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Two-Sample IV: Efficient Two-Step Estimation and Tests for Overidentification and Weak-Instruments

作者: Fatima Kasenally, Ruoxi Guan, Frank Windmeijer
主题: 因果推断
相关性: 9/10
链接: https://arxiv.org/abs/2606.20240

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

Two-sample IV（双样本工具变量）解决的核心统计问题是：当 outcome 变量 \(y\) 与内生解释变量 \(x\) 分别存在于两个独立样本中，而工具变量 \(z\) 在两个样本中均可观测时，如何识别和估计因果参数 \(\beta\)（假设线性结构 \(y = x\beta + u\)）。该方向已有约四十年历史（Klevmarken 1982），但异方差（heteroskedasticity）与异质性（heterogeneity）下的高效估计与规范检验的系统发展是近十年的成果。当前的 成熟度：基础估计（ts2sls）及其同方差渐近理论早已建立（Inoue & Solon 2010），但 robust 推断与 overspecification 测试在 two-sample 语境下仍有缺口——这正是本文填补的位置。

发展脉络（从 intro 引用的经典工作串成线）

  • 奠基工作：
  • Klevmarken (1982) 提出 two-sample two-stage least squares (ts2sls) 估计量。
  • Angrist & Krueger (1992, 1995) 将其应用于教育的经济回报，带火了这一方法。
  • Arellano & Meghir (1992) 在同一时期用互补数据集估计劳动供给，方法性质类似。

  • Inoue & Solon (2005, 2010) 给出了 ts2sls 的渐近方差及同方差下的理论，并讨论了样本量比 \(n_1/n_2\) 的影响。这些工作默认同方差 + 同质性假设。

  • 主要进展（robust 推断）：

  • Pacini & Windmeijer (2016) 提出了 ts2sls 的异方差稳健方差估计，但没有延伸到 overidentification 检验或高效两步估计。

  • Zhao, Wang, Spiller, Bowden, & Small (2019) 第一次在 two-sample 下考虑了 overidentification 测试（Sargan 检验），允许异质样本，但只限于同方差设定，且未建立完全的极限分布（作者评语：“They did not fully establish the limiting distribution results, which we do also for their setting.”）。

  • 另一个线索：弱工具变量：

  • Choi, Gu, & Shen (2017) 提出了 two-sample 下的 robust Anderson-Rubin 统计量用于弱工具推断，但没有涉足高效估计或 overidentification 检验。

  • Montiel Olea & Pflueger (2013) 提出了 one-sample 下的 effective \(F\)-statistic 用于异方差场景的弱工具检验。Windmeijer (2025) 将其推广到一般 GMM 设定。

  • 本文的位置：把上面两条线索（高效两步估计算法 + overidentification 测试 + 弱工具检验）整合在一个统一框架下，且一切操作只需六类 summary statistics（两样本的 OLS 系数向量及方差估计）。文中明确谈到本文的 two-step 估计和 J-test 是“has not been considered for the two-sample setup”。

子线索聚类

  1. 基础 ts2sls 及方差估计：Klevmarken (1982), Angrist & Krueger (1992, 1995), Inoue & Solon (2010), Pacini & Windmeijer (2016)。这簇工作建立了估计量本身及其同/异方差方差公式。
  2. 过度识别检验与异质性处理：Zhao et al. (2019) 做了同方差下的 Sargan 检验（允许异质样本），本文将其推广到异方差下的 Hansen J-test 并提供完整极限分布。
  3. 弱工具变量检验：Choi et al. (2017) 做 weak-instrument robust 推断（AR），本文则走 MOP 路线（effective F），通过 Windmeijer (2025) 推广到 two-sample 设定下的 Nagar 偏误检验。Montiel Olea & Pflueger (2013) 是单样本基础，Windmeijer (2025) 是其一般化。

核心问题与已知瓶颈

  • Q1：如何在不提供原始数据、只靠摘要统计量的情况下，仍能做 efficient 因果推断与规范检验？——现有方法（Pacini & Windmeijer 2016）已有 robust 方差，但未涉及 overidentification 检验。
  • Q2：当两样本存在异方差时，过度识别检验怎样构造才能正确 size？——Zhao et al. (2019) 仅处理同方差，且未建立极限分布。
  • Q3：两样本弱工具变量的偏误公式及检验统计量的渐近分布是否与单样本完全相同？——本文通过比例偏误（proportional bias）回答了是，并说明 Stock-Yogo 临界值可直接使用。

