 的构造外，是否存在更直接的刻画？扎根于论文第 14 页定义 4.7 与第 15 页定理 4.10。

  4. 计算可行性：本文完全未讨论最优 e-变量的计算成本。对于高维或非参数问题，构造 JIPr 或求解 minimax 问题可能涉及高维优化。这与研究者对“统计-计算权衡”的兴趣直接相关。扎根于论文未涉及的部分，但这是一个自然的延伸。

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