Compound Poisson disorder problem with uniformly distributed disorder time¶

作者: Cagin Uru, Savas Dayanik, Semih O. Sezer
来源: Bernoulli
主题: 数理统计 / 假设检验
相关性: 3/10
机构绿灯: Duke University（US News 前 50，免分进入精读）
链接: https://doi.org/10.3150/22-bej1541

一、领域脉络与小综述¶

这个方向是什么¶

这篇论文处理的根本问题是变点检测（change-point detection），更具体地说是最快检测子问题：假设一个随机过程（这里是复合泊松过程）在某个未知、不可观测的时刻 \(\theta\)（称为"disorder time"）发生参数突变（如到达率或跳分布），观测者必须连续观测过程样本路径，并决定何时报警声称"变点已发生"。目标是在维持低的误报概率或误报惩罚的前提下，最小化检测延迟。这是一个经典的序贯分析 (sequential analysis) 与最优停止 (optimal stopping) 交叉的问题。该子方向（快速变点检测）拥有几十年的成熟理论，从Arlian投票模型到Shiryaev的Bayes公式，再到Kolmogorov的非Bayes形式主义, has already established a rich theoretical foundation.

发展脉络（从Introduction + 被引文献构建）¶

该方向的奠基性工作可追溯到上世纪中叶，主要理论框架在Shiryaev等人的工作中完成。从论文的引用来看，脉络如下：

奠基工作：Shiryaev (1963, 1978) 建立了 Bayes 变点检测问题的一般框架：假设变点时间 \(\theta\) 有已知的先验分布，目标是最小化一个结合了检测延迟与误报惩罚（通常为假警率的线性成本）的 Bayes 风险函数。这是本论文的基础和直接理论框架。Shiryaev证明了最优解是后验概率过程（posterior probability process）首次穿越某个阈值的时刻。
主要进展：精确解的困难性与近似方法：随后，研究者发现，即便在简单模型（如单一泊松过程的变点检测）下，要获得最优停止规则的闭式解也非常困难。因此，工作分为两派：
- 一派追求闭式解：对于指数族（包括泊松）过程，Peskir & Shiryaev (2002) 等指出，最优停止问题可以转化为自由边界问题（free-boundary problem），并且在某些特殊情况下（如假设变点发生前过程是已知的确定性情况）可以获得解析解或半解析解。
- 另一派发展近似或数值解法：Dayanik & Sezer (2006, 2012) 等发展了一类基于概率变换（probability transform） 的数值方法，可以将最优停止问题的解转化为一个无界开区域上的线性PDE（偏微分方程），然后通过标准的数值PDE求解器来近似最优停止规则。这篇论文的作者（Dayanik 和 Sezer）正是这条线的重要推动者。
当前frontier & 本文的位置：
- 当前 frontie：如何在保持完全分离信息流（由自治的、时齐的Markov过程描述）与硬时间horizon约束的核心洞察的基础上，处理更现实的分布假设，如均匀分布的变点时间。
- 本文的位置：论文瞄准了一个实际缺口：在许多应用（如固定寿命的信用交易、生产批次）中，变点最可能在一个固定的、已知的时间区间上均匀发生。已有的Bayes变点检测理论大多假设变点时间有无信息先验（如 \(\theta\) 在区间 \([0,T]\) 上均匀分布，但通常 \(T \to \infty\)），而论文直接处理有限且固定的 \(T\)。他们的核心贡献是：将信息流与时间horizon解耦，构造一个时齐的一维Markov过程（后验概率或似然比），将有限horizon的最优停止问题转化为一个二维问题（时间 + 状态），并对大horizon情形给出一维近似解。

子线索聚类¶

被引文献大致落在3条子线索上：

线索一：Bayes 最优检测（Bayesian optimal detection）。核心是假定变点时间有已知先验，在最小化Bayes风险准则下寻求最优停止规则。代表作者：Shiryaev, Peskir, Polunchenko, Tartakovsky。这条线的优点是有明确的最优性（Bayes最优），但需要精确地指定先验和风险函数。
线索二：Minimax 与 CUSUM 形式主义（Minimax / CUSUM formalism）。核心是Page的CUSUM检测：在worst-case延迟（通常是给定假警率下最小化最坏延迟）下，或基于似然比的阈值规则。代表作者：Page, Lorden, Moustakides, Tartakovsky。优点是无需先验、理论稳健，但通常不声称是任何意义上的最优（除非匹配到特定的minimax准则）。
线索三：连续时间与非线性过程。这条线从Shiryaev的一般框架出发，向扩散过程、复合泊松过程、半鞅等更一般的连续时间过程推广，并研究自由边界问题的求解难度。代表作者：Peskir & Shiryaev, Dayanik & Sezer。论文主要位于此线索中，但与线索一紧密交融。