⚠️ 作者的 framing

作者把缺口 frame 成“没有 two-sample 版本的 Hansen J-test（异方差 robust）和 efficient two-step GMM 估计”。竞争路线： - Zhao et al. (2019) 被弱化为“未完全建立极限分布”——这语气暗示本文补全了关键推导。 - Choi et al. (2017) 被标记为“没有考虑 efficient two-step 和 J-test”——这是事实，但作者没有提及 Choi 是否能够通过其他方式达到相同检验目的（例如 AR 统计量在 weak IV 下本身就是 robust 的，无需先估计 \(\beta\)）。本文并未将 weak-instrument robust 置信区间与 J-test 做比较，而是另走 effective F 路径做 weak-IV 的诊断（非推断）。 - 明显缺失：作者没有讨论在 one-sample 下流行的“用 CLR/LM/AR 做 weak-IV robust 置信区间”在 two-sample 下的推广（仅有 Choi 的 AR，且未用于区间估计）。这可能是研究者可以追问的方向。

张力

未见明显对立引用。各个子线索（robust 方差 / overidentification / weak-IV 检验）之间是互补而非冲突的关系。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题（最小内核）

第一步：符号、模型、可观测数据

记号 含义 类型
\(y\) outcome（因变量） 随机变量
\(x\) 内生解释变量（单个，文中主要处理单个） 随机变量
\(z\) 工具变量，\(k_z\)-维列向量 随机变量
\(u\) 结构方程误差，满足 \(E(z u) = 0\) 不可观测
\(v\) 第一阶段回归误差 不可观测
\(\beta\) 目标因果参数（scalar） 待估参数
\(\pi_x\) 第一阶段系数向量（\(k_z \times 1\)） 待估参数
\(\pi_y = \pi_x \beta\) 简化式系数向量，来自 \(y = z' \pi_y + (u + v \beta)\) 待估参数
\(\alpha = \lim n_1 / n_2\) 样本量比（有限正数） 超参数
样本 1 \(\{y_{1i}, z_{1i}\}_{i=1}^{n_1}\)，可观测 \(y\) 与 \(z\) 数据
样本 2 \(\{x_{2j}, z_{2j}\}_{j=1}^{n_2}\)，可观测 \(x\) 与 \(z\) 数据
\(\hat{\pi}_{y,1}\) 样本 1 中 \(y\) 对 \(z\) 的 OLS 系数估计 统计量
\(\hat{\pi}_{x,2}\) 样本 2 中 \(x\) 对 \(z\) 的 OLS 系数估计 统计量
\(\hat{V}_{\hat{\pi}_{y,1}}, \hat{V}_{r,\hat{\pi}_{y,1}}\) 同方差 / 异方差稳健方差估计 统计量（矩阵）

模型（结构形式 + 简化形式）：

\[\begin{aligned} \text{结构方程:}&\quad y = x\beta + u \\ \text{第一阶段:}&\quad x = z'\pi_x + v \\ \text{简化形式:}&\quad y = z'\pi_x\beta + (u + v\beta) = z'\pi_y + v_y, \quad \pi_y := \pi_x\beta \end{aligned}\]

不可观测的量：\(u, v\) 的具体值、误差方差等。可观测：样本 1 的 \((y_1, Z_1)\)，样本 2 的 \((x_2, Z_2)\)。核心识别条件（假设 1-2）： - \(\pi_y = \pi_x \beta\)（两样本的系数约束） - \(\pi_x \neq 0\)（相关性） - \(E(z_{1i} v_{y,1i}) = 0, E(z_{2j} v_{x,2j}) = 0\)（外生性） 两样本相互独立，且各自的 OLS 估计满足标准中心极限定理。

第二步：最小内核

整篇论文的核心数学想法来自以下恒等式（公式 (4)），它将 two-sample IV 估计问题简化为两个独立 OLS 估计量的线性组合：

\[\hat{\pi}_{y,1} = \hat{\pi}_{x,2} \beta + (\hat{\pi}_{y,1} - \pi_y) - (\hat{\pi}_{x,2} - \pi_x) \beta.\]

左边是 \(k_z\) 维随机向量，右边第一项是信号项（包含目标 \(\beta\)），后两项是 OLS 估计误差。由于两样本独立，\(\hat{\pi}_{y,1}\) 与 \(\hat{\pi}_{x,2}\) 的估计误差 不相关（协方差为零）。

最简特例：单个工具变量（\(k_z = 1\)）
此时 \(\hat{\pi}_{y,1}, \hat{\pi}_{x,2}\) 都是标量。ts2sls 估计量退化为：

\[\hat{\beta}_{\text{ts2sls}} = \frac{\hat{\pi}_{y,1}}{\hat{\pi}_{x,2}}.\]

为什么？因为单工具时 GMM 权重不影响点估计（极小化 \((\hat{\pi}_{y,1} - \hat{\pi}_{x,2} b)^2 / \hat{V}_{\hat{\pi}_{y,1}}\) 的解正是 \(\hat{\pi}_{y,1} / \hat{\pi}_{x,2}\)）。这个估计等价于“用样本 1 的简化式系数除以样本 2 的第一阶段系数”。其渐近分布通过 delta method 得到：

\[\sqrt{n_1}(\hat{\beta}_{\text{ts2sls}} - \beta) \xrightarrow{d} N\left(0,\; \frac{\Sigma_{\hat{\pi}_{y,1}} + \beta^2 \alpha \Sigma_{\hat{\pi}_{x,2}}}{\pi_x^2} \right).\]

（这里 \(\alpha = n_1/n_2\)，\(\Sigma_{\hat{\pi}_{y,1}}\) 是 \(\sqrt{n_1}\hat{\pi}_{y,1}\) 的渐近方差，\(\Sigma_{\hat{\pi}_{x,2}}\) 是 \(\sqrt{n_2}\hat{\pi}_{x,2}\) 的渐近方差。）

这个单变量例子捕获了全文核心结构：（1）估计值由两个 OLS 系数的比例给出，（2）其方差是两个 OLS 方差的加权和（权重来自 \(\beta\) 及样本量比），（3）只需 OLS 的 summary statistics 即可做推断。

多工具变量（\(k_z > 1\)）时，问题变成 GMM：要极小化 \((\hat{\pi}_{y,1} - \hat{\pi}_{x,2} b)' W (\hat{\pi}_{y,1} - \hat{\pi}_{x,2} b)\)。由于 \(\hat{\pi}_{y,1}\) 和 \(\hat{\pi}_{x,2}\) 独立，\(W\) 的最佳形式是 \((\hat{V}_{\hat{\pi}_{y,1}} + b^2 \hat{V}_{\hat{\pi}_{x,2}})^{-1}\)（依赖于 \(b\)）。两步法正是为了处理这种非线性权重依赖。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：在 two-sample 线性 IV 设定下，提出异方差稳健的 efficient two-step GMM 估计量、以其为基础的 Hansen overidentification test（J-test），以及基于 effective \(F\)-statistic 的弱工具变量检验。所有操作只需六类 summary statistics（两样本的系数向量与方差估计）。
  2. 核心工具/方法：标准 GMM 框架 + 两样本独立结构（协方差块对角） + 用于 weak IV 的 Staiger-Stock 局部渐近与 Nagar 近似。
  3. 主要结论：（a）两步估计渐近正态且达到 moment condition 类中的 semi-parametric efficiency bound；（b）J-test 渐近 \(\chi^2_{k_z - 1}\)；（c）弱工具检验的临界值可直接沿用 Stock-Yogo（同方差）和 Montiel Olea-Pflueger（异方差）的结果，相对偏误的定义需调整为比例偏误（proportional bias）。

关键设定与假设（在第二节基础上补全）

  • 假设 1（数据结构）：两个样本分别满足 OLS 规格：\(y_{1i} = z_{1i}'\pi_y + v_{y,1i}\)，\(x_{2j} = z_{2j}'\pi_x + v_{x,2j}\)；\(\pi_y = \pi_x \beta\)；\(E(z_{2j} v_{x,2j}) = 0\)。注意：此假设不要求两样本同分布，只要求系数约束成立和矩条件。
  • 假设 2（相关性 + 外生性）：\(\pi_x \neq 0\)；\(E(z_{1i} v_{y,1i}) = 0\)。
  • 假设 3（同质性，可选）：\(E(z_{1i}z_{1i}') = E(z_{2j}z_{2j}')\) 且 \(E(z_{1i}x_{1i}') = E(z_{2j}x_{2j}')\)。该假设只有在“直接用第一阶段 F 统计量做弱工具检验”时才需要。本文大部分结果不需假设 3。
  • 与已有文献的对比：相比 Zhao et al. (2019) 聚焦同方差且未完整建立极限分布，本文在异方差下完整推导；相比 Pacini & Windmeijer (2016) 只提供 robust 标准误，本文增加了 efficient 两步估计与 overidentification 检验。