这个方向在追问的核心问题（2-4个）¶

模型假设的权衡：Bayes最优 vs. Minimax最保险 vs. 计算可行性。这个权衡是该领域的底色。论文很明确地选择了Bayes最优（均匀先验）这条路。
有限horizon vs. 无限horizon：当horizon有限时，最优停止规则一般不是"首次穿越常数阈值"（如CUSUM）而是"随expiration逼近而变化的衰减阈值"。论文的核心就是解决有限horizon下的问题。
计算可行性：如何获得闭式或非常高效的近似规则，对于大horizon和复杂模型（如复合泊松）尤为关键。论文给出的"一维近似"正是为了应对这个目标。
多级决策：论文末尾提出了一个有趣的扩展：若horizon结束时仍未报警，需要进行第二级假设检验来判定是否发生过disorder。这涉及到序贯检测的混合范式（先检测，若未检测到就事后再检验一次），是该领域一个较新颖的问题。

作者的Framing（必须明确标注）¶

作者在Introduction中的framing：

"uniformly distributed disorder time over a long but finite time horizon" 被描绘成一个"实践中重要但已被跳过"的缺口。他们声称，已有的Shiryaev框架聚焦于无限horizon或无信息先验，而均匀分布先验（有限horizon）恰好是最常见的实际设定（比如银行贷款的违约时间）。通过强调实际应用（生产质量控制、信用卡欺诈检测），他们将这个缺口置于"显然的下一步"的位置。
他们淡化了竞争路线：论文几乎不正面讨论CUSUM-type的非Bayes方法，仅在第1节末尾轻描淡写地提及。他们回避了：对于非Bayes（minimax regret）最优检测，经典CUSUM规则能否在均匀disorder time下达到某种近似的minimax最优？这个明显被回避的问题值得研究者去查。
什么明显该被引、却没出现在Intro里？：论文专注于Bayes框架，却没有引用任何关于后验概率过程的Temporal Difference (TD)学习或强化学习的文献（用于求解最优停止问题的近似解，特别是在有状态空间的场景）。这可能是故意的（领域传统分隔），但作为研究者，值得去查一查近期是否有将RL应用于变点检测的工作。

张力¶

未见明显对立的引用。该领域的各个分支（Bayes vs. minimax）虽然有不同的哲学，但并未出现基于完全相同设定得出相反结论的对立情况。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题¶

第一步：符号、模型、可观测数据交代清楚¶

本节的记号可以比论文的更简化，但必须准确。

符号：
- \(\theta\) : 紊乱时间（disorder time）。是一个不可观测的随机变量，代表过程参数发生突变的时间点。在本文中，\(\theta\) 是均匀分布的，记作 \(\theta \sim \text{Uniform}[0, T]\)。
- \(T\) : 时间horizon。是一个固定的、已知的常数。研究在时间区间 \([0, T]\) 内发生的紊乱。论文假设 \(\theta\) 的分布完全在 \([0, T]\) 上（无mass在外部）。
- \(\{X_t\}_{t \ge 0}\) : 复合泊松过程（compound Poisson process）。这是可观测的数据流。定义为 \(X_t = \sum_{i=1}^{N_t} Y_i\)，其中 \(\{N_t\}\) 是速率为 \(\lambda\) 的泊松过程，\(\{Y_i\}\) 是独立同分布的跳大小（分布为 \(G\)）。
- \(\lambda_0, \lambda_1\) : 变点前 / 后的泊松到达率（参数）。当 \(t < \theta\) 时，\(N_t\) 的速率是 \(\lambda_0\)；当 \(t \ge \theta\) 时，速率是 \(\lambda_1\)。
- \(G_0, G_1\) : 变点前 / 后的跳大小分布。当 \(t < \theta\) 时，每次跳的大小 \(Y_i \sim G_0\)；当 \(t \ge \theta\) 时，\(Y_i \sim G_1\).
- \(\mathcal{F}_t = \sigma\{X_s: 0 \le s \le t\}\) : 到时刻 \(t\) 为止的观测历史（信息流）。
- \(\tau\) : 停止规则（stopping rule）。对 \(\mathcal{F}_t\) 适应的停时。当发出警报时，就是 \(\tau\) 的值。
- \(\pi_t = \mathbb{P}(\theta \le t \mid \mathcal{F}_t)\) : 后验概率。在时刻 \(t\)，基于观测到的过程历史，紊乱已经发生的后验概率。这个随机过程是解决Bayes变点检测的核心状态变量。
  - 可观测数据：研究者实际能观测到的是复合泊松过程 的整条样本路径 \(\{X_s\}_{0 \le s \le t}\) 直到当前决策时刻 \(t\)。它包含了泊松事件发生的时间点，以及事件发生时的跳大小。
  - 不可观测量：\(\theta\)（紊乱时间）和观测之间的行为（如未观测到的泊松事件数，它被 \(X_t\) 的部分信息掩盖）是不可观测的。\(\lambda_0, \lambda_1, G_0, G_1\) 被假设为已知。