主要结果

定理 1（ts2sls 渐近分布，Section 2）

\[\sqrt{n_1}(\hat{\beta}_{\text{ts2sls}} - \beta) \xrightarrow{d} N(0, \Sigma_{\hat{\beta}_{\text{ts2sls}}})\]

其中
\[\Sigma_{\hat{\beta}_{\text{ts2sls}}} = C(\pi_x, \Sigma_{\hat{\pi}_{y,1}}^{-1})' (\Sigma_{\hat{\pi}_{y,1}} + \beta^2 \alpha \Sigma_{\hat{\pi}_{x,2}}) C(\pi_x, \Sigma_{\hat{\pi}_{y,1}}^{-1}),\]

\(C(\pi_x, \Omega) = \Omega \pi_x (\pi_x' \Omega \pi_x)^{-1}\)。直觉：方差是两个 OLS 渐近方差的线性组合，权重由 GMM 最优权重矩阵决定。该结果已在 Pacini & Windmeijer (2016) 给出，本文将其纳入统一推导。

定理 2（两步 efficient GMM 估计，Section 3）
构造权重

\[W_{n,r}(\hat{\beta}_{\text{ts2sls}}) = (\hat{V}_{r,\hat{\pi}_{y,1}} + \hat{\beta}_{\text{ts2sls}}^2 \hat{V}_{r,\hat{\pi}_{x,2}})^{-1},\]

两步估计为
\[\hat{\beta}_{2s} = (\hat{\pi}_{x,2}' W_{n,r}(\hat{\beta}_{\text{ts2sls}}) \hat{\pi}_{x,2})^{-1} \hat{\pi}_{x,2}' W_{n,r}(\hat{\beta}_{\text{ts2sls}}) \hat{\pi}_{y,1}.\]

其渐近方差为
\[\text{Var}_{\text{asymp}} = \left( \pi_x' (\Sigma_{\hat{\pi}_{y,1}} + \beta^2 \alpha \Sigma_{\hat{\pi}_{x,2}})^{-1} \pi_x \right)^{-1},\]

这正是给定 moment condition \(E[z(y - x\beta)]=0\) 下的半参数效率界（标准 GMM 效率结果）。技术难点：需要处理权重矩阵中包含未知 \(\beta\) 的两步结构，但标准 GMM 理论保证第一步估计 \(\hat{\beta}_{\text{ts2sls}}\) 的 \(\sqrt{n}\)-一致性，不影响第二步渐近方差。

定理 3（J-test，Section 3）

\[J = (\hat{\pi}_{y,1} - \hat{\pi}_{x,2} \hat{\beta}_{2s})' W_{n,r}(\hat{\beta}_{\text{ts2sls}}) (\hat{\pi}_{y,1} - \hat{\pi}_{x,2} \hat{\beta}_{2s}) \xrightarrow{d} \chi^2_{k_z - 1}.\]

这是一个标准 Hansen J-test 在两样本独立结构下的直接应用。证明路线：利用关系 \(\hat{\pi}_{y,1} - \hat{\pi}_{x,2} \hat{\beta}_{2s} = (I - A_n) (\hat{\pi}_{y,1} - \hat{\pi}_{x,2} \beta)\)，其中 \(A_n = \hat{\pi}_{x,2} (\hat{\pi}_{x,2}' W \hat{\pi}_{x,2})^{-1} \hat{\pi}_{x,2}' W\)。经 \(W^{1/2}\) 变换后，\(W^{1/2}(\hat{\pi}_{y,1} - \hat{\pi}_{x,2} \beta)\) 渐近标准正态，\((I - A_n)\) 对称幂等且迹为 \(k_z - 1\)，故二次型为 \(\chi^2_{k_z-1}\)。

定理 4（弱工具变量检验，Section 5）
- 同方差 + 同质性：第一阶段 F 统计量 \(F_{\hat{\pi}_{x,2}} = \hat{\pi}_{x,2}' \hat{V}_{\hat{\pi}_{x,2}}^{-1} \hat{\pi}_{x,2} / k_z\) 在弱工具局部渐近（\(\pi_x = c/\sqrt{n_2}\)）下趋于 \(\chi^2_{k_z}(\lambda'\lambda)/k_z\)，与单样本 2SLS 相同。因此 Stock & Yogo (2005) 的临界值可直接用于检验比例偏误（proportional bias）是否超过给定阈值。比例偏误定义为 \(|E[\hat{\beta}_{\text{ts2sls}}] - \beta| / |\beta|\)，而非单样本中的“与 OLS 偏误之比”。 - 异方差 / 异质性：推广 effective \(F\)-statistic 为

\[\hat{F}_{\text{eff}} = \frac{\hat{\pi}_{x,2}' \hat{V}_{\hat{\pi}_{y,1}}^{-1} \hat{\pi}_{x,2}}{\operatorname{tr}(\hat{V}_{r,\hat{\pi}_{x,2}} \hat{V}_{\hat{\pi}_{y,1}}^{-1})}.\]

利用 Windmeijer (2025) 的一般化结果，最坏情况基准偏误为 \(-\beta\)，临界值通过 Patnaik (1949) 曲线拟合计算，直接应用 Montiel Olea & Pflueger (2013) 的临界值函数。

证明路线与技术技巧（针对 weak-instruments 部分）

整体路线（附录 A.1）： 1. 设弱工具局部化 \(\pi_x = c / \sqrt{n_2}\)。 2. 写出 \(\sqrt{n_2}\hat{\pi}_{y,1}\) 和 \(\sqrt{n_2}\hat{\pi}_{x,2}\) 的联合渐近分布（正态，均值分别是 \(\beta c\) 和 \(c\)，方差块对角）。 3. 写出 \(\hat{\beta}_{\text{ts2sls}} - \beta\) 的表达式为 \(\frac{\hat{\pi}_{x,2}' \hat{V}_{\hat{\pi}_{y,1}}^{-1} (\hat{\pi}_{y,1} - \beta \hat{\pi}_{x,2})}{\hat{\pi}_{x,2}' \hat{V}_{\hat{\pi}_{y,1}}^{-1} \hat{\pi}_{x,2}}\)，代入渐近分布得到极限形式 \(\beta^* = \frac{\gamma_2' (\gamma_1 - \beta \gamma_2)}{\gamma_2' \gamma_2}\)，其中 \((\gamma_1, \gamma_2)\) 联合正态。 4. 在同方差 + 同质性下，化简得到比例偏误极限为 \(E[\beta^*] / \beta = E\left[ \frac{(\lambda+\xi_2)' \xi_2}{(\lambda+\xi_2)'(\lambda+\xi_2)} \right]\)，与 Stock-Yogo 表达式相同。 5. 在异方差下，利用 Edgeworth 展开（Nagar 近似）得到最坏情况偏误近似为 \(-\beta/(1+\mu^2)\)，从而导出 effective F 的临界值由 \(\mu^2\) 与 \(V_2\) 的特征值决定。

关键跳跃点：将比例偏误的极限表达式化简为与单样本 2SLS OLS 偏误表达式相同的形式——这依赖于两样本独立的假设和 \(\beta\) 作为 scaler 的特殊结构（附录 A.1.1 中 \(\gamma_1, \gamma_2\) 的构造及 \(\beta\) 如何因子化）。

技术技巧： - GMM 两步估计的渐进理论（Section 3） - 对称幂等投影矩阵的二次型分布（J-test 证明） - Staiger-Stock 弱工具局部化（Appendix A.1） - Nagar (1959) 二阶 Edgeworth 近似（Appendix A.1.2） - Patnaik (1949) 曲线拟合：用非中心 \(\chi^2\) 分布逼近 \(\gamma_2'\gamma_2/\text{tr}(V_2)\) 的分位数（Appendix 末端）