第二步：讲最小内核¶

最小内核问题（最简特例）：假设只有一个观测流，且它是单一泊松过程（跳大小恒为1，即没有"复合"部分），则问题退化为经典的泊松过程变点检测问题。

设 \(\{N_t\}\) 是标准泊松过程。单调跳假设：变点发生前，速率为 \(\lambda_0\)；变点发生后，速率为 \(\lambda_1 > \lambda_0\)（假设变化是速率增加）。

变点时间 \(\theta\)：均匀分布在 \([0, T]\) 上（\(T\) 固定且已知）。

任务：找到一个停时 \(\tau\) (满足 \(\tau \le T\) 或 \(\tau = T+\) "不报警" 的选项，但为了简化，假设 \(\tau\) 必须在 \([0, T]\) 内) 来最小化Bayes风险：

\[R(\tau) = \mathbb{E}[\; c_1 (\tau - \theta)^+ \; + \; c_2 \mathbf{1}\{\tau < \theta\} ]\]

其中 \((\tau - \theta)^+\) 是检测延迟（如果有的话），\(\mathbf{1}\{\tau < \theta\}\) 是假报警指示；\(c_1, c_2 > 0\) 是成本系数。

核心思路（证明的实质）：

转化为对后验概率过程的期望 ：
- Bayes风险可被改写为对过程 \(\pi_t = \mathbb{P}(\theta \le t \mid \mathcal{F}_t)\) 的积分或停机时的泛函。具体公式此处从略，但其核心是：问题等价于在停时 \(\tau\) 处停止一个关于 \(\pi_t\) 的期望损失函数。
后验概率过程的Markov性：
- 在变点检测问题中，后验概率过程 \(\{\pi_t\}_{t\ge 0}\) 在 \(\mathcal{F}_t\) 下是一个时齐的Markov过程。对于泊松过程，这个过程的动力学可由一个随机微分方程精确描述。这一点至关重要：它把复杂的、依赖所有历史的决策问题简化为一个一维状态变量上的问题。
- 这个性质来源于：在给定过程参数 \(\lambda_0, \lambda_1\) 下，观测到的泊松事件序列（到达间隔时间等）构成了完整的信息，并且 \(\pi_t\) 的变化仅依赖于当前时刻的观测和 \(\pi_t\) 本身。
有限horizon最优停止 → 二维自由边界问题 ：
- 因为 \(\pi_t\) 是时齐的，但Bayes风险函数中 \((\tau - \theta)^+\) 项显式依赖于 \(\tau - \theta\)（即绝对时间，而不是相对于状态的时间）。这打破了单纯的状态动力学。
- 作者的核心洞察是完全分离信息流与硬时间horizon约束。他们构造了一个增广状态：\(\{(\pi_t, t)\}\)。这是一个二维的、时齐的扩散过程？不，这里难度在于时间 \(t\) 本身是决定性的（不是随机的，是坐标）。最优停止规则 \(\tau\) 是首次穿越二维区域 \(\{(\pi_t, t) : \pi_t \ge \text{threshold}(t)\}\)的停止规则。
- 由于时间 \(t\) 在 \([0, T]\) 内有限，阈值 \(\text{threshold}(t)\) 随着 \(t \to T\) 趋近于 \(1\)（因为当快要到horizon且还没有观测到明显的参数变化证据时，更应倾向于不报警）。这正是复杂性的来源：阈值是一个未知的、随时间变化的函数。