真实例子与应用

Section 6 使用 Marshall (2019) 的教育对政治归属效应的两样本 IV 分析： - 数据：outcome（政党认同、投票意向、投票行为）来自 NAES（2000-2008 总统选举调查，sample 1）；教育年限来自 ACS（sample 2）；工具变量为州层面义务教育法（按出生年份-州变化）。 - 方法应用：只使用两样本的 OLS 回归结果（摘要统计量）即可复现 ts2sls 估计、cluster-robust 标准误、overidentification test。使用了两个 cluster 级别（state）的稳健标准误。 - 结果关键：表 3 显示： - 同方差标准误系统性地小于 cluster-robust 标准误（例如“Partisan” se_hom = 0.0638, cr_se = 0.0903），说明异方差存在。 - 同方差 F 统计量约 41，但 cluster-robust effective F 约 8.5，接近临界值（6.7-6.9），提示弱工具问题（但不算严重）。 - 对于“Voted” outcome，同方差 Sargan 检验 p-value = 0.044（5% 水平拒绝），而异方差稳健 J-test p-value = 0.065（不拒绝），展示了稳健检验的必要性。 - 该例子要说明：本文方法只需要六类摘要统计量就能复现 Marshall 的发表结果，且 cluster-robust 标准误基于简化式残差（与 Marshall 使用结构残差直接计算的标准误略有不同，本文的标准误略小），体现了摘要统计量路径的简洁性和有效性。

🔎 结论是否比证明窄

  • 本文声称达到了“semiparametric efficiency bound”，但必须限定为 给定线性矩条件类 \(E[z(y - x\beta)]=0\) 内的有效估计（标准 GMM 效率）。并非在更广泛的半参数模型下（例如允许非线性条件期望）达到。作者在文中用“standard result”描述，没有夸大，读者仍需留意其 bounded validity。
  • 在 weak-instruments 部分，作者明确指出“the same critical values can be used”，但比例偏误的定义不同——结论完全匹配证明。
  • 在 J-test 部分，证明假设了两步估计的一致性，但作者也给出了同方差下的“一步 Sargan 检验”（使用 ts2sls 作为估计量）并声称有相同渐近分布——该 claim 在正文中通过简化（利用同质性假设）证明，但在异质样本下是否仍成立？作者只建立了两种情形：同方差+同质性下的 Sargan（Section 3.1），以及异方差下的两步 J-test。结论与证明一致。

四、开放问题

  1. weak-instruments robust 置信区间：本文只做了 weak-IV 的检验（是否弱），未给出 weak-IV robust 的置信区间（如 AR, CLR 等）。虽然 Choi et al. (2017) 已有 two-sample 的 AR 统计量，但它未与本文的 efficient 两步估计结合。能否构造只需 summary statistics 的 two-sample CLR 或 conditional LR 置信区间？（扎根于 Section 5 末尾：仅介绍检验，未构建区间估计。）

  2. 非线性 / 半参数 two-sample IV：全文线性。能否将“只需 summary statistics”的精神扩展到非参数 LATE 或分位数 IV？例如，若使用 series IV 或 kernel IV，摘要统计量将不再是简单的 OLS 系数向量。一个具体 gap：如何概括第一阶段/简化式的非参数回归拟合结果（如系数泛函）使得 two-sample 推断仍可行？（扎根于模型设定 Assumption 1 的线性结构。）

  3. 多个内生变量与Many Instruments：附录处理了 \(\dim(x) > 1\) 的推广，但 J-test 自由度变为 \(k_z - \dim(x)\)，weak-instruments 检验需使用 multivariate F。当 \(k_z\) 很大（high-dimensional）时，经济计量文献中的 many-instrument 偏误与检验size扭曲尚未在 two-sample 语境下研究。本文始终假设 \(k_z\) 固定且远小于 \(n\)。高维情形下，是否需要 shrinkage 或 regularization？（扎根于全文中 \(k_z\) 为固定维度的假设。）

  4. 与高阶 U-statistics 的连接（对研究者个人兴趣的提示，不属本文 gap，但可作为开放问题）：在 two-sample 设定下，若模型包含交互项或多项式，估计量可能形如两样本 OLS 系数的高阶多项式组合（如 \(\hat{\pi}_{y,1}^a \hat{\pi}_{x,2}^{-b}\)），其渐近方差可通过 delta method 计算，但精确有限样本分布涉及高阶 U-statistics。计算这类统计量的复杂度可用 tensor contraction / treewidth 刻画（沿袭研究者自己的 einsum 工作）。但本文停留在 \(\sqrt{n}\) 渐近，未涉及有限样本精细理论。

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