在最小特例下，证明变成了什么？：证明的核心是验证了最优停止规则可以表达为：停时 \(\tau = \inf\{ t \ge 0 : \pi_t \ge g(t) \}\)，其中 \(g(t)\) 是某个连续、递减的函数（当 \(t \to T\) 时从某个边界值降到 \(c_2/(c_1 + c_2)\) 之类的值）。论文没有给出 \(g(t)\) 的闭式表达式，而是求解了一族自由边界PDE，并证明了其解的存在性和唯一性。

三、这篇论文做了什么¶

三句话¶

研究了什么问题：针对复合泊松过程在有限时间区间 \([0,T]\) 上均匀分布的变点时间（disorder time）的快速检测问题，求解Bayes最优停止规则。
核心工具 / 方法：将信息流（由自治的后验概率过程 \(\pi_t\) 描述）与硬时间horizon约束完全解耦，将检测问题转化为关于增广状态 \((\pi_t, t)\) 的有限horizon最优停止问题，进而等价于求解一个二维自由边界问题（即确定一个随时间变化的停止边界）。对于大horizon情形，提供一维近似（边界退化为常数阈值的极限情况）。
主要结论：对任何有限horizon \(T\)，存在唯一的最优停止规则，其形式为 \(\tau = \inf\{ t \in [0, T] : \pi_t \ge g(t) \}\)，其中 \(g(t)\) 是满足特定变分不等式的连续边界。当 \(T\) 很大时，该边界趋近于一个常数，可视为自洽的无限horizon解。论文还讨论了当 \(\theta\) 可能不在 \([0,T]\) 内（即可能有外部mass）的扩展模型，并给出了一个二级假设检验的解决方案。

关键设定与假设¶

数据集：一个复合泊松过程 \(\{X_t\}_{t\ge 0}\)。这是独立同分布跳大小与独立的泊松事件计数下产生的过程。
模型：
- 泊松到达的强度（rate）：变点前 \(\lambda_0\)，变点后 \(\lambda_1\)，已知且 \(\lambda_1 \neq \lambda_0\)。
- 跳大小分布：变点前 \(G_0\)，变点后 \(G_1\)，已知且连续（可导致 \(G_0 \neq G_1\) 或 \(\lambda_0 \neq \lambda_1\)）。
- 先验：变点时间 \(\theta\) 在区间 \([0, T]\) 上服从均匀分布。这是论文的核心假设差异来源：Shiryaev的经典模型常假设 \(\theta\) 的分布是混合了0时刻和鞍点mass的，或是在 \([0, \infty)\) 上服从指数分布。均匀分布来带了一个不同的数学边界条件。
可观测数据结构：观测者能连续看到复合泊松过程的完整样本路径（即每个事件发生的具体时间和大小）。这是连续时间问题，因此通常用连续的\(\mathcal{F}_t\)表示。
假设的核心目的是：让问题在数学上可解（即可化归为一个自治的、时齐的Markov过程后的自由边界问题），同时保留一定的现实感（有限horizon、复合分布）。

主要结果（理论型）¶

定理2.1（等价于一个最优停止问题）：
- 陈述：存在一个尺度参数，使得求解Bayes最优停止规则问题等价于求解一个关于后验概率 \(\pi_t\) 的泛函方程的停时问题。
- 直觉：Bayes风险可被写成关于\(\pi_t\)的、且依赖于剩余时间 \(T-t\) 的期望形式。通过引入过程\(\{(\pi_t, t)\}\) 作为状态变量，解法被还原到标准的最优停止理论（Snell envelope, 自由边界问题）。
定理3.1（自由边界问题的解结构）：
- 陈述：存在唯一的、连续递减的自由边界 \(g(t)\)，定义在 \([0, T]\) 上，使得最优停止规则是 \(\tau = \inf\{ 0 \le t \le T: \pi_t \ge g(t) \}\)。
- 必要条件：\(g(T) = 1\) （horizon结束时，若还没判断，则必须停止并假报警）。\(g(0)\) 则由模型参数决定。边界方程由一组变分不等式给出，其核心是一阶和二阶微分算子。
定理4.1（大horizon近似）：
- 陈述：当 \(T \to \infty\) 时，\(g(t)\) 在 \([0, T-\epsilon]\) 区间上趋于一个常数极限边界 \(g^*\)，其中 \(g^*\) 是无限horizon问题中使后验概率首次达到的常数阈值。
- 解决的技术难点：确定了有限horizon边界何时与无限horizon边界不同（仅在 \(t\) 接近 \(T\) 时差异显著），从而为实际应用中"更大的horizon近似"提供了理论基础。

证明路线与技术技巧¶

整体路线：
1. 步骤一：问题转化。通过后验概率过程 \(\pi_t\) 的动力学（从观测到的复合泊松过程导出）和复合泊松过程的概率结构，将原始的多维信息流压缩成关于 \(\pi_t\) 的一维Markov过程，并证明新表述的风险函数等价于原问题。这一步是标准的Shiryaev做法。
2. 步骤二：构造增广状态。将问题嵌入到关于状态变量 \((\pi_t, t)\) 的最优停止问题中。时齐Markov性被时间显式依赖破坏，因此构造的二维状态空间使得新过程也变成时齐的（因为 \(t\) 是决定性的，所以整体 \(( \pi_t, t)\) 在变换后的坐标下其实不是Markov的？），然后应用变分不等式和偏微分方程理论。
3. 步骤三：求解自由边界问题。对二维状态，自由边界 \(g(t)\) 将空间 \(\{ (\pi, t): 0 \le \pi \le 1, 0 \le t \le T\}\) 分为"继续观测区"和"立即报警区"。在继续区，目标函数（称为Bayes风险函数 \(V(\pi, t)\)）满足一个抛物型偏微分方程（PDE，如热方程或更一般的Kolmogorov方程），并带边界条件 \(V(\pi, T) = c_2 \cdot (1 - \pi)\) （如果horizon结束不报警则必须承担假报警成本）。在边界上，函数和其梯度连续（smooth fit）。
4. 步骤四：证明边界存在唯一性。通过变分不等式技术（如利用比较原理、粘度解理论）和偏微分方程分析，证明了一族参数 \(g(t)\) 中恰好存在一个使得解符合原问题的所有概率约束和最优性条件。具体而言，使用最优停止理论的生成子方法（generator approach）或概率变换法推导出自由边界的积分方程，然后证明该方程有唯一解。
5. 步骤五：大horizon近似。对于 \(T\) 很大，通过渐近分析（将PDE展开，保留主项），证明在离开horizon足够远的 \(t\) 处，边界趋近于常数 \(g^*\)，它正是经典无限horizonBayes变点检测问题的解。
关键跳跃点：
- 分离信息与时间： 将原始时间 \(t\) 显式地拉入状态空间，从而把非自治问题变为自治的二维自由边界问题。这一"设计"决定了整个解法的框架。
- 处理复合泊松过程的结构： 相比于纯泊松过程，复合泊松过程的跳分布 \(G\) 也依赖于 \(\theta\)，需要推导后验概率 \(\pi_t\) 的动力学方程。论文可能使用了随机积分（Itô 积分 for jump processes） 或概率变换（将后验概率表示为似然比）。这个跳跃点在于：他们证明了 \(\pi_t\) 在给定的跳大小和到达时间下仍然是一个时齐的、从属的（subordinator-like）Markov过程，从而自由边界理论依然适用。
- 存在边缘mass的扩展： 当 \(\theta\) 在区间外有正概率时，horizon结束时后验概率 \(\pi_T < 1\)，此时原始方法的边界将不能直接应用。他们引入了第二级假设检验：在horizon结束时，根据观测到的过程残差，看是否能区分"从未发生紊乱"与"在区间内发生紊乱"两种情况。这实质上将终极决策模型从纯粹的最优停止扩展为一个混合了最优点和后验检验的双层决策问题。
技术技巧点名：
1. 变分不等式 + PDE 法：这是求解最优停止问题的经典技术，尤其是在连续时间框架下。通过构造Snell包络，将原问题转化为求解一阶和二阶非线性PDE的自由边界问题。
2. 概率变换法：Dayanik & Sezer 提出的核心理念，他们将求解PDE的自由边界问题转化为求解一个开区域上的、与时间无关的变换方程的积分方程，从而简化数值求解。这在论文被反复使用（可能参考了Dayanik & Sezer, 2006; Dayanik & Goulding, 2009）。
3. 生成子法 (Generator Approach)：论文使用了无穷小生成子作用于函数，并结合伊藤公式来推导PDE边界条件。这依赖于后验概率过程的Markov性和右连续性质。
4. 比较原理与粘度解：用于证明最终解的唯一性。

真实例子与应用¶

论文没有任何真实数据集的应用例子。它是一篇纯理论数学论文，包含了丰富的形式化推导。在Introduction中，它只提到了潜在的实际应用背景（如产品生产质量控制、信用卡诈骗检测），用来motivate问题的定义，但全文未运行过仿真实验也未用真实数据展示有效性。确认：本文为纯理论 / 无实证例子。

🔎 结论是否比证明窄¶

是的，可能有。论文证明的最优性，是在：
- 变点时间 \(\theta\) 在固定有限区间 \([0,T]\) 上严格服从均匀分布的先验下成立的。
- Bayes性质的假设：损失函数是线性的（detection delay + false alarm penalty）。
- 复合泊松过程的特定结构（\(\lambda_0, \lambda_1, G_0, G_1\) 已知且具有特定性质）。
作者的 claim 或 conjecture 可能略宽于这个证明范围：
- 例如，他们在Introduction中说"该方法适用于任何连续时间的Markov过程"或类似的暗示，但证明中的具体PDE推导和自由边界存在性直接依赖于复合泊松过程的后验概率的特殊结构。其他过程（如扩散过程），后验概率 \(\pi_t\) 的动力学可能完全不同，边界方程可能不再能写成如此简单的PDE形式。
- 在"扩展模型"中，对"可能无紊乱的情况"（即 \(\theta\) 可能不出现在 \([0,T]\) 上），论文只提供了一个概念性的二级假设检验方案，并未给出其最优性或计算可行性的严格证明。它在这个新场景下是启发性的、conjecture级别的，而不是严格证明的结果。

四、开放问题（点到为止，扎根具体语句）¶

多维过程的"计算复杂反馈"： 这篇论文处理的是单过程。如果观测的是多个相互依赖的复合泊松过程（例如多个传感器的数据流），问题会变成高维状态空间 \(\pi_t^{(i)}\) 上的最优停止，而PDE自由边界法在维度3以上基本不可行，并且计算时间会是指数爆炸。能否用作者"分离信息与时间约束"的框架，结合低度多项式 (low-degree polynomial) 或Tensor网络来找到一个计算上可行的近似最优解？这是一个开放缺口。
均匀分布 vs. 无信息先验下的minimax性质：论文证明了Bayes最优下，边界 \(g(t)\) 在 \(t\) 接近horizon时趋近于1（即不在假报警）。但CUSUM类规则在minimax regret标准下（考虑worst-case \(\theta\) 的延迟）可能有不同行为。本文未研究(也未引用) 在均匀先验下，这个Bayes最优规则是否同时是某个minimax准则的最优解？ 即它是否具有minimax property？如果证明有，会是一篇很好的follow-up论文。扎根于：Introduction中他们强调"在实际中，均匀先验是最自然的"，但并未与minimax理论对话。
二级假设检验的最优性： 论文在扩展部分提出了一个二级假设检验，但没有给出其序贯最优的证明。其结构是：先做最优停止；时间到期后，若未报警，再做一次非序贯的假设检验判断是否存在紊乱。这是一个并发的决策系统吗？还是可以整合成一个纯Bayes最优停止问题？即：如果从开始就知道可能没有紊乱（有正概率mass在区间外），那么最优的停止规则甚至会改变前阶段的行为，而不是简单地事后硬补一个检验。这里有一个明显的理论缺口：如何证明当前这个两阶段结构比起将"无紊乱可能性"直接纳入原始先验的单一阶段最优停止解来说，是否是次优的？可以写一篇小论文来探索。扎根于该论文"Extension"部分开头："…In this extended model, if no detection decision is made by the end of the horizon, then a second level hypothesis testing problem is solved…"
数值求解自由边界的计算复杂度：作者提到对于大horizon，可用一维常数阈值近似；对于中小horizon，必须求解二维自由边界，而这可以通过数值PDE或概率变换到积分方程求解。但求解这个积分方程的计算复杂度和所需的数值精度/收敛速度这个工程性问题完全没有讨论。对感兴趣计算解决问题的研究者来说，这是一个可以改进的地方。

